【高考精品复习】第三篇 导数及其应用 第3讲 导数的应用(二)

第3讲导数的应用(二)

【高考会这样考】

1．利用导数求函数的极值．

2．利用导数求函数闭区间上的最值．

3．利用导数解决某些实际问题．

【复习指导】

本讲复习时，应注重导数在研究函数极值与最值中的工具性作用，会将一些实际问题抽象为数学模型，从而用导数去解决．复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用.

基础梳理

1．函数的极值

(1)判断f(x0)是极值的方法

一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．

(2)求可导函数极值的步骤

①求f′(x)；

②求方程f′(x)＝0的根；

③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．

2．函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

①求f(x)在(a，b)内的极值；

②将f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

3．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤

(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )； (2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；

(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；

(4)回归实际问题作答．

两个注意

(1)注意实际问题中函数定义域的确定．

(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较． 三个防范

(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念． (2)f ′(x 0)＝0是y ＝f (x )在x ＝x 0取极值的既不充分也不必要条件． 如①y ＝|x |在x ＝0处取得极小值，但在x ＝0处不可导； ②f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是f (x )＝x 3的极值点．

(3)若y ＝f (x )可导，则f ′(x 0)＝0是f (x )在x ＝x 0处取极值的必要条件．

双基自测

1．(2011·福建)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )． A ．2 B ．3 C ．6 D ．9

解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，由函数f (x )在x ＝1处有极值，可知函数f (x )在x ＝1处的导数值为零，12－2a －2b ＝0，所以a ＋b ＝6，由题意知a ，b 都是正实数，所以ab ≤⎝

⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622

＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取到等号． 答案 D

2．已知函数f(x)＝1

4x

4－

4

3x

3＋2x2，则f(x)()．

A．有极大值，无极小值B．有极大值，有极小值

C．有极小值，无极大值D．无极小值，无极大值

解析f′(x)＝x3－4x2＋4x＝x(x－2)2

f′(x)，f(x)随x变化情况如下

x (－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)

f′(x)－0＋0＋

f(x)

4

3

因此有极小值无极大值．

答案 C

3．(2010·山东)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)

的函数关系式为y＝－1

3x

3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量

为()．

A．13万件B．11万件

C．9万件D．7万件

解析y′＝－x2＋81，令y′＝0解得x＝9(－9舍去)．当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0，则当x＝9时，y取得最大值，故选C.

答案 C

4．(2011·广东)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．

解析f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)

当x＜0时，f′(x)＞0，当0＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0，故当x＝2时取得极小值．

答案 2

5．若函数f(x)＝x2＋a

x＋1

在x＝1处取极值，则a＝________.

解析∵f(x)在x＝1处取极值，∴f′(1)＝0，

又f′(x)＝2x(x＋1)－(x2＋a)

(x＋1)2

，

∴f ′(1)＝

2×1×(1＋1)－(1＋a )

(1＋1)2

＝0，

即2×1×(1＋1)－(1＋a )＝0，故a ＝3. 答案 3

考向一 函数的极值与导数

【例1】►(2011·重庆)设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－1

2对称，且f ′(1)＝0. (1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值．

[审题视点] 由条件x ＝－1

2为y ＝f ′(x )图象的对称轴及f ′(1)＝0求得a ，b 的值，再由f ′(x )的符号求其极值． 解 (1)因f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1， 故f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b . 从而f ′(x )＝6⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋a 62

＋b －a 26，

即y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－a

6对称， 从而由题设条件知－a 6＝－1

2，解得a ＝3.

又由于f ′(1)＝0，即6＋2a ＋b ＝0，解得b ＝－12. (2)由(1)知f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1， f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)． 令f ′(x )＝0，即6(x －1)(x ＋2)＝0， 解得x 1＝－2，x 2＝1.

当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,1)时，f ′(x )＜0， 故f (x )在(－2,1)上为减函数；