人教B数学选修21课时分层作业 1 命题 含解析

课时分层作业(一)命题

(建议用时：40分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．下列语句中，命题的个数为()

①空集是任何非空集合的真子集．

②起立！

③垂直于同一个平面的两条直线平行吗？

④若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x＝y＝0.

A．1B．2C．3D．4

B[①④为命题，②是祈使句，③是疑问句，都不是命题．]

2．下列命题属于假命题的是()

A．若ac2>bc2，则a>b

B．若|a|＝|b|，则a＝b

C．若x∈R，则x2＋x＋1>0

D．函数y＝sin x是周期函数

B[|2|＝|－2|，但2≠－2，所以B项是错误的，故选B.]

3．命题“梯形的对角线互相平分”的条件是()

A．四边形是梯形B．对角线

C．互相平分D．对角线互相平分

A[命题可改写为：若四边形是梯形，则它的对角线互相平分，所以该命题的条件是四边形是梯形，故选A.]

4．下列命题中真命题的个数是()

①平行于同一平面的两个不同的平面平行；

②不等式x＋y－1>0表示的平面区域包含边界x＋y－1＝0；

③方程x2＋y2＝3表示一个圆；

④程序框图中，循环结构可以不含条件结构．

A．1 B．2 C．3 D．4

B[①③是真命题，②④是假命题，故选B.]

5．已知命题“关于x的方程x2－2x＋m＝0无实根”是真命题，则实数m的取值范围是()

A．(－∞，1) B．(－∞，1]

C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)

C[因为“关于x的方程x2－2x＋m＝0无实根”是真命题，所以Δ＝(－2)2－4m<0，解得m>1.]

二、填空题

6．下列语句中，命题是________，其中真命题是________(写出序号)．

①等边三角形是等腰三角形；

②若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等；

③大角所对的边大于小角所对的边．

①②③①[①是命题且是真命题；

②是假命题，若两条直线斜率都不存在时，这两条直线平行；

③是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的情况．]

7．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p：________，结论q：________，它是________命题(填“真”或“假”)．

a＞0二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)真[a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．]

8．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线．有下列四个命题：

①(a·b)c＝(c·a)b；

②|a|－|b|＜|a－b|；

③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；

④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.

其中真命题是________．

②④ [①平面向量的数量积不满足结合律，故①假；

②由向量的减法运算可知|a |，|b |，|a －b |恰为一个三角形的三条边长，“两边之差小于第三边”，故②真；

③因为[(b·c )a －(c·a )b ]·c ＝(b·c )a·c －(c·a )b·c ＝0，所以垂直，故③假； ④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9a·a －4b·b ＝9|a |2－4|b |2成立，故④真．]

三、解答题

9．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．

(1)奇数不能被2整除；

(2)实数的平方是正数；

(3)当(a －1)2＋(b －1)2＝0时，a ＝b ＝1；

(4)已知x ，y 为正整数，当y ＝x ＋1时，y ＝3，x ＝2.

[解] (1)若一个数是奇数，则这个数不能被2整除，是真命题．

(2)若一个数是实数，则这个数的平方是正数，是假命题．例如0的平方还是0，不是正数．

(3)若(a －1)2＋(b －1)2＝0，则a ＝b ＝1，是真命题．

(4)已知x ，y 为正整数，若y ＝x ＋1，则y ＝3，x ＝2，是假命题．例如y ＝4，x ＝3也符合条件．

10．已知：A ：5x －1＞a ，B ：x >1，请选择适当的实数a ，使得利用A ，B 构造的命题“若p ，则q ”为真命题．

[解] ①若视A 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x >1＋a 5

，则x ＞1”，由命题为真命题，可知1＋a 5

≥1，解得a ≥4； ②若视B 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x >1，则x >1＋a 5

”，由命题为真

命题，可知1＋a 5

≤1，解得a ≤4. 故a 取任一实数均可使得利用A ，B 构造的命题为真命题，例如这里取a ＝1，

则有真命题“若x >1，则x >25

”． [能力提升练]

1．关于直线m ，n 与平面α，β，有下列四个命题：①若m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥n ；②若m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥n ；③若m ⊥α，n ∥β，且α∥β，则m ⊥n ；④若m ∥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ∥n .其中真命题的序号是( )

A ．①②

B ．③④

C ．①④

D ．②③

D [如图1所示，α，β分别为正方体的上、下底面，显然图中的m ∥α，n ∥β，且α∥β，但m 与n 不平行，故①为假命题，可排除A ，C.对于命题④，如图2所示，α为正方体的下底面，β为侧面，图中的m ∥α，n ⊥β，且α⊥β，但m 与n 不平行，故④为假命题，可排除B.故选D.

]

图1 图2

2．对于下列四个命题：

①若向量a ，b 满足a·b <0，则a 与b 的夹角为钝角；

②已知集合A ＝{正四棱柱}，B ＝{长方体}，则A ∩B ＝B ；

③在平面直角坐标平面内，点M (|a |，|a －3|)与N (cos α，sin α)在直线x ＋y －2＝0的异侧；

④偶数的平方仍是偶数．

其中真命题是________(将你认为正确的命题的序号都填上)．

③④ [命题①错误，当a 与b 反向时，也有a·b ＜0；命题②错误，正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱，而长方体的底面是一般的矩形，所以A ∩B ＝A ；命