2016年考研数学三真题及解析

2016年考研数学三真题及解析
2016年考研数学（三）真题
一、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.
（1）()11lim ______.
n
n n n
-→∞
+⎛⎫= ⎪
⎝⎭
（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x
f x '=，()21f =，则()2____.f '''=
（3）设函数()f u 可微,且()102
f '=,则()
2
24z f x
y =-在点(1,2)处的
全微分(
)
1,2d _____.
z =
（4）设矩阵
2112A ⎛⎫= ⎪
-⎝⎭
，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足
2BA B E
=+，则=B .
（5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2
x
n
f x e
x X X X -=-∞<<+∞L
为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2
S ，则2
____.
ES
=
二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0
x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0
x 处对应的
增量与微分，若0x ∆>，则
(A) 0d y y
<<∆. (B)
0d y y
<∆<.
(C) d 0
y y ∆<<. (D)
d 0
y y <∆< .
[ ]
（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22
lim
1
h f h h →=，则
(A) ()()
000f f -'=且存在 (B)
()()
010f f -'=且存在
(C)
()()
000f f +'=且存
在
(D)()()010f f +
'=且存在 [ ] （9）若级数1n n a ∞
=∑收敛，则级数
(A) 1n
n a ∞=∑收敛 . （B ）1
(1)n
n
n a ∞
=-∑收敛.
(C) 11
n n n a a ∞
+=∑收敛. (D) 11
2
n
n n a
a ∞
+=+∑收敛.
[ ]
（10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解
12(),(),y x y x C
为任意常数，则该方程的通解是
（Ａ）[]1
2
()()C y x y x -. （Ｂ）[]1
1
2
()()()y x C y x y x +-. （Ｃ）[]1
2
()()C y x y x +. （Ｄ）
[]
112()()()y x C y x y x ++
[ ]
（11）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y
x y ϕ'≠，已知0
(,)x y 是
(,)
f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确
的是
(A) 若0
(,)0x
f x y '=，则0
(,)0y
f x y '=.
(B) 若0
(,)0x
f x y '=，则0
(,)0y
f x y '≠.
(C) 若0
(,)0x
f x y '≠，则0
(,)0y
f x y '=.
(D)
若
00(,)0
x f x y '≠，则
00(,)0
y f x y '≠.
[ ]
（12）设1
2
,,,s
αααL 均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项
正确的是 (A) 若1
2
,,,s
αααL 线性相关，则1
2
,,,s
A A A αααL 线性相关.
(B)
若1
2
,,,s
αααL 线性相关，则1
2
,,,s
A A A αααL 线性无关.
(C) 若1
2
,,,s
αααL 线性无关，则1
2
,,,s
A A A αααL 线性相关. (D) 若1
2
,,,s
αααL 线性无关，则
12,,,s
A A A αααL 线性无关.
[ ]
（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪⎝⎭
，
则
（Ａ）1
C P
AP
-=. （Ｂ）
1
C PAP -=.
（Ｃ）
T
C P AP
=. （Ｄ）
T
C PAP =. ［ ］
（14）设随机变量X 服从正态分布2
1
1
(,)N μσ，Y 服从正态分
布22
2
(,)N μσ，且
{}{}
1211P X P Y μμ-<>-<
则必有
(A) 1
2
σσ< (B) 1
2
σ
σ>
(C)
12
μμ< (D) 12
μμ>
[ ]
三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）
设()1sin
,,0,0
1arctan x
y y y
f x y x y xy x
π-=->>+,求
(Ⅰ) ()()
lim ,y g x f x y →+∞
=；
(Ⅱ)
()
0lim x g x +
→.
（16）（本题满分7分）
计算二重积分d D
x y
，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所
围成的平面区域. （17）（本题满分10分） 证明：当0a b π<<<时，
sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a
ππ++>++.
（18）（本题满分8分）
在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax
（常数>0a ）. (Ⅰ) 求L 的方程；
(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时，确定a 的值.
（19）（本题满分10分）
求幂级数()()1
211
121n n n x n n -+∞
=--∑的收敛域及和函数()s x .
（20）（本题满分13分）
设4维向量组()()()T
T
T
1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,
a a a α
αα=+=+=+
()
T
44,4,4,4a α=+，问a 为何值时1
2
3
4
,,,αααα线性相关?当1
2
3
4
,,,αααα
线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. （21）（本题满分13分）
设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量
()()
T
T
121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.
(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T
Q AQ =Λ
；
（Ⅲ）求A 及
6
32A E ⎛⎫-
⎪⎝⎭
，其中E 为3阶单位矩阵.
（22）（本题满分13分）
设随机变量X 的概率密度为
()1
,1021
,02
4
0,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩
　其他，
令()
2
,,Y X
F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.
(Ⅰ)求Y 的概率密度()Y
f y ； (Ⅱ)Cov(,)X Y ；
(Ⅲ)1,42
F ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
. （23）（本题满分13分）
设总体X 的概率密度为
(),01,
;1,12,
0,x f x x θθθ<<⎧⎪
=-≤<⎨⎪⎩
其他,
其中θ是未知参数()01θ<<，1
2
n
,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值1
2
,...,n
x x x 中小于1的个数.
（Ⅰ）求θ的矩估计； （Ⅱ）求θ的最大似然估计
2006年考研数学（三）真题解析
二、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.
（1）()11lim 1.
n
n n n
-→∞
+⎛⎫= ⎪
⎝⎭
【分析】将其对数恒等化ln e N
N =求解. 【详解】
()(1)111ln lim (1)ln 1lim lim e
e
n
n
n n n n n n n n n n -→∞
-++⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
→∞
→∞
+⎛⎫== ⎪⎝⎭
，
而数列{}(1)n -有界，1lim ln 0n n n →∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭
，所以1lim(1)ln 0n n n n →∞
+⎛⎫-= ⎪⎝⎭
. 故
()101lim e 1n
n n n -→∞
+⎛⎫
== ⎪⎝⎭
.
（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x
f x '=，()21f =，
则()3
22e .f '''=
【分析】利用复合函数求导即可.
【详解】由题设知，()()e f x
f x '=，两边对x 求导得
()()
()
2e
()e
f x f x f x f x '''==，
两边再对x 求导得
()
()
23()2e
()2e
f x f x f x f x ''''==，又()21f =，
故 ()
323
(2)2e
2e f f '''==.
（3）设函数()f u 可微,且()102
f '=,则()
2
24z f x
y =-在点(1,2)处的
全微分(
)
1,2d 4d 2d .
z x y =-
【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变
性计算.
【详解】方法一：因为22(1,2)
(1,2)
(4)84
z f x y x
x
∂'=-⋅=∂
，
()
22(1,2)
(1,2)
(4)22
z f x y y y
∂'=-⋅-=-∂，
所以
()
()()
1,21,21,2d d d 4d 2d z z z
x y x y x
y
⎡⎤∂∂=+
=-⎢⎥∂∂⎣⎦
.
方法二：对()
2
24z f x y =-微分得
()
222222d (4)d(4)(4)8d 2d z f x y x y f x y x x y y ''=--=--，
故 ()
()1,2d (0)8d 2d 4d 2d z
f x y x y
'=-=-.
（4）设矩阵2
11
2A ⎛⎫=
⎪-⎝
⎭
，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足
2BA B E
=+，则=B 2 .
【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.
【详解】 由题设，有 ()2B A E E -=
于是有
4
B A E -=，而1
12
1
1
A E -==-
，所以2B =.
（5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则
{}{}max ,1P X Y ≤=
19
. 【分析】 利用X Y 与的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知，X Y 与具有相同的概率密度
1
,3()3
0,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 0 其他
.
则 {}{}{}max ,11,1P X Y P X Y ≤=≤≤{}{}11P X P Y =≤≤
{}()
2
12
011
1d 39
P X x ⎛⎫=≤== ⎪⎝⎭⎰.
【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图：
则 {}{}{}1max ,11,19
S P X Y P X Y S
≤=≤≤==
阴
.
（6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2
x
n
f x e
x X X X -=-∞<<+∞L
为总
体X 的简单随机样本，其样本方差为2
S ，则2
2.
ES =
【分析】利用样本方差的性质2
ES DX
=即可.
【详解】因为
()d e d 02
x
x EX xf x x x +∞+∞
--∞
-∞
===⎰
⎰
，
22
2
220
00
()d e d e d e 2e d 2
x
x x
x x EX x f x x x x x x x x
+∞
+∞
+∞+∞
---+∞--∞
-∞
====-+⎰
⎰
⎰⎰
2e 2e d 2e 2
x
x x
x x +∞
-+∞--+∞=-+=-=⎰，
所以
()2
2202
DX EX EX =-=-=，又因2
S 是DX 的无偏估计量，
所以
22
ES DX ==.
二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0
x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0
x 处对应的
增量与微分，若0x ∆>，则
(A) 0d y y
<<∆.
(B)
0d y y
<∆<.
(C)
d 0
y y ∆<<. (D)
d 0
y y <∆< . [ Ａ ]
【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.
【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当
x ∆>时，
00d ()d ()0
y y f x x f x x ''∆>==∆>，故应选(Ａ).
（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()
2
2
lim 1h f h h →=，则
(A) ()()
000f f -'=且存在 (B) ()()
010f f -'=且存在
(C)
()()
000f f +'=且存在 (D)
()()
010f f +'=且存在
[ C ] 【分析】从()22
0lim
1
h f h h
→=入手计算(0)f ，利用导数的左右导
数定义判定(0),(0)f f -
+
''的存在性.
【详解】由()
2
2
lim 1h f h h
→=知，()2
lim 0h f h →=.又因为()f x 在0x =处连
续，则
()20
(0)lim ()lim 0
x h f f x f h →→===.
令2
t h =，则()()22
0(0)1lim
lim (0)h t f h f t f f h t
+
+→→-'===.
所以(0)f +
'存在，故本题选（C ）.
（9）若级数1n n a ∞
=∑收敛，则级数
(A) 1
n
n a ∞=∑收敛 . （B ）1
(1)n
n
n a ∞
=-∑收敛.
(C) 11
n n n a a ∞+=∑收敛. (D) 1
1
2
n
n n a
a ∞
+=+∑收敛.
[ Ｄ ]
【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】 由1
n
n a ∞
=∑收敛知1
1
n n a ∞
+=∑收敛，所以级数1
1
2
n
n n a
a ∞
+=+∑收
敛，故应选(Ｄ). 或利用排除法： 取1(1)n
n
a n
=-，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；
取(1)n
n
a =-.故（Ｄ）项
正确.
（10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解
12(),(),y x y x C
为任意常数，则该方程的通解是
（Ａ）[]1
2
()()C y x y x -. （Ｂ）[]1
1
2
()()()y x C y x y x +-.
（Ｃ）[]1
2
()()C y x y x +. （Ｄ）[]1
1
2
()()()y x C y x y x ++ [ Ｂ ]
【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.
【详解】由于1
2
()()y x y x -是对应齐次线性微分方程
()0
y P x y '+=的非零解，所以它的通解是
[]
12()()Y C y x y x =-，故
原方程的通解为
[]
1112()()()()y y x Y y x C y x y x =+=+-，故应选(Ｂ).
【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：
*y y Y
=+.
其中*y 是所给一阶线性微分方程的特解，Y 是对应齐次微分方程的通解.
（11）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y
x y ϕ'≠，已知0
(,)x y 是
(,)
f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是
(A) 若0
(,)0x
f x y '=，则0
(,)0y
f x y '=.
(B) 若0
(,)0x
f x y '=，则0
(,)0y
f x y '≠.
(C) 若0
(,)0x
f x y '≠，则0
(,)0y
f x y '=.
(D)
若
00(,)0
x f x y '≠，则
00(,)0
y f x y '≠.
[ Ｄ ]
【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在
000(,,)
x y λ（0
λ是对应0
,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条
件即可.
【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，并记对应0
,x y 的参数λ的值为0
λ，则
000000(,,)0
(,,)0
x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩， 即
0000000000(,)(,)0
(,)(,)0
x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .
消去0
λ，得
(,)(,)(,)(,)0x
y
y
x
f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=,
整理得
000000001
(,)(,)(,)
(,)
x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''=
'.（因为(,)0y
x y ϕ'≠），
若0
(,)0x
f x y '≠，则0
(,)0y
f x y '≠.故选（Ｄ）.
（12）设1
2
,,,s
αααL 均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项
正确的是 (A)
若1
2
,,,s
αααL 线性相关，则1
2
,,,s
A A A αααL 线性相关.
(B) 若1
2
,,,s
αααL 线性相关，则1
2
,,,s
A A A αααL 线性无关.
(C) 若1
2
,,,s
αααL 线性无关，则1
2
,,,s
A A A αααL 线性相关. (D) 若1
2
,,,s
αααL 线性无关，则
12,,,s
A A A αααL 线性无关.
[ A ]
【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.
【详解】 记1
2
(,,,)s
B ααα=L ，则1
2
(,,,)s
A A A A
B ααα=L .
所以，若向量组1
2
,,,s
αααL 线性相关，则()r B s <，从而
()()r AB r B s
≤<，向量组1
2
,,,s
A A A αααL 也线性相关，故应选(Ａ).
（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪⎝⎭
，
则
（Ａ）1
C P AP
-=. （Ｂ）1C PAP -=.
（Ｃ）T
C P
AP
=. （Ｄ）T
C PAP =. ［ Ｂ ］
【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得
110110*********,010010010001001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
而
1110010001P --⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪⎝⎭
，则有1
C PAP -=.故应选（Ｂ）.
（14）设随机变量X 服从正态分布2
1
1
(,)N μσ，Y 服从正态分布22
2
(,)N μσ，且
{}{}
1
211P X P Y μ
μ-<>-<
则必有
(A) 1
2
σ
σ< (B) 1
2
σ
σ>
(C)
12
μμ< (D) 12
μμ>
[ A ]
【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.
【详解】 由题设可得
12112
211X Y P P μμσσσσ⎧-⎫⎧-⎫
<><⎨⎬⎨⎬
⎩⎭⎩⎭，
则
12112121σσ⎛⎫⎛⎫
Φ->Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即1
2
11σσ
⎛⎫
⎛⎫Φ>Φ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
. 其中()x Φ是标准正态分布的分布函数. 又()x Φ是单调不减函数，则1
2
1
1
σσ>
，即1
2
σ
σ<.
故选(A).
三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分7分）
设()1sin
,,0,0
1arctan x
y y y
f x y x y xy x
π-=->>+,求
(Ⅰ) ()()
lim ,y g x f x y →+∞
=；
(Ⅱ)
()
0lim x g x +
→.
【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x 作为常量求解，此问中含,0∞⋅∞∞型未定式极限；第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果，含∞-∞未定式极限. 【详解】(Ⅰ)
()()1sin lim ,lim 1arctan y y x y y y g x f x y xy x π→+∞→∞⎛
⎫- ⎪
⎪==-
+ ⎪
⎪⎝⎭
sin 11111lim 1
arctan arctan y x y
x y x x x x y ππ→∞⎛
⎫
⎪ ⎪-
⎪
⎪-=-=-
⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
.
(Ⅱ)
()200011arctan lim lim lim arctan arctan x x x x x x x g x x x x x
ππ+++→→→--+⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭ （通分）
2
22220001
12arctan 2(1)1lim lim lim 22x x x x x x x x x x x x x x
ππππ+++
→→→-+-+-+++====
（16）（本题满分7分）
计算二重积分d D
x y
，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所
围成的平面区域.
【分析】画出积分域，将二重积分化
为累次积分即可.
【详解】积分区域如右图.因为根号下
的函数为关于x 的一次函数，“先x 后
y
”积分较容易，所以
12
20
d d d d y
D
y xy x y y y xy x
-=-⎰⎰
⎰⎰
()3
112
22
002122
d d 339
y y xy y y y y
=--=
=⎰⎰
（17）（本题满分10分） 证明：当0a b π<<<时，
sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a
ππ++>++.
【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.
【详
解
】
令
()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ
=++---<≤≤<， 则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=.
又
()cos sin cos sin 0
f x x x x x x x ''=--=-<，（0,sin 0x x x π<<>时），
故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即
sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a
ππ++>++.
（18）（本题满分8分）
在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）. (Ⅰ) 求L 的方程；
(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时，确定a 的值.
【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积，确定参数.
【详解】(Ⅰ) 设曲线L 的方程为()y f x =，则由题设可得
y
y ax x
'-
=，这是一阶线性微分方程，其中
1
(),()P x Q x ax
x
=-=，代入通解公式得
()11d d 2e e d x x x x y ax x C x ax C ax Cx -⎛⎫⎰⎰=+=+=+ ⎪⎝⎭
⎰，
又(1)0f =，所以C a =-. 故曲线L 的方程为
2y ax ax =-(0)
x ≠.
(Ⅱ) L 与直线y ax =（>0a ）所围成平面
图形如右图所示. 所以 ()2
2
d D ax ax ax x ⎡⎤=--⎣⎦⎰
()2
2048
2d 33
a x x x a =-==
⎰，
故2a =.
（19）（本题满分10分）
求幂级数()()1
211
121n n n x n n -+∞
=--∑的收敛域及和函数()s x .
【分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数. 【详解】记
121
(1)()(21)
n n n x u x n n -+-=
-，则 23
21121
(1)()(1)(21)lim lim (1)()(21)
n n n n n n n n
x u x n n x x u x n n ++-+→∞→∞-++==--.
所以当2
1,1
x
x <<即时，所给幂级数收敛；当1x >时，所
给幂级数发散；
当1x =±时，所给幂级数为
1(1)(1),
(21)(21)
n n
n n n n -----，均收敛，
故所给幂级数的收敛域为[]1,1- 在()1,1-内，()
12112111(1)(1)()22()
(21)(21)2n n n n
n n x x s x x xs x n n n n -+-∞
∞
==--===--∑∑，
而
12112211211
(1)1(),()(1)211n n n n n n x s x s x x n x --∞
∞
--==-'''==-=-+∑∑，
所以 1112
01
()(0)()d d arctan 1x
x
s x s s t t t x t ''''-===+⎰⎰
，又1
(0)0s '=，
于是
1()arctan s x x
'=.同理
1110
()(0)()d arctan d x
x
s x s s t t t t
'-==
⎰
⎰
()20
201arctan d arctan ln 112
x
x t t t t x x x t =-=-++⎰
，
又 1(0)0
s =，所以
()211
()arctan ln 12
s x x x x =-+.
故
()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+.()
1,1x ∈-.
由于所给幂级数在
1
x =±处都收敛，且
()
22()2arctan ln 1s x x x x x =-+在1x =± 处都连续，所以()s x 在1x =±成
立，即
()
22()2arctan ln 1s x x x x x =-+，[]1,1x ∈-.
（20）（本题满分13分） 设4维向量组()()()T
T
T
1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,
a a a α
αα=+=+=+
()
T
44,4,4,4a α=+，问a 为何值时1
2
3
4
,,,αααα线性相关?当1
2
3
4
,,,αααα
线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.
【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a ；用初等变换求极大线性无关组.
【详解】记以1
2
3
4
,,,αααα为列向量的矩阵为A ，则
3
12341234
(10)12341
2
3
4a a A a a a a
++=
=+++.
于是当0,010A a a ===-即或时，1
2
3
4
,,,αααα线性相关.
当0a =时，显然1
α是一个极大线性无关组，且
213141
2,3,4αααααα===；
当10a =-时，
1
α 2
α 3
α 4
α
9234183412741236A -⎛⎫ ⎪-
⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭
，
由于此时A 有三阶非零行列式
923
18340001
2
7
--=-≠-，所以
123
,,ααα为极大线性无关组，且1
2344123
0α
ααααααα+++==---，即.
（21）（本题满分13分）
设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量
()()
T
T
121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.
(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量； (Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T
Q AQ =Λ
；
（Ⅲ）求A 及
6
32A E ⎛⎫-
⎪⎝
⎭，其中E 为3阶单位矩阵.
【分析】 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q ；由T
Q
AQ =Λ
可得到A 和
6
32A E ⎛⎫-
⎪⎝
⎭.
【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以
1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T
(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征
向量为k α，其中k 为不为零的常数. 又由题设知 1
20,0
A A α
α==，即1
122
0,0A A α
ααα=⋅=⋅，而且1
2
,αα线
性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，1
2
,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为 11
22
k k α
α+，其中
12
,k k 为不全为零的常数.
(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与1
2
,αα正交，所以只需将1
2
,αα正交.
取 1
1
βα=，
()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫
-
⎪
-⎛⎫⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
-⎝⎭⎝⎭ ⎪
⎝⎭
.
再将1
2
,,αββ单位化，得
1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛
⎪==
==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪
⎝⎭
，
令 []1
2
3
,,Q ηηη=，则1
T
Q
Q -=，由A 是实对称矩阵必可相似
对角化，得
T 300Q AQ ⎡⎤
⎢⎥==Λ⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
. （Ⅲ）由(Ⅱ)知
T 300Q AQ ⎡⎤
⎢⎥==Λ⎢⎥
⎢⎥⎣⎦，所以
T 3111
0011101110
A Q Q ⎛⎫
⎪
⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=Λ==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎝⎭⎝
⎭⎪ ⎪ ⎪⎪
⎝
⎭
⎭.
6
6
6
T T T 333222Q A E Q Q A E Q Q AQ E ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
66
6
6633
22
3
33302
2203322E ⎛⎫⎛⎫⎡⎤
⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪
⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪
⎛⎫⎛⎫ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣
⎦
⎪⎝⎭⎝
⎭
，
则
666
T 333222A E Q EQ E
⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
（22）（本题满分13分）
设随机变量X 的概率密度为
()1
,1021
,02
4
0,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩
　其他，
令()
2
,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.
(Ⅰ) 求Y 的概率密度()Y
f y ；
(Ⅱ) Cov(,)X Y ； (Ⅲ)
1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭
.
【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算. 【详解】 （I ） 设Y 的分布函数为()Y
F y ，即
2()()()
Y F y P Y y P X y =≤=≤，则
1) 当0y <时，()0Y
F y =；
2) 当01y ≤<时，
(2
()()Y
F y P X y P X =<=<<
00
1d 4x x =+=⎰3) 当14y ≤<
时，(2
()()1Y
F y P X y P X =<=-<<
010
111
d d 242
x x -=+=⎰. 4) 当4y ≥，()1Y
F y =.
所以
1()()4
0,Y Y y f y F y y <<⎪'==≤<⎪⎩
其他.
（II ） 22232
Cov(,)Cov(,)()()X Y X X E X EX X EX EX EXEX ==--=-，
而
2101
d d 244
x x EX x x -=+=
⎰⎰，
22
22
105
d d 246x x EX x x -=+=
⎰⎰，
330
23
107
d d 248x x EX x x -=+=
⎰⎰， 所以 7152
Cov(,)8463
X Y =
-⋅=.
(Ⅲ)
1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭211,4,422P X Y P X X ⎛⎫⎛⎫
=≤-≤=≤-≤ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
11,22222P X X P X ⎛⎫⎛
⎫=≤--≤≤=-≤≤- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭
1
2111d 24
x -
-==⎰
.
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（23）（本题满分13分）
设总体X 的概率密度为
(),01,
;1,12,
0,x f x x θθθ<<⎧⎪
=-≤<⎨⎪⎩
其他,
其中θ是未知参数()01θ<<，1
2
n
,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值1
2
,...,n
x x x 中小于1的个数.
（Ⅰ）求θ的矩估计； （Ⅱ）求θ的最大似然估计
【分析】 利用矩估计法和最大似然估计法计算. 【详解】（Ⅰ）因为()1
2
1
3
(;)d d 1d 2
EX xf x x x x x x θθθθ+∞-∞
==+-=
-⎰
⎰⎰，
- 31 - 令 32X θ-=，可得θ的矩估计为 3
2X θ=-)
.
（Ⅱ）记似然函数为()L θ，则
()()()()()111(1)N n N
N n N L θθθθθθθθθ--=⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅-=-L L 1424314444244443个个
. 两边取对数得
ln ()ln ()ln(1)L N n N θθθ=+--， 令d ln ()0d 1L N n N
θθθθ-=-=-，解得N
n θ=)为θ的最大似然估计.。