数理方程试题

一． 判断题（每题2分）.

1. 2u u x y x y x

∂∂+=∂∂∂是非线性偏微分方程.( ) 2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( )

3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式， 则 ( )

4. (,)0xy f x y =的解是调和函数.( )

5. **12u u 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解，则**12u u -是0u ∆= 的解.( )

二． 填空题（每题2分）.

1. ()sin t xx yy u u u xt -+= 是____________型偏微分方程.

2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布，当边界上温度为()t φ时，试建立方程的定解问题________________________.

3. 2x 的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________.

4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________.

5. []()____________.at m L e t s =

三．求解定解问题（12分）

200sin ;

0,0;0.

t xx x x x x l t u a u A t u u u

ω===-====

四．用积分变换方法求解以下微分方程（每题12分，共24分）

（1） 00

1,0,0;

1,

1.xy x y u x y u y u ===>>=+=

（2） 00230, 1.

t

t t y y y e y y =='''+-='==

五．某半无界弦的端点是自由的，初始位移为零，初始速度为cos x ，求弦的自由振动规律。（12分）

六．设有长为a ，宽为b 的矩形薄板，两侧面绝热，有三边的温度为零，另一边的温度分布为x ，内部没有热源，求稳定状态时板内的温度分布。（12分）

七．判断下列方程所属类型并求其标准形式（8分）

0xx yy yu xu +=

八．叙述并证明Laplace 变换的微分性质和卷积性质。（12分）

数理方程试卷答案

一 判断题

（1）X （2） X （3） V （4）V （4）V

二 填空题

（1）抛物 （2）222

2220,xx yy x y R u u x y R u φ+=⎧+=+<⎪⎨=⎪⎩ （3）0212()()33P x P x + （4）11[()()]()22

x at x at x at x at t dt φφφ-+++--⎰ （5）1!()

m m s a +- 三 解 ：有条件知 固有值为 2()n n l

πλ=，

固有函数系为 ：cos

,0,1,2,...n n x n l πφ== （3分） 设0(,)()cos

n n n u x t T t x l

π∞==∑ 带入方程得 20['()(

)()]cos sin n n n n a n T t T t x A t l l ππω∞

=+=∑ （2分） 02'()sin ()

'()(

)()0(0)0n n n T t A t n a T t T t l

T ωπ∴=+== （4分） 得 0()(1cos ),

()0,1,2,...

n A

T t t T t n ωω=-==（4分） (,)(1cos )A

u x t t ωω∴=- （1分）

四 .(1)解;对 (,)u x y 关于 y 作 Laplace 变换， 不妨设 (,)[(,)]()U x p L u x y p = （1分）

对方程两端同时作Laplace 变换得

((,)1)1,d pU x p dx p

-= （3分） (,)1dU x p p dx p

∴= 2(,)1dU x p dx p

= （3分） 且211(0,)U p p p =

+ 22111(,)U x p x p p p

∴=+ （3分） (,)1u x y xy y ∴=++ （2分）

（2）设()[()]()Y p L y t p = （1分）

对原方程两端同时作Laplace 变换得：

21

()12()3()1p Y p pY p Y p p -+-=- （4分）

231113

1()1614(1)163Y p p p p ∴=+---+ （3分）

33

1

3

()16416t t t y t e te e -∴=+- （4分）

五．解：建立方程

20000,0

0,cos 0

tt xx t t t x x u a u x t u u x u ===⎧=<<+∞>⎪==⎨⎪=⎩ （3分） 由方程的 边界条件，对原问题做偶延拓 ，得到无界弦的转动方程 200'',0

'0,'cos tt xx t t t u a u x t u u x ===-∞<<+∞>== （4分）

根据达兰贝尔公式得

11'(,)cos sin cos 2x at

x at u x t sds x at a a +-==⎰ （3分）

从而，原问题的解为

11

(,)cos sin cos 2x at x at u x t sds x at a a +-==⎰ （2分）

六．解：定解问题为

0000,00,00,xx yy x x a y y b u u x a y b

u u u u x

====⎧+=<<<<⎪⎪==⎨⎪==⎪⎩ （2分）

由初值条件得 固有值 2(),n nx

a λ= 固有函数系为 ()sin ,1,2,...

n n x

X x n a π== （2分）

方程的解为0(,)()()n n n u x y X x Y y +∞==∑ =0

sin ()n n n xY y a π

+∞

=∑

()()0n n n Y y Y y λ''-= （2分）

()n n a a y y n n n Y y C e D e ππ

-∴=+