高阶线性微分方程常用解法简介

高阶线性微分方程常用解法简介

摘要：本文主要介绍高阶线性微分方程求解方法，主要的内容有高阶线性微分方程求解的常

用方法如。

关键词：高阶线性微分方程 求解方法

在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅

因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍.

讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt

---++++= （1），其中()i a t （

i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果

()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt

dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程.

1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如

111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n

阶常系数齐次线性微分方程。

111111111111[]()()()n t n t t

t t

n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt

a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式.

()F λ为特征方程，它的根为特征根.

1.1特征根是单根的情形

设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值

解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=++

+其中12,,,n

c c c

为任意常数.

如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根对应的，方程（3）有两个复值解

()(cos sin ),i t t t t e e i αβαββ+=+

()(cos sin ).i t t t t e e i αβαββ-=-

对应于特征方程的一对共轭复根,i λαβ=±我们可求得方程（3）的两个实值解cos ,sin .t t t t e e αβαβ

1.2特征根有重根的情形

设特征方程有k 重根1,λλ=则易知知

'(1)()1111()()()0,()0.k k F F F F λλλλ-====≠

1.2.1先设10,λ=即特征方程有因子k λ，于是110,n n n k a a a --+==

==也就是特征根方程的形状为110.n n k n k a a λλλ--++

+=而对应的方程（3）变为 1110,n n k n k n n k d x d x d x a a dt dt dt ---+++=易见它有k 个解211,,,k t t t -,且线性无关.

特征方程的k 重零根就对应于方程（3）的k 个线性无关解211,,,

k t t t -. 1.2.2当1k 重根10,λ≠对应于特征方程（4）的1k 重根1λ，方程（3）有1k 个解 1111112,,,,.t t t k t e te t e t e λλλλ-同样假设特征方程（4）的其他根2λ3,

,λm λ

的 重数依次为2k 3k m k ；1i k ≥，且1k +2k +

+m k =n,j i λλ≠(当i ≠j)，对应方程（3）的解有2222212,,,

,.t t t k t e te t e t e λλλλ-12,,,,m m m m m t t t k t e te t e t e λλλλ-。 上述解够成（3）的基本解组.

1.2.3特征方程有复根i λαβ=+，且为k 重特征根。则（3）有2k 个实解 2121cos ,cos ,cos ,

,cos ,sin ,sin ,sin ,,sin .t t t t t t k t t t t t t t t k t t e te t e t e e te t e t e αβαβαβαβαβαβαβαβ--

要点是把微分方程的求解问题化为代数方程的求根问题。下面介绍两

个例子.

例1. 求方程 ''''''39130y y y y -++= 的通解.

解：特征方程为

3239130λλλ-++= 或 2(1)(413)0λλλ+-+=

由此得 1λ=-1，=2+3i, 3λ=2-3i

因此，基本解组为 22,cos3,sin 3x x x e e x e x -

通解为 2123(cos3sin 3)x x y C e e C x C x -=++.

例2. 求方程 (4)''''''45440y y y y y -+-+= 的通解.

解：特征方程为

43245440λλλλ-+-+=

由于432224544(2)(1)λλλλλλ-+-+=-+

故特征根是 1,2342,,i i λλλ===-

它们对应的实解为：22,,cos ,sin x x e xe x x .

所求通解为

21234()cos sin x y e C C x C x C x =+++.

2．比较系数法

用于求常系数非齐次线性微分方程的特解.

2.1类型1

设t m m m m e b t b t b t b t f λ)()(1110++++=-- ，其中λ及)

,,1,0(m i b i =为实常数，那么常系数非齐次线性微分方程有形如

t m m m k e B t B t B t x λ)(~1110--+++= 的特解，其中k 为特征方程

0)(=λF 的根λ的重数（单根相当于k=1；不是特征根时，取k=0）

， 而m B B B ,,,10 是待定常数，可以通过比较系数来确定.

2.1.1如果0=λ，则此时m m m m b t b t b t b t f ++++=--1110)( 。

现在分为两种情况讨论.

（a ）0=λ不是特征根的情形，以m m m B t B t B x +++=- 110~

代入方程，并比较t 的同次幂的系数，可以唯一的逐个确定m B B B ,,,10 .

（b ）0=λ是k 重特征根的情形，以)(~

110m m m k t t t x γγγ+++=- 为特解