《微积分一》函数图形的作法

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斜渐近线 如果
x
lim [ f ( x) (ax b)] 0
则yaxb是曲线yf(x)的一条渐近线 称为斜渐近线 其中 f (x) b lim [ f ( x) ax] a lim x x x
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铅垂渐近线 如果曲线yf(x)有
xc
lim f ( x) 或 lim f (x)
xc
则直线xc为曲线yf(x)的一条渐近线 称为铅垂渐近线
1 y 例 2 求曲线 的铅垂渐近线 x 1 解 因为 1 lim 1 lim x1 x 1 x1 x 1 1 1 y x1 是曲线 的一条铅垂渐近线 y 以所以 x1 是曲线 的一条铅垂渐近线 x 1 x 1
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一、曲线的渐近线
定义44(渐近线) 如果曲线上的一点沿着曲线 趋于无穷远时 该点与某条直线的 距离趋于0 则称此直线为曲线的 渐近线
水平渐近线 渐近线的种类 铅垂渐近线 斜渐近线
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水平渐近线 如果曲线yf(x)的定义域是无限区间 且
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x3 练习.求曲线y 2 的渐近线. x 2x 3
解：
x 3
lim y 且 lim y
x 1
y x2
所以有垂直渐近线 x 3 及 x 1
3
1
f ( x) x2 又因 a lim lim 2 x x x 2 x 3 x 2 2 x 3x b lim [ f ( x) x] lim 2 x x x 2 x 3
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x y y y
(, 2) ＋ ↗∩
2 0 ４ 极大值
(2, 1) ↘∩
1
(1, 0) ＋ ↘∪
0 0 0 极小值
(0, +) ＋ ↗∪
间断
(4)曲线有铅垂渐近线x1 及斜渐近线yx1
(5)描特殊点
A,(2, )4) 11 41 F (4, 5 1) E(11 , 4 1 ) F (4, 5 1) 2 2 3 2 2 3 11 11 44 B(0, 0) CC ( , ) D ( 2 , )) ( , ) D ( 2 , 22 22 33 (6)作出函数的图形
(3)列表
x y y y
0 0
1 2 极大值
(0, 1) ↘∩
1 0 1 2 e 拐点
(1, +) ＋ ↘∪
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x y y y
(4)
0 0
1 2 极大值
x2 2
(0, 1) ↘∩
1 0 1 2 e 拐点
(1, +) ＋ ↘∪
y x 2为曲线的斜渐近线 .
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二、函数图形的作法
描绘函数的图形时需要考察的项目 (1)确定函数的定义域 (2)确定曲线的对称性 (3)讨论函数的单调性和极值 (4)讨论曲线的凹向与拐点 (5)确定曲线的渐近线 (6)由曲线的方程计算出一些点的坐标 特别是曲线与坐标轴的交点坐标
§4.7 函数图形的作法
一、曲线的渐近线 二、函数图形的作法
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一、曲线的渐近线
例ห้องสมุดไป่ตู้, 双曲线
y
x y 有渐近线 0 a b
1 反比例函数 y x
有渐近线 x 0 , y 0 但抛物线 无渐近线
o
x
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x
lim
1 e 2
0
曲线有水平渐近线y0
(5)先作出区间(0, )内的图形 然后利用对称性作出区间(, 0)内 的图形
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2 x 例6 6 作函数 y 的图形 x 1 解 (1)函数的定义域为(, 1)(1, ) 2 x 2x 2 令 y0 得 x0 x2 y (2) y ( x 1)2 (x 1)3
x
lim f ( x) b 或 lim f ( x) b
x
则直线yb为曲线yf(x)的渐近线 称为水平渐近线
1 y 例 1 求曲线 的水平渐近线 x 1 解 因为 lim 1 0 x x 1 1 1 y 所以 y 0 是曲线 的一条水平渐近线 y 以 y0 是曲线 的一条水平渐近线 x 1 x 1
(3)列表 x y y y (4) (, 2) ＋ ↗∩ 2 0 ４ 极大值 (2, 1) ↘∩ 1 (1, 0) ＋ ↘∪ 0 0 0 极小值 (0, +) ＋ ＋ ↗∪
间断
曲线有铅垂渐近线x1 斜渐近线yx1
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2 x 例 3 求曲线 y 的渐近线 x 1 解 因为 2 2 x x lim lim x1 x 1 x1 x 1 所以x1是曲线的铅垂渐近线
因为
f (x) a lim lim x 1 x x x x 1 2 x b lim[ f (x) ax] lim[ x] 1 x x x 1 所以yx1是曲线的斜渐近线
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1 x2 1 例 5 作函数 (x) e 2 的图形 2 解 (1) 定义域为(, ), 函数是偶函数 图形关于y轴对称
1 x2 1 x2 ( x 1)( x 1) x (2)(x) e 2 (x) e 2 2 2 令(x)0 得x0 令(x)0 得x1和x1