矩阵分析论文

正交矩阵与酉矩阵的性质与应用

摘要

本文中提到在探讨性质之前，先得了解正交矩阵的出处，正交矩阵来自于正交变换的定义，设A R End ∈(V)是欧几里得空间的线性变换，如果A 保持内积不变，也就是说，对任意的V ∈βα,，有(A(α),A(β))＝(βα,).正交变换是保内积的，也即保长度和夹角，则变换前后的图形全等.

矩阵是线性代数中的核心内容 ,而正交矩阵是一种较常用的矩阵 ,它在正交变换理论中起着十分重要的作用 .

先介绍正交变换、正交矩阵等相关概念，研究线性变换为正交变换的等价条件；正交矩阵的构造以及定义的等价条件.从矩阵理论的角度，本文对正交矩阵进行了较为深入的研究 ,得到了正交矩阵的一系列常用性质 ,相关性质的概括、改进和推广 ,以及正交矩阵和酉矩阵的应用.对矩阵的理论研究有重要的意义 . .

关键词：正交矩阵，酉矩阵，运算关系

ABSTRACT

This paper discusses the nature of mentioned before, you have to understand the origin of orthogonal matrix, orthogonal matrix from orthogonal transform, A definition of A (V) is Euclidean space linear transformation, if A keep inner product unchanged, that is to say, the arbitrary, there is (A), A ()) = (.) orthogonal transformation is the inner product, namely the length and Angle, the transformation and graphics congruent.

Matrix is the core content in linear algebra, and orthogonal matrix is a kind of more common matrix, it in the orthogonal transformation theory plays a very important role.

First introduces orthogonal transformation, orthogonal matrix and other related concepts, the linear transformation for orthogonal transformation equivalent conditions; Orthogonal matrix structure and definition of the equivalent conditions. From the point of view of the matrix theory, in this paper, the orthogonal matrix for a more in-depth research, obtained the orthogonal matrix of a series of common properties, the relevant properties of the summary and improvement and promotion, and orthogonal matrix and unitary matrix application. For the study of the theory of the matrix has an important significance.

Key words: Orthogonal matrix, unitary matrix, operation relations

第一章矩阵概述

约在公元前 300 年，古希腊数学家欧几里得建立了角和空间中距离之间联系的法则，现在叫做欧几里得几何.欧几里得首先开发了处理在平面上的二维物体的“平面几何”.他接着开发了分析三维物体的“立体几何”.所有欧几里得的公理已经被编排到叫做二维或三维欧几里得空间的抽象数学空间中.这些数学空间可以被扩展来应用于任何维度，而这种空间叫做 n-维欧几里得空间或 n-空间.正交矩阵在欧氏空间中发挥着重大的作用.德国数学家弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917) 在矩阵论的发展史上的贡献是不可磨灭的.他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质.

国内有很多学者研究了正交矩阵和酉矩阵的性质和应用，正交矩阵在线性代数及线性系统理论中有非常重要的应用.特殊类矩阵的广泛应用推动了特殊类矩阵理论的深入研究.国内学者研究得出正交矩阵和酉矩阵在数值分析、矩阵分解、正交矩阵特征多项及特征根、数理统计等相关方面的应用.对矩阵理论研究做了重大的贡献，对于研究学习高等代数有重大的理论意义.

矩阵是数学中重要的基本概念,是代数学的重要研究对象之一,也是数学与

其它领域研究与应用的一个重要工具.矩阵的思想萌芽历史悠久,我国古代解线

性方程组用的是筹算,算筹的排列即为矩阵最早的雏形，而特殊矩阵中的正交矩阵，在整个矩阵理论体系中具有举足轻重的作用，它具有很好的性质.正交矩阵的特征多项式及特征根有某些独特的规律，同时正交矩阵与特殊矩阵的关系、正交矩阵与矩阵运算的关系都体现出了正交矩阵良好的性质.而且正交矩阵与酉矩阵在数值分析与方程组求解、矩阵分解中都有广泛的应用.正交矩阵以及其领域很有研究价值.

第二章正交矩阵与酉矩阵

1，正交矩阵和酉矩阵的相关定义.

1、正交矩阵的定义

正交矩阵的几种等价定义.

2、酉矩阵的定义

若酉矩阵的元素都是实数，其即为正交矩阵.

3、特殊正交矩阵的定义

在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为+1，则我们称之为特殊正交矩阵.

4、正交变换的定义

设A是欧氏空间V的一个线性变换,若A保持向量的内积不变,即对于任意的α，β∈V都有(Aα，Aβ) = (α，β)，则称A为V的正交变换.

正交变换关于标准正交基的矩阵称为正交矩阵.

正交矩阵蕴涵了正交变换.

5、正交基的定义

在线性代数中，一个内积空间的正交基（orthogonal basis）是元素两两正交的基.称基中的元素为基向量.假若，一个正交基的基向量的模长都是单位长度1，则称这正交基为标准正交基

6、列正交矩阵的定义

设A是一个n

m⨯矩阵，如果A

A'是一个n阶可逆对角矩阵，那么就称A是一个列正交矩阵.

7、行正交矩阵的定义

设A是一个n

m⨯矩阵，如果A

A'是一个m阶可逆对角矩阵，那么就称A是一个行正交矩阵.

8、行列正交矩阵定义

如果A既是行正交矩阵，又是列正交矩阵，那么就称A是一个行列正交矩阵.