第二章用正交变换化为标准型.

第二章用正交变换化为标准型

第一节2、1几种化标准形的方法

2、1、1配方法

2、1、2初等变换法

2、1、3偏导数方法

2、1、4雅可比方法

第二节2、2用正交变换化为标准形

2、2、1非退化线性替换的定义

2、2、2正交替换法

2、2、3例子

2、2 用正交变换化为标准形

2、2、1非退化线性替换的定义

定义1、设x,…,x;y,…,y是两组文字，系数在数域P中的一组关系式

称为由x,…,x到y,…,y的一个线性替换，或简称线性替换，如果系数行列式≠0，那么线性替换就称为非退化的。

2、2、2正交替换法

正交替换法：先写出二次型的矩阵A，在用正交替换X=TY将A对角化，从而

T’AT=，其中λ（i=1，2，…,n为二次型f(x,x,…x的矩阵的所有特征值，同时有f(x,x,…x=λy+λy+…+λy

2、2、3例子

【例1】用正交变换化二次型f(x,x,x=2x+5x+5x+4x x-4x x-8x x为标准形，要求写出所用的正交替换（广西师范大学*2001*（三）*15分）

解：A==

=x-12x+21x-10=(x-1(x-1(x-10=0

x=1,1,10,

(i x=1

E-A=----

η=η=

(ii x=10

10E-A=--------

η=--γ

γβ=η-<η,λ> γ=+=+=β --

γ=令V=（γ，γ，γ）=

令X=UY为所用正交变换，即Y=U’X

f(x,x,x=X’AX=(UY’AUY=Y’U’AUY=Y’Y=y+y+10y为标准形

【例2】用正交变换化二次型f(x,x,x=x-2x+x+4x x+8x x+4x x为标准形，并写出所用的正交变换。（广西师范大学*2002*（三）*15分）

解：f的矩阵A===

=x-27x+-54=(x+3(x-6(x+3=0

即A的特征根为6，-3，-3

（i）x=6

6E-A=----------

η=γ=

(ii x=-3

-3E-A=----

η=η=-γη -<η,γ> γ=βγ=

V=（γ，γ，γ）=

用正交变换为X=UY，即U’Z=Y

f(x,x,x=X’AX=(UY’AUY=Y’U’AUY=Y’Y=6y-3y-3y为标准形

【例3】设实二次型q(x,x,x= 2x+2x+ax-2x x-2x x-2x x经正交线性

替换化为标准形3 y+3 y，求a并写出所有的正交线线替换。（广西师范大学*2009*（七）*20分）

解：A====0

有(x-2(x-a+2-2(x-2-（x-a）=0

X=0,3，3是A的特征值 -4a+2+4+a=0

解之a=2

（i）x=3

3E-A=--

T= T=

(ii x=0

-A=-- T=

η=β=T- , η > η = - =

η=η=故V=（η，η，η）=

使U’AU= X=UY 即令=U为所求的正交线性替换