实数的运算与实数大小比较
八年级数学上册 3.3 实数 第2课时 实数的运算和大小比较课件 (新版)湘教版.pptx
(b+c)a = ba + ca （乘法对于加法的分配律） ；
（9）实数的减法运算规定为 a -b = a + (-b)
；
（10）实数的除法运算（除数b≠ a ÷ b = a·
0)1，规定为 b
；
（11）实数有一条重要性质：如果a≠0，b≠0，那么
ab
≠
0.
4
小提示
实数也可以比较大小：对于实数a，b，如果a-b>0， 则a大于b（或者b小于a），记作a>b（或b<a）；
3.
9
2 5(精确到小数点6, 精确到小数点后面第二位得：3.16.
10
用正方形比较
不用计算器，估计 5 与2哪个大.
解： 5 ，2 分别是5，4的正方形的边长. 容易说明，面积大的正方形，它的边长也大. 因此， 5 > 2 .
5
2
11
小提示
在实数运算中，如果遇到无理数，并且要 求出结果的近似值时，可按要求的精确度用相 应的近似有限小数代替无理数，再进行计算.
12
练习
计算（精确到小数点后面第二位）.
（1） 2 + 3； （2） 5 -1 ； （3） 5 .
≈1.414+1.732≈3.15.
≈2.236-1≈1.24. ≈2.236×3.14≈7.02.
同样地，如果a-b<0，则a<b.还可以得出：正实数大 于一切负实数；两个负实数，绝对值大的数反而小.
从而数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的 实数大.
负实数
原点
正实数
0
<
5
结论
每个正实数有且只有两个平方根，它们互 为相反数;
实数的大小比较及运算
实数的大小比较及运算实数是数学中的一个重要概念，它包括有理数和无理数两大类。
在数学运算中，实数的大小比较及运算是最基础的部分之一，对于学生来说，掌握实数的大小比较及运算是非常重要的。
本文将从实数的大小比较和基本运算两个方面进行详细介绍。
一、实数的大小比较1. 正数和负数的比较正数是大于零的实数，负数是小于零的实数。
在实数中，正数大于负数。
例如，1比-1要大，2比-2要大。
当然，绝对值较大的负数，比绝对值较小的正数要小。
比如，-5比3要小。
2. 零和正数、负数的比较零是实数中最小的数，比任何正数都要小，但是大于任何负数。
如0比1要小，0比-1要大。
3. 实数的比较运算规则（1）同号相乘为正，异号相乘为负。
（2）同号相加为正，异号相加为负。
（3）绝对值较大的数，在同号运算时，结果的绝对值较大；在异号运算时，结果的绝对值较小。
二、实数的基本运算1. 实数的加法实数的加法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
例如，a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)，a(b+c)=ab+ac。
2. 实数的减法实数的减法可以转化为加法运算，即a-b=a+(-b)。
减法满足减法的交换律：a-b≠b-a。
3. 实数的乘法实数的乘法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
例如，ab=ba，a(bc)=(ab)c，a(b+c)=ab+ac。
4. 实数的除法实数的除法定义为a÷b=a×(1/b)，其中b≠0。
除法满足除法的性质：a÷b≠b÷a。
5. 实数的乘方与开方实数的乘方定义为a的n次方是指n个a相乘，即an=a×a×…×a。
实数的开方是乘方的逆运算，即对于实数a，若b是满足b^n=a的实数，则b叫做a的n次方根。
通过以上详细介绍，相信大家对实数的大小比较及运算有了更深入的了解。
掌握实数的大小比较及运算是数学学习的基础，也是解决实际问题的重要方法。
在日常学习中多加练习，相信你会掌握实数的大小比较及运算，取得更好的学习成绩。
湘教版初中数学八年级上册3.3 第2课时 实数的运算和大小比较1
5
如图所示，小明家有一正方形厨房 ABCD 和一正方形卧室 CEFG，其中正方形厨
1 ＜；
5
房 ABCD 的面积为 10 平方米，正方形卧室
(2)∵(1－ 2)－(1－ 3)＝ 3－ 2>0，
CEFG 的面积为 15 平方米，他想知道这两个 ∴1－ 2>1－ 3.
正方形的边长之和 BG 的长是多少米，你能
人生
由实际问题引入实数的运算，激发学 生的学习兴趣．同时复习有理数的运算法
TB:小初高题库
＞0， 所以| 3－ 2|＋|1－ 2|＋|2－ 3|
13－3 1 <；
88
＝( 3－ 2)－(1－ 2)＋(2－ 3)
(2)∵－ 4＞ － 23＞ － 5， ∴ － 1＞ －
＝ 3－ 2－1＋ 2＋2－ 3
23＋3＞－2.又∵－6＞－ 47＞－7，∴－
＝( 3－ 3)＋( 2－ 2)＋(2－1)
2＞4－ 47＞－3.∴－ 23＋3>4－ 47.
＝1.
方法总结：估算法：设 a，b 为任意两
方法总结：进行实数的混合运算时， 个正实数，先估算出 a，b 两数或两数中某
要注意运算顺序以及正确运用运算律．
部分的取值范围，再进行比较．
探究点二：实数的估算和大小比较
【类型三】 平方法
TB:小初高题库
湘教版初中数学
比较 2 3与 3 2的大小． 解析：两个数都是正数，把它们分别 平方后再比较大小． 解 ： ∵(2 3)2＝ 12， (3 2)2＝ 18， 又 ∵12<18，∴2 3<3 2. 方法总结：平方法：比较含有无理数 的式子的大小时，先将要比较的两个数分 别平方，再根据“在 a＞0，b＞0 时，可由 a2＞b2 得到 a＞b”比较大小．也就是说， 两个正数比较大小时，如果一个数的平方 比另一个数的平方大，则这个数大于另一 个数． 【类型四】 近似值法
第一章-第2讲-实数的运算与大小比较上课讲义
考点即时练
3．（2013重庆）在3，0，6，－2这四个பைடு நூலகம்中，最大的数为（ ）
A．0
B．6
C．－2
D．3
答案： B
例3．（2013毕节）估计 11 的值在（ ）之间．
考点即时练
5. （2013雅安） 计算： 8 + 2 – 4sin45°－ ( 1 )－1．
3
【答案】原式＝2 2 +2－4 × 2 －3＝2 2 +2 －2 2 －3＝－1．
2
6. （2013•嘉兴）（1）计算：|﹣4|﹣ 9 +（﹣2）0；
【答案】原式=4﹣3+1=2；
考点3：规律探索
例5．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10……这样的数称为“三角形 数”，而把1、4、9、16……这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任 何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式 中，符合这一规律的是( )
【答案】D
例2．下列各数比 -3小的数是（ ） A．0 B．1 C．-4 D．-1
思路分析:首先判断出1＞-3，0＞-3，求出每个数的绝对值，根据两负数比 较大小，其绝对值大的反而小，求出即可。
答案:根据两负数比较大小，其绝对值大的反而小，正数都大于负数，零大于一 切负数， ∴1＞-3，0＞-3， ∵|-3|=3，|-1|=1，|-4|=4， ∴比-3小的数是负数，是-4． 故选C．
【答案】2
【考点精例】
考点1：实数大小比较．
例1．[2013菏泽]如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，其中
实数典型例题和解析
实数典型例题和解析
实数是数学中非常重要的概念，涉及到实数的典型例题和解析
有很多种，我会从不同的角度给出一些例题和解析。
1. 实数的基本性质：
例题，证明实数a和b满足交换律，即a + b = b + a。
解析，根据实数加法的定义，a + b = b + a恒成立。
因为实
数加法满足交换律，所以这个命题成立。
2. 实数的大小比较：
例题，已知a = 3和b = 5，求证a < b。
解析，根据实数大小比较的定义，当a和b是实数且a < b时，必有b a > 0。
所以，5 3 = 2 > 0，因此a < b成立。
3. 实数的运算性质：
例题，计算(√2 + 3)(√2 3)的值。
解析，利用实数的乘法分配律，展开式子得到(√2 + 3)(√2 3) = (√2)^2 3^2 = 2 9 = -7。
4. 实数的绝对值：
例题，求实数-5的绝对值。
解析，实数-5的绝对值记作|-5|，根据绝对值的定义，当x <
0时，|x| = -x。
所以|-5| = -(-5) = 5。
5. 实数的分段函数：
例题，设f(x) = |x 2|，求f(x)的图像。
解析，根据绝对值函数的图像特点，当x < 2时，f(x) = -(x 2)，当x ≥ 2时，f(x) = x 2。
因此，f(x)的图像在x = 2处有转
折点。
以上是一些关于实数的典型例题和解析，涉及到实数的基本性
质、大小比较、运算性质、绝对值和分段函数等方面。
希望这些例题和解析能够帮助你更好地理解实数的概念和性质。
中考数学实数的运算与大小比较复习共时PPT学习教案
第2课时 实数的运算与大小比较
考点三 比较实数大小的常用方 法
3．商值比较法 4．设绝对a，值比b较是法两正实数，则 设 |a|a>，|bb|是>⇔两1a⇔<负b；实a|数>a|，b＝；则|b|⇔a＝＝b1；⇔|aa|<＝|b|b⇔；a>b.
<1⇔a<b.
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第2课时 实数的运算与大小比较
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________.
中考数学实数的运算与大小比较复习共 时
会计学
1
第2课时 实数的运算与大小比较
考点三 比较实数大小的常用方 法
1．数轴比较法: 2设．a差，将值b是比两任较意实法两”数实数分，别则a表－b示>0⇔在a>数b；轴上， a－右b<边0⇔的a<b数；a总－b比＝0左⇔a边＝b的. 数大，两数
表示在同一点则相等．第5源自/共8页第2课时 实数的运算与大小比较
类型之四 探索实数中的规律 命题角度： 1．探究实数运算规律 2．实数运算中阅读理解问题
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第2课时 实数的运算与大小比较
例4 [2010·中山] 阅读下列材料： 1×2＝ (1×2×3－0×1×2)， 2×3＝ (2×3×4－1×2×3)， 3×4＝ (3×4×5－2×3×4)， 由以上三个等式相加，可得 1×2＋2×3＋3×4＝ ×3×4×5＝20. 读完以上材料，请你计算下列各题： (1)1×2＋2×3＋3×4＋…＋10×11(写出过程)； (2)1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×(n＋1)＝________； (3)1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋7×8×9＝
类型之一 实数的运算 命题角度： 1．实数的加减乘除乘方开方运算 2．实数的运算在实际生活中的应用
实数的运算及大小比较详解
温馨提示
1.注意零指数、负整数指数幂的意义，遇到绝对值一般要先去掉绝对值符号再进行计 算.
2.三个重要的非负数a（a≥0）、|a|、a2.
现在是3页\一共有23页\编辑于星期六
(1)(2011·新疆)将(－ 5)0、(－ 3)3、(－cos30°)－2 这三个实数按从
小到大的顺序排列，正确的顺序是( )
A．(－ 3)3＜(－ 5)0＜(－cos30°)－2
B．(－cos30°)－2＜(－ 5)0＜(－ 3)3
C．(－ 5)0＜(－ 3)3＜(－cos30°)－2
D．(－cos30°)－2＜(－ 3)3＜(－ 5)0
(2)(2010·毕节)若|m－3|＋(n＋2)2＝0，则 m＋2n 的值为( )
A．加法交换律
B．加法结合律
C．乘法结合律
D．分配律
【解析】注意已知条件“避免通分”．
【答案】D
15．(2012 中考预测题)下列运算正确的是( )
A. 9＝±3
B．|－3|＝－3
C．－ 9＝－3
D．－32＝9
【解析】 9＝3，A 错；|－3|＝3，B 错；－32＝－9，D 错．
【答案】C
现在是18页\一共有23页\编辑于星期六
现在是19页\一共有23页\编辑于星期六
18．(2010·日照)计算：sin30°－|－2|＝________.
【解析】sin30°－|－2|＝12－2＝－32.
3 【答案】－2
19．(2010 中考变式题)若 x、y 为实数，且|x＋2|＋ y－3＝0，则(x＋ y)2 011 的值为________．
七年级数学下册第6章实数6.2实数第3课时实数的运算及大小比较课件新版沪科版
3. 将下列各数表示在数轴上，并回答问题：
2， 2，5， 5， 9，π 2
（1）将上面几个数用“＜”连接起来；
5
（2）数轴上表示
9
2 和﹣2这两个数的点之间的距离是
___2___. （1） 5＜ 9＜ 2＜ 2＜ 5 ＜π
2
4. 下列各数中，最小的数是（ D ）
A.0
B.1
C.﹣1
D. 2
5. 介于 3 1 和 12 之间的整数是（B ）
随堂练习
1. 下列说法不正确的是（ C ） A.互为相反数的两个实数的和是有理数 B.互为倒数的两个实数的积是有理数 C.绝对值相等的两个实数的差是有理数 D.两个无理数的和可能是有理数
2. 计算： （1） 81 2 3 （精确到个位）； 11 （2）2 3 5 10 0.04 （精确到 0.01）.2.58
在实数运算中,当遇到无理数并且需要求 出结果的近似值时,可以按照所要求的精确度 用相应的近似有限小数去代替无理数,再进行 计算.
例2 在数轴上作出表示下列各数的点，比较它们 的大小，并用“＜”连接它们.
解：
1, 2， 2， 2，2 2 , 5.
2
2 2 2
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 由数轴上各点的位置，得
3 2 3
5 3
实数范围内的运算法则及运算顺序与有 理数范围内是一样的.
例1 近似计算： （1） 3 π （精确到0.01）； （2） 5 7 （精确到0.1）.
解：（1） 3 π 1.732+3.142=4.874 4.87.
（2） 5 7 2.242.65=5.936 5.9.
讨论 下列各式错在哪里?
1 32 3 9 1 =9 3 3=9
第一单元 数与式 实数的大小比较及运算
= 1312 = 3.
第一单元 数与式
【解题模板】
第一单元 数与式
1. 2.
3ห้องสมุดไป่ตู้ 4.
第一单元 数与式
类型二 实数的大小比较
例2 （'13宜宾）下列各数中,最小的数是 ( B )
A. 2
B. -3
C. 1
D.0
3
【小解的析数】 ,只由需正在数-3＞与０＞13 负中数找知即，可要,再在由2,两-3,个负13 ,数0中比找较最 大小,绝对值大的反而小可得结果.
第一单元 数与式
第2课时 实数的大小比较及运算
第一单元 数与式
考点1 实数的运算
１． 四则运算的法则 (1)加法：同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值 相加.异号两数相加,绝对值相等时和为0；绝对值不 等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值 减去较小的绝对值.一个数同０相加,仍得这个数. (2)减法:减去一个数等于加上这个数的① 相反数 . (3)乘法:两数相乘,同号得② 正 ,异号得③ 负 ,
第一单元 数与式
考点2 实数的大小比较
１.数轴比较法:数轴上的两个数右边的数总比左边的 数大. ２.性质比较法:正数大于０和一切负数，负数小于０; 两个负数比较大小,绝对值大的数反而小.如 1 1 ,
5
2 4.
３.作差比较法:(1)a-b＞0 a＞b ;(2)a-b＜０ a＜b ;(3) a-b=０ a =b.
B．|a|＞|b|
C．-a＜-b
D．b-a＞0
C
3.（2012•常德）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各
式正确的是（ ）
A．a+b＞0 B．ab＞0
C．|a|+b＜0 D．a-b＞0
华东师大版八年级上册数学第11章课题2 实数的大小比较及运算
解:原式= 2 × (9 + 2 × 5 − 4)
= 18.94≈18.9 注意：计算过程中要多保留一位!
解：利用计算器得： 2＋ 3≈3.14626437，
∵π≈3.14159265，∴ 2＋ 3＞π.
仿例 直接在横线上填上“＞”“＜”或“＝”．
(1) － 10_＜__3 20； (3) 3 －4_＜__3 －3.33；
(2) 2 5_＞__3 2；
(4)
22＋1_＜__
3＋1 2.
归纳： 实数比较大小的方法： (1)添加根号法或比较平方法：两个同次方根比较大小， 被开方数大的值也大；平方(或立方)后值大的，其根 式值也大； (2)差值比较法：两数相减，将所得差值与零相比．
第11章 数的开方 11.2 实数
课题2 实数输入你的副标题
文字是您思想的提炼
为了最终演示发布的良好效果
请尽量言简意赅的阐述观点
学习目标
1．了解在有理数范围内的有关概念、运算法则、运算律在实数 范围内仍然适用； 2．会正确进行简单实数大小的比较； 3．学会估算并培养估算的意识，能利用化简对实数进行简单的 混合运算．
【学习重点】
会正确进行简单实数大小的比较，培养估算意识．
【学习难点】
培养估算意识，能利用化简对实数进行简单的混合运算．
情景导入
1．回想有理数的相反数、倒数、绝对值的概念． 2．实数与数轴上的点有什么关系？(一一对应) 3．数轴上的点表示的数如何比较大小？有什么特点？
自学互研
知识模块一 实数的性质 阅读教材P10～P11，完成下面的内容： 在有理数范围内的一些概念(如相反数、倒数和绝对值 等)及性质在实数范围内仍然适用，可由此解决下列问 题：
中考数学复习第二节 实数的运算及大小比较
第二节实数的运算及大小比较本节知识导图河北中考命题规律考什么怎么考考点年份题号题型考查方式考频命题趋势实数的大小比较2017 19 填空题与新定义结合，考查比较大小，一元二次方程5年2考实数的运算中常考0次幂和－1次幂，与运算结合的简便运算考查2次，形式新颖灵活；而实数的大小比较常与其他知识结合考查，不单独考查．预计2020年实数的运算及大小比较仍会继续考查2016 11 选择题结合数轴比较两数的大小，并判断代数式的正负实数的运算2019 20 解答题填运算符号并计算，比较结果的大小5年5考2018 10④选择题涉及2的0次幂2016 17 填空题8的立方根2015 2C选择题1的立方根河北中考考题试做实数的大小比较1．(2016·河北中考)点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b.对于以下结论：甲：b－a<0; 乙：a＋b>0；丙：|a|<|b|; 丁：b a>0.其中正确的是(C)A．甲乙B．丙丁C．甲丙D．乙丁2．(2017·河北中考)对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1. 因此，min{－2，－3}＝__－3__；若min{(x－1)2，x2}＝1，则__－1或2__．实数的运算类型一纯运算3．(2017·河北中考)下列运算结果为正数的是(A)A．(－3)2B．－3÷2C．0×(－2 017) D．2－34．(2016·河北中考)计算：－(－1)＝(D)A．±1 B．－2 C．－1 D．15．(2015·河北中考)计算：3－2×(－1)＝(A)A．5 B．1 C．－1 D．66．(2017·河北中考)如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是(D) A．4＋4－4＝6B．4＋40＋40＝6C．4＋34＋4＝6D．4－1÷4＋4＝67．(2019·河北中考)有个填写运算符号的游戏：在“1269”中的每个内，填入＋，－，×，÷中的某一个(可重复使用)，然后计算结果．(1)计算：1＋2－6－9；(2)若1÷2×69＝－6，请推算内的符号；(3)在“126－9”的内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．解：(1)原式＝3－6－9＝－12；(2)∵1÷2×6＝3，∴39＝－6.∴内的符号是“－”；(3)－20.类型二与规律结合8．(2018·河北中考)如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5，－2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．尝试(1)求前4个台阶上数的和是多少？(2)求第5个台阶上的数x是多少？应用求从下到上前31个台阶上数的和；发现试用含k(k为正整数)的式子表示出数“1”所在的台阶数．解：尝试(1)－5－2＋1＋9＝3；(2)由题意，得－5－2＋1＋9＝－2＋1＋9＋x.解得x＝－5；应用与(2)同理，得第6个到第8个台阶上的数依次是－2，1，9，可见台阶上的数从下到上按－5，－2，1，9四个数依次循环排列．∵31＝7×4＋3，∴前31个台阶上数的和为7×3＋(－5－2＋1)＝15； 发现 4k －1.类型三 与数轴结合 9．(2019·唐山路南区模拟)已知有理数－3，1.(1)在如图所示的数轴上，标出表示这两个数的点，并分别用A ，B 表示；(2)若|m|＝2，在数轴上表示数m 的点介于点A ，B 之间；表示数n 的点在点A 右侧且到点B 距离为6. ①计算m ＋n －mn ；②解关于x 的不等式mx ＋3＜n ，并把解集表示在所给数轴上．解析：本题考查数轴与不等式的应用．(1)在数轴上表示出两点；(2)根据题目条件确定m ，n 的值．①代入m ，n 的值计算代数式的值；②代入m ，n 的值解不等式，并把解集在数轴上表示出来．解：(1)如图所示； (2)∵|m|＝2，∴m ＝±2.∵数m 的点介于点A ，B 之间，∴m ＝－2. ∵数n 在点A 右侧且到点B 距离为6，∴n ＝7. ①m ＋n －mn ＝－2＋7－(－2)×7＝5＋14＝19； ②由－2x ＋3＜7，解得x ＞－2.在数轴上表示：类型四 根据已知方法进行运算 10．(2016·河北中考)利用运算律有时能进行简便计算．例1 98×12＝(100－2)×12＝1 200－24 ＝1 176；例2 －16×233＋17×233＝(－16＋17)×233 ＝233.请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： (1)999×(－15)；(2)999×11845＋999×⎝⎛⎭⎫－15－999×1835. 解：(1)原式＝(1 000－1)×(－15) ＝－15 000＋15＝－14 985；(2)原式＝999×⎣⎡⎦⎤11845＋⎝⎛⎭⎫－15－1835 ＝999×100＝99 900.平方根与立方根11．(2013·河北中考)下列运算中，正确的是( D )A .9＝±3B .3－8＝2C ．(－2)0＝0D ．2－1＝1212．(2016·河北中考)8的立方根为__2__．中考考点清单实数的运算1．加法：同号两数相加，取__相同__的符号，并把绝对值__相加__．异号两数相加，绝对值相等时和为__0__；绝对值不相等时，取__绝对值较大加数__的符号，并用较大的绝对值__减去__较小的绝对值．一个数同0相加，__仍得这个数__．2．减法：减去一个数，等于加上这个数的__相反数__．3．乘法：两数相乘，同号得__正__，异号得__负__，并把绝对值相乘．任何数同0相乘，仍得0. 4．除法：除以一个数(不等于0)等于乘这个数的__倒数__． 5．乘方：求n 个__相同因数__的积的运算叫做乘方．6．混合运算的顺序：有括号的先算__括号里面的__，无括号则先算__乘方或开方__，再算__乘除__，最后算__加减__，同级运算则按__从左到右__顺序依次计算．7．有理数的一切运算性质和运算律都适用于__实数__运算． 8．运算律(1)加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)加法结合律：a ＋b ＋c ＝(a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c)； (3)乘法交换律：ab ＝ba ；(4)乘法结合律：(ab)c ＝a(bc)；(5)(乘法对加法的)分配律：a(b ＋c)＝ab ＋ac.【方法点拨】实数运算四步：(1)观察运算种类；(2)确定运算顺序；(3)把握每个小单元的运算法则及符号；(4)灵活运用运算律．零次幂、负整数指数幂9．若a ≠0，则a 0＝__1__；若a ≠0，n 为正整数，则a －n ＝__1an __．【易错警示】(1)防止出现以下类似的错误：①3－2＝－19；②2a －2＝12a 2；(2)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．特别地，－1的奇次幂为－1，偶次幂为1，如(－1)3＝－1，(－1)2＝1.实数的大小比较与非负数的性质10．实数的大小比较(1)数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．(2)性质比较法：①正数＞0＞负数；②两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．在一组数中，求最大的数时，一般在正数中找，求最小的数时，一般在负数中找．(3)差值比较法：a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＜0⇔a ＜b ；a －b ＝0⇔a ＝b.(4)平方比较法：a 2＞b ⇔a ＞b(a ＞0，b ＞0)(主要应用于无理数估算及含有无理数的大小比较)． (5)立方比较法：a 3＞b ⇔a ＞3b.11．非负数：常见的非负数有a 2，|a|，a(a ≥0)，最小的非负数是0. 若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0.例如a 2＋|b|＋c ＝0，则a 2＝|b|＝c ＝0，有a ＝0，b ＝0，c ＝0，反之亦然．平方根、算术平方根、立方根及其性质12．平方根、算术平方根、立方根⎩⎪⎨⎪⎧a 的平方根为⎩⎨⎧±a （a ≥0），其中 a 为a 的算术平方根无意义（a<0）a 的立方根为3a （a 为任意实数）13．平方根的性质：(1)正数有两个平方根，它们互为相反数；(2)0的平方根是0；(3)负数没有平方根．14．立方根的性质：任意一实数都有立方根，且立方根与该实数符号相同；3a3＝__a__，(3a)3＝__a__，3－a＝__－3a__．典题精讲精练实数的运算【例1】(2019·陕西中考)计算：－2×3－27＋|1－3|－(12)－2.【解析】本题考查实数的混合运算．先求立方根，根据绝对值的概念去掉绝对值符号，写出负整数指数幂，再进行实数的混合运算．【解答】解：原式＝－2×(－3)＋(3－1)－4＝6＋3－5＝1＋ 3.1．(2019·淄博中考)比－2小1的数是(A)A．－3 B．3 C．－1 D．12．(2019·石家庄内四区模拟)下列运算结果是负数的是(D)A．(－2)×(－3) B．(－3＋2)2C．2－3D．－(－2)＋(－3)实数的大小比较【例2】(2019·扬州中考)下列各数中，小于－2的数是(A)A．－ 5 B．－ 3C．－ 2 D．－1【解析】本题考查实数的大小比较．比－2小的数应该是负数，且绝对值大于2的数，分析各选项可得－5＜－2＜－3＜－2＜－1.3．在－2，－1，0，1这四个数中，最小的数是(A)A．－2 B．－1 C．0 D．14．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是(B)A．|a|>4 B．c－b>0 C．ac>0 D．a＋c>0与数轴有关的运算【例3】如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为－10，OB＝3OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动(点M，N同时出发)．(1)数轴上点B对应的数是________；(2)经过几秒，点M，N到原点O的距离相等？【解析】(1)根据点A 表示的数及OB ＝3OA 可得点B 表示的数；(2)设运动时间为t s ．根据“路程＝速度×时间”可得点M ，N 在数轴上表示的数，分两种情况求出t 的值．【解答】解：(1)30；[∵点A 表示的数为－10，∴OA ＝10.∵OB ＝3OA ，∴OB ＝30.∴点B 对应的数是30.] (2)设运动时间为t s ，则点M 在数轴上表示的数为－10＋3t ，点N 在数轴上表示的数为2t.当M ，N 分别位于原点两侧时，由点M ，N 到原点的距离相等可得－10＋3t ＋2t ＝0，解得t ＝2； 当M ，N 位于原点同侧，即在原点右侧M ，N 两点重合时，－10＋3t ＝2t ，解得t ＝10. ∴经过2 s 或10 s ，点M ，N 到原点O 的距离相等．5．如图，数轴上a ，b ，c 三个数所对应的点分别为A ，B ，C ，已知b 是最小的正整数，且a ，c 满足(c －6)2＋|a ＋2|＝0.(1)求代数式a 2＋c 2－2ac 的值；(2)若将数轴折叠，使得点A 与点B 重合，则与点C 重合的点表示的数是________； (3)请在数轴上确定一点D ，使得AD ＝2BD ，则点D 表示的数是________．解：(1)∵(c －6)2＋|a ＋2|＝0，∴a ＋2＝0，c －6＝0，解得a ＝－2，c ＝6. ∴a 2＋c 2－2ac ＝4＋36＋24＝64；(2)－7；[∵b 是最小的正整数，∴b ＝1. ∵(－2＋1)÷2＝－0.5，∴6－(－0.5)＝6.5，－0.5－6.5＝－7.∴点C 与数－7表示的点重合．](3)0 或4.[设点D 表示的数为x.若点D 在点A 的左侧，则－2－x ＝2(1－x)，解得x ＝4(舍去)；若点D 在A ，B 之间，则x －(－2)＝2(1－x)，解得x ＝0；若点D 在点B 的右侧，则x －(－2)＝2(x －1)，解得x ＝4.综上所述，点D 表示的数是0或4.]平方根、算术平方根与立方根【例4】(1)4的平方根是±2； (2)3－27的绝对值是3； (3)|－9|的平方根是±3.【解析】根据平方根、立方根的定义和绝对值的性质求解填空．6．－18的立方根是－12.请完成限时训练A 本P A 3，选做B 本P B 2～B 3。
第2讲 实数的运算及大小比较
解：方方的计算过程不正确 ， 正确的计算过程如 下： 3 2 1 原式＝ 6÷ － ＋ ＝ 6÷ － ＝ 6× (－ 6)＝－ 36. 6 6 6
(2)(10 分 )(2016· 河北 ) 请你参考黑板中老师的讲 解，用运算律简便计算：
3 ．在实数范围内的运算顺序：先算 乘方 ( 或开 方) ， 再算 乘除 ， 最后算 加减 ， 如有括号的先算 括 号里面的 ，按小括号、中括号、大括号依次进行．同 级运算，从 左 到 右 依次进行计算．
考点二
零次幂、负整数指数幂
p
若 a≠0，则 a0＝ 1 ；若 a≠0，p 为正整数，则
a ＝
考点四
实数非负数性质的应用
若 n 个非负数的和为 0， 则这 n 个非负数同 时为 0.如|a|＋b ＋ c＝0，则 a＝b＝c＝0. 温馨提示： 实数中三种重要的非负数形式：|a| ≥ b ≥ 0,
2 2
0，
c ≥ 0(c≥0)，其中 a，b，c 可以表
示一个字母或数，也可以表示一个式子．
考点一 例 1 ( B ) A．3＞7 C．0＜－2
6
D． 7
7
【解析】根据乘方的定义，刀鞘数为 7× 7× 7× 7× 7× 7＝ 7 .故选 C． 【答案】 C
6
6．下列计算错误的是( A．4÷(－2)＝－2 C．(－2) 2＝4
－
) B．4－5＝－1 D．2 0140＝1
7． (2016· 自贡 )若 a－1＋ b2－4b＋ 4＝ 0，则 ab 的值等于( A．－2 ) B．0 C．1 D．2
－1 1 0 － 8－(2 016－π) ＋2 .
实数的大小比较及运算
实数的大小比较及运算好嘞，今天咱们就聊聊实数的大小比较和运算，别担心，这可不是教科书里那种枯燥乏味的东西。
想象一下，实数就像一群五光十色的小精灵，大小不一，性格各异，今天我们就要看看它们之间的那些趣事。
咱们说说大小比较。
实数啊，就像一场聚会，大家都在比谁更高、更低。
比如说，想象一下你的朋友小明和小红。
小明说：“我有5块钱！”小红立刻来了一句：“我才有3块！”这时候，小明脸上那种得意的笑容，简直像拿了冠军一样。
这就是在比较大小嘛，简单明了。
用数字来说，小明的5大于小红的3。
这就是实数的魅力所在，没什么好争的，直接比数字就行。
但是呀，生活可不止是简单的数字游戏。
那天我在咖啡店，看到一个姑娘在点咖啡，她说：“我想要一杯2.5美金的拿铁。
”旁边的哥们儿听了，眼睛一亮：“那我来一杯3.5美金的摩卡。
”这时候，坐在桌子旁的我默默地想，哎呀，这俩人可真是让人捧腹啊。
3.5大于2.5，没错，但要是你再想想，一杯2.5的咖啡，喝着也不错呀，简单生活嘛。
说到运算，咱们可不能忽视加减乘除的乐趣。
就拿加法来说吧，假如你有3块钱，我有4块钱，咱们一起去买冰淇淋，哈哈，听起来美滋滋的。
这时候，我们就把3和4加在一起，结果是7。
这就像是在一起分享快乐，数字加起来，幸福加倍。
不过，要是你一口气吃了我的冰淇淋，那我可就不乐意了，这就是减法的悲伤了。
想象一下，我只剩下2块钱，你却把我的冰淇淋吃得干干净净，心里那个怨气啊，真是没得说。
再说乘法，咱们把这事儿想象成扩张。
比如你想要做生意，你卖一块钱的饼干，今天卖了5个，那就赚了5块钱。
这可是生意兴隆的好兆头呀，乘法就像是给你加了杠杆，让你财富翻倍。
听起来不错吧？可是，得注意，不能只想着赚钱，还得想着花钱。
咱们有时候也得把自己的一些实数乘以0，哈哈，这就意味着你一分钱没了，生活有时候就是这么奇妙。
实数的运算可不止这些，看看除法吧。
当你把10块钱分给5个朋友，每个人就得2块。
简单吧？可是，假如分不均呢？这时候，可能就要出现一些纠纷了。
2.第2课时 实数的运算及大小比较
(D)
A. 0 B. － 2 C. |－3| D. －1
【解析】|－3|＝3，根据实数比较大小的方
法，可得- 2 ＜－1＜0＜3，所以在实数0、 - 2 、|－3|、－1中，最小的是- 2 .
练习2 比较大小：－2 7 __<____－3 3 .
类别比较法：正数>0>负数；两个负数比较大小， 绝对值大的② 大
平方比较法：若a >b>0,则 a > b
加法
同号两数相加：取相同的符号，并把绝 对值 ③ 相加 .
异号两数相加：取绝对值较大的加数符号，并用较 大的绝对值④ 减去 较小的绝对值，互为相反数 的两个数相加得⑤ 0 .
减法：a - b =a +⑥ (-b) . a·b=a b;(-a )·(-b)=⑦ ab ;
•2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独
立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3考月2点022清/3/3单2022/3/32022/重3/3难3/3/点202突2 破
精练习题
•3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022
⑬ a-b (a>b)
0
(a=b)
⑭ b-a -1的奇偶次幂：（-1) n =
常用的开方
开平方 开立方
(a<b) ⑮ 1 , n为偶数 -1，n为奇数
1、先乘方，再乘除，后加减
2、同级运算按从左到右进行
3、如有括号先做括号内的运算，按小括 号、中括号、大括号的顺序依次进行
中考数学复习考点知识讲解与提升强化训练2---实数的运算及大小比较(解析版)
中考数学复习考点知识讲解与提升强化训练第02讲 实数的运算及大小比较1．实数的大小比较(1)数轴比较法：数轴上的两个数，右_边的数总大于_左__边的数； (2)代数比较法：正数＞0＞负数；两个负数，绝对值大的反而_小__； (3)差值比较法：①a －b ＞0⇔a ＞b ；②a －b ＝0⇔a ＝b ； ③a －b ＜0⇔a ＜b ；(4)求商比较法：若b ＞0，则①ab ＞1⇔a ＞b ； ②a b ＝1⇔a ＝b ；③a b ＜1⇔a ＜b ；(5)倒数比较法：若1a ＞1b 且a 与b 同号时，a ＜b ； (6)平方比较法：对于任意正实数a ，b 有a 2＞b ⇔a ＞ b. 3.非负数(1)常见非负数：|a|，a 2，a (a≥0)；(2)若几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0. 4．实数的运算(1)零指数幂：a 0＝1(a≠0)； (2)负整数指数幂：a －p＝1a p (a≠0)；(3)去绝对值符号：|a －b|＝⎩⎨⎧a －b （a>b ）0 （a ＝b ）；b －a （a<b ）(4)－1的奇偶次幂：(－1)n＝⎩⎨⎧ 1 ，n 为偶数－1，n 为奇数；注意：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂为正数． (5)实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算_乘除，最后算_加减_，如果有括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号，同级运算应_从左到右_依次计算．考点1： 实数的大小比较【例题1】（2018•咸宁）写出一个比2大比3小的无理数（用含根号的式子表示） ． 【答案】【解析】：∵4＜5＜9，∴2＜＜3，即为比2大比3小的无理数．故答案为．归纳：两个实数比较大小，先将两个数化简成易于比较的同类数，再进行比较． 考点2： 实数的运算【例题2】(2018·石家庄十八县大联考)嘉琪在做家庭作业时，不小心将墨汁弄倒，恰好覆盖了题目的一部分：计算：(－7)0＋|1－3|＋(33)－1－□＋(－1)2 018. 经询问，王老师告诉题目的正确答案是1. (1)求被覆盖的这个数是多少？(2)若这个数恰好等于2tan(α－15)°，其中α为三角形一内角，求α的值． 【解析】：(1)原式＝1＋3－1＋3－□＋1＝1， ∴□＝1＋3－1＋3＋1－1＝2 3. (2)∵α为三角形一内角， ∴0<α<180.∴－15°<(α－15)°<165°.∵2tan(α－15)°＝23，∴(α－15)°＝60°.∴α＝75.归纳：考查实数的运算，先分别计算出每一项的值，再根据实数混合运算的顺序进行计算，即先乘除，再加减，同级运算，按从左向右进行计算．一、选择题：1. （山东滨州1，3分）21-等于（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【答案】B．【解答】解：112-=-，故选择B ．2. （江苏省扬州市，1，3分）与-2的乘积为1的数是( )A．2 B．-2 C．12D．12【答案】D【解答】解：与-2乘积为1的数就是-2的倒数，等于12，故选择D ．3. （江苏省淮安市，6，371+的值( ).A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间【答案】C．【解答】解：∵4<7<9 479即27＜3 ∴2+17+1＜3+1 ∴37+1＜4，故选择C．4. （2018•福建）在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，最小的数是（ ） A ．|﹣3| B ．﹣2 C ．0D ．π【答案】B【解答】解：在实数|﹣3|，﹣2，0，π中， |﹣3|=3，则﹣2＜0＜|﹣3|＜π， 故最小的数是：﹣2． 故选：B ．5. （江苏泰州，6，3分）实数a 、b 满足044122=++++b ab a a ，则a b 的值为 A ．2 B ．21 C ．−2 D ．−21 【答案】B【解答】解：由题意：2(2)0a b ++=，所以1020a a b +=⎧⎨+=⎩，解之得12a b =-⎧⎨=⎩，所以1122a b -==，故选择B ． 二、填空题：6. （ 河南省，9，3分）计算：._________8)2(30=-- 【答案】-1【解答】解：（-2）0 -38=1-2 = -1，故答案为-1 .7. （2019•浙江嘉兴•4分）数轴上有两个实数a ，b ，且a ＞0，b ＜0，a+b ＜0，则四个数a ，b ，﹣a ，﹣b 的大小关系为 （用“＜”号连接）． 【答案】b ＜﹣a ＜a ＜﹣b【解析】解：∵a ＞0，b ＜0，a+b ＜0， ∴|b|＞a ，∴﹣b ＞a ，b ＜﹣a ，∴四个数a ，b ，﹣a ，﹣b 的大小关系为b ＜﹣a ＜a ＜﹣b ． 故答案为：b ＜﹣a ＜a ＜﹣b8. （ 湖北省十堰市，12，3分）计算：|38-4|-（21）-2=______________【答案】-2【解答】解：（21）-2=|2-4|-211()2=|-2|-4=-2 . 9. （山东滨州18，4分）下列式子：22131=+⨯ 28197=+⨯ 22612725=+⨯ 28018179=+⨯ ……可猜想第个式子为 ． 【答案】201620162016(32)3131-⨯+=-【解答】解：观察每个式子的第二个数依次是3，9，27，81这些数分别是13，23，33，43，因此第个式子的第2个数是20163，每个式子的第一个数总是比第2个数小2，因此第个式子的第1个数是201632-，每个式子的最后一个数总比第2个数小1，因此第个式子的最后一个数是201631-，所以第个式子是201620162016(32)3131-⨯+=-． 故答案为：201620162016(32)3131-⨯+=- 三、解答题：10. (2019•云南•6分)计算：1021453--+---）（）（π．【分析】原式利用乘方，零指数幂、算术平方根、负整数指数幂法则计算即可求出值．【解析】解：原式＝9＋1－2－1＝7．11. （广东茂名，16，7分）计算：（－1）+8－2-－（π－3.14）0.【提示】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握乘方的意义、二次根式的化简、绝对值的意义、零整数指数幂的值和同类二次根式的合并法则．先分别计算（－1）、8、2-、（π－3.14）0的值，然后再进行实数、二次根式加减运算. 【解答】解：原式=1+22－2－1=22－2= 2 . 12. （江苏省扬州市，19（1），4分）计算：21()126cos303；【提示】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是正确化简负整数指数幂、锐角三角函数值、二次根式等运算．本题先逐个化简负整数指数幂、锐角三角函数值、二次根式，再按照运算顺序计算． 【解答】解：原式=9﹣23+6×32=9﹣23+33=9+3； 13. （江苏省宿迁市，17，6分）计算：4)12(330sin 201--++︒-【提示】根据特殊角的三角函数值，负指数、零指数幂的运算及算术平方根分别计算即可.【解答】解：原式=2×111-223++=31．14. （2019•甘肃武威•6分）计算：（﹣2）2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0【分析】先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 【解答】解：（﹣2）2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0， ＝4﹣（2﹣）﹣2×+1，＝4﹣2+﹣+1， ＝3．。
2022年湘教版八上《实数的运算和大小比较》立体课件(公开课版)
y(km)
600 D
500
400
A
B
300
30°
C
200
P
100
0 100 200 300 400 500 600 700
X(km)
2.如图,OP是⊙O的半 径,∠POT=60°,
OT交⊙O于S点.
(1)过点P作⊙O的切线.
(2)过点P的切线交OT于Q,判 断S是不是OQ的中点,并说明 理由.
T
Q S
两个⑴半条径件缺一不⑵可外：端①过半⑶径垂外直端
②垂直于这条半径。
做一做：
ＡO B
如图ＡＢ是⊙Ｏ的直径，请分别过Ａ，Ｂ作⊙Ｏ的切线．
例1.已知:如图A是⊙O外一点,AO的延长线交⊙O于点C,点B在圆上,且 AB=BC,∠A=30°.求证:直线AB是⊙O的切线
证明：连结OB
∵OB=OC，AB=BC，∠A=30°
DA
O
E
C
B
切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线 这个定理不仅可以用来判定圆的切线,还可以依据它来画切线.
在判定切线的时候,如果已知点在圆上,则连半径是常用的辅助线
例3、如图已知直线AB过⊙O上的 点C，并且OA＝OB，CA＝CB
求证：直线ＡＢ是⊙O的切线
Ｏ
A
B
C
连结OC
（7） 1 ·a = a ·1 = a ；
（8）a(b+c) = ab+ac（乘法对于加法的分配律）， (b+c)a = ba+ca （乘法对于加法的分配律）；
（9）实数的减法运算规定为a-b = a+ (-b) ； （10）对于每一个非零实数a，存在一个实数b，满足
实数相关的知识点总结
实数相关的知识点总结一、实数的定义实数是代数数的一种，它包括有理数和无理数两部分。
有理数是可以用分数表示的实数，包括整数和分数。
整数包括正整数、负整数和零；分数是一个整数除以另一个整数得到的数。
无理数是不能用分数表示的实数，它包括无限不循环小数和根号形式的数。
二、实数的性质1. 实数的四则运算实数具有加、减、乘、除四种基本运算，它们满足交换律、结合律、分配律和分配律等基本性质。
2. 实数的大小比较实数可以进行大小的比较，如果a>b，则称a大于b；如果a<b，则称a小于b；如果a=b，则称a等于b。
实数的大小比较遵循不等关系的性质。
3. 实数的绝对值实数a的绝对值是指a到原点O的距离，记作|a|。
当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|=-a。
4. 实数的乘方与开方实数的n次乘方是指将实数a连乘n次，记作a^n；实数的n次开方是指将实数a的n次方根号，记作a^(1/n)。
5. 实数的分数与百分数分数是指两个整数相除的结果，分数的大小可以通过分子与分母的大小来进行比较；百分数是指将一个数表示为百分数的形式，例如75%表示75/100。
三、实数的表示方式1. 实数的有理数表示有理数可以用分数的形式表示，例如-3/4、2/3等，也可以用小数的形式表示，例如-0.75、0.6666等。
2. 实数的无理数表示无理数通常用根号的形式表示，例如√2、√3等，也可以用小数的形式表示，但是无理数的小数表示是无限不循环小数。
3. 实数的坐标表示实数可以通过数轴上的点来进行表示，数轴上的原点O代表0，数轴上的其他点分别表示正数和负数。
四、实数的运算1. 实数的加法实数的加法是指两个实数相加的运算，满足交换律和结合律的性质。
2. 实数的减法实数的减法是指两个实数相减的运算，满足交换律和结合律的性质。
3. 实数的乘法实数的乘法是指两个实数相乘的运算，满足交换律和结合律的性质。
4. 实数的除法实数的除法是指一个实数除以另一个实数的运算，要求被除数不等于0，满足分配律和除不尽的性质。
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第2讲┃ 归类示例
关于数式规律性问题的一般解题思路：(1)先对给 出的特殊数式进行观察、比较；(2)根据观察猜想、归 纳出一般规律；(3)用得到的规律去解决其他问题．
其他方法
除此之外，还有平方法、倒数法等方法
第2讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 实数的运算 命题角度： 1．实数的加减乘除乘方开方运算； 2．实数的运算在实际生活中的应用． 例1 [2013·连云港] 计算：
9－－510＋(－1)2012.
[解析] 由 9＝3，－150＝1，(－1)2012＝1 可顺利求解．
解：原式＝3－1＋1＝3.
第2讲┃ 归类示例
(1)在进行实数的混合运算时，首先要明确与 实数有关的概念、性质、运算法则和运算律，要弄 清按怎样的运算顺序进行．中考中常常把绝对值、 锐角三角函数、二次根式结合在一起考查．
(2)要注意零指数幂和负指数幂的意义．负指数
幂的运算： (a≠0，且p是正整数)，零指数幂 的运算： ＝1(a≠0)．
第2讲┃实数的运算与实数的大小比较
第2讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 实数的运算
内容
提醒
在实数范围内，加、减、乘、除
运 (除数不为零)、乘方都可以进行，
算
但开方运算不一定能进行，正实 (1)零指数、负整数指
法
数和零能进行开方运算，而负 数的意义，防止以下
则
实数只能开奇次方，不能开偶次 错误：①3－2＝ ；
例3 [2013·聊城]在如图2－1所示的数轴上，点B与 点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是√3和－1， 则点C所对应的实数是( D )
图2－1
A．1＋√3 B．2＋√3 C．2√3－1 D．2√3＋1
第2讲┃ 归类示例
[解析] 设点 C 所对应的实数是x， 则有x－√3＝√3－(－1)，解得x＝2√3＋1.
命题角度：
1. 2.
探究实数运算规律； 实数运算中阅读理解问题．第
1
个等式：a1＝1×1 3＝12×1－13；
例4 [2013·广东] 观察下列 第 2 个等式：a2＝3×1 5＝12×13－51；
等式：
第 3 个等式：a3＝5×1 7＝12×15－71；
第 4 个等式：a4＝7×1 9＝12×17－91； …
第2讲┃ 归类示例
► 类型之二 实数的大小比较
命题角度： 1．利用实数的比较大小法则比较大小； 2．实数的大小比较常用方法．
例 2 当 0<x<1 时，x2，x，1x的大小顺序是( C ) A.1x<x<x2 B.x1<x2<x C．x2<x<1x D．x<x2<1x
第2讲┃ 归类示例
[解析] 解法一：采用“特殊值法”来解，令 x
两个实数的大小比较方法有：(1)正数大于零， 负数小于零；(2)利用数轴；(3)差值比较法；(4)商 值比较法；(5)倒数法；(6)取特殊值法，(7)计算器 比较法等．
第2讲┃ 归类示例
► 类型之三 实数与数轴
命题角度： 1．实数与数轴上的点一一对应关系； 2．数轴与相反数、倒数、绝对值等概念结合； 3．数轴与实数大小比较、实数运算结合； 4．利用数轴进行代数式的化简．
第2讲┃ 归类示例
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：a5＝__9×_1_1_1___＝
___12_×__19_－_1_11_______；
(2)用含n的代数式表示第n个等式：an＝ （_2n_－__1_）_×_1_（__2_n＋__1_）__＝_12_×__2_n_1－_1_－__2_n_1＋_1___(n为正整数)；
(3)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．
第2讲┃ 归类示例
(3) a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100 ＝12×1－13＋12×13－15＋12×15－17＋12×17－19＋…＋12× 1199－2101 ＝12×1－13＋13－15＋15－17＋17－19 ＋ …＋1199－2101 ＝12×1－13＋13－15＋15－17＋71－19＋…＋1199－2101 ＝12×1－2101＝12×220010＝120001.
差值比较法
设a, b是任意两实数，则a－b>0⇔a>b；a－ b<0⇔a<b；a－b＝0⇔a＝b
商值比较法
设a, b是两正实数，则 a/b >1⇔a>b； a/b ＝1⇔a＝b； a/b <1⇔a<b
绝对值比较 设a, b是两负实数，则|a|>|b|⇔a<b；|a|＝
法
|b|⇔a＝b；|a|<|b|⇔a>b
方
②2a－2＝
(2)遇
运算性质
有理数的一切运算性质的运算律 都适用于实数运算
到绝对值一般要先去 掉绝对值符号，再进 行计算；(3)无论何种
运
先算乘方、开方，再算乘除，最 运算，都要注意先定
算
后算加减，有括号的要先算括号
符号后运算
顺
内的，若没有括号，在同一级运
序
算中，要从左至右依次进行运算
第2讲┃ 考点聚焦 考点2 实数的大小比较
＝12，则 x2＝14， x1＝2，∴1x>x>x2.
解法二：可用“差值比较法”来解，∵当 0<x<1
时，1－x>0, x－1<0, x＋1>0, ∴x－x2＝x(1－x)>0,
∴x>x2.
又
x
－
1 x
＝
x2－1 x
＝
（x＋1）（x－1） x
<0,
∴x<x1， ∴x2<x<1x.
第2讲┃ 归类示例
第2讲┃ 归类示例
(1)互为相反数所表示的点关于原点对称； (2)绝对值相等的数所表示的点到原点的距离相等； (3)实数与数轴上的点一一对应，故而常将实数及表示实 数的字母在数轴上表示出来，然后结合相反数、绝对值及数 轴上数的符号特征等相关知识来解决实数的有关问题．
第2讲┃ 归类示例
► 类型之四 探索实数中的规律
代数比较 规则
正数__大__于____零，负数_小__于___零，正 数__大__于____一切负数；两个正数，绝 对值大的较大；两个负数，绝对值大
的反而__小______
几何比较 在数轴上表示的两个实数，__右__边____
规则
的数总是大于__左__边____的数
第2讲┃ 考点聚焦
考点3 比较实数大小的常用方法