函数与方程、零点

合集下载

第6讲-函数的零点与方程的解

函数的零点与方程的解学习目标1、了解连续函数的零点存在性定理2、了解函数零点、方程之解、两函数图像交点之间的关系3、熟练掌握数形结合的方法和思想1、函数零点的概念：凡使()0f x =的实数x ，我们称其为函数()f x 的零点，严格说来，零点是一个数，而不是点。

从函数零点的定义不难发现：函数()f x 有零点⇔方程()0f x =有实数解⇔函数()f x 的图像与x 轴有交点。

事实上，()f x 之图像与x 轴交点的横坐标就是()f x 的零点，因此，求函数()f x 的零点，往往通过解方程()0f x =实现。

另外，两个函数()f x 与()g x 的图像之交点问题，往往也等价于方程()()0f x g x -=的解的问题，或者新函数()()()h x f x g x =-的零点问题。

2、连续函数的零点存在性定理。

如果函数()f x 在[,]a b 上连续（高中阶段可等价成其图像是连续不断的），且()()0f a f b ⋅≤，则函数()f x 在[,]a b 上至少存在一个零点。

【注意】如果()()0f a f b ⋅>，不能说明()f x 在[,]a b 上就没有零点。

3、重要结论（1）如函数()f x 的图像关于直线x a =对称，且()f x 有n 个零点，则这n 个零点之和为na （2）如函数()f x 与函数()g x 的图像关于直线x a =对称，且他们图像的交点为1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，则1ni i x na ==∑（3）如函数()f x 与函数()g x 的图像关于点(,)a b 中心对称，且他们图像的交点为1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，则1()ni i i x y na nb =+=+∑4、如果函数()f x 为单调函数，则()f x 最多只有一个零点。

例1（重庆高考）若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（）A 、(),a b 和(),b c 内B 、(),a -∞和(),a b 内C 、(),b c 和(),c +∞内D 、(),a -∞和(),c +∞内【解析】由题意知：()()()0f a a b a c =-->， ()()()0f b b c b a =--< ()()()0f c c a c b =-->因此，()f x 在(),a b 和(),b c 内分别至少有一个零点，依题意，只能选A 。

函数的零点与方程的解

函数的零点与方程的解在数学中，函数的零点与方程的解是两个重要的概念。

它们在解决实际问题中起着重要的作用。

本文将从两个概念的定义、计算方法以及应用三个方面进行探讨。

一、函数的零点函数的零点是指函数取值为零的点。

一般地，如果函数f(x)在某个点x=a处的函数值为零，即f(a)=0，那么a就是函数f(x)的一个零点。

函数的零点也称为函数的根或零解。

在计算函数的零点时，可以使用图像法和代数法。

图像法是通过函数的图像来确定零点，一般使用计算器或电脑绘制函数的图像。

代数法是通过方程来确定零点，将函数的表达式设为零，然后解方程得到零点。

例如，函数f(x)=2x^2-3x+1的零点可以通过解方程2x^2-3x+1=0得到，即x=1/2或x=1。

函数的零点在实际问题中有很多应用，例如在物理学中，零点可以表示速度为零的时刻，加速度为零的时刻等等。

二、方程的解方程的解是指能够满足方程式的未知数数值。

一般地，如果一个方程式有一个或多个能够满足方程式的未知数数值，那么这些数值就是方程的解。

在计算方程的解时，也可以使用图像法和代数法。

图像法是通过绘制方程的图像，找到方程的解。

代数法是通过变形或运用方程的性质，求得方程的解。

例如，方程2x^2-3x+1=0的解可以通过求解x=1/2或x=1得到。

方程的解在实际问题中也有很多应用，例如在物理学中，方程的解可以表示物体的运动状态、加速度等等。

三、函数的零点与方程的解的应用函数的零点和方程的解在实际问题中有很多应用。

例如，在经济学中，利润函数的零点可以表示企业的盈亏平衡点；在物理学中，运动方程的解可以表示物体的运动状态和加速度等等。

函数的零点和方程的解在数学中也有很多应用。

例如，在代数学中，求解方程是一个重要的问题，可以通过求解方程的解来解决实际问题。

在微积分中，函数的零点可以用来求函数的极值和最值等等。

函数的零点与方程的解是数学中两个重要的概念，它们在解决实际问题中起着重要的作用。

高中数学必修一课件：第四章函数的零点与方程的解

要点3 函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条____连__续_不__断_____的曲线，且有 ___f_(a_)_f(_b)_<_0 ___，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在 c∈(a，b)，使得___f(_c)_＝_0____，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
解析令f(x)＝0，得－x2＋5x－6＝0，即x2－5x＋6＝0，(x－2)(x－3)＝0，
∴x＝2或x＝3.故选B.
3．方程ex－x＝2在实数范围内的解有( C )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析由题意令y1＝ex，y2＝x＋2，在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图，由图可知两图象有两个交点，即方程ex－x＝2有两个解．故选C.
3．如何正确理解函数零点存在定理？答：(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y＝1x就没有零点． (2)函数y＝f(x)若满足：①函数在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点． (3)对于有些函数，即使它的图象是一条连续不断的曲线，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数y＝x2有零点x0＝0，但显然函数值没有变号．但是，对于任意一个函数，相邻的两个零点之间所有的函数值保持同号． (4)函数在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有且只有一个零点．
4．若二次函数y＝x2＋2x＋k＋3有两个不同的零点，则k的取值范围是( B )
A．(－2，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(2，＋∞)

函数与方程(零点)

§1-10 函数的应用---根与零点及二分法【课前预习】阅读教材P86-90完成下面填空1．方程()0=x f 有实根 ⇔ ⇔2．零点定理：如果函数()x f y =在区间上的图象是的一条曲线，并且有，那么，函数()x f y =在区间内有零点，即存在()b a c ,∈，使得，这个c 也就是方程()0=x f 的根.3．二分法求函数()x f y =零点近似值的步骤： ⑴确定区间，验证，给定。

⑵求；⑶计算；①若，则；②若，则令；③若，则令。

⑷判断【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题1．下列函数中有2个零点的是 ( )A ．lg y x =B ．2x y =C ．2y x =D ．1y x =-2.若函数()f x 在区间[],a b 上为减函数，则()f x 在[],a b 上 ( )A ．至少有一个零点B ．只有一个零点C ．没有零点D ．至多有一个零点3．函数)(x f =-x 2+5x-6的零点是4. 函数)(x f =x 21-(21)x 的零点个数 5.函数)(x f =x 3-x 2-x+1在[0,2]上零点6.下列函数图像与x 轴均有交点，但不宜用二分法求函数零点的是（）A B C D7．若()y f x =的最小值为1，则()1y f x =-的零点个数为 ( )A ．0B ．1C ．0或lD ．不确定8．已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（）A ．函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点B ．函数)(x f 在(3,5)内无零点C ．函数)(x f 在(2,5)内有零点D ．函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点9．若函数()f x 在[],a b 上连续，且有()()0f a f b >．则函数()f x 在[],a b 上( )A ．一定没有零点B ．至少有一个零点C ．只有一个零点D ．零点情况不确定10．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（）A ．()6,2-B ．[]6,2-C ．{}6,2-D ．()(),26,-∞-+∞ 11．方程22lg x x -=的实数根的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个 12.二次函数()f x =ax 2+bx+c 中,ac<0则函数的零点个数是13.若()f x 的图像关于y 轴对称，且()f x =0有三个零点，则这三个零点之和等于14.若()f x =⎩⎨⎧--≤≥--21,112,12 x x x x x 或则函数g(x)= ()f x -x 的零点为15.已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，()f x =x 3-x,则函数y=()f x 的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为16.已知函数()f x =4x +m.2x +1仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出零点17．若函数()f x =(m-2)x 2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间（-1,0）和区间（1,2）内，则的取值范围是（）A ．(-21,41) B.(- 41,21) C.( 41,21) D.[ 41,21] 18.数()f x =ax+b(a ≠0)有一个零点是2，那么函数g(x)=bx 2-ax 的零点是19.数()f x =x 3-3x+a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．(-2,2) B. [-2,2] C.(-∞，1) D. (1，+∞)20.=cosx 在(-∞,+∞)内（）A ．没有根 B.有且仅有一个根 C. 有且仅有两个根 D. 有无穷多个根21.()ln 2f x x x =-+的零点个数为。

方程的与函数的零点

零点定理
如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，且$f(a) cdot f(b) < 0$，则存在至少一个$c in (a, b)$，使得$f(c) = 0$。
证明
考虑函数$f(x)$在区间$[a, b]$上的值域，由于$f(a) cdot f(b) < 0$，函数值在区间两端异号。根据连续函数的性质，函数值在区间内必有变号点，即存在至少一个$c in (a,
总结词
一元二次方程的解即为零点。
详细描述
一元二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a ≠ 0。解这个方程，可以得到 x = [-b ± sqrt(b^2 4ac)] / (2a)，这个解就是零点。
举例
对于方程 x^2 - 2x + 1 = 0，解得 x = 1，所以零点为 1。
切线法
在函数图像上取一点，作切线，切线与x轴交点即为零点。
数值法求解零点
二分法
对于连续函数在区间[a,b]上，如果函数值在a、b两端异号，则在此区间内至少存在一个零点，通过不断缩小区间范围，逼近零点。
迭代法
基于一定的初值，通过迭代公式逐步逼近零点，例如变步长迭代法。
06
零点定理及其应用
零点定理的证明
零点定理在数学分析中的应用
函数的单调性
函数的极值
利用零点定理可以判断函数的单调性。例如，对于函数$f(x) = x^3 - x$，可以证明其在区间$(-infty, +infty)$上单调递增。
利用零点定理可以判断函数的极值点。例如，对于函数$f(x) = x^4 - x^2$，可以证明其在区间$(-infty, +infty)$上有极小值点。

函数的零点与方程的解(经典导学案及练习答案详解)

§2.9函数的零点与方程的解学习目标1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(×)(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(×)(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac<0，则f(x)无零点．(√)教材改编题1．(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1234567f(x)－4－2142－1－3在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()A．(1,2) B．(2,3) C．(5,6) D．(5,7)答案 BCD解析由所给的函数值表知， f (1)f (2)>0，f (2)f (3)<0，f (5)f (6)<0， f (5)f (7)<0，∴f (x )在区间(2,3)，(5,6)，(5,7)内各至少有一个零点．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0，则f (x )的零点为________．答案－2，e解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.3．方程2x ＋x ＝k 在(1,2)内有解，则实数k 的取值范围是________．答案 (3,6)解析设f (x )＝2x ＋x ， ∴f (x )在(1,2)上单调递增，又f (1)＝3，f (2)＝6， ∴3<k <6.题型一函数零点所在区间的判定例1 (1)(多选)(2022·菏泽质检)函数f (x )＝e x －x －2在下列哪个区间内必有零点( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案 AD解析 f (－2)＝1e 2>0，f (－1)＝1e －1<0，f (0)＝－1<0，f (1)＝e －3<0， f (2)＝e 2－4>0，因为f (－2)·f (－1)<0，f (1)·f (2)<0，所以f (x )在(－2，－1)和(1,2)内存在零点．(2)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )·(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案 A解析函数y ＝f (x )是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a <b <c ，则a －b <0，a －c <0，b －c <0，因此f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.所以f (a )f (b )<0，f (b )f (c )<0，即f (x )在区间(a ，b )和区间(b ，c )内各有一个零点．教师备选(2022·湖南雅礼中学月考)设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点答案 D解析 f (x )的定义域为{x |x >0}， f ′(x )＝13－1x ＝x －33x，令f ′(x )>0⇒x >3，f ′(x )<0⇒0<x <3，∴f (x )在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，又f ⎝⎛⎭⎫1e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点．又f (e)＝e3－1<0，∴f (x )在(1，e)内有零点．思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．跟踪训练1 (1)(2022·太原模拟)利用二分法求方程log 3x ＝3－x 的近似解，可以取的一个区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)答案 C解析设f (x )＝log 3x －3＋x ，当x →0时，f (x )→－∞，f (1)＝－2，又∵f (2)＝log 32－1<0， f (3)＝log 33－3＋3＝1>0，故f (2)·f (3)<0，故方程log 3x ＝3－x 在区间(2,3)上有解，即利用二分法求方程log 3x ＝3－x 的近似解，可以取的一个区间是(2,3)．(2)已知2<a <3<b <4，函数y ＝log a x 与y ＝－x ＋b 的交点为(x 0，y 0)，且x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________. 答案 2解析依题意x 0为方程log a x ＝－x ＋b 的解，即为函数f (x )＝log a x ＋x －b 的零点， ∵2<a <3<b <4，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (2)＝log a 2＋2－b <0， f (3)＝log a 3＋3－b >0， ∴x 0∈(2,3)，即n ＝2. 题型二函数零点个数的判定例2 (1)(2022·绍兴模拟)若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，已知函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，e x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－6,6]内的零点个数为( )A ．14B ．13C ．12D ．11 答案 C解析因为f (x ＋1)＝－f (x )，所以函数y ＝f (x )(x ∈R )是周期为2函数，因为x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，所以作出它的图象，则y ＝f (x )的图象如图所示．(注意拓展它的区间)再作出函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，e x ，x <0的图象，容易得出交点为12个．(2)函数f (x )＝36－x 2·cos x 的零点个数为______．答案 6解析令36－x 2≥0，解得－6≤x ≤6， ∴f (x )的定义域为[－6,6]．令f (x )＝0得36－x 2＝0或cos x ＝0，由36－x 2＝0得x ＝±6，由cos x ＝0得x ＝π2＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－6,6]，∴x 为－3π2，－π2，π2，3π2.故f (x )共有6个零点．教师备选函数f (x )＝2x |log 2x |－1的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 C解析令f (x )＝0，得|log 2x |＝⎝⎛⎭⎫12x ，分别作出y ＝|log 2x |与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象(图略)，由图可知，y ＝|log 2x |与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象有两个交点，即原函数有2个零点．思维升华求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f (x )＝0，方程有多少个解，则f (x )有多少个零点； (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2 (1)函数f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，当0≤x <2时f (x )＝x 2－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[－3,3]上与x 轴的交点个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 B解析令f (x )＝x 2－x ＝0，所以x ＝0或x ＝1，所以f (0)＝0，f (1)＝0，因为函数的最小正周期为2，所以f (2)＝0，f (3)＝0，f (－2)＝0，f (－1)＝0，f (－3)＝0.所以函数y ＝f (x )的图象在区间[－3,3]上与x 轴的交点个数为7.(2)(2022·泉州模拟)设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为( ) A ．3 B ．7 C ．5 D ．6 答案 B解析根据题意，令2f 2(x )－3f (x )＋1＝0，得f (x )＝1或f (x )＝12.作出f (x )的简图：由图象可得当f (x )＝1和f (x )＝12时，分别有3个和4个交点，故关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为 7. 题型三函数零点的应用命题点1 根据函数零点个数求参数例3 (2022·武汉模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋2x |，x ≤0，1x ，x >0，若关于x 的方程f (x )－a (x ＋3)＝0有四个不同的实根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，4－23) B ．(4＋23，＋∞) C ．[0,4－23] D ．(0,4－23)答案 D解析画出f (x )的函数图象，设y ＝a (x ＋3)，该直线恒过点(－3,0)，结合函数图象，若y ＝a (x ＋3)与y ＝－x 2－2x 相切，联立得x 2＋(a ＋2)x ＋3a ＝0， Δ＝(a ＋2)2－12a ＝0，得a ＝4－23(a ＝4＋23舍)，若f (x )＝a (x ＋3)有四个不同的实数根，则0<a <4－2 3.命题点2 根据函数零点范围求参数例4 (2022·北京顺义区模拟)已知函数f (x )＝3x －1＋axx .若存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，43 B.⎝⎛⎭⎫0，43 C ．(－∞，0) D.⎝⎛⎭⎫43，＋∞ 答案 B解析由f (x )＝3x －1＋ax x ＝0，可得a ＝3x －1x，令g (x )＝3x －1x ，其中x ∈(－∞，－1)，由于存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围即为函数g (x )在(－∞，－1)上的值域．由于函数y ＝3x ，y ＝－1x 在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g (x )在(－∞，－1)上单调递增．当x ∈(－∞，－1)时， g (x )＝3x －1x <3－1＋1＝43，又g (x )＝3x －1x>0，所以函数g (x )在(－∞，－1)上的值域为⎝⎛⎭⎫0，43. 因此实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，43. 教师备选1．函数f (x )＝xx ＋2－kx 2有两个零点，则实数k 的值为________．答案－1解析由f (x )＝xx ＋2－kx 2＝x ⎝⎛⎭⎫1x ＋2－kx ，函数f (x )＝x x ＋2－kx 2有两个零点，即函数y ＝1x ＋2－kx 只有一个零点x 0，且x 0≠0.即方程1x ＋2－kx ＝0有且只有一个非零实根．显然k ≠0，即1k＝x 2＋2x 有且只有一个非零实根．即二次函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 有且只有一个交点(横坐标不为零)．作出二次函数y ＝x 2＋2x 的图象，如图．因为1k ≠0，由图可知，当1k>－1时，函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 有两个交点，不满足条件．当1k＝－1，即k ＝－1时满足条件．当1k <－1时，函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k无交点，不满足条件． 2．若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋2m ＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫14，12解析依题意，结合函数f (x )的图象分析可知，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，(m －2－m ＋2m ＋1)(2m ＋1)<0，(m －2＋m ＋2m ＋1)·[4(m －2)＋2m ＋2m ＋1]<0，解得14<m <12.思维升华已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．跟踪训练3 (1)(多选)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，e x (x ＋1)，x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 可取的值可能是( ) A ．0 B.13 C.12 D ．1答案 BCD解析函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有三个不同的交点，当x ≤0时，f (x )＝(x ＋1)e x ，则f ′(x )＝e x ＋(x ＋1)e x ＝(x ＋2)e x ，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2,0]上单调递增，且f (－2)＝－1e 2，f (0)＝1，x →－∞时，f (x )→0，从而可得f (x )的图象如图所示，通过图象可知，若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有三个不同的交点，则b ∈(0,1]． (2)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1,3]上有零点，则m 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－53，0 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－53∪(0，＋∞) C.⎝⎛⎦⎤－∞，－53∪(0，＋∞) D.⎣⎡⎭⎫－53，0 答案 D解析由于函数y ＝log 2(x ＋1)，y ＝m －1x 在区间(1,3]上单调递增，所以函数f (x )在(1,3]上单调递增，由于函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x＋m 在区间(1,3]上有零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，f (3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ＋53≥0，解得－53≤m <0.因此，实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－53，0.课时精练1．函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案 B解析由题意知，f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2，f (0)＝－4，f (1)＝－1，f (2)＝7，因为f (x )在R 上连续且在R 上单调递增，所以f (1)·f (2)<0，f (x )在(1,2)内有唯一零点．2．设函数f (x )＝4x 3＋x －8，用二分法求方程4x 3＋x －8＝0近似解的过程中，计算得到f (1)<0，f (3)>0，则方程的近似解落在区间( )A.⎝⎛⎭⎫1，32 B.⎝⎛⎭⎫32，2 C.⎝⎛⎭⎫2，52 D.⎝⎛⎭⎫52，3 答案 A解析取x 1＝2，因为f (2)＝4×8＋2－8＝26>0，所以方程近似解x 0∈(1,2)，取x 2＝32，因为f ⎝⎛⎭⎫32＝4×278＋32－8＝7>0，所以方程近似解x 0∈⎝⎛⎭⎫1，32. 3．(2022·武汉质检)若函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫2，52 D.⎣⎡⎭⎫2，103 答案 D解析由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝⎛⎭⎫12，3上有实数解，即a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x，x ∈⎝⎛⎭⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. 所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. 4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4(x －1)，x >1，－3x －m ，x ≤1存在2个零点，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－3,0)B ．[－1,0)C ．[0,1)D ．[－3，＋∞)答案 A 解析因为函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4(x －1)，x >1，－3x －m ，x ≤1存在2个零点，当且仅当f (x )在(－∞，1]上有一个零点，x ≤1时，f (x )＝0⇔m ＝－3x ，即函数y ＝－3x 在(－∞，1]上的图象与直线y ＝m 有一个公共点，而y ＝－3x 在(－∞，1]上单调递减，且有－3≤－3x <0，则当－3≤m <0时，直线y ＝m 和函数y ＝－3x (x ≤1)的图象有一个公共点．5．(2022·重庆质检)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2x ，设0<a <b <c ，且满足f (a )·f (b )·f (c )<0，若实数x 0是方程f (x )＝0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是( )A ．x 0<aB ．x 0>cC ．x 0<cD ．x 0>b答案 B解析 f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2x 在(0，＋∞)上单调递减，由f (a )·f (b )·f (c )<0，得f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0或f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0.∴x 0<a 或b <x 0<c ，故x 0>c 不成立．6．(2022·北京西城区模拟)若偶函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )且x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )＝log 3|x |的根的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．多于4答案 C解析 f (x )＝log 3|x |的解的个数，等价于y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象的交点个数，因为函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，所以周期T ＝2，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且f (x )为偶函数，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象，如图所示．显然函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象有4个交点．7．(多选)函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 的交点个数可能是( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案 ABC解析由题意知，f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π]，在坐标系中画出函数f (x )的图象如图所示．由其图象知，直线y ＝k 与y ＝f (x )的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.8．(多选)(2022·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f (x )，存在一个点x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )A ．f (x )＝2x ＋xB ．g (x )＝x 2－x －3C ．f (x )＝12x ＋1D ．f (x )＝|log 2x |－1答案 BCD解析选项A ，若f (x 0)＝x 0，则02x ＝0，该方程无解，故A 中函数不是“不动点”函数；选项B ，若g (x 0)＝x 0，则x 20－2x 0－3＝0，解得x 0＝3或x 0＝－1，故B 中函数是“不动点”函数；选项C ，若f (x 0)＝x 0，则120x ＋1＝x 0，可得x 20－3x 0＋1＝0，且x 0≥1，解得x 0＝3＋52，故C 中函数是“不动点”函数；选项D ，若f (x 0)＝x 0，则|log 2x 0|－1＝x 0，即|log 2x 0|＝x 0＋1，作出y ＝|log 2x |与y ＝x ＋1的函数图象，如图，由图可知，方程|log 2x |＝x ＋1有实数根x 0，即|log 2x 0|＝x 0＋1，故D 中函数是“不动点”函数．9．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f (x )＝________.答案 x 3－x (答案不唯一)解析 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 为奇函数，故a ＝c ＝0，f (x )＝x 3＋bx ＝x (x 2＋b )有三个不同零点，∴b <0，∴f (x )＝x 3－x 满足题意．10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，若函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．答案 (1,2)解析画出函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象，如图所示，注意当x ＝－1时，f (－1)＝－1＋2＋1＝2，f (0)＝1，∵函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，∴函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象有3个交点，由图象可得m 的取值范围为1<m <2.11．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝|ln x |，若函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，e 2]上有三个零点，则实数a 的取值范围是______________．答案 ⎣⎡⎭⎫2e 2，1e 解析 ∵函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，e 2]上有三个零点，∴y ＝f (x )的图象与直线y ＝ax 在区间(0，e 2]上有三个交点，由函数y ＝f (x )与y ＝ax 的图象可知，k 1＝2－0e 2－0＝2e2， f (x )＝ln x (x ＞1)，f ′(x )＝1x，设切点坐标为(t ，ln t )，则ln t －0t －0＝1t ，解得t ＝e.∴k 2＝1e. 则直线y ＝ax 的斜率a ∈⎣⎡⎭⎫2e 2，1e .12．(2022·济南质检)若x 1是方程x e x ＝1的解，x 2是方程x ln x ＝1的解，则x 1x 2＝________. 答案 1解析 x 1，x 2分别是函数y ＝e x ，函数y ＝ln x 与函数y ＝1x的图象的交点A ，B 的横坐标，所以A ⎝⎛⎭⎫x 1，1x 1，B ⎝⎛⎭⎫x 2，1x 2两点关于y ＝x 对称，因此x 1x 2＝1.13．已知函数f (x )＝2x ＋x －1，g (x )＝log 2x ＋x －1，h (x )＝x 3＋x －1的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小为( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．c >a >bD ．a >c >b答案 B解析令f (x )＝0，则2x ＋x －1＝0，得x ＝0，即a ＝0，令g (x )＝0，则log 2x ＋x －1＝0，得x ＝1，即b ＝1，因为函数h (x )＝x 3＋x －1在R 上为增函数，且h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，所以h (x )在区间(0,1)上存在唯一零点c ，且c ∈(0,1)，综上，b >c >a .14．(2022·厦门模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))的所有零点之和为________．答案 12 解析当x ≤0时，x ＋1＝0，x ＝－1，由f (x )＝－1，可得x ＋1＝－1或log 2x ＝－1，∴x ＝－2或x ＝12；当x >0时，log 2x ＝0，x ＝1，由f (x )＝1，可得x ＋1＝1或log 2x ＝1，∴x ＝0或x ＝2；∴函数y ＝f (f (x ))的所有零点为－2，12，0,2，∴所有零点的和为－2＋12＋0＋2＝12.15．若关于x 的方程|x |x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为() A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫14，1C.⎝⎛⎭⎫14，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 C解析因为|x |x ＋4＝kx 2有四个实数解，显然，x ＝0是方程的一个解，下面只考虑x ≠0时有三个实数解即可．若x >0，原方程等价于1＝kx (x ＋4)，显然k ≠0，则1k ＝x (x ＋4)．要使该方程有解，必须k >0，则1k ＋4＝(x ＋2)2，此时x >0，方程有且必有一解；所以当x <0时必须有两解，当x <0时，原方程等价于－1＝kx (x ＋4)，即－1k＝x (x ＋4)(x <0且x ≠－4)，要使该方程有两解，必须－4<－1k<0，所以k >14. 所以实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 16．已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”．若f (x )＝32－x －1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎦⎤1e ，4e 2解析由题意可知f (2)＝0，且f (x )在R 上单调递减，所以函数f (x )只有一个零点2，由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g (x )＝x 2－a e x 在区间(1,3)上存在零点．由g (x )＝x 2－a e x ＝0，得a ＝x 2e x . 令h (x )＝x 2e x ，则h ′(x )＝2x －x 2e x ＝x (2－x )e x，所以h (x )在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且h (1)＝1e ，h (2)＝4e 2，h (3)＝9e 3>1e，要使函数g (x )在区间(1,3)上存在零点，只需a ∈⎝⎛⎦⎤1e ，4e 2.。

数学中的函数零点与方程求解技巧

数学中的函数零点与方程求解技巧在数学中，函数零点以及方程的求解是重要的概念和技巧。

它们在代数、几何和应用数学中都扮演着关键的角色。

本文将探讨函数零点和方程求解的相关概念以及解题技巧。

一、函数零点函数零点指的是函数取零值的点，即函数的输入使函数的输出等于零。

函数零点也叫做函数的根，表示为f(x) = 0。

要找到函数的零点，我们需要使用一些特定的方法和技巧。

1. 解析法解析法是找到函数零点的一种常用方法。

对于一些特殊的函数，我们可以通过运用代数技巧来求解零点。

例如，对于一次函数f(x) = ax + b，其零点可以通过令ax + b = 0来求解，解得x = -b/a。

对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以使用求根公式来求解零点，即x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

2. 图像法图像法是另一个找到函数零点的常用方法。

我们可以绘制函数的图像，在坐标系中观察函数与x轴的交点，那些交点就是函数的零点。

这种方法在直观上帮助我们理解函数的性质，并且可以在一定程度上验证我们通过解析法得到的结果。

二、方程的求解技巧方程的求解是数学中的重要课题之一，也是解决实际问题的关键。

不同类型的方程有不同的求解技巧，下面我们将介绍一些常见的方程求解技巧。

1. 一元一次方程的求解一元一次方程指的是只有一个未知数，并且未知数的最高次数为一的方程。

例如，2x + 3 = 5就是一个一元一次方程。

解这种方程的常用方法是移项和消项。

我们可以通过移动所有含有未知数的项到一边，并消除方程中的常数项，最终得到未知数的值。

2. 一元二次方程的求解一元二次方程是一个最高次数为二的方程，一般形式为ax^2 + bx +c = 0。

解一元二次方程的常用方法是使用求根公式或配方法。

我们可以使用求根公式来直接求解方程的根。

如果使用配方法，我们要将方程变形为完全平方的形式，然后求解方程。

3. 线性方程组的求解线性方程组是多个含有多个未知数的方程组成的系统。

函数与方程中的根与零点的概念与计算

函数与方程中的根与零点的概念与计算根据数学的定义，函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的规则。

方程则是描述了两个表达式之间相等的关系。

在函数和方程的应用中，我们经常会遇到根与零点的概念。

本文将详细介绍根与零点的含义以及它们在函数与方程中的计算方法。

一、根与零点的概念1. 根的定义在函数中，根是指使得函数的值等于零的输入值。

简而言之，根是函数的解，它使得函数的取值为零。

2. 零点的定义在方程中，零点是指使得方程两边相等的解。

换句话说，零点是使得方程取值为零的横坐标值。

在函数与方程中，根与零点可以说是同义词，它们描述了使得函数值或方程两边等式成立的输入值。

二、根与零点的计算方法1. 函数中的根与零点计算对于函数而言，计算根或零点的方法取决于函数的形式。

下面以一次函数和二次函数为例，介绍它们的计算方法。

（1）一次函数的根与零点计算一次函数的一般形式为 f(x) = ax + b，其中 a 和 b 是已知常数。

要计算一次函数的根，令 f(x) = 0，然后解方程 ax + b = 0，可以得到 x 的值。

这个 x 就是一次函数的根或零点。

（2）二次函数的根与零点计算二次函数的一般形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是已知常数。

要计算二次函数的根，可以使用求根公式或配方法。

- 求根公式：对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，根的计算公式为 x= (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

将方程 f(x) = 0 代入公式中，可以得到二次函数的根。

- 配方法：对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过配方法将其转化为完全平方的形式。

然后再通过提取平方根的方式得到根。

2. 方程中的根与零点计算方程中的根与零点计算依然是解方程。

根据方程的形式，选择适当的方法进行计算。

例如，对于线性方程 ax + b = 0，可以直接通过移项和除以系数 a 得到根。

函数与方程之函数零点的个数问题

函数零点的个数问题一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。

（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续）① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =-,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。

由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。

（详见方法技巧）二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。

例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭中2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。

函数与方程的零点

探究:
观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象： y
在区间[-2，1]上有零点_－__1___；
f(-2)=___5____，f(1)=__－__4___，
2
f(-2)·f(1)__<___0（“＜”或“＞”）． 1
在区间(2，4)上有零点___3___；
-2 -1 O 1 2 3 4 x -1
f(2)·f(4)__<__0（“＜”或“＞”）． -2
16
归纳整理，整体认识
方程
函数
实根
零点
方程法
数值
列表法
范围
f(x)连续 f(a)f(b)<0
个数存在性
函数图像
与x轴的交点横坐标
图象法
交点法
f(x)连续 f(a)f(b)<0 (a,b)上单调
17
课堂小结：
１、函数零点的定义； 2、函数零点的存在性定理；
3、确定函数f(x)的零点的方法。
（1）解方程f(x)=0; （2）找f(x)图象与x轴交点的横坐标; （3）作出x,f(x)对应值表，找到a,b，使 f(a)f(b)<0，则零点Î c (a,b); （4）看成两个简单函数交点的横坐标.
18

△＜0
没有实数根
函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象
y
x1 0
x2 x
函数的图象与 x 轴的交点 (x1,0) , (x2,0)
y y
0 x1 x
(x1,0)
0
x
没有交点
方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数。
方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。3

函数的零点与方程的解(基础知识+基本题型)(含解析)

4.5.1函数的零点与方程的解（基础知识+基本题型）知识点一函数的零点1.函数零点的概念对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.2.函数零点与方程的根之间的关系方程()0f x =有零点⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.由此可知，求()0f x =的实数根，就是确定函数()y f x =的零点，一般地，对于不能用公式求根的方程()0f x =来说，我们可以将它与函数()y f x =联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根. 提示：（1）并不是所有的函数都有零点，如函数1()f x x=就没有零点. （2）方程不同实数根的个数⇔函数图象与x 轴交点的个数⇔函数零点的个数.（3）函数的零点不是点：我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点，因此，函数的零点不是点，是函数()y f x =的图象与x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数.当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零.知识点二函数零点存在性定理1. 零点存在性定理如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是一条连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也是方程()0f x =的根.2. 零点存在性定理的适用条件（1）判断零点是否存在是存在闭区间[,]a b 上进行的.（2）函数()y f x =在[,]a b 上的图象应是连续无间断的一条曲线.（3）()()0f a f b ⋅<是关键条件，即两端点的函数值必须异号.（4）如果函数()y f x =在两端点处的函数值(),()f a f b 异号，则函数()y f x =的图象至少穿过x 轴一次，即方程()0f x =在区间(,)a b 内至少有一个实根c .3. 零点存在性定理的使用范围（1）此定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数。

函数的零点与方程的解(高中数学)

函数的零点与方程的解

函数的零点与方程的解函数的零点和方程的解是数学中重要的概念，它们在解决数学问题和应用实践中发挥着重要的作用。

本文将介绍函数的零点和方程的解的概念及其应用。

一、函数的零点函数的零点是指函数在实数域中使得函数值为零的自变量的取值。

通常用x表示函数的自变量，用f(x)表示函数的值。

如果存在一个实数x，使得f(x)=0，则称x为函数f(x)的零点。

函数的零点在数学中有广泛的应用。

首先，在代数方程的求解中，可以将方程转化为函数，通过求函数的零点来求解方程。

其次，在数值计算中，求解非线性方程的数值方法也是通过寻找函数的零点。

此外，零点还与函数的图像有密切的关系，在函数的图像中，零点对应于函数与x轴相交的点。

二、方程的解方程的解是指使得方程成立的未知数的取值。

常见的方程类型有线性方程、二次方程、三角方程等。

解方程是数学中基本的运算之一，通过求解方程可以得到方程的解集。

解方程的方法有很多种，比如代入法、消元法、因式分解法等。

其中，代入法是最常用的方法之一，通过代入一个值，验证是否满足方程，从而求解方程的解。

在实际应用中，方程的解也有着广泛的应用。

例如，经济学中的供需方程可以通过求解方程的解来确定市场均衡点；物理学中，方程解能够描述物体的运动状态等。

三、函数的零点与方程的解的关系函数的零点与方程的解有着紧密的联系。

如果一个函数的零点对应于一个方程的解，那么这个方程的解也是这个函数的零点。

通过函数的图像可以更直观地理解函数的零点与方程的解之间的关系。

当函数与x轴相交时，函数的值为零，此时自变量的取值对应于方程的解。

因此，寻找函数的零点就相当于求解方程的解。

四、应用实例假设有一个函数f(x) = x^2 - 5x + 6，我们希望求出函数的零点和方程的解。

首先，令f(x) = 0，得到方程x^2 - 5x + 6 = 0。

然后，可以使用因式分解法或求根公式来求解该方程。

通过求解方程，得到x = 2或x = 3，这两个值即为函数f(x)的零点，也是方程的解。

专题03 函数与方程和零点问题与嵌套函数(解析版)

专题03 函数与方程和零点问题与嵌套函数一、重点题型目录【题型】一、零点存在定理法判断函数零点所在区间【题型】二、方程法判断函数零点个数【题型】三、数形结合法判断函数零点个数【题型】四、转化法判断函数零点个数【题型】五、利用函数的零点或方程有根求参数【题型】六、利用函数的交点或交点个数求参数【题型】七、一元二次不等式恒成立问题【题型】八、一元二次不等式能成立问题二、题型讲解总结【题型】一、零点存在定理法判断函数零点所在区间例1．（2023·全国·高三专题练习）函数()2ln 1f x x x =--的零点所在的区间是（）A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5【答案】B【分析】利用零点存在性定理求解即可【详解】函数()2ln 1f x x x =--在()1,+∞ 上单调递增，且在()1,+∞上连续. 因为()22ln 2ln 22021f =-=-<-，()23ln 3ln 31031f =-=->-，所以()()230f f <，所以函数的零点所在的区间是()2,3. 故选：B例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意,()0x ∈+∞，都有()2()log 20f f x x -=．现已知()()17f a f a +'=，那么（） A ．(1,1.5)a ∈ B ．(1.5,2)a ∈C ．(2,2.5)a ∈D ．(2.5,3)a ∈【答案】D【分析】先由()2()log 20f f x x -=求出2()16log f x x =+，再由()()17f a f a +'=得到21log 10ln 2a a --=，结合单调性和零点存在定理进行判断即可. 【详解】不妨设2()log f x x m -=，则()20f m =，所以2log 2016m m m +=⇒=，得2()16log f x x =+，1()ln 2f x x '=，因为()()17f a f a +'=，所以21log 10ln 2a a --=．令21()log 1ln 2g a a a =--，易得()g a 在(0,)+∞上单调递增，因为227ln118(3)log 3103ln 23ln 2g -=--=>，52531255ln 2ln 25ln 21ln 42410244(2.5)log 2.5102.5ln 25ln 25ln 25ln 25ln 2g ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭=--===<<，由零点存在定理知：(2.5,3)a ∈. 故选：D ．例3．（2023·全国·高三专题练习）已知()=ln f x x ，()e xg x =，若()()f s g t =，则当s t -取得最小值时，()g t 所在区间是（） A ．11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,e 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()ln 2,1D ．1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】由已知条件构造函数()e ln ah a a =-，利用导数求出最值，由零点存在性定理验证001e 0a a -=的根的范围即可. 【详解】令()()f s g t a ==，即e ln 0t s a ==>， ∴ln t a =，e a s =， ∴e ln (0)a s t a a -=->，令()e ln ah a a =-，则()1e a h a a'=-，令()1e am a a =-，则()21e a m a a '=+， ∴()m a 在()0,∞+上单调递增，且()1e 10m =->，1202m ⎛⎫=< ⎪⎝⎭∴存在唯一0a a =使得()0h a '=，当00a a <<时，1e a a <， ()0h a '<，当0a a >时，1e aa>， ()0h a '>，∴()0()min h h a a =，即s t -取得最小值时，0()f s a a ==，由零点的存在定理验证01e 0aa -=的根的范围，当012a =时，001e 0a a -<，当0ln2a =时，001e 0aa ->，故01(,ln 2)2a ∈，故选：D ．例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2e 0-=->x af x x a 有两个极值点1x 和2x ，且12x x <，则下列结论正确的是（）A ．101x <<B ．2101xx e << C ．()101f x << D ．()1ln 2,a ∈-+∞【答案】ACD 【分析】函数()()2e0-=->x af x x a 有两个极值点1x 和2x ，令()0f x '=，则e2e =xa x判断函数()e x g x x =的单调性，由题知()e xg x x=与2e =a y 有两个交点，借助图像求出a 的取值范围，判断D ；再根据零点存在性定理判断A ；又根据11e 2-=x ax ，求出()1f x 的取值范围，判断C ；由()()1200f x f x ⎧'=='⎪⎨⎪⎩，得2112e e x xx x =，由于101x <<，21x >，所以12e 1>x x ，从而判断B.【详解】已知()2e -=-x a f x x ，则()e 2-'=-x af x x ，令()0f x '=，则e2e =xa x考虑函数()e xg x x =，则()()2e 1x x g x x-'=，当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，即()g x 在(),0∞-上单调递减；当()0,1x ∈时，()0g x '<，即()g x 在()0,1上单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 在()1,+∞上单调递增；故()g x 的图象大致如图：依题意，若()f x 有两个极值点，则2e e >a ，即1ln 2a >-，因此选项D 正确；由图易知，101x <<，21x >，故选项A 正确；又11e 2-=x ax ，故()()122211111e 211-=-=-=--x a f x x x x x ，因为101x <<，所以()101f x <<，故选项C 正确；因为()()1200f x f x ⎧'=='⎪⎨⎪⎩，即1212e 2e 2x a x a x x --⎧=⎨=⎩，故1212e e =x x x x ，即2112e e x xx x =. 由于101x <<，21x >，所以12e 1>x x ，从而21e 1>xx ，故选项B 错误.故答案为：ACD.【题型】二、方程法判断函数零点个数例5．（2023·全国·高三专题练习）关于函数()ln ||ln |2|f x x x =+-有下述四个结论： ∴()f x 的图象关于直线1x =对称 ∴()f x 在区间(2,)+∞单调递减 ∴()f x 的极大值为0 ∴()f x 有3个零点其中所有正确结论的编号为（） A ．∴∴ B ．∴∴ C ．∴∴∴ D ．∴∴∴【答案】D【分析】根据给定函数，计算(2)-f x 判断∴；探讨()f x 在(2,)+∞上单调性判断∴；探讨()f x 在(0,1)和(1,2)上单调性判断∴；求出()f x 的零点判断∴作答.【详解】函数()ln ||ln |2|f x x x =+-的定义域为(,0)(0,2)(2,)-∞⋃⋃+∞，对于∴，(,0)(0,2)(2,)x ∈-∞⋃⋃+∞，则2(,0)(0,2)(2,)x -∈-∞⋃⋃+∞， (2)ln |2|ln ||()f x x x f x -=-+=，()f x 的图象关于直线1x =对称，∴正确；对于∴，当2x >时，()ln ln(2)f x x x =+-，()f x 在(2,)+∞单调递增，∴不正确；对于∴，当0x <时，()ln()ln(2)f x x x =-+-，()f x 在(,0)-∞单调递减，当02x <<时，2()ln ln(2)ln[(1)1]f x x x x =+-=--+，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，又()f x 在(2,)+∞单调递增，因此()f x 在1x =处取极大值(1)0f =，∴正确；对于∴，由()0f x =得：2|2|1x x -=，即2210x x --=或2210x x -+=，解得1x =1x =，于是得()f x 有3个零点，∴正确，所以所有正确结论的编号为∴∴∴. 故选：D【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.例6．（2023·全国·高三专题练习）若()f x 为奇函数，且0x 是()2e x y f x =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点（） A ．()e 2x y f x -=-- B ．()e 2x y f x =+ C ．()e 2x y f x =- D ．()e 2x y f x =-+【答案】B【分析】根据()f x 是奇函数可得()()f x f x -=-，因为0x 是()2e =-xy f x 的一个零点，代入得()002e xf x =，利用这个等式对A 、B 、C 、D 四个选项进行一一判断可得答案.【详解】()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-且0x 是()2e =-xy f x 的一个零点，所以()002e xf x =，把0x -分别代入下面四个选项，对于A ，()()0020e e 222-=-x x f x ，不一定为0，故A 错误；对于B ，()()0000e 2e x xf x f x ---+=-0012e e 20x x -+=-⋅⋅+=，所以0x -是函数()e 2x y f x =+的零点，故B 正确；对于C ，()000224e 2e ---=--=-x f x ，故C 不正确；对于D ，()0000e 22e e +24--+==x x x f x ，故D 不正确；故选：B.例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()cos 2cos f x x x =+，且[]0,2πx ∈，则()f x 的零点个数为（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】解三角方程求得()f x 的零点即可解决【详解】由()()2cos 2cos 2cos cos 1cos 12cos 10x x x x x x +=+-=+-=可得cos 1x =-或1cos 2x =，又[]0,2πx ∈，则πx =，或π3x =，或5π3x =则()f x 的零点个数为3 故选：C例8．（2023·全国·高三专题练习）()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且()20f =，则方程()0f x =在区间[]6,6-内解的个数的最小值是_______. 【答案】13【分析】根据函数周期性和奇偶性的性质，进行递推即可．【详解】()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，()()3f x f x ∴+=，且()()f x f x -=-，则()00f =，则()()()()()()36600330f f f f f f ==-==-=-=，，()20f =，()()()()514050f f f f ∴=-=-=-=，， ()10f =，()40f =，()20f -=，方程的解至少有0，3，6，6-，3-，2，5，5-，2-，1-，1，4，4-，共13个．故答案为：13【题型】三、数形结合法判断函数零点个数例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()33f x x x =-，则函数()()h x f f x c =-⎡⎤⎣⎦，[]2,2c ∈-的零点个数（）A ．5或6个B ．3或9个C ．9或10个D ．5或9个【答案】D【分析】设()t f x =，求导分析()33f x x x =-的最值与极值，画出图形，再分析()f t c =与()t f x =的根的范围与个数即可【详解】设()t f x =，则由()()0h x f f x c =-=⎡⎤⎣⎦，得()f f x c =⎡⎤⎣⎦，即()f t c =，()t f x = 又()()()233311f x x x x '=-=-+，由0fx得1x <-或1x >，此时函数单调递增，由()0f x '<得11x -<<，此时函数单调递减，即函数在=1x -处取得极大值()()()311312f -=--⨯-=，函数在1x =处取得极小值()311312f =-⨯=-，又由()()()322322f -=--⨯-=-，()322322f =-⨯=可得图象：若()f t c =，()2,2c ∈-，则方程有三个解，满足121t -<<-，211t -<<，312t <<，则当121t -<<-时，方程()t f x =，有3个根，当211t -<<时，方程()t f x =，有3个根，当312t <<时，方程()t f x =，有3个根，此时共有9个根，若()f t c =，2c =，则方程有两个解，满足11t =-，22t =，则当11t =-时，方程()t f x =，有3个根，当22t =，有2个根，此时共有5个根，同理()f t c =，2c =-，也共有5个根故选：D ．例10．（2023·全国·高三专题练习）若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∴[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】由题意知，f (x )是周期为2的偶函数，将函数零点转化为求两个函数图象交点的个数即可，作出图象观察得出结论.【详解】由题意知，f (x )是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )及y ＝log 3|x |的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点．故选：D.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()e 2,1ln 1,1xx f x x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()()21g x f f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的零点个数是（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】令()t f x =，()0g x =，则()21f t t =-，分别作出函数()y f t =和直线21y t =-的图象，得到10t =，212t <<，再分别作出函数()y f x =和直线y t =的图象，得到方程()0f x =和方程()2t f x =的根的个数，进而得到函数()()()21g x f f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的零点个数. 【详解】令()t f x =，()0g x =，则()210f t t -+=，即()21f t t =-，分别作出函数()y f t =和直线21y t =-的图象，如图所示，由图象可得有两个交点，横坐标设为1t ，2t ，则10t =，212t <<，对于()t f x =，分别作出函数()y f x =和直线2y t =的图象，如图所示，由图象可得，当()10f x t ==时，即方程()0f x =有两个不相等的根，当()2t f x =时，函数()y f x =和直线2y t =有三个交点，即方程()2t f x =有三个不相等的根，综上可得()0g x =的实根个数为5，即函数()()()21g x f f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的零点个数是5. 故选：B.例12．（2023·上海·高三专题练习）对于给定的正整数n （n ≥2），定义在区间[0，n ]上的函数y ＝f （x ）满足：当01x ≤≤时，2()2f x x x =-+，且对任意的x ∴[1，n ]，都成立f （x ）＝f （x ﹣1）+1．若与n 有关的实数kn 使得方程f （x ）＝knx 在区间[n ﹣1，n ]上有且仅有一个实数解，则关于x 的方程f （x ）＝knx 的实数解的个数为____．【答案】2n ﹣1##12-+n【分析】数形结合，画出y ＝f （x ）在区间[0，n ]上的图象，根据y ＝knx 与y ＝f （x ）的图象交点分析即可．【详解】由题意，画出y ＝f （x ）在区间[0，1]上的图象，又对任意的[1，n ]，都成立f （x ）＝f （x ﹣1）+1．可理解为区间[n ﹣1，n ]的图象由区间[n ﹣2，n ﹣1]的图象向右平移一个单位所得，即可画出y ＝f （x ）在区间[0，n ]上的图象，如图所示，故若与n 有关的实数kn 使得方程f （x ）＝knx 在区间[n ﹣1，n ]上有且仅有一个实数解，则y ＝knx 与y ＝f （x ）在区间[n ﹣1，n ]上的图象相切，且易得y ＝f （x ）的图象在y ＝x 与区间[0，1]，[1，2]，[2，3]，∴[n ﹣1，n ]上的公切线之间，故y ＝knx 与y ＝f （x ）在区间[0，1]，[1，2]，[2，3]，∴[n ﹣1，n ]上均有2个交点，故关于x 的方程f （x ）＝knx 的实数解的个数为2（n ﹣1）+1＝2n ﹣1个．故答案为：2n ﹣1．【题型】四、转化法判断函数零点个数例13．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 的定义域为[)0,∞+，且满足()[)()[)1,0,121,1,xe xf x f x x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，若()()g x f x π=-，则()g x 在[]0,10内的零点个数为（） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【答案】B【分析】求出函数()f x 在区间[)(),109,n n n n N +≤≤∈值域及单调性，由此可得出结论.【详解】当[)0,1x ∈时，()[)10,1xf x e e =-∈-，当[)1,2x ∈时，[)10,1x -∈，则()()[)210,22f x f x e =-∈-，当[)2,3x ∈时，[)20,1x -∈，则()()()[)21420,44f x f x f x e =-=-∈-，以此类推，当[)(),109,x n n n n N ∈+≤≤∈时，()()())20,21n nf x f x n e ⎡=-=-⎣，且函数()f x 在区间[)(),109,n n n n N +≤≤∈上为增函数，122e e π-<<-，所以，函数()g x 在区间[)(),119,n n n n N +≤≤∈上有且只有一个零点，且()()()101010200g f f ππ=-=-<，因此，()g x 在[]0,10内的零点个数为9. 故选：B.【点睛】方法点睛：判定函数()f x 的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令()0f x =，将函数()f x 的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果. 例14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()3log 911x f x x+=-，下列说法正确的是（）A ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数B ．()f x 的图象与sin y x =有无数个交点C ．()f x 的图象与2y =只有一个交点D ．()()21f f -<- 【答案】C【分析】A 根据函数奇偶性的定义即可判断()f x 的奇偶性；B 利用放缩法，当0x >易证()1f x >，由奇函数的对称性知0x <时()1f x <-，即可知()f x 与sin y x =的交点情况；C ：由()2f x =变形可得112713xx⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()11327xxg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭只需判断()1g x =解得个数即可；D 根据函数解析式求出()()2,1f f --比较大小即可. 【详解】A ：()f x 定义域为{|0}x x ≠且()()()()()()333391log log 91log 91log 9191120x x x x x f x f x x x x x -⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭-+=-+-=--=-，故()f x 为奇函数，错误；B ：当0x >时有()3log 91211xf x x>-=-=，又()f x 为奇函数，则当0x <时，()1f x <-，即在R 上()f x ∈()(),11,-∞-⋃+∞，则()f x 的图象与sin y x =没有交点，错误， C ：若()2f x =，则有()3log 9112x x+-=，即()3log 913x x +=，变形得9127x x+=，即112713x x⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()11327xxg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 为减函数且其值域为0,，则()1g x =有且只有一个解，即()f x 的图象与2y =只有一个交点，正确，D ：()()2333182log 1log 2log 918181211222f -⎛⎫⎛⎫++ ⎪+ ⎪⎝⎭-=-=--=- ⎪- ⎪⎝⎭3182log 29=-⨯3log =-，而()333110101log 11log 1log 993f ⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有()()21f f ->-，错误.故选：C.【点睛】关键点点睛：A 利用奇偶性定义判断函数的奇偶性，B 放缩法及奇函数的对称性，结合正弦函数的性质判断交点情况，C 将交点问题，通过恒等变形转化为方程是否有解的问题，D 通过函数解析式求函数值，进而比较大小.例15．（2022·全国·高三专题练习）高斯被人认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则()[]f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 是R 上的单调递增函数B ．函数2()()3g x f x x =-有2个零点 C ．()f x 是R 上的奇函数D ．对于任意实数,a b ，都有()()()f a f b f a b +≤+ 【答案】BD【分析】对于AC ，举例判断，对于B ，利用取整函数和零点的定义判断即可，对于D ，定义{}[]a a a -=这样一个函数，就会有{}10a >≥，然后结合高斯函数的定义判断即可【详解】对于A ，(1.1)1f =，(1.2)1f =，(1.1)(1.2)f f =，()f x ∴在R 上不是单调增函数，所以A 错.对于B ，由()[]f x x =，可得1()x f x x -<≤，所以1()33x xg x -<≤，若函数()g x 要有零点，则1033x x -<≤，得[0,3)x ∈，因为()g x 要想为0，必须23x 也为整数，在这个范围内，只有30,2x x ==两个点，所以B 正确，对于C ，(1.1)1f =，( 1.1)2(1.1)f f -=-≠-，()f x ∴不是奇函数，所以C 错，对于D ，如果我们定义{}[]a a a -=这样一个函数，就会有{}10a >≥，同时有{}{}{}{}()([][])[[][]]f a b f a b a b a b a b +=+++=+++，当{}{}1a b +≥时，会有()[][]()()f a b a b f a f b +=+=+，当{}{}01a b <+<时，()[][]()()f a b a b f a f b +>+=+，所以D 正确，故选：BD.【题型】五、利用函数的零点或方程有根求参数例16．（2023·全国·高三专题练习）函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的值为（）A ．－14B ．0C ．14D ．0或－14【答案】D【分析】通过a 是否为0，然后求解函数的零点即可．【详解】解：当0a =时，函数()1f x x =--仅有一个零点，满足题意；当0a ≠时，函数2()1f x ax x =--仅有一个零点，可得140a ∆=+=，解得14a =-．故选：D例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数1,1()1()1,12x a x f x x -=⎧⎪=⎨+≠⎪⎩，若方程22()(23)()30-++=f x a f x a 有5个不同的实数解，则a 的范围是（）A ．33(1,)(,2)22⋃B ．(1,2)(2,3)C ．(1,)+∞D ．(1,3)【答案】A【分析】解方程22()(23)()30-++=f x a f x a 得()f x a =或3()2f x =，根据a 的取值分类讨论即可.【详解】方程22()(23)()30-++=f x a f x a ，解得()f x a =或3()2f x =，若32a =，13,132()12()1,12x x f x x -⎧=⎪⎪==⎨⎪+≠⎪⎩，解得1x =或0或2，不符合题意，所以32a ≠，由3()2f x =，可得原方程有3个不等实根1x =或0或2；所以只要|1|1()12x a -+=有2个不等实根即可．由|1|0x ->可得|1|10()12x -<<，即有12a <<，综上可得33(1,)(,2)22a ⋃∈．故选：A ．例18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2ln ,043,0x x f x x x x >⎧=⎨---≤⎩，若函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点，则m 的取值范围是（） A ．102,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．102,3⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】画出()f x 的图像，结合函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点，结合图像列不等式来求得m 的取值范围.【详解】当0x ≤时，()f x 是开口向下的二次函数，对称轴为2x =-，()()24831,03f f -=-+-==-.由243=0x x ---解得=1x -或3x =-. 由此画出()f x 的图像如下图所示，依题意，函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点，令()t f x =，则21y t mt =++，根据图像可知，函数21y t mt =++在区间[)3,1-上有两个不相等的实数根，则()222Δ403310110312m m m m ⎧=->⎪--+≥⎪⎪⎨++>⎪⎪-<-<⎪⎩，解得1023m <≤，所以m 的取值范围是102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选：D例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2221,0log ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()40f x mf x ++=有6个不同的实数根，则m 的取值范围是（）A ．13(,5),43⎡⎫-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭B ．13,43⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C ．134,(5,)3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦ D ．134,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【分析】画出()f x 的图象，令()t f x =，则先讨论240t mt ++=的零点，根据二次函数判别式与韦达定理，结合()f x 的图象可得240t mt ++=的较小根的范围，进而根据m 与较小根的关系式结合函数的单调性求解即可.【详解】画出()f x 的图象如图，令()t f x =，则先讨论240t mt ++=的零点. 当2440m ∆=-⨯<，即44m -<<时，不合题意；当2440m ∆=-⨯=，即4m =±时，易得2t =或2t =-，此时当()2f x =或()2f x =-时均不满足有6个零点，不合题意；故2440m ∆=-⨯>，4m >或4m <-，设240t mt ++=的两根为12,t t ，不妨设12t t <，由韦达定理124t t =，且12,2t t ≠.∴当12,0t t <时，()1f x t =与()2f x t =均无零点，不合题意； ∴当12,0t t >时：1. 若101t <<，则24t >，此时()1f x t =有4个零点，()2f x t =有2个零点，合题意；2. 若112t ≤<，此时()1f x t =有3个零点，则()2f x t =有且仅有3个零点，此时223t <≤，故1423t ≤<；综上可得101t <<或1423t ≤<. 又12t t m +=-，故()12114m t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，结合4y t t =+在()0,2上为减函数可得114m t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()0,1，4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数.故13(,5),43m ⎡⎫∈-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭故选：A【点睛】本题主要考查了数形结合解决复合函数零点的问题，需要换元先分析二次函数的零点情况，数形结合判断零点所在的区间，进而得出()f x 零点所在的区间，并结合二次函数的性质与韦达定理求解.属于难题.例20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()23,0,3,0,x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩以下结论正确的是（）A ．()f x 在区间[7,9]上是增函数B ．()()220222f f -+=C ．若函数()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点()1,2,3,4,5,6i x i =，则619i i x ==∑D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则11,3k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【答案】BC【分析】A 根据()f x 的周期性判断区间单调性；B 利用周期性求得()() 202230f f =-=即可判断；C 转化为y b =与()y f x =的交点问题，应用数形结合法及对称性求零点的和；D 根据函数图象求得1y kx =+与()y f x =交点个数为2或3时的临界值，即可得范围. 【详解】A ：由题意,当3x ≥-时()f x 以3为周期的函数，故()f x 在[7,9]上的单调性与()f x 在[-2,0]上的单调性相同，而当0x <时()23924x x f ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，∴()f x 在[-2,0]上不单调，错误；B ：()22f -=，()() 202230f f =-=，故()()2 20222f f -+=，正确；C ：作出()y f x =的函数图象如图所示：由于()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点，故直线y b =与()y f x =在(),6-∞上有6个交点，不妨设1i i x x +<，i ＝1，2，3，4，5，由图象知:1x ，2x 关于直线32x =-对称，3x ，4x 关于直线32x =对称，5x ，6x 关于直线92x =对称，∴513392229222i i x ==-⨯+⨯+⨯=∑，正确；D ：若直线1y kx =+经过(3,0)，则13k =-，若直线1y kx =+与()230y x x x =--<相切，则消元可得：()2103x k x ++=+，令Δ0=可得()2340k +-=，解得k ＝-1或k ＝-5（舍），若直线1y kx =+与()y f x =在(0,3)上的图象相切，由对称性得:k ＝1．因为()1f x kx =+恰有3个实根，故直线1y kx =+与()y f x =有3个交点， ∴113k -<<-或k ＝1，错误，故选：BC ．例21．（2023·全国·高三专题练习）若函数()()2e 2xf x x x a =-++在区间(),1a a +上存在最大值，则实数a 的取值范围为_______【答案】2⎫⎪⎪⎝⎭【分析】根据开区间上连续函数的最值点必为导函数的零点，然后求导，数形结合，根据零点存在性定理建立不等式即可求解【详解】因为()()()22e 222e 2x xf x x x a x x a '=-++-+=-++，且函数()f x 在区间(),1a a +上存在最大值，故只需()22h x x a =-++满足()()>0+1<0h a h a ⎧⎪⎨⎪⎩，所以()22++2>0+1++2<0a a a a --⎧⎪⎨⎪⎩，2a <<．故答案为：2⎫⎪⎪⎝⎭【题型】六、利用函数的交点或交点个数求参数例22．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的奇函数，满足()()20f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，若函数()()sin()F x f x x π=-，在区间[]1,m -上有10个零点，则m 的取值范围是（） A ．[)3.5,4 B ．(]3.5,4 C ．(]3,4 D ．[)3,4【答案】A【分析】由已知得出函数()f x 是周期函数，周期为2，函数()F x 的零点个数转化为函数()f x 的图象与sin()y x π=的图象的交点个数，作出函数的图象（其中()f x 的图象由奇偶性与周期性结合作出），然后分析交点个数得出参数范围．【详解】由(2)()0f x f x -+=得(2)()f x f x +=--，又()f x 是奇函数，所以(2)()()f x f x f x +=--=，即()f x 是周期函数，周期为2，sin()y x π=也是周期函数，且最小正周期是22ππ=，由奇偶性和周期性作出函数()f x 的图象，再作出sin()y x π=的图象，如图，函数()()sin()F x f x x π=-的零点个数即为函数()y f x =的图象与函数sin()y x π=的图象交点个数，()f x 是R 上的奇函数，所以(0)0f =，从而20()f k =，Z k ∈，易知它们在[1,1)-上有4个交点，从而在[1,3)上也有4个交点，而4x =时，点(4,0)是一个交点，所以4m <，在(0,1)上，2()log f x x =-，11()1sin 22f π==，即1(,1)2是(0,1)上交点，从而在(1,0)-上交点上交点为1(,1)2--，由周期性在(3,4)上两函数图象交点为7(,1)2-，所以72m ≥．综上，724m ≤<．故选：A ．例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2cos()1(0,0π)f x x ωϕωϕ=+-><<经过(0,0)点，且()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，则ω的最大值为（）A ．43B ．12C ．2D ．136【答案】C【分析】运用代入法，结合余弦型函数的性质、函数零点的定义进行求解即可. 【详解】因为()2cos()1f x x ωϕ=+-经过(0,0)点，所以12cos 10cos 2ϕϕ-=⇒=，因为0πϕ<<，所以π3ϕ=，即π()2cos()13f x x ω=+-，令ππ1()2cos()10cos()332f x x x ωω=+-=⇒+=，因为π()0,x ∈，所以πππ(,π)333x ωω+∈+，因为()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，所以有5πππ43327ππ3π33ωωω⎧<+⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤+⎪⎩，所以ω的最大值为2，故选：C例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数π()2cos()1(0,0)2f x x ωϕωϕ=+-><<，在0x =处的切线斜率为，若()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，则ω的最大值为（）A ．43B ．12C ．2D ．136【答案】C【分析】求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出ϕ，再由零点信息列出不等式，求解作答.【详解】依题意，()2sin()f x x ωωϕ'=-+，则(0)2sin f ωϕ'=-=，即sin ϕ=，而π02ϕ<<，解得π3ϕ=，因此，π()2cos()13f x x ω=+-，由()0f x =得：π1cos()32x ω+=，又π()0,x ∈，有πππ(,π)333x ωω+∈+，因()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，于是得5ππ7ππ333ω<+≤，解得423ω<≤，所以ω的最大值为2. 故选：C例25．（2023·全国·高三专题练习）定义在R 上的偶函数()f x 满足()22)(f x f x -+=，当[0,2]x ∈时，()xf x =，若在区间[0,10]x ∈内，函数()()(1)mg x f x x =-+有个5零点，则实数m 的取值范围是（） A ．()110,log e B ．(]11710,log e ,log e 2⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭C ．111log e,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11711log e,,log e 22⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【分析】根据函数的奇偶性求出函数在[2,0]-上的解析式，将问题转化为函数图象()y f x =与(1)m y x =+在[0,10]上有5个不同的交点，结合图形即可得出结果.【详解】由题意知，函数()f x 为偶函数，且(2)(2)f x f x -=+，令2x x →+，则(22)()(4)()f x f x f x f x --=-=+=，所以函数()f x 是以4为周期的函数. 当[2,0]x ∈-时，[0,2]x -∈，所以()x f x --=，即当[2,0]x ∈-时()x f x -=，因为函数()()(1)m g x f x x =-+在[0,10]上有5个零点，所以方程()(1)0m f x x -+=在[0,10]上有5个根，即函数图象()y f x =与(1)m y x =+在[0,10]上有5个不同的交点，如图，当[0,2]x ∈时，()xf x =，()121e 2x f x '=，()102f '=，设()(1)mp x x =+，则()1(1)m p x m x -'=+，()0p m '=，当12m ≤，()()00p f '≤'，所以在[0,2]x ∈时，函数()()(1)m g x f x x =-+只有一个零点，此时，若要使图象()y f x =与(1)m y x =+在[0,10]上有5个不同的交点，则()()11010mf +≤，11log e m ≤，所以110log e m <≤；当12m >时，()()00p f '>'，所以在[0,2]x ∈时，函数()()(1)m g x f x x =-+有两个零点，所以()()166mf +<且()()11010mf +>，即7e 11e m m ⎧<⎨>⎩，解得71log e 2m <<，故m 的取值范围为(]11710,log e ,log e 2⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭.故选：B.例26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()31,21()1,2x x f x x x ⎧≥⎪-=⎨⎪-<⎩，若函数()()g x f x kx k =-+恰好有两个零点，则实数k 的取值范围是（）A ．[)1,+∞B ．0,1C ．()1,+∞D ．()(),00,1-∞⋃【答案】C【分析】根据已知条件画出函数()f x 的图象，将函数()()g x f x kx k =-+恰好有两个零点转化为函数()f x 与直线()1y k x =-图象恰有两个交点即可求解.【详解】由题意知，画出函数()31,21()1,2x x f x x x ⎧≥⎪-=⎨⎪-<⎩的简图，如图所示由()()g x f x kx k =-+恰好有两个零点转化为()f x 与直线()1y k x =-有两个不同的交点，由图知，当直线经过点()()1,0,0,1-两点的斜率为10101k --==-，则1k >. 所以实数k 的取值范围为()1,+∞. 故选：C.例27．（2023·全国·高三专题练习）已知()e xx f x =．则下列说法正确的有（）A ．函数()y f x =有唯一零点0x =B ．函数()y f x =的单调递减区间为()(),01,-∞⋃+∞C ．函数()y f x =有极大值1eD ．若关于x 的方程()f x a =有三个不同的根．则实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】根据零点的定义判断A ，利用导数分析函数的单调性，作出函数()f x 的图象，根据图象判断其余选项.【详解】由()0f x =得：0x =，即0x =，故函数()f x 有唯一零点0x = 由题可知：(),0e e ,0e xx xxx x f x x x ⎧≥⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩ 设()e ex x xg x x -==⋅，x ∈R ，则()()1x g x x e -'=-⋅，由()()1e 0x g x x -⋅'=-≥得：1x ≤；由()()1e 0xg x x -⋅'=-≤得；1x ≥；故()g x 在(],1-∞上单调递增﹐在[)1,+∞上单调递减，作出()y g x =图象，并将0x <的部分图象关于x 轴对称可得()y f x =的图象如下：观察图象可得函数()y f x =的单调递减区间为(),0∞-，()1,+∞，B 错，函数()y f x =在1x =时有极大值1e，C 对，方程()f x a =有三个不同的根，则实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭，D 对，故选：ACD.【题型】七、一元二次不等式恒成立问题例28．（2023·全国·高三专题练习）已知m 是区间[]0,4内任取的一个数，那么函数3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C【分析】首先得到220()4f x x x m '=-≥+恒成立，则解出m 的范围，再根据其在[0,4]内取数，利用几何概型公式得到答案. 【详解】22()4f x x x m '=-+，3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数22()40f x x x m '∴=-+≥恒成立21640m ∴∆=-≤解得2m ≥或2m ≤- 又m 是区间[0,4]内任取的一个数24m ∴≤≤由几何概型概率公式得函数3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数的概率42142P -== 故选：C ．例29．（2023·全国·高三专题练习）当13x ≤≤时，关于x 的不等式210ax x -<+恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．,⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭14C ．,1,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】分离参变量得211a x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭恒成立，只用2min11a x x ⎡⎤⎛⎫<-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦可求解.【详解】当13x ≤≤时，由210ax x -<+恒成立可得，211a x x⎛⎫<- ⎪⎝⎭恒成立，令2211111()()24f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，1113,,13x x ⎡⎤≤≤∴∈⎢⎥⎣⎦，∴当111,123x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，即当2x =时， ()f x 取得最小值为()()min124f x f ==-，因为211a x x⎛⎫<- ⎪⎝⎭恒成立，所以()min a f x <，即14a <-.故选:B ．例30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()312x f x x +=+，()()42e xg x x =-，若[)120,x x ∀∈+∞，，不等式()()()()2221e e t g x t f x +≤+恒成立，则正数t 的取值可以是（）A ．6e B．(2e +C．(2e +D ．2e【答案】AB【分析】本题的含义是不等式左边的最大值小于等于右边的最小值，t 是常数，因此先要算出左边的最大值和右边的最小值，再计算不等式即可. 【详解】因为()()3253153222x x f x x x x +-+===-+++，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以对[0,)x ∀∈+∞，()()102f x f ≥=； ()()42e x g x x =-，所以()()()'2e 42e 21e x x x g x x x =-+-=- ，当1x >时，()'0g x < ；当01x <<时，()'0g x > ，函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， ∴()max ()12e g x g ==；因为0t >，任意[)12,0,x x ∈+∞，不等式()()()()2221e e t g x t f x +≤+恒成立，即()()221e 2e e 2t t +⋅≤+，整理得224e 3e 0t t --≥，解得(2e t ≤或(2e t ≥，所以正数t的取值范围为()2e,⎡+∞⎣； 6e与(2e均在区间()2e,⎡+∞⎣内，(2e +与2e均不在区间()2e,⎡+∞⎣内；故选：AB ．【题型】八、一元二次不等式能成立问题31．（2023·全国·高三专题练习）已知命题:R p x ∀∈，20x x a -+>，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是（） A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,)4-∞（ C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】由题意得到20x x a -+≤有解，进而由根的判别式列出不等式，求出实数a 的取值范围.【详解】若p ⌝是真命题，由题意知不等式20x x a -+≤有解，140a ∴∆=-≥，解得:14a ≤. 因此，实数a 的取值范围是1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：A例32．（2023·全国·高三专题练习）若1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使2210x x λ-+<成立，则实数λ的取值范围是______________．【答案】)+∞【分析】利用不等式的基本性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论. 【详解】由2210x x λ-+<可得，221x x λ>+，因为1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以12x x λ>+，根据题意，min 12x x λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>即可，设()12f x x x =+，易知()f x在12⎛ ⎝⎭单调递减，在2⎫⎪⎪⎝⎭单调递增，所以()min f x f ==⎝⎭所以λ>故答案为：)+∞。

4.5.1函数的零点与方程的解课件(人教版)

谢谢！
3.已知函数y=ax2-x-1只有一个零点，求a的值。
解：由题可知：ax2-x-1=0的解只有一个.
所以当a≠0时， Δ=1+4a=0. 解得a= - 1
当a=0时，x=-1.符合题意。故a=0或a= - 1 .
4
y
4 log1 x, x > 0,
2
2
4.已知函数f ( x) = 2x , x ≤0,
4.5.1函数的零点与方程的解
预习并回答下列问题：
（1）什么是函数零点？（函数零点的概念）
（2）求下列函数的零点？并画出相应函数的图像
f(x)=x2-2x-3
f(x)=x2-2x+1 f(x)=x2-2x+3
（3）怎么判断二次函数零点的个数？
（4）怎样求一个函数的零点？
（1）什么是函数零点？（函数零点的概念）
y
2 1
－1 0 1 2 3 4 5
x
－1
－2
－3
－4
7.已知
f(x)＝
x2＋2x－3，x≤0， x2－3＋lnx，x>0，
，则函数的零点个数为( B
)
A．3
B．2 C．1
D．0
解：当 x≤0 时，由 x2＋2x－3＝0，得 x＝－3 或 1（舍）；
当 x>0 时，函数对应的方程为 lnx＋x2－3＝0，
没有零点
y
.
.
5
零点分为变号零点和不变号
.1
.
－1 0 1 2 3
－1
－2 －3
. －4
2
. x 1
.
－1 0
.
12
4
3. . 2.