解三角形应用举例练习题
2解三角形应用举例
解三角形应用举例1.测量距离：例1.已知船在A 处测得它的南偏东︒30的海面上有一灯塔C ，船以每小时30海里的速度向东南方向航行半小时后到达B 点，于B 处看到灯塔在船的正西方向，此时船和灯塔相距_________海里演变1.某人向正东方向走x 千米后，他向右转︒150，然后朝新方向走3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值为_________演变2.某观测站C 在城A 的南偏西20︒的方向上，由A 城出发有一条公路，走向是南偏东40︒，在C 处测得距C 为31千米的公路上B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D 处，此时C 、D 间距离为21千米，则这人到达A 城还需走_________千米 例 2.如图，我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知m CD 6000=，︒=∠45ACD ，︒=∠75ADC ，目标出现于地面B 处时测得︒=∠30BCD ，︒=∠15BDC ，求炮兵阵地到目标的距离。
（结果保留根号）演变 1.如图，为了测量河对岸A 、B 两点间的距离，在河的这边测得km CD 23=，︒=∠=∠30CDB ADB ，︒=∠60ACD ，︒=∠45ACB ，求A 、B 两点间的距离。
例3.一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15︒相距20里处，随后货轮按北偏西30︒的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45︒，求货轮的速度演变1.如图，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东︒60的C 处，12时20分时测得船在海岛北偏西︒60的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西且距海岛5km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前行，问船速为多少？2.测量角度：例1.如图，在海岸A 处发现北偏东45︒方向，距A 1海里的B 处有一艘走私船，在A处北偏西75︒方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船，奉命以走私船，此时走私船正以10海里／时的速度，从B 处向北偏东30︒方向逃窜，问：辑私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间。
解三角形应用举例
解三角形应用举例一、测量距离问题例1(1)如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为km.答案6 4解析∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32km.在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，由正弦定理，得BC＝DCsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin 45°·sin 30°＝64(km).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB＝64km.∴A，B两点间的距离为64km.(2)如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为m.答案900解析由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ ＝PA.在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900(m)，故PQ＝900 m，∴P，Q两点间的距离为900 m.二、测量高度问题例2如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B 两点间的距离为60 m，则树的高度为m.答案30＋30 3解析在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB ＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－2 4，由正弦定理得PB sin 30°＝AB sin 15°， 所以PB ＝12×606－24＝30(6＋2)， 所以树的高度为PB ·sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m ). 三、测量角度问题例3 已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇.岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？⎝⎛⎭⎫参考数据：sin 38°≈5314，sin 22°≈3314 解 如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为x 海里/小时，结合题意知BC ＝0.5x ，AC ＝5，∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°.由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·ACcos 120°，所以BC 2＝49，所以BC ＝0.5x ＝7， 解得x ＝14.又由正弦定理得sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC＝5×327＝5314， 所以∠ABC ＝38°，又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD ，故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船. 素养提升 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征.从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养.。
第四章 §4.10 解三角形应用举例
一、单项选择题1.如图，设A，B两点在河的两岸，在点A所在河岸边选一定点C，测量AC的距离为50 m，∠ACB＝30°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离是()A．25 2 m B．50 2 mC．25 3 m D．50 3 m2．(2024·咸阳模拟)世界上最大的球形建筑物是位于瑞典斯德哥尔摩的爱立信球形体育馆(瑞典语：Ericsson Globe)，在世界最大的瑞典太阳系模型中，由该体育场代表太阳的位置，其外形像一个大高尔夫球，可容纳16 000名观众观看表演和演唱会，或14 119名观众观看冰上曲棍球．如图，某数学兴趣小组为了测得爱立信球形体育馆的直径，在体育馆外围测得AB＝120 m，BC＝120 m，CD＝80 m，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°(其中A，B，C，D四点共面)，据此可估计该体育馆的直径AD大约为(结果精确到1 m，参考数据：7≈2.646)()A．98 m B．106 mC．117 m D．122 m3.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于()A．30°B．45°C．60°D．75°4.如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(参考数据：2≈1.4，3≈1.7)()A ．7 350 mB ．2 650 mC ．3 650 mD ．4 650 m5．(2023·洛阳模拟)某班课外学习小组利用“镜面反射法”来测量学校内建筑物的高度．步骤如下：①将镜子(平面镜)置于平地上，人后退至从镜中能看到房顶的位置，测量出人与镜子的距离；②将镜子后移，重复①中的操作；③求建筑物高度．如图所示，前后两次人与镜子的距离分别为a 1 m ，a 2 m(a 2>a 1)，两次观测时镜子间的距离为a m ，人的“眼高”为h m ，则建筑物的高度为( )A.ah a 2－a 1m B.a (a 2－a 1)h m C.(a 2－a 1)h a m D.ah 2a 2－a 1m 6．(2023·济南模拟)山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1)，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新．如图2，为了测量科技馆最高点A 与其附近一建筑物楼顶B 之间的距离，无人机在点C 测得点A 和点B 的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D ，此时测得点A 和点B 的俯角分别为45°和60°(A ，B ，C ，D 在同一铅垂面内)，则A ，B 两点之间的距离为( )A ．50 5 米B ．150 米C ．10015 米D ．150 3 米二、多项选择题7．某货轮在A 处测得灯塔B 在北偏东75°方向，距离为12 6 n mile ，测得灯塔C 在北偏西30°方向，距离为8 3 n mile.货轮由A 处向正北方向航行到D 处时，测得灯塔B 在南偏东60°方向，则下列说法正确的是( )A ．A 处与D 处之间的距离是24 n mileB ．灯塔C 与D 处之间的距离是16 n mileC ．灯塔C 在D 处的南偏西30°方向D ．D 处在灯塔B 的北偏西30°方向8.(2024·重庆模拟)解放碑是重庆的地标性建筑，众多游客来此打卡拍照．现某中学数学兴趣小组对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图(如图所示)，A 为解放碑的最顶端，B 为基座(即B 在A 的正下方)，在步行街上(与B 在同一水平面内)选取C ，D 两点，测得CD的长为100 m ．小组成员利用测角仪已测得∠ACB ＝π6，则根据下列各组中的测量数据，能计算出解放碑高度AB 的是( )A ．∠BCD ，∠BDCB ．∠ACD ，∠ADC C ．∠BCD ，∠ACDD ．∠BCD ，∠ADC三、填空题9.中国最早的天文观测仪器叫“圭表”(如图)，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景(影)台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在表上，便在圭上成影．到了周代，使用圭表有了规范，杆子(表)规定为八尺长．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一天内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”(1尺＝10寸)．记“表”的顶部为A ，太阳光线通过顶部A 投影到“圭”上的点为B .同一天内，甲地日影长是乙地日影长的两倍，记甲地中直线AB 与地面所成的角为θ，且tan θ＝83.则甲、乙两地之间的距离约为________千里．10.如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量．已知AB ＝60 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝120 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝150 m ，则cos ∠DEF ＝______.11．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东方向40千米处，则城市B处于危险区的时间为________小时．12.汾阳文峰塔建于明末清初，位于山西省汾阳市城区以东2公里的建昌村，该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位于中国砖结构古塔之首．如图，某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的三个测量基点C，D，E，现测得∠BCD＝30°，∠BDC ＝70°，∠BED＝120°，BE＝17.2 m，DE＝10.32 m，在点C处测得塔顶A的仰角为62°，则塔高AB＝________ m．(结果精确到1 m，参考数据：tan 62°≈1.88，sin 70°≈0.94，144.961 6＝12.04)。
【高二】高二数学解三角形的实际应用举例综合测试题(含答案)
【高二】高二数学解三角形的实际应用举例综合测试题(含答案)解三角形的实际应用举例同步练习1.在△ ABC，下面的公式是正确的（）a.ab＝sinbsinab.asinc＝csinbc、 asin（a＋b）＝csinad。
c2＝a2＋b2－2abcos（a＋b）2．已知三角形的三边长分别为a、b、a2＋ab＋b2，则这个三角形的最大角是（）a、135°b.120°c.60°d.90°3．海上有a、b两个小岛相距10nmile，从a岛望b岛和c岛成60°的视角，从b岛望a岛和c岛成75°角的视角，则b、c间的距离是（）a、 52nmileb。
103nmilec。
1036nmiled。
56N英里4．如下图，为了测量隧道ab的长度，给定下列四组数据，测量应当用数据a、α、a、bb。
α、β、ac.a、b、γd.α、β、γ5.有人以每小时AKM的速度向东走，而南风以每小时AKM的速度吹，那么此人感到的风向为，风速为.6.在△ ABC，tanb=1，Tanc=2，B=100，然后是C=7．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°然后朝着灯塔的方向航行塔的距离是.8.a层和B层之间的距离为20m。
B栋底部至a栋顶部的仰角为60°，a栋顶部至B栋顶部的俯角为300。
那么a层和B层的高度分别为9．在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔沿直线行走30米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔前进103米，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔高是米.10.在△ ABC，确认cos2aa2-cos2bb2=1a2-1b211．欲测河的宽度，在一岸边选定a、b两点，望对岸的标记物c，测得∠cab＝45°，∠cba＝75°，ab＝120m，求河宽.（精确到0.01m）12.a船在a，B船在a船以东偏南45°，距离a船9海里，以20海里/小时的速度向西偏南15度行驶。
三角形全等例题+练习(常用方法)
B
DE C
7
典型例题 5．翻折法 若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．
例 5．如图（8）已知：在△ABC 中，∠A=45º, AD⊥BC，若 BD=3，DC=2， 求：△ABC 的面积．
A
E
F
B DC
G
针对练习 1：如图２所示，已知 ABC 中， AC BC ， ACB 90 ， BD 平分 ABC ， 求证： AB BC CD 。
0
60
，
C
400
，P，Q
分别在
BC，CA
上，并且
AP
、BQ 分别是 BAC ， ABC 的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP
A
B Q
P
C
截长补短 4、如图，在四边形 ABCD 中，BC＞BA,AD＝CD，BD 平分 ABC ， 求证： A C 1800
A D
B
C
截长补短 5、如图在△ABC 中，AB＞AC，∠1＝∠2，P 为 AD 上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC
∠MBN 60 ，∠MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD，DC （或它们的延长线）于
E，F ． 当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时（如图 1），易证 AE CF EF ． 当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？ 若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE，CF ， EF 又有怎样的数量关系？请写出你的 猜想，不需证明．
A
B
EM
A
B
EM
A B
CF
解三角形应用举例(二)
B
80
A0
A
B0
C
已知△ABC中， BC＝85mm，AB＝340mm，∠C＝80°，
求AC． 解：（如图）在△ABC中， 由正弦定理可得： BC sin C 85 sin 80 sin A 0.2462 AB 340 因为BC＜AB，所以A为税角 ， A＝14°15′ ∴ B＝180°－（A＋C）＝85°45′ 又由正弦定理： AB sin B 340 sin 85 45 AC 344.3( mm) sin C 0.9848
A0 A A0C AC ( AB BC ) AC ( 340 85) 344.3 80.7 81( mm )
答：活塞移动的距离为81mm．
解三角形应用举例
总结 实际问题 抽象概括 示意图 数学模型 推 演 理 算 实际问题的解 还原说明 数学模型的解
B
A
C
CD=BD-BC=42-28=14(m) 答：山的高度约为14米。
D
测量术语： 1 仰角，俯角 2 方向角：北偏西，南偏东 3 方位角：从正北方向顺时针旋转 到目标方向线的水平角
例 2 如图, 某渔轮在航行中不幸遇 险, 发出呼救信号. 我海军舰艇在 A处获悉后, 测出该渔轮在方位角为45 0 , 距离为10n mile的C处, 并测得渔轮正沿方位角 为105 0 的方向,以9 n mile / h的速度向小岛靠拢 .我海军舰艇立 即以21 n mile / h的速度前去营救 .求舰艇的航向和靠近 渔轮所需的时间 (角度精确到 0.10 , 时间精确到1 min).
答 舰艇应沿着方位角66.8 0 的方向航行, 经过40 min 就可靠近渔轮.
解三角形的实际应用举例
C
(2) 已知两边和一边对角,
求其它元素。
A
B
C
• 余弦定理
c2 a2 b2 2abcosC
(1) 已知三边 , 求三个角;
A
B
C
(2) 已知两边和它们的夹角,
求其它元素。
A
B
C
例1、自动卸货汽车的车箱采用液压机构.设计时 需要计算油泵顶杆BC的长度（如图所示）.已知车 箱最大仰角为60油泵顶点B与车箱支点A之间的 距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为620， AC为1.40m,计算BC的长.
数学问题（画出图形）
检 验
数学结论
解三角形问题
谢谢
再见！
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=3.571 ∴BC≈1.89(m)．
答：顶杆BC约长1.89m．
解斜三角形理论应用于实际问题应注意：
1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。
2、要明确题目中一些名词、术语的意义。如 视角，仰角，俯角，方位角等等。
3、动手画出示意图，利用几何图形的性质， 将已知和未知集中到一个三角形中解决。
《解直角三角形》应用举例
《解直角三角形》应用举例一、选择题1、（2014•随州）如图，要测量B 点到河岸AD 的距离，在A 点测得∠BAD =30°，在C 点测得∠BCD =60°，又测得AC =100米，则B 点到河岸AD 的距离为（ ） A ．100米 B ．350米 C ．33200米 D ．50米1题图 2题图 3题图 2、（2014•抚顺）如图，河流两岸a 、b 互相平行，点A 、B 是河岸a 上的两座建筑物，点C 、D 是河岸b 上的两点，A 、B 的距离约为200米．某人在河岸b 上的点P 处测得∠APC =75°，∠BPD =30°，则河流的宽度约为 米． 二、填空题3、（2014•宁波）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位．（4.12≈）4、（2014•玄武区二模）如图是一把剪刀的局部示意图，刀片内沿在AB 、CD 上，EF 是刀片外沿．AB 、CD 相交于点N ，EF 、CD 相交于点M ，刀片宽MH ＝1.5 cm ．小丽在使用这把剪刀时，∠ANC 不超过30°．若想一刀剪断4 cm 宽的纸带，则刀身AH 长至少为 cm ． （结果精确到0.1 cm ，参考数据：41.12≈，73.13≈）三、解答题5、（2014•宁波）如图，从A 地到B 地的公路需经过C 地，图中AC =10千米，∠CAB =25°，∠CBA =37°，因城市规划的需要，将在A 、B 两地之间修建一条笔直的公路． （1）求改直的公路AB 的长；（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）6、（2014•黄冈）如图，在南北方向的海岸线MN 上，有A 、B 两艘巡逻船，现均收到故障船C 的求救信号．已知A 、B 两船相距100（3+1）海里，船C 在船A 的北偏东60°方向上，船C 在船B 的东南方向上，MN 上有一观测点D ，测得船C 正好在观测点D 的南偏东75°方向上．（1）分别求出A 与C ，A 与D 之间的距离AC 和AD （如果运算结果有根号，请保留根号）． （2）已知距观测点D 处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A 沿直线AC 去营救船C ，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：41.12≈，73.13≈）7、（2014•荆州）钓鱼岛自古以来就是中国的领土．如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天 在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A 处和正东方向的B 处，这时两船同时接到立即赶往C 处海域巡查的任务，并测得C 处位于A 处北偏东59°方 向、位于B 处北偏西44°方向．若甲、乙两船分别沿AC ，BC 方向航行，其平均速度分别是 20海里/小时，18海里/小时，试估算哪艘船先赶到C 处？ (参考数据：cos59°≈0.52，sin46°≈0.72)8、（2014•抚州）如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图2.晾衣架伸缩时，点G 在射线DP 上滑动，∠CED 的大小也随之发生变化.已知每个菱形边长均等于20cm ，且AH =DE =EG =20cm . （1）当∠CED =60°时，求C 、D 两点间的距离； （2） 当∠CED 由60°变为120°时，点A 向左移动了多少cm ?(结果精确到0.1cm) （3）设DG =x cm ，当∠CED 的变化范围为60°~ 120°(包括端点值)时， 求x 的取值范围 .（结果精确到0.1cm ） （参考数据73.13 ，可使用科学计算器）9、（2014•泰州）图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD 长为1.6m ，CD 与地面DE 的夹角∠CDE 为12°，支架AC 长为0.8m ，∠ACD 为80°，求跑步机手柄的一端A 的高度h （精确到0.1m ）．（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）10、（2014•福建漳州）将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P 时停止倒入．图2是它的平面示意图，请根据图中的信息， 求出容器中牛奶的高度（结果精确到0.1cm ）．（参考数据：41.12≈，73.13≈）11、（2014•江苏南京）如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O ）的墙上，当梯子位于AB 位置时，它与地面所成的角∠ABO =60°；当梯子底端向右滑动1m （即BD =1m ）到达CD 位置时，它与地面所成的角∠CDO =51°18′，求梯子的长．（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）12、（2014•白银）为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具、图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC 与CD 的长分别为45cm 和60cm ，且它们互相垂直，座杆CE 的长为20cm ．点A 、C 、E 在同一条只显示，且∠CAB =75°．（参考数据：sin75°=0.966，cos75°=0.259，tan75°=3.732） （1）求车架档AD 的长；（2）求车座点E 到车架档AB 的距离（结果精确到1cm ）．13、（2014•枣庄）如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向想内旋转35°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测量出∠ODB=25°，点D到点O的距离为30cm．（1）求B点到OP的距离；（2）求滑动支架的长．（结果精确到1cm．）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）14、（2014•山东烟台）小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC长233米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离．15、（2014•自贡）如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：7.13 ）16、（2014•台州）如图，某翼装飞行员从离水平地面高AC =500m 的A 处出发，沿这俯角为15°的方向，直线滑行1600米到达D 点，然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B 点．求他飞行的水平距离BC （结果精确到1m ）．17、（2014•锦州）如图，位于A 处的海上救援中心获悉：在其北偏东68°方向的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东30°相距20海里的C 处救生船，并通知救生船，遇险船在它的正东方向B 处，现救生船沿着航线CB 前往B 处救援，若救生船的速度为20海里/时，请问：救生船到达B 处大约需要多长时间？（结果精确到0.1小时：参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）18、（2014•宿迁）如图是某通道的侧面示意图，已知AB ∥CD ∥EF ，AM ∥BC ∥DE ，AB =CD =EF ，∠BAM =30°，AB =6m ． （1）求FM 的长；（2）连接AF ，若sin ∠FAM =31，求AM 的长．19、（2014年江苏盐城）盐城电视塔是我市标志性建筑之一．如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测电视塔的高度AB ．小明在D 处用高1.5m 的测角仪CD ，测得电视塔顶端A 的仰角为30°，然后向电视塔前进224m 到达E 处，又测得电视塔顶端A 的仰角为60°． 求电视塔的高度AB ．（73.13 ，结果精确到0.1m ）20、（2014•常德）如图，A ，B ，C 表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB ，BC 表示连接缆车站的钢缆．已知A ，B ，C 所处位置的海拔AA 1，BB 1，CC 1分别为160米，400米，1000米，钢缆AB ，BC 分别与水平线AA 2，BB 2所成的夹角为30°，45°， 求钢缆AB 和BC 的总长度．（结果精确到1米）21、（2014•张家界）如图：我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A 点观测到我渔船C 在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B 点，观测到我渔船C 在东北方向上．问：渔政310船再按原航向航行多长时间，离渔船C 的距离最近？（渔船C 捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值．）22、（2014•淮安）为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度．如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB=45°，AC=24m，∠BAC=66.5°，求这棵古杉树AB的长度．（结果取整数）参考数据：2≈1.41，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30．）23、（2014•眉山）如图，甲建筑物的高AB为40m，AB⊥BC，DC⊥BC，某数学学习小组开展测量乙建筑物高度的实践活动，从B点测得D点的仰角为60°，从A点测得D点的仰角为45°．求乙建筑物的高DC．24、（2014•营口）如图，王老师站在湖边度假村的景点A处，观察到一只水鸟由岸边D处飞向湖中小岛C处，点A到DC所在水平面的距离AB是15米，观测水鸟在点D和点C处时的俯角分别为53°和11°，求C、D两点之间距离．（精确到0.1．参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin11°≈0.19，cos11°≈0.98，tan11°≈0.19）25、（2014•达州）达州市凤凰小学位于北纬21°，此地一年中冬至日正午时刻，太阳光与地面的夹角最小，约为35.5°；夏至日正午时刻，太阳光的夹角最大，约为82.5°．己知该校一教学楼窗户朝南，窗高207cm ，如图（1）．请你为该窗户设计一个直角形遮阳棚BCD ，如图（2），要求最大限度地节省材料，夏至日正午刚好遮住全部阳光，冬至日正午能射入室内的阳光没有遮挡．（1）在图（3）中画出设计草图；（2）求BC 、CD 的长度（结果精确到个位）（参考数据：sin35.5°≈0.58，cos35.5°≈0.81，tan35.5°≈0.71，sin82.5°≈0.99，cos82.5°≈0.13，tan82.5°≈7.60）26、（2014•云南）如图，小明在M 处用高1米（DM =1米）的测角仪测得旗杆AB 的顶端B 的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F 处，又测得旗杆顶端B 的仰角为60°， 求出旗杆AB 的高度（取3≈1.73，结果保留整数）27、（2014•青岛）如图，小明想测山高和索道的长度．他在B 处仰望山顶A ，测得仰角 ∠B =31°，再往山的方向（水平方向）前进80m 至索道口C 处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE =39°．（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）； （2）求索道AC 的长（结果精确到0.1m ）． （参考数据：tan31°≈53，sin31°≈21，tan39°≈119，sin39°≈117）28、（2014•北海）下图是某超市地下停车场入口的设计图，请根据图中数据计算CE的长度．（保留小数点后两位；参考数据：sin22°=0.3746，cos22°=0.9272，tan22°=0.4040）29、（2014•桂林）中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为7062.68米。
解三角形的实际应用举例(补充)
12 sin 120 sin15
(18 2 6)(m)
从而
A1B
2 2
BC1
18
3 19.732(m)
因此 AB A1B AA1 19.732 1.5 21.23(m)
(1)解决实际应用问题的关键思想方法是把实际问题转化为 数学问题，即数学建模思想。
(2)解决实际应用问题的步骤
实际问题
分析转化
检 验
数学问题（画出图形）
数学结论
解三角形问题
分析
C
1.40m
600
A
6020 1.95m
D B
已知ABC的两边AB 1.95, AC 1.40, 夹角A 66020,求第三边的长.
C
1.40m
解：由余弦定理，得
600
A
6020 1.95m
D B
BC2= AB2+AC2-2AB·ACcosA
1.952 1.402 2 1.951.40cos66020
1112.12m m
60
45 C1 D1 C 12m D
1.5m
B
求A1B
A1
A
1.5m
解 在△BC1D1中, ∠BD1C1=180O -60O=120O, ∠C1BD1=60O 45O=15O,由正弦定理,得
C1D1 BC1 sin C1BD1 sin BD1C1
BC1
C1D1 sin BD1C1 sin C1BD1
=3.571 ∴BC≈1.89(m)．
答：顶杆BC约长1.89m．
例3.如图，两点C，D与烟囱底部在同一水平直线上,在点C1，D1利 用高1.5m的测角仪器, 测得烟囱的仰角分别是 ＝450和 ＝600,
解三角形的应用举例练习(含解析)
解三角形的应用举例练习班级：____________ 姓名：__________________1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC 的长度为4 m ，∠A ＝30°，则其跨度AB 的长为( )A ．12 mB ．8 mC ．3 3 mD ．4 3 m2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( ) A.1762n mile/h B ．34 6 n mile/h C.1722n mile/h D ．34 2 n mile/h3．若某人在点A 测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80米到达点B ，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)( )A ．110米B ．112米C ．220米D ．224米4．如图所示，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 等于( )A ．30°B.45° C ．60°D.75°5．在边长为2的等边三角形ABC 中，3BC BD =u u u r u u u r ，E 为线段AC 中点，则BE AD ⋅=u u u r u u u r _____.6．已知()1,2a x =+r ，()47b =-r ，，且a r 与b r 的夹角为钝角，则x 的取值范围为__________．7．某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地的距离为________km.8．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖D 的仰角为45°，乙同学在B 地测得树尖D 的仰角为30°，量得AB ＝AC ＝10 m ，树根部为C (A ，B ，C 在同一水平面上)，则∠ACB ＝________.9．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x ＝________cm.10．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c cos sin C c B =+． （1）求角B 的值；（2）若2b =，且ABC V ABC V 的周长．11．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,,cos a b c A B C ==. （1）求tan C ；（2）若ABC V b .1．C 由题22215a =+=r 又25b =r b r 与向量a r 平行.故2b a =±r r ,即(4,2)b =r 或(4,2)--.故选：C2．D解：记轮船行驶到某处的位置为A ，灯塔的位置为B ，20分钟后轮船的位置为C ， 如图所示.则10AB =， 6AC =，120CAB ∠=︒， 所以222110621061962BC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 所以14BC =，即20分钟后，轮船与灯塔的距离为14海里.故选：D.3．C ()cos 2cos a B c b A =-，则()sin cos 2sin sin cos A B C B A =-.sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，因为sin 0C >，故1cos 2A =，又()0,A π∈，故3A π=.故选：C 4．B 因为5tan 5C =，所以6sin 6C =. 在ABC ∆中，由正弦定理，可得sin sin AB BC C A=2362263=，解得8BC =. 故选：B5．C 11,3,cos 3cos 1cos 3AB AC AB AC AB AC A A A ==⋅=⋅==-∴=-u u u r u u u r u u u r u u u r 故22sin A =，1sin 22S AB AC A =⋅= 故选：C6．B sinsin =cos 2222A C B B π+⎛⎫=- ⎪⎝⎭又sin sin 2A C a b A +=，所以sin cos sin sin 2B A B A = 0,sin 0A A π<<∴≠Q ,则1cossin cos 2sin cos sin 222222B B B B B B =⇒=⇒= 211cos 12sin 1222B B =-=-= 故选：B7．A由222a cb +=+和余弦定理得222cos 2a c b B ac +-==，又()0,B π∈，6B π∴=. 因为三角形ABC 为锐角三角形，则0202A C ππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即025062A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得32A ππ<<，1cos sin cos sin cos sin cos cos 6622A C A A A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫+=+--=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3cos 223A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 32A ππ<<Q ，即25336A πππ<+<，所以，1sin 23A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，3cos sin 2A C <+<，因此，cos sin A C +的取值范围是32⎫⎪⎪⎝⎭. 故选：A.8．34π 在ABC V 中，1sin 2ABC S bc A =V ,而2224ABC a S b c --=V ， 由余弦定理得2222cos a b c bc A --=-，则2cos cos 42ABC bc A bc A S -==-V , 故11sin cos 22bc A bc A =-，则sin cos A A =-。
解直角三角形在实际生活中的应用
解直角三角形在实际生活中的应用山东 李浩明在现实生活中, 有许多和解直角三角形有关的实际问题，如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等，解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角形”模型，利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解决.下面举例说明，供大家参考．一、航空问题例1．（2008年桂林市）汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30︒，B 村的俯角为60︒（如图1）．求A 、B1.414 1.732==）分析:要求A 、B 两个村庄间的距离,由题意知AB =PB ，在Rt △PBC 中,可求得60PBC ∠=︒，又因为PC =450，所以可通过解直角三角形求得PB.解：根据题意得：30A ∠=︒，60PBC ∠=︒，所以6030APB ∠=︒-︒，所以A P B A ∠=∠，所以AB =PB .在Rt BCP ∆中，90,60C PBC ∠=︒∠=︒，PC =450，所以PB=450sin 60==︒.所以520AB PB ==≈(米) 答：A 、B 两个村庄间的距离为520米． 二、测量问题例2.（2008年湛江市）如图2所示，课外活动中，小明在离旗杆AB 10米的C 处，QB CP A 45060︒30︒图1用测角仪测得旗杆顶部A 的仰角为40︒，已知测角仪器的高CD =1.5米，求旗杆AB 的高(精确到0.1米) ．分析:要求AB 的高,由题意知可知CD=BE ,先在Rt △ADE 中求出AE 的长,再利用AB=BE +AE 求出AB 的长.解：在Rt △ADE 中，tan ∠ADE =DEAE. ∵DE =10，∠ADE =40︒.∴AE =DE tan ∠ADE =10tan 40︒≈100.84⨯=8.4. ∴AB =AE +EB =AE +DC =8.4 1.59.9+=.答：旗杆AB 的高为9.9米． 三、建桥问题例4.（2008年河南）如图所示，A 、B 两地之间有一条河，原来从A 地到B 地需要经过DC ，沿折线A →D →C →B 到达，现在新建了桥EF ，可直接沿直线AB 从A 地到达B 地．一直BC =11km ，∠A =45°，∠B =37°．桥DC 和AB 平行，则现在从A 地到达B 地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km ．参考数据： 1.412≈，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）. 分析:要求现在比原来少走多少路程，就需要计算两条路线路程之差，如图构造平行四边形DCBG ，将两条路线路程之差转化为AD DG AG +-，作高线DH ,将△ADG 转化为两个直角三角形，先在在Rt DGH △中求DH 、GH ，再在Rt ADH △中求AD 、AH,此题即可得解.解：如图，过点D 作DH AB ⊥于H ，DG CB ∥交AB 于G ．DC AB ∥，∴四边形DCBG 为平行四边形．∴DC GB =，11GD BC ==．∴两条路线路程之差为AD DG AG +-． 在Rt DGH △中，sin37110.60 6.60DH DG =⋅≈⨯=， cos37110.808.80GH DG =⋅⨯≈≈．在Rt ADH △中，1.41 6.609.31AD =⨯≈≈．6.60AH DH =≈．∴(9.3111)(6.608.80)AD DG AG +-=+-+≈即现在从A 地到B 地可比原来少走约4.9km ． 四、图案设计问题例4.（2008年上海市）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图4所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．由于图纸中圆O 的半径r 的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i =是坡面CE 的坡度），求r 的值．分析:要求圆O 的半径r 的值，需在直角三角形ODH 中来解决,而已知的条件太少，需要先在直角三角形CEH 中，根据条件5CE =、坡面CE 的坡度1:0.75i =求出EH 、CH ，然后在直角三角形ODH 中利用勾股定理列出方程，从而求出r 的值．解：由已知OCDE ⊥，垂足为点H ，则90CHE ∠=．图41:0.75i =，43CH EH ∴=． 在Rt HEC △中，222EH CH EC +=．设4CH k =，3(0)EH k k =>，又5CE =，得222(3)(4)5k k +=，解得1k =．∴3EH =，4CH =．∴7DH DE EH =+=，7OD OA AD r =+=+，4OH OC CH r =+=+． 在Rt ODH △中，222OH DH OD +=，∴222(4)7(7)r r ++=+． 解得83r =．航海中的安全问题船只在海上航行，特别要注意安全问题，这就需要运用数学知识进行有关的计算，以确保船只航行的安全性.请看下面两例.例1 （深圳市）如图1，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60的方向上．该货船航行30分钟后到达B 处，此时再测得该岛在北偏东30的方向上，已知在C 岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．分析：问题的关键是弄清方位角的概念，过点C 作CD ⊥AB 于D ，然后通过解直角三角形求出CD 的长，通过列方程解决几何问题也是一种常用方法.解：由已知，得AB=24×21=12，∠CAB=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，所以∠C=30°，所以∠C=∠CAB ，所以CB=AB=12.在Rt △CBD 中，sin ∠CBD=CB CD ，所以CD=CB ·sin ∠CBD=12×3623=.∵936> 所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险．例2 如图2，一艘渔船在A 处观测到东北方向有一小岛C ，已知小岛C 周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B 处，在B 处测得小岛C 在北偏东60°方向上，这时渔船改变航线向正东（即BD ）方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？分析：先将实际问题转化为解直角三角形的问题.可有如下两种方法求解. 解法一：如图3，过点B 作BM ⊥AH 于M ，则BM//AF.所以∠ABM=∠BAF=30°. 在Rt △BAM 中，AM=21AB=5，BM=35. 过点C 作CN ⊥AH 于点N ，交BD 于K. 在Rt △BCK 中，∠CBK=90°-60°=30°. 设CK=x ，则BK=3x.在Rt △CAN 中，因为∠CAN=90°-45°=45°，所以AN=NC.所以AM+MN=CK+KN. 又NM=BK ，BM=KN ，所以x+35=5+3x.解得x=5. 因为5>4.8，所以渔船没有进入养殖场的危险.解法二：如图4，过点C 作CE ⊥BD 于E.所以CE//GB//FA. 所以∠BCE=∠GBC=60°，∠BCA=∠FAC=45°. 所以∠BCA=∠BCE-∠ACE=60°-45°=15°. 又∠BAC=∠FAC-∠FAB=45°-30°=15°，D图2图3图4所以∠BCA=∠BAC.所以BC=AB=10.在Rt △BCE 中，CE=BC ·cos ∠BCE=BC ·cos60°=10×21=5. 也5>4.8，所以渔船没有进入养殖场的危险.实际中的仰角和俯角问题在进行测量时，从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角;从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.计算原理:视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角、俯角和另一边，利用解直角的知识就可以求出物体的高度.梳理总结：⑴仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的；可巧记为“上仰下俯”.在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题.⑵在测量山的高度时，要用“化曲为直”的原则把曲的山坡“化整为零地分成一些小段，把每一小段山坡长近似地看作直的，测出仰角求出每一小段山坡对应的高，再把每部分高加起来，就得到这座山的高度.例1 (成都)如图2，甲、乙两栋高楼的水平距离BD 为90米，从甲楼顶部C 点测得乙楼顶部A 点的仰角α为30︒，测得乙楼底部B 点的俯角β为60︒，求甲乙两栋高楼各有多高？(计算过程和结果都不取近似值.分析:过点C 作CE ⊥AB 于点E, 在Rt △BCE 和Rt △ACE 中, BE 和AE 可用含CE(即为水平距离)的式子表示出来,从而求得两楼的高.解:作CE ⊥AB 于点E,∵CE ∥DB,CD ∥AB,且∠CDB=090,∴四边形BECD 是矩形. ∴CD=BE,CE=BD.图 1 E图2在Rt △BCE 中, ∠β=060,CE=BD=90米. ∵,tan CEBE=β∴BE=CE 39060tan 90tan 0=⨯=⋅β(米). ∴CD=BE=390(米).在Rt △ACE 中, ∠α=030,CE=90米. ∵ ,tan CEAE=α∴AE=CE 330339030tan 90tan 0=⨯=⨯=⋅α(米). ∴AB=AE+BE=3120390330=+(米). 答:甲楼高为390米,乙楼高为3120米.反思:仰角和俯角问题是解直角三角形中的常见题型,作辅助线构造直角三角形(一般同时得到两个直角三角形)并解之是解决这类问题的常用方法.例2 （乐山）如图3，小山上有一棵树．现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端A 到水平地面的距离AB ．要求：⑴画出测量示意图；⑵写出测量步骤（测量数据用字母表示）； ⑶根据（2）中的数据计算AB ．分析：要测量底步不能到达的物体的高度,要转化为双直角三角形问题,测量方案如图2,计算的关键是求 AE,可设AE=x,则在Rt △AGF 和 Rt △AEF 中, 利用三角函数可得αtan x HE =,βtan x EF = ,再根据HE-FE=CD=m 建立方程即可. 解：（1）测量图案（示意图）如图4所示（2）测量步骤：第一步：在地面上选择点C 安装测角仪，测得此时树尖A 的仰角AHE α=∠;第二步：沿CB 前进到点D ，用皮尺量出C D ，之间的距离CD m =;AB图3AE F H CDB图4第三步：在点D 安装测角仪，测得此时树尖A 的仰角AFE β=∠; 第四步：用皮尺测出测角仪的高h . （3）计算： 令AE=x,则,tan HE x =α得αtan x HE =,又,tan EF x =β得βtan xEF =, ∵HE-FE=HF=CD=m, ∴,tan tan m xx =-βα 解得αββαtan tan tan tan -⋅=m x ，∴AB=.tan tan tan tan h m +-⋅αββα反思：在多个直角三角形中一定要认真分析各条线段之间的关系(包括三角函数关系、相等关系),运用方程求解,有时可起到事半功倍之效.快乐套餐:1.(泰安)如图5，一游人由山脚A 沿坡角为30的山坡AB 行走600m ，到达一个景点B ，再由B 沿山坡BC 行走200m 到达山顶C ，若在山顶C 处观测到景点B 的俯角为45，则山高CD 等于 （结果用根号表示）2.(安徽)如图6，某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲乙两人分别在相距8米的A 、B 两处测得D 点和C 点的仰角分别为45°°和60°，且A 、B 、E 三点在一条直线上，若BE=15米，求这块广告牌的高度．(1.73，计算结果保留整数)ABCD图5第19题图EDCB A450600图6参考答案:1. (300 .2. ∵AB＝8，BE＝15，∴AE＝23，在Rt△AED中，∠DAE＝45°,∴DE＝AE＝23.在Rt△BEC中，∠CBE＝60°,∴CE＝BE·tan60°＝CD＝CE－DE＝23≈2.95≈3.即这块广告牌的高度约为3米.。
解三角形的应用举例
正弦定理和余弦 实定 际理 测在 量中有 多应:用
(2)测量高度.
测量垂直高度
1、底部可以到达的
测量出角C和BC的长度，解直 角三角形即可求出AB的长。
2、底部不能到达的
例3.AB是底部B不可到达的一个建筑 , 物 A为建筑物的最高.设点计一种测量建筑 物高度AB的方法.
(5)视角 观测点与观测目标两端点的连线所成的夹角叫做视 角(如图)．
练习3 ．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C
岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视
角，那么B岛和C岛间的距离
是
。
解：应用正弦定理，C=45 °
C
BC/sin60°=10/sin45° BC=10sin60 °/sin45° A
＝300＋1 200－2×10 3×20 3×12＝900，
∴CD＝30(海里)，则需要的时间 t＝3300＝1(小时)．
答：该救援船到达D点需要1小时．
解斜三角形应用题的一般步骤是：
1、分析：理解题意，画出示意图 2、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中 3、求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这 些三角形，求得数学模型的解。 4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而 得出实际问题的解。
＝ sin
53＋ 3·sin 45°cos 60°＋cos
45° 45°sin
＝5 60°
3 3＋1 3＋1
2
＝10 3(海里)，
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，
BC＝20 3(海里)，
在△DBC 中，由余弦定理得
解三角形的实际应用举例
解三角形的实际应用举例一、测量中的距离问题1.有一长为10 m的斜坡,倾斜角为60°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延长的长度(单位:m)是()A.5B.5√3C.10√3D.10答案:D解析:如图,在Rt△ABC中,AC=10,∠ACB=60°.∴AB=5√3,BC=5,在Rt△ABD中,∠ADB=30°,∴BD=15.∴CD=BD-BC=10.2.(课时训练福建宁德五校联考,14)一艘船以15 km/h的速度向东航行,船在A处看到灯塔B在北偏东60°处;行驶4 h后,船到达C处,看到灯塔B在北偏东15°处,这时船与灯塔的距离为km.答案:30√2解析:根据题意画出图形,如图所示,可得B=75°-30°=45°,在△ABC 中,根据正弦定理得,AC sinB=BC sin∠BAC,即√22=BC12,∴BC=30√2 km,即此时船与灯塔的距离为30√2 km .3.(课时训练福建厦门高二期末,15)如图,某观测站C 在A 城的南偏西20°,一条笔直公路AB ,其中B 在A 城南偏东40°,B 与C 相距31千米.有一人从B 出发沿公路向A 城走去,走了20千米后到达D 处,此时C ,D 之间的距离为21千米,则A ,C 之间的距离是 千米.答案:24解析:由已知得CD=21,BC=31,BD=20,在△BCD 中,由余弦定理得cos ∠BDC=212+202-3122×21×20=-17.设∠ADC=α,则cos α=17,sin α=4√37. 在△ACD 中,由正弦定理,得AC=21sinαsin60°=24.二、测量中的高度与角度问题4.如图,D ,C ,B 三点在地面同一直线上,DC=a ,从C ,D 两点测得A 点的仰角分别是β,α(α<β),则A点距离地面的高度AB 等于( )A.asinαsinβsin(β-α)B.asinαsinβcos(α-β)C.asinαcosβsin(β-α)D.acosαsinβcos(α-β)答案:A解析:在△ACD中,∠DAC=β-α,DC=a,∠ADC=α,由正弦定理得AC=asinαsin(β-α),∴在Rt△ACB中,AB=AC sin β=asinαsinβsin(β-α).5.运动会开幕式上举行升旗仪式,在坡度15°的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为10√6 m(如图所示),则旗杆的高度为()A.10 mB.30 mC.10√3 mD.10√6 m答案:B解析:如图所示,由题意知∠AEC=45°,∠ACE=180°-60°-15°=105°,∴∠EAC=180°-45°-105°=30°,由正弦定理知CEsin∠EAC =ACsin∠CEA,∴AC=CE·sin∠CEAsin∠EAC=20√3(m),∴在Rt△ABC中,AB=AC·sin∠ACB=30(m).∴旗杆的高度为30 m.6.当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10 n mile C处的乙船,乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援,则sin θ的值等于()A.√217B.√22C.√32D.5√714答案:D解析:根据题目条件可作图如图:在△ABC中,AB=20,AC=10,∠CAB=120°,由余弦定理有BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos∠CAB=202+102-2×20×10cos 120°=700, ∴BC=10√7.再由正弦定理得ABsin∠ACB =BCsin∠CAB,∴sin∠ACB=AB·sin∠CABBC=10√7=√217.又0°<∠ACB<90°,∴cos∠ACB=2√77,∴sin θ=sin(30°+∠ACB )=sin 30°cos ∠ACB+cos 30°sin ∠ACB =12×2√77+√32×√217=5√714. 7.某海岛周围38 n mile 有暗礁,一轮船由西向东航行,初测此岛在北偏东60°方向,航行30 n mile 后测得此岛在东北方向,若不改变航向,则此船 触礁的危险(填“有”或“无”). 答案:无解析:由题意在△ABC 中,AB=30 n mile,∠BAC=30°,∠ABC=135°,∴∠ACB=15°. 由正弦定理,得BC=AB sin∠ACB·sin ∠BAC=30sin15°·sin 30°=√6-√24=15(√6+√2).在Rt △BDC 中,CD=√22BC=15(√3+1)>38.∴无触礁的危险.8.如图,在一个特定时段内,以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距40√2海里的位置B ,经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°+θ(其中sinθ=√2626,0°<θ<90°)且与点A 相距10√13海里的位置C. (1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);(2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.解:(1)因为AB=40√2,AC=10√13,∠BAC=θ,sin θ=√2626,0°<θ<90°, 所以cos θ=√1-(√2626)2=5√2626.由余弦定理得BC=√AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cosθ=10√5,所以该船的行驶速度为v=10√523=15√5(海里/小时).(2)设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q. 在△ABC 中,由余弦定理得 cos ∠ABC=AB 2+BC 2-AC 22AB ·BC=√2)2√5)2√13)22×40√2×10√5=3√1010, 所以sin ∠ABC=√1-cos 2∠ABC =√1-910=√1010. 在△ABQ 中,由正弦定理得AQ=ABsin∠ABC sin (45°-∠ABC )=40√2×√1010√22×2√1010=40.因为AE=55>40=AQ ,所以点Q 位于点A 和点E 之间,且QE=AE-AQ=15.过点E 作EP ⊥BC 于点P ,则EP 为点E 到直线BC 的距离. 在Rt △QPE 中,PE=QE ·sin ∠PQE=QE ·sin ∠AQC=QE ·sin(45°-∠ABC )=15×√55=3√5<7.故该船会进入警戒水域.(建议用时:30分钟)1.如图,已知两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等,灯塔A 在观察站C 的北偏东40°,灯塔B 在观察站C 的南偏东60°,则灯塔A 在灯塔B 的( )的位置. A.北偏东10° B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10° 答案:B解析:由图可知,∠ACB=180°-(40°+60°)=80°.又∵AC=BC,∴∠A=∠CBA=1(180°-80°)=50°.2∵CE∥BD,∴∠CBD=∠BCE=60°,∴∠ABD=60°-50°=10°.∴灯塔A在灯塔B的北偏西10°的位置.2.如图所示,为测一树的高度,在地面上选取A,B两点(点A,B与树根部在同一直线上),从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为()A.(30+30√3) mB.(30+15√3) mC.(15+30√3) mD.(15+3√3) m答案:A解析:设树高为h,则由题意得√3h-h=60,∴h==30(√3+1)=(30√3+30)(m).√3-13.一艘客船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°,之后它以32 n mile/h的速度继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时测得船与灯塔S相距8√2 n mile,则灯塔S在B处的()A.北偏东75°B.东偏南75°C.北偏东75°或东偏南75°D.以上方位都不对答案:C解析:根据题意画出示意图,如图,由题意可知AB=32×12=16,BS=8√2,∠A=30°.在△ABS中,由正弦定理得ABsinS =BSsinA,sin S=ABsinABS=8√2=√22,∴S=45°或135°,∴B=105°或15°,即灯塔S在B处的北偏东75°或东偏南75°.4.一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°方向,与灯塔S相距20 n mile,随后货轮按北偏西30°的方向航行3 h后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为()A.103(√6+√2) n mile/hB.103(√6−√2) n mile/hC.103(√6+√3) n mile/hD.103(√6−√3) n mile/h答案:B解析:如图,设货轮的时速为v,则在△AMS中,∠AMS=45°,∠SAM=105°,∠ASM=30°,SM=20,AM=3v.由正弦定理得3vsin30°=20sin105°,即v=206sin105°=103(√6−√2)(n mile/h).5.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来,他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差,则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为()A.d1>d2B.d1=d2。
解三角形应用举例
B
例4:如图,在山顶铁塔上B处测得地面上一 点A的俯角,在塔底C处测得A处的俯角.已 知铁塔BC部分的高为27.3米,求出山高 CD.
例5:一辆汽车在一条水平的公路上向正 东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山 顶D在东偏南15°的方向上,行驶5KM后 到达B处,测得此山顶在东偏南25°的方 向上,仰角为8° ,求此山的高度CD.
(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5° (2)已知B=62.7°Ｃ＝６５.8° ,b=3.16cm; (3)已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.
例8:在某市进行城市环境建设中，要把 一个三角形的区域改造城市内公园，经 过测量得到这个三角形区域的三条边长 分别为68m,88m,127m,这个区域的面 积是多少？ （精确到0.1cm2）
例1 设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的 距离,测量者在A的 同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55cm,
BAC 51, ACB 75
求A,B两点间的距离
B
A
C
例 2 如图A,B两点都在河的对岸(不可到达),设 计一种测量A,B两点距离的方法
A B
例3 : AB是底部B不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高 度AB的方法. A
例6:如图一艘海轮从A出发,沿北偏东75°的方 向航行67.5海里后到达海岛B,然后从B出发,沿 北偏东32°的方向航向54海里后到达海岛C. 如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿 怎样的方向航行,需要航行多少距离?，根据下列条件，求三角 形的面积S（精确到0.1cm2）
解三角形的实际应用举例
小结：
1、解决应用题的思想方法是什么？ 答：把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想。 2、解决应用题的步骤是什么？ 实际问题 分析转化
数学问题（画出图形）
检 验
数学结论 解三角形问题
布置作业：课本P.70 习题B 1、2
课外探究：
如果要测量某铁塔的高度，但不能到达铁塔 的底部，在只能使用简单的测量工具的前提 下，你能设计出哪些测量方法？并提供每种 方法的计算公式。
思考与交流：
1、你能设计出别的测量方法吗？把你设 计的方案与本小组的同学讨论，看看是否 B 可行。
CD
C
90o
D
A
例2：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向西行 750 驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在北偏西 的 方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在北偏 0 西 的方向上,仰角为 8 ,求此山的高度CD.
B
C1
C
D1
D
A1 A
49028 35012
11.12 m
1.52m
B
49028
35 12
0
求A1B
D1
C1
A1
C 11.12 m D
A
1.52m
B
49028
35012
C1
求A1B
D1
A1
C1D1B 180 0 130 032,
解:
A C 11.12 m D 在BC1D1中,已知BC1D1 35012,
0 56
D
北
西
B
0 56
C
750
A
0 解:在⊿ABC中 A 15,0ACB 250 150 10, 根 据正弦定理,
2020高二数学人教A必修5练习：1.2.1 解三角形的实际应用举例 Word版含解析
课时训练3解三角形的实际应用举例一、测量中的距离问题1.有一长为10 m的斜坡,倾斜角为60°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延长的长度(单位:m)是()A.5B.5√3C.10√3D.10答案:D解析:如图,在Rt△ABC中,AC=10,∠ACB=60°.∴AB=5√3,BC=5,在Rt△ABD中,∠ADB=30°,∴BD=15.∴CD=BD-BC=10.2.(2015福建宁德五校联考,14)一艘船以15 km/h的速度向东航行,船在A处看到灯塔B在北偏东60°处;行驶4 h后,船到达C处,看到灯塔B在北偏东15°处,这时船与灯塔的距离为km.答案:30√2解析:根据题意画出图形,如图所示,可得B=75°-30°=45°,在△ABC中,根据正弦定理得,ACsinB =BCsin∠BAC,即22=BC12,∴BC=30√2 km,即此时船与灯塔的距离为30√2 km.3.(2015福建厦门高二期末,15)如图,某观测站C在A城的南偏西20°,一条笔直公路AB,其中B在A 城南偏东40°,B与C相距31千米.有一人从B出发沿公路向A城走去,走了20千米后到达D处,此时C,D之间的距离为21千米,则A,C之间的距离是千米.答案:24解析:由已知得CD=21,BC=31,BD=20,在△BCD 中,由余弦定理得cos ∠BDC=212+202-3122×21×20=-17. 设∠ADC=α,则cos α=17,sin α=4√37. 在△ACD 中,由正弦定理,得AC=21sinαsin60°=24.二、测量中的高度与角度问题4.如图,D ,C ,B 三点在地面同一直线上,DC=a ,从C ,D 两点测得A 点的仰角分别是β,α(α<β),则A 点距离地面的高度AB 等于( )A.asinαsinβsin(β-α) B.asinαsinβcos(α-β) C.asinαcosβsin(β-α) D.acosαsinβcos(α-β)答案:A解析:在△ACD 中,∠DAC=β-α,DC=a ,∠ADC=α,由正弦定理得AC=asinαsin(β-α), ∴在Rt △ACB 中,AB=AC sin β=asinαsinβsin(β-α).5.运动会开幕式上举行升旗仪式,在坡度15°的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为10√6 m(如图所示),则旗杆的高度为( ) A.10 m B.30 mC.10√3 mD.10√6 m答案:B解析:如图所示,由题意知∠AEC=45°,∠ACE=180°-60°-15°=105°,∴∠EAC=180°-45°-105°=30°,由正弦定理知CE sin ∠EAC=AC sin ∠CEA,∴AC=CE·sin∠CEAsin∠EAC=20√3(m),∴在Rt△ABC中,AB=AC·sin∠ACB=30(m).∴旗杆的高度为30 m.6.当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10 n mile C处的乙船,乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援,则sin θ的值等于()A.√217B.√22C.√32D.5√714答案:D解析:根据题目条件可作图如图:在△ABC中,AB=20,AC=10,∠CAB=120°,由余弦定理有BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos∠CAB=202+102-2×20×10cos 120°=700,∴BC=10√7.再由正弦定理得ABsin∠ACB =BCsin∠CAB,∴sin∠ACB=AB·sin∠CAB=20×sin120°10√7=√217.又0°<∠ACB<90°,∴cos∠ACB=2√7,∴sin θ=sin(30°+∠ACB)=sin 30°cos∠ACB+cos 30°sin∠ACB=1×2√7+√3×√21=5√7.7.某海岛周围38 n mile有暗礁,一轮船由西向东航行,初测此岛在北偏东60°方向,航行30 n mile后测得此岛在东北方向,若不改变航向,则此船触礁的危险(填“有”或“无”).答案:无解析:由题意在△ABC中,AB=30 n mile,∠BAC=30°,∠ABC=135°,∴∠ACB=15°. 由正弦定理,得BC=AB sin ∠ACB·sin ∠BAC=30sin15°·sin 30°=6-24=15(√6+√2).在Rt △BDC 中,CD=√22BC=15(√3+1)>38.∴无触礁的危险.8.如图,在一个特定时段内,以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距40√2海里的位置B ,经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°+θ(其中sinθ=√2626,0°<θ<90°)且与点A 相距10√13海里的位置C. (1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);(2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由. 解:(1)因为AB=40√2,AC=10√13,∠BAC=θ,sin θ=√26,0°<θ<90°,所以cos θ=√1-(√2626)2=5√2626.由余弦定理得BC=√AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cosθ=10√5,所以该船的行驶速度为v=10√523=15√5(海里/小时).(2)设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q. 在△ABC 中,由余弦定理得 cos ∠ABC=AB 2+BC 2-AC 22AB ·BC=√2)2√5)2√13)22×402×105=3√1010,所以sin ∠ABC=√1-cos 2∠ABC =√1-910=√1010. 在△ABQ 中,由正弦定理得AQ=ABsin∠ABCsin(45°-∠ABC)=40√2×√101022×21010=40.因为AE=55>40=AQ,所以点Q位于点A和点E之间,且QE=AE-AQ=15.过点E作EP⊥BC于点P,则EP为点E到直线BC的距离.在Rt△QPE中,PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC=QE·sin(45°-∠ABC)=15×√55=3√5<7.故该船会进入警戒水域.(建议用时:30分钟)1.如图,已知两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°,灯塔B 在观察站C的南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的()的位置.A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°答案:B解析:由图可知,∠ACB=180°-(40°+60°)=80°.又∵AC=BC,∴∠A=∠CBA=12(180°-80°)=50°.∵CE∥BD,∴∠CBD=∠BCE=60°,∴∠ABD=60°-50°=10°.∴灯塔A在灯塔B的北偏西10°的位置.2.如图所示,为测一树的高度,在地面上选取A,B两点(点A,B与树根部在同一直线上),从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为()A.(30+30√3) mB.(30+15√3) mC.(15+30√3) mD.(15+3√3) m答案:A解析:设树高为h,则由题意得√3h-h=60,∴h=√3-1=30(√3+1)=(30√3+30)(m).3.一艘客船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°,之后它以32 n mile/h的速度继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时测得船与灯塔S相距8√2 n mile,则灯塔S在B处的()A.北偏东75°B.东偏南75°C.北偏东75°或东偏南75°D.以上方位都不对答案:C解析:根据题意画出示意图,如图,由题意可知AB=32×12=16,BS=8√2,∠A=30°.在△ABS中,由正弦定理得ABsinS =BSsinA,sin S=ABsinABS=16sin30°8√2=√22,∴S=45°或135°,∴B=105°或15°,即灯塔S在B处的北偏东75°或东偏南75°.4.一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°方向,与灯塔S相距20 n mile,随后货轮按北偏西30°的方向航行3 h后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为()A.103(√6+√2) n mile/hB.103(√6−√2) n mile/hC.103(√6+√3) n mile/hD.103(√6−√3) n mile/h答案:B解析:如图,设货轮的时速为v,则在△AMS中,∠AMS=45°,∠SAM=105°,∠ASM=30°,SM=20,AM=3v.由正弦定理得3vsin30°=20sin105°,即v=206sin105°=103(√6−√2)(n mile/h).5.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来,他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差,则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为()A.d1>d2B.d1=d2C.d1<d2D.不能确定大小答案:C解析:如图,B,C,D分别是第一、二、三辆车所在的位置,由题意可知α=β.在△PBC中,d1sinα=PBsin∠PCB,在△PCD中,d2sinβ=PDsin∠PCD,∵sin α=sin β,sin∠PCB=sin∠PCD,∴d1d2=PBPD.∵PB<PD,∴d1<d2.6.如图,某人于地面上C处观察一架迎面飞来的飞机在A处的仰角为30°,过1 min后到B再测得仰角为45°,如果该飞机以450 km/h的速度沿水平方向飞行,则飞机的高度为 km.答案:15(√3+1)4解析:如图,∠DCA=60°,∠DCB=45°,设飞机高为h,则BD=h,AD=√3h.又AB=450×160=7.5,由AD-BD=AB得√3h-h=7.5.∴h=√3-1=15(√3+1)4.7.一船以24 km/h的速度向正北方向航行,在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上,15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东75°方向上,则船在点B时与灯塔S的距离是 km.答案:3√2解析:如图,由条件知,AB=24×1560=6(km).在△ABS中,∠BAS=30°,AB=6,∠ABS=180°-75°=105°,∴∠ASB=45°.由正弦定理,得BSsin30°=ABsin45°,∴BS=6sin30°sin45°=3√2.8.海上一观测站测得方位角为240°的方向上有一艘停止待修的商船,在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近,速度为90 n mile/h.此时海盗船距观测站10√7 n mile,20 min后测得海盗船距观测站20 n mile,再过min,海盗船到达商船.答案:403解析:如图,设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A,B,C处,20 min后,海盗船到达D处,在△ADC 中,AC=10√7,AD=20,CD=30,由余弦定理,得cos∠ADC=AD2+CD2-AC22AD·CD =400+900-7002×20×30=12.∴∠ADC=60°,在△ABD中,由已知,得∠ABD=30°,∠BAD=60°-30°=30°,∴BD=AD=20,2090×60=403(min).9.如图,某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°方向,距离为12√6 km,在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°方向,距离为8√3 km,货轮由A 处向正北航行到D 处时,再看灯塔B 在北偏东120°方向,求:(1)A 处与D 处的距离; (2)灯塔C 与D 处的距离.解:(1)在△ABD 中,∠ADB=60°,∠B=45°,由正弦定理得AD=AB ·sinB sin ∠ADB=12√6×√2232=24(km).∴A 处与D 处的距离为24 km .(2)在△ACD 中,由余弦定理得CD 2=AD 2+AC 2-2AD ·AC cos 30°,解得CD=8√3(km).∴灯塔C 与D 处的距离为8√3 km .。
1.2解三角形应用举例(一)
1.2解三角形应用举例（一）班级_______姓名________ 1、自动卸货汽车的车厢采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度，已知车箱的最大仰角是60°，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）。
2、如图，在山脚A测得山顶P的仰角为,α沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为,γ求证：山高sin sin().sin()ahαγβγβ-=-3、勘探队员朝一座山行进，在前后两处观察山顶的仰角分别是29°和38°，两个观察点之间的距离是200m，求此山的高度。
4、飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20 250m，速度为1 000km/h,飞行员先看到山顶的俯角为18°30′，经过150s后又看到山顶的俯角为81°，求山顶的海拔高度（精确到1 m）。
5、测山上石油钻井的井架BC 的高，从山脚A 测得AC=65.3m ，塔顶B 的仰角a 是25°25′。
已知山坡的倾斜角β是17°38′，求井架的高BC 。
6、在△ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.01cm 2）：（1）已知 45,33,28===B cm c cm a ；（2）已知cm a C A 36,5.66,8.32=== ；（3）已知三边的长分别为cm c cm b cm a 71,61,54===。
7、证明三角形的面积公式AC B a S sin sin sin 212=8、有一块四边形土地的形状如图所示，它的三条边的长分别是50m ，60m ，70m ，两个内角是127°和132°，求四边形的面积（精确到0.01m 2）。
9、货轮在海上以35n mile/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为148°的方向航行。
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解三角形应用举例练习题
一、选择题
1．某人向正东方向走x km后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 3 km，那么x的值为()
A.3B．2 3
C．23或 3 D．3
2．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为3km，则A，B两船的距离为()
A．23km B．32km
C.15km
D.13km
3．已知△ABC的三边长a＝3，b＝5，c＝6，则△ABC的面积是()
A.14 B．214
C.15 D．215
4．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()
A．a km B.3a km
C.2a km D．2a km
5．已知△ABC中，a＝2、b＝3、B＝60°，那么角A等于()
A．135°B．90°
C．45°D．30°
6．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时()
A．5海里B．53海里
C．10海里D．103海里
二、填空题
7．(2010～2011·醴陵二中、四中期中)已知A、B两地的距离为10km，BC两地的距离为20km，经测量∠ABC＝120°，则AC两地的距离为________km.
8．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是__________．
9.
(2011·北京朝阳二模)如图，一艘船上午在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距42n mile，则此船的航行速度是________n mile/h.
三、解答题
10．如图，为了测量河
对岸A，B两点间的距离，在河的这边测得CD＝
3
2km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝
60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离．。