人教版七年级上册数学 有理数单元测试卷(含答案解析)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）
1．点在数轴上分别表示有理数，两点间的距离表示为 .且 .
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，
数轴上表示−2和−5的两点之间的距离是________，
数轴上表示1和−3的两点之间的距离是________；
（2）数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是________，如果|AB|=2，那么x=________；
（3）当代数式|x+1|+|x−2|取最小值时，相应x的取值范围是________.
【答案】（1）3；3；4
（2）1；-3
（3）−1⩽x⩽2
【解析】【解答】解：(1)、|2−5|=|−3|=3；
|−2−(−5)|=|−2+5|=3；
|1−(−3)|=|4|=4；
( 2 )、|x−(−1)|=|x+1|，由|x+1|=2，得x+1=2或x+1=−2，
所以x=1或x=−3；
( 3 )、数形结合，若|x+1|+|x−2|取最小值，那么表示x的点在−1和2之间的线段上，
所以−1⩽x⩽2.
【分析】（1）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值即可算出答案；
（2）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值得出AB=,又 |AB|=2 ，从而列出方程，求解即可；
（3）|x+1|+|x−2| 表示数x的点到-1的点距离与表示x的点到2的点距离和，根据两点之间线段最短得出当表示x的点在-1与2之间的时候，代数式|x+1|+|x−2|有最小值，从而得出x的取值范围.
2．如图，在数轴上点表示的数，点表示的数，点表示的数，是最大的负整数，且满足 .
（1）求，，的值；
（2）若将数轴折叠，使得点与点重合，求与点重合的点对应的数；
（3）点，，在数轴上同时开始运动，其中以单位每秒的速度向左运动，以单位每秒的速度向左运动，点以单位每秒的速度运动，当，相遇时，停止运动，求此时两点之间的距离.
【答案】（1）解：∵是最大的负整数，
∴b=-1，
∵，
∴a=-3，c=6
（2）解：设当点与点重合时，对折点为D，
则D点的坐标为（-2,0），
∴此时与点重合的点对应的数是-10
（3）解：由（1）和（2）可知，运动前BC=7，
由题意可得，运动后，相遇时，可计算出经历的时间为7s，此时C点坐标为（-8,0），
当A点向左运动时，此时C点坐标为（-24,0），可得此时两点之间的距离为16；
当A点向右运动时，此时C点坐标为（18,0），可得此时两点之间的距离为26
【解析】【分析】（1）根据是最大的负整数得出b=-1，根据绝对值的非负性，由两个非负数的和为0，则这两个数都为0，求出a,c的值；
（2）设当点与点重合时，对折点为D，根据折叠的性质得出点D所表示的数是-2，故CD=8，在点D的左边距离点D8个单位的数就是-10，从而得出答案；
（3）由（1）和（2）可知，运动前BC=7，由题意可得，运动后，相遇时，可计算出经历的时间为7s，然后根据点A向左或向右运动两种情况考虑即可得出答案.
3．对于有理数，定义一种新运算“ ”，观察下列各式：
，，
.
（1）计算： ________， ________.
（2）若，则 ________ (填入“ ”或“ ”).
（3）若有理数，在数轴上的对应点如图所示且，求
的值.
【答案】（1）19；
（2）
（3）解：由数轴可得，
，，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
.
【解析】
【解答】（1），
；
（2）∵，，，
∴
，
或
综上可知，
【分析】（1）根据定义计算即可；
（2）分别根据定义计算a b和b a，判断是否相等；
（3）由定义计算得到|a+b|=5，再根据数轴上点的位置关系判断a+b<0，再计算[（a+b）（a+b）][a+b]
4．观察下列等式：
第1个等式：a1＝，
第2个等式：a2＝，
第3个等式：a3＝，
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5＝________＝________；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：a n＝________＝________(n为正整数)；
（3）求a1+a2+a3+…+a2019的值.
【答案】（1）；
（2）；
（3）解：a1+a2+a3+…+a2019＝+…+
＝
【解析】【解答】第1个等式：a1＝，
第2个等式：a2＝，
第3个等式：a3＝，
∴第4个等式：a4＝，
第5个等式：a5＝，
故答案为： (2)第n个等式：
a n＝
故答案为：；
【分析】（1）根据规律，得出第5个等式：a5＝；（2）根据规
律，得出第5个等式：a n＝；（3）将提出后，括号里进行加减，即可求出结果．
5．点P，Q在数轴上分别表示的数分别为p，q，我们把p，q之差的绝对值叫做点P，Q之间的距离，即．如图，在数轴上，点A，B，O，C，D的位置如图所示，则；；
．请探索下列问题：
（1）计算 ________，它表示哪两个点之间的距离？ ________
（2）点M为数轴上一点，它所表示的数为x，用含x的式子表示PB=________；当PB=2时，x=________；当x=________时，|x+4|+|x-1|+|x-3|的值最小．
（3）|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2018|+|x-2019|的最小值为________．
【答案】（1）5；A与C
（2）x+2
；-4或0
；1
（3）1019090
【解析】【解答】解：（1）|1−（−4）|＝|1＋4|＝|5|＝5，|1−（−4）|表示点A与C之间的距离，
故答案为：5，点A与C；（2）∵点P为数轴上一点，它所表示的数为x，点B表示的数为−2，
∴PB＝|x−（−2）|＝|x＋2|，
当PB＝2时，|x＋2|＝2，得x＝0或x＝−4，
当x≤−4时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|＝−x−4＋1−x＋3−x＝−x≥4；
当−4＜x＜1时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|＝x＋4＋1−x＋3−x＝8−x，
当1≤x≤3时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|＝x＋4＋x−1＋3−x＝6＋x，
当x＞3时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|＝x＋4＋x−1＋x−3＝3x＞9，
∴当x＝1时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|有最小值；
故答案为：|x＋2|；−4或0；1（3）|x−1|＋|x−2019|≥|1−2019|＝2018，
当且仅当1≤x≤2019时，|x−1|＋|x−2019|＝2018，
当且仅当2≤x≤2018时，|x−2|＋|x−2018|≥|2−2018|＝2016，
…
同理，当且仅当1009≤x≤1011时，|x−1009|＋|x−1011|≥|1009−1011|＝2，
|x−1010|≥0，当x＝1010时，|x−1010|＝0，
∴|x−1|＋|x−2|＋|x−3|＋…＋|x−2018|＋|x−2019|≥0＋2＋4＋…＋2018＝1019090，
∴|x−1|＋|x−2|＋|x−3|＋…＋|x−2018|＋|x−2019|的最小值为1019090；
故答案为1019090．
【分析】（1）由所给信息，结合绝对值的性质可求；（2）由绝对值的性质，分段去掉绝对值符号，在不同的x范围内确定|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|的最小值；（3）由所给式子的对称性，结合绝对值的性质，将所求绝对值式子转化为求0＋2＋4＋…＋2018的和．
6．阅读材料:
在数轴上，点 A 在原点 0 的左边，距离原点 4 个单位长度，点 B 在原点的右边，点 A 和点B 之间的距离为 14个单位长度.
（1）点 A 表示的数是________，点 B 表示的数是________;
（2）点 A、B 同时出发沿数轴向左移动，速度分别为 1 个单位长度/秒，3 个单位长度/秒，经过多少秒，点 A 与点 B重合?
（3）点 M、N 分别从点 A、B 出发沿数轴向右移动，速度分别为 1 个单位长度/秒、2 个单位长度/秒,点 P 为 ON 的中点，设 OP-AM 的值为 y,在移动过程中，y 值是否发生变化?若不变，求出 y 值;若变化，说明理由.
【答案】（1）-4；10
（2）解：由题意知，此时为速度问题里面的追击问题，则由速度差×相遇时间＝相距距离可知：
设经过x秒后重合，即x秒后AB相遇.
则(3-1)x=14
解得：x=7
故7秒后点A，B重合.
（3）解：y不发生变化，理由如下：
设运动时间为x秒，则AM=x
而OP=
则y=OP-AM=
故y为定值，不发生变化.
【解析】【解答】解：（1）由A在原点左边4个单位长度可知A点表示的数是-4，由B 在原点右边且与点A距离14个单位长度可知，-4+14=10，则B点表示的数是10.
【分析】（1）由A在原点左边4个单位长度可知A点表示的数是-4，再根据B 在原点右边且与点A距离14个单位长度，可由-4+14=10可得B点表示的数.（2）把A，B看成距离为14个单位长度的追击问题，由速度差×相遇时间＝相距距离列出等式求解.（3）设移动时间为x秒，用含有x的代数式表示出OP与AM的长度，然后根据y= OP-AM列出关系式判断,若式中不含x项则不发生变化，含x项则发生变化.
7．我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离。

而|5|=|5-0|，即|5-0|表示5和0在数轴上对应的两点之间的距离。

类似的，有：|5-3|表示5和3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5-（-3）|，所以|5+3|表示5和-3在数轴上对应的两点之间的距离。

一般地，点A、B在数轴上分别表示数a和b，那么点A和B之间的距离可表示为|a-b|。

利用以上知识：
（1）求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|的最小值=________。

（2）求代数式|x-1|+| x-1|+| x-3|+| x-4|的最小值。

【答案】（1）2500
（2）解：1、1……2、2……9、9……16、16，
则最中间的一个数是2，
∴当x=2,
|x-1|+|x-1|+|x-3|+|x-4|
=|x-1|+|x-2|+|x-9|+|x-16|
=(12|2-1|+6|2-2|+4|2-9|+3|2-16)|
=
=.
【解析】【解答】解：(1) 由题意得：|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|的最小值为：
|50.5-1|+|50.5-2|+|50.5-3|+…+|50.5-100|=2500.
【分析】（1）由于|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|表示数轴上某点到1、2、3……100的距离之和，因此当x所对应的点在点1和点100最中间时取最小值，这时把x=50.5代入原式求值即可.
(2)先提取将每个绝对值的系数变为整数，然后将12个1，6个2，4个9和3个16排成一组数，则最中间的一个数是2，则把2代入原式求值即是最小值.
8．已知M＝（a＋24）x3﹣10x2＋10x＋5是关于x的二次多项式，且二次项系数和一次项系数分别为b和c，在数轴上A、B、C三点所对应的数分别是a、b、c.
（1）则a＝________，b＝________，c＝________.
（2）有一动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度向右运动，多少秒后，P到A、B、C 的距离和为40个单位？
（3）在（2）的条件下，当点P移动到点B时立即掉头，速度不变，同时点T和点Q分别从点A和点C出发，向左运动，点T的速度1个单位/秒，点Q的速度5个单位/秒，设点
P、Q、T所对应的数分别是x P、x Q、x T，点Q出发的时间为t，当＜t＜时，求2|x P ﹣x T|＋|x T﹣x Q|＋2|x Q﹣x P|的值.
【答案】（1）﹣24；﹣10；10
（2）解：①当点P在线段AB上时，14＋（34﹣4t）＝40，解得t＝2.
②当点P在线段BC上时，34＋（4t﹣14）＝40，解得t＝5，
③当点P在AC的延长线上时，4t+（4t-14）+（4t-34）=40，解得t= ,不符合题意，排除，
∴t＝2s或5s时，P到A、B、C的距离和为40个单位.
（3）解：当点P追上T的时间t1= .
当Q追上T的时间t2= .
当Q追上P的时间t3= =20，
∴当＜t＜时，位置如图，
∴2|x P﹣x T|＋|x T﹣x Q|＋2|x Q﹣x P|
＝2(3t－14)＋34－4t＋2(20－t)6t－28＋34－4t＋40－2t
＝74－28
＝46.
【解析】【解答】解：（1）∵M＝（a＋24）x3﹣10x2＋10x＋5是关于x的二次多项式，∴a＋24＝0，b＝﹣10，c＝10，∴a＝﹣24，
故答案为﹣24，﹣10，10.
【分析】（1）根据二次多项式的定义，列出方程求解即可；（2）分三种情形，分别构建方程即可解决问题；（3）当点P追上T的时间t1= .当Q追上T的时间t2=
.当Q追上P的时间t3= =20，推出当＜t＜时，位置如图，利用绝对值的性质即可解决问题.
9．如图，点A从原点出发沿数轴向左运动，同时点B也从原点出发沿数轴向右运动，3秒后，两点相距15个单位长度.已知点B的速度是点A的速度的4倍(速度单位：单位长度/秒)
（1）求出点A、点B运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；
（2）若A、B两点从(1)中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时，原点恰好处在点A、点B的正中间？
（3）若A、B两点从(1)中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时，另一点C 同时从B点位置出发向A点运动，当遇到A点后，立即返回向B点运动，遇到B点后又立
即返回向A点运动，如此往返，直到B点追上点A时，C点立即停止运动，若C点一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？
【答案】（1）解：设点A的速度为每秒x个单位长度，则点B的速度为每秒4x单位长度依题意得3x+3×4x=15
解之得x=1
所以点A的速度为每秒1个单位长度，点B的速度为每秒4单位长度
如图，
（2）解：设y秒时原点恰好在A、B两点的中间，依题意得
3+y=12-4y
解之得y=1.8
所以A、B两点运动1.8秒时，原点就在点A、点B的中间
（3）解：设点B追上点A的时间为z秒，依题意得
4z=15+z
解之得z=5
所以C行驶的路程为：5×20=100单位长度。

【解析】【分析】（1）根据两点的运动速度，设点A的速度为每秒x个单位长度，则点B 的速度为每秒4x单位长度，再根据两点之间相距15个单位长度，建立关于x的方程，解方程求出x的值即可。

（2）由题意设y秒时原点恰好在A、B两点的中间，由此建立关于y的方程，解方程求出y的值。

（3）设点B追上点A的时间为z秒，根据已知条件建立关于z的方程，解方程求出z的值，然后求出C行驶的路程即可。

10．在数轴上有A、B、C、D四个点，分别对应的数为a，b，c，d，且满足a，b到点-7的距离为1 （a＜b），且（c﹣12）2与|d﹣16|互为相反数.
（1）填空：a＝________、b＝________、c＝________、d＝________；
（2）若线段AB以3个单位/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1单位长度/秒向左匀速运动，并设运动时间为t秒，A、B两点都运动在CD上（不与C，D两个端点重合），若BD＝2AC，求t得值；
（3）在（2）的条件下，线段AB，线段CD继续运动，当点B运动到点D的右侧时，问是否存在时间t，使BC＝3AD？若存在，求t得值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）-8；-6；12；16
（2）解：AB、CD运动时，
点A对应的数为：−8＋3t，
点B对应的数为：−6＋3t，
点C对应的数为：12−t，
点D对应的数为：16−t，
∴BD＝|16−t−（−6＋3t）|＝|22−4t|
AC＝|12−t−（−8＋3t）|＝|20−4t|
∵BD＝2AC，
∴22−4t＝±2（20−4t）
解得：t＝或t＝
当t＝时，此时点B对应的数为，点C对应的数为，此时不满足题意，
故t＝
（3）解：当点B运动到点D的右侧时，
此时−6＋3t＞16−t
∴t＞，
BC＝|12−t−（−6＋3t）|＝|18−4t|，
AD＝|16−t−（−8＋3t）|＝|24−4t|，
∵BC＝3AD，
∴|18−4t|＝3|24−4t|，
解得：t＝或t＝
经验证，t＝或t＝时，BC＝3AD
【解析】【解答】（1）∵|x＋7|＝1，
∴x＝−8或−6
∴a＝−8，b＝−6，
∵（c−12）2＋|d−16|＝0，
∴c＝12，d＝16，
故答案为：−8；−6；12；16.
【分析】（1）根据方程与非负数的性质即可求出答案.（2）AB、CD运动时，点A对应的数为：−8＋3t，点B对应的数为：−6＋3t，点C对应的数为：12−t，点D对应的数为：16−t，根据题意列出等式即可求出t的值.（3）根据题意求出t的范围，然后根据BC＝3AD 求出t的值即可.
11．已知数轴上的两点A、B所表示的数分别是a和b,O为数轴上的原点，如果有理数a,b 满足
（1）求a和b的值；
（2）若点P是一个动点，以每秒5个单位长度的速度从点A出发，沿数轴向右运动，请问经过多长时间，点P恰巧到达线段AB的三等分点？
（3）若点C是线段AB的中点，点M以每秒3个单位长度的速度从点C开始向右运动，同时点P以每秒5个单位长度的速度从点A出发向右运动，点N以每秒4个单位长度的速度从点B开始向左运动，点P与点M之间的距离表示为PM，点P与点N之间的距离表示为PN，是否存在某一时刻使得PM+PN=12？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：a=-8，b=22；
（2）解：5t=10时，t=2；5t=20时，t=4；
（3）解：存在
理由：设运动的时间为x秒，
点C对应的数为7，
点P对应的数为−8＋5x，
点M对应的数为 7＋3x，
点N对应的数为22−4x，
则PM＝|（−8＋5x）−（7＋3x）|＝|−15＋2x|，PN＝|（−8＋5x）−（22−4x）|＝|−30＋9x|．
由PM＋PN＝12得|−15＋2x|＋|−30＋9x|＝12．
①当0＜x≤ 时，15−2x＋30−9x=12，解得：x=3 ，
此时P对应的数为-8+5x=7；
②当＜x≤ 时，15−2x-30+9x=12，解得：x= 且＜≤ ，
此时P对应的数为-8+5x= ；
③当＜x时，-15+2x-30+9x=12，解得：x= 且＜，舍去；
综上可知，当运动的时间为3秒或秒时，会使得PM＋PN＝12，
此时点P对应的数为 7或 .
【解析】【分析】（1）根据绝对值以及偶次方的非负性得出a，b的值；（2）根据点P 运动的速度、结合AP：BP＝1：2或AP：BP＝2：1找出点P的运动时间，设点Q的运动速度为x单位长度/秒，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，解之即
可得出结论；（3）分三种情况：①0＜x≤ ；② ＜x≤ ；③ ＜x时. 结合两点间的距离公式列出相应的方程进行解答即可．
12．点A在数轴上对应的数为3，点B对应的数为b，其中A、B两点之间的距离为5 （1）求b的值
（2）当B在A左侧时，一点D从原点O出发以每秒2个单位的速度向左运动，请问D运动多少时间，可以使得D到A、B两点的距离之和为8?
（3）当B在A的左侧时，一点D从O出发以每秒2个单位的速度向左运动，同时点M从B出发，以每秒1个单位的速度向左运动，点N从A出发，以每秒4个单位的速度向右运动；在运动过程中，MN的中点为P，OD的中点为Q，请问MN-2PQ的值是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；如果没有变化，请求出这个值.
【答案】（1）解：由题意得：，解得：
（2）解：当B在A左侧时，由（1）可知：，设点D运动的时间为t秒，则D 表示的数为-2t，当D到A、B两点的距离之和为8时，可得D在B左侧，且DB+DA=DB+DB+AB=2DB+5=8，故 DB=1.5，即-2-（-2t）=1.5，解得t=1.75
（3）解：在运动过程中，MN-2PQ=4恒成立，理由如下：
当B在A左侧时，由（1）可知：，设点D运动的时间为t秒，则
D表示的数为-2t，M表示的数为-2-t，N表示的数为3+4t；
故MN的中点P表示的数为0.5+1.5t，OD的中点Q表示的数为-t；
则MN-2PQ=[（3+4t）-（-2-t）]-2[(0.5+1.5t)-(-t)]
=5+5t-2(0.5+2.5t)
=5+5t-1-5t
=4
【解析】【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求解.（2）根据运动速度可表达出D点坐标，根据D到A、B两点的距离之和为8，可知D点在B的左侧，根据两点之间的距离公式即可求解（3）根据运动速度可表达出M、D、N点的坐标，根据中点公式求出P、Q坐标进而求出MN、PQ线段长即可求解.。