极限的基本性质

极限的基本性质

数列极限的性质

1、 极限的不等式性：

设；A x n n =∞→lim B y n n =∞

→lim ； ①若A>B, 则存在於同一趋势过程中，即∃N ，当n>N 时 存在：>

n x n y

②若>，则存在於同一趋势过程中，A≥B. n x n y

③若<

,在存在於同一趋势过程中，A≤B.

n x n y

2、 极限的唯一性：

若；A x n n =∞→lim B x n n =∞

→lim 则在n 的同一趋势过程中，A=B

3、 收敛数列必有界性:

若在n 取定趋势下收敛，则

必然有界，即：

n x n x

函数极限的性质

1、 函数极限的不等式性：

若；A

x f n x x =→)(lim B x g n

x x =→)(lim ； ①若A>B {在x→的趋势运动中，即：

0x ∃δ>0 ,在δ<−<00x x 时}

f(x)>g(x) ②若f(x)>g(x), {δ<−<0x 0x }

A≥B

③ 若g(x), {δ<−<0x 0x }

A≤B

2、 函数极限的保号性：

设， A x f n

x x =→)(lim ①若f(x)≥0, 则在δ<−<00x x ，A≥0

②若A>0, 则在δ<−<00x x ，

f(x)>0 3、 函数极限的唯一性：

设；A x f n x x =→)(lim B x f n

x x =→)(lim 则在δ<−<00x x

A=B

4、 存在极限的函数具有局部有界性：

若，则f(x)在的空心领域

A x f n x x =→)(lim 0x ),(00δx U ={x /δ<−<00x x }内有界，即∃

5、 两个重要极限公式：

1sin lim 0

=→x x x

e x x x =+∞

→)11(lim

1)1ln(lim 0

=+→x x x