复旦版数学分析答案全解ex14-4

习 题 14.4 微分形式的外微分

1. 计算下列微分形式的外微分：

（1）1-形式；

dy x xydx 22+=ω（2）1-形式xdy ydx sin cos −=ω；

（3）2-形式dz xydx dy zdx ∧−∧=6ω。

解（1）0222=∧+∧+∧=dy xdx dx xdy dx ydx d ω。

（2）dy dx x y dy xdx dx ydy d ∧−=∧−∧−=)cos (sin cos sin ω。

（3）=∧∧−∧∧=dz dx xdy dy dx dz d 6ωdz dy dx x ∧∧+)6(。

2．设ω=+++a x dx a x dx a x dx n n n 111222()()()"是n R 上的1-形式，求d ω。

解 d ω0)(1=∧′=∑=n

i i i i i dx dx x a

3．设ω=∧+∧+∧a x x dx dx a x x dx dx a x x dx dx 12323213313121(,)(,)(,)2是3R 上的

2-形式，求d ω。

解 设 323211),(dx dx x x a ∧=ω，由于

0,0323322=∧∧=∧∧dx dx dx dx dx dx ，

则有

=1ωd 03233

132221=∧∧∂∂+∧∧∂∂dx dx dx x a dx dx dx x a 。 类似地，设 133122),(dx dx x x a ∧=ω，212133),(dx dx x x a ∧=ω，则

032==ωωd d ，

从而

0321=++=ωωωωd d d d 。

4. 在3R 上在一个开区域Ω=××(,)(,)(,)a b c d e f 上定义了具有连续导数

的函数，，，试求形如

)(1z a )(2x a )(3y a dz x b dy z b dx y b )()()(321++=ω

的1-形式ω，使得

dy dx y a dx dz x a dz dy z a d ∧+∧+∧=)()()(321ω 。

解 由题意，可得

)()(),()(),()(2312

31x a x b z a z b y a y b −=′−=′−=′， 所以

dx dy y a ))((3∫−=ωdy dz z a ))((1∫−dz dx x a ))((2∫−。

5. 设（∑=∧=n

j i j i ij dx dx a 1,ωji ij a a −=，n j i ,,2,1,"=）是n R 上的2-形式，证

明

d ω∑=∧∧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=n k j i k j i j ki i jk k ij dx dx dx x a x a x a 1,,31。 证 因为

,1n ij i j i j a dx dx ω==∧∑,1n jk j k j k a dx dx ==

∧=∑=∧n

i k i k ki dx dx a 1,∑， 所以

∑=∧∧∂∂=

n k j i j i k k ij dx dx dx x a d 1,,ω

∑=∧∧∂∂=

n k j i k j i i jk dx dx dx x a 1,, ∑=∧∧∂∂=

n k j i i k j j ki dx dx dx x a 1

,,， 由于 k j i i k j j i k dx dx dx dx dx dx dx dx dx ∧∧=∧∧=∧∧，

从而

d ω∑=∧∧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=n k j i k j i j ki i jk k ij dx dx dx x a x a x a 1,,31。

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