高中数学怎样判断和证明有关充要条件问题-苏教版选修2-1

怎样判断和证明有关充要条件问题
判断充要条件常用下面三种方法：
1．定义法：通过定义借助于推出方向判断．
2．等价法：利用原命题与其逆否命题等价，逆命题与其否命题等价来判断；对于条件或结论是不等关系的命题，一般运用等价法．
3．利用集合间的包含关系判断，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若
A B =，则A 是B 的充要条件．
例1．（1）下列四组条件中，甲是乙的充分不必要条件的是（ ）． A ．甲：a >b ；乙：
1a <1
b
B ．甲：ab <0；乙：||a b +<||a b -
C ．甲：a b =；乙：a b +=．甲：0101
a b <<⎧⎨
<<⎩；乙：02
11a b a b <+<⎧⎨-<-<⎩
（2）2
253x x --<0的一个必要不充分条件是（ ）． A ． 1-<x <6< B ． 12-
<x <3 C ． 12-<x <0 D ． 2-<x <1
2
（3）设命题甲：0<x <5；命题乙：|2|x -<3．则命题甲是命题乙的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
（4）设抛物线2
:P y x bx c =++及直线:1L y x =+， P 的顶点坐标为2
4(,
)24
b c b --，则“2
44
c b -<12b -+”是“P 与L 有两个公共点”的（ ）．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
（5）若k R ∈，则“k >3”是“方程22
133
x y k k -=-+表示双曲线”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 解析：（1）D ．命题A 、C 不是充分条件；命题B 是充要条件． （2）A ．利用集合间的包含关系判断． （3）A ．利用集合间的包含关系判断．
（4）A ．由2
44
c b -<12b -+知顶点与坐标原点在同侧，且开口向上，故P 与L 有两个公共点．
（5）A ．“方程22
133
x y k k -=-+表示双曲线”等价于(3)(3)k k +->0，等价于k >3或k <3-． 例2．（1）已知a ，b 为任意平面向量，有下列命题：①||||a b =；②2
2
a b =；③2
||a a b =⋅，其中可作为a b =的必要不充分条件的命题是（ ）．
A ．①②
B ．②③
C ．①②③
D ．①
（2）已知a ,b ,c 为非零的平面向量，甲：a b a c ⋅=⋅；乙：b c =，则（ ）． A ．甲是乙的充分不必要条件 B ．甲是乙的必要不充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲是乙的既不充分也不必要条件 解析：（1）C ．由a b =能推出①②③，反之不行． （2）B ．由甲推不出乙，因为数量积运算不满足消去律． 例3．（1）在ABC ∆中，“A >30︒”是“sin A >1
2
”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
（2）如果α，β是实数，那么“αβ≠”是tan tan αβ≠的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：（1）B ．注意“在ABC ∆中”这个条件，否则是既不充分也不必要条件． （2）D ．可举反例．
例4．（1）关于x 的方程()2
214320k x kx k +++-=的两根同号的充要条件是（ ）．
A ． 1k <-或k ≥
2
3 B ． 21k -<<- C ．2-≤1k <-或2
3
<k ≤1 D ．2-≤k ≤1
（2）已知数列{}n a ，那么“对任意的*
n N ∈，点(,)n n P n a 都在直线21y x =+上”是“{}n a 为等差数列”的（ ）．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：（1）C ．判别式大于等于0且两根之积大于0．（2）A ．由21n a n =+知“{}n a 为等差数列”；反之不成立．
例5．（1）已知p ：|52|x ->3，q ：
21
45
x x +-≥0，试判断p ⌝是q ⌝的什么条件．
（2）已知p 是r 的充分条件，而r 是q 的必要条件，同时又是s 的充分条件，q 是s 的必要条件，试判断①s 是p 的什么条件；②p 是q 的什么条件；③其中有哪几对条件互为充要条件？
解析：（1）p ⌝：1
5
-
≤x ≤1；q ⌝：5-≤x ≤1，从而可判定p ⌝是q ⌝的充分不必要条件． （2）p r ⇒，q r ⇒，r s ⇒，s q ⇒，∴p r s q r ⇒⇒⇒⇒．
①由p s ⇒知：s 是p 的必要条件；②由p q ⇒知：p 是q 的充分条件；③其中r 与s ，r 与q ，s 与q 三对互为充要条件．
例6．已知a ，b ，c 均为正数，求证：3
3
3
3a b c abc ++=的充要条件是a b c ==． 证明：充分性：若a b c ==，显然3
3
33a b c abc ++=成立． 必要性：若3
3
3
3a b c abc ++=，即3
3
3
30a b c abc ++-=，
则222()[()()()]0a b c a b b c c a ++-+-+-=，因为0a b c ++≠，所以a b c ==． 故3
3
33a b c abc ++=的充要条件是a b c ==．
例7．求方程2
10x kx ++=与2
0x x k ++=有一个公共根的充要条件．
解析：22100
x kx x x k ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩⇔222()100x x x x x x k ⎧--+=⎪⎨++=⎪⎩⇔2
2
(1)(1)00x x x x x k ⎧++-=⎪⎨++=⎪⎩12x k =⎧⇔⎨=-⎩ 所以两方程与有一个公共根的充要条件是2k =-．
例8．已知2:45p x x --≤0，:|3|q x -<a (a >0)，若p 是q 的充分不必要条件，求a 的范围．．
解析：设A ={2
45x x --≤0}={|1x -≤x ≤5}，{|3B x a =-+<x <3}a +，因为p 是q 的充分不
必要条件，从而有A B ⊂，故31
35a a -+<-⎧⎨+>⎩
,解得a >4．都是“定义域”惹的祸
函数三要素中，定义域是十分重要的，研究函数的性质时应首先考虑其定义域．在求解函数有
关问题时，若忽视定义域，便会直接导致错解．下面我们举例分析错从何起．
一、求函数解析式时
例1．已知x x x f 2)1(+=+，求函数)(x f 的解析式 . 错解：令1+=
x t ，则1-=t x ，2)1(-=t x ，
1)1(2)1()(22-=-+-=∴t t t t f ，1)(2-=∴x x f
剖析：因为x x x f 2)1(+=+隐含着定义域是0≥x ，所以由1+=
x t 得1≥t ，
1)(2-=∴t t f 的定义域为1≥t ，即函数)(x f 的解析式应为1)(2-=x x f （1≥x ）
这样才能保证转化的等价性.
正解：由x x x f 2)1(+=+，令1+=
x t 得1≥t ，()2
1-=∴t x 代入原解析式得
1)(2-=t t f （1≥t ）
，即1)(2-=x x f （1≥x ）． 二、求函数最值（或值域）时
例2．若,62322x y x =+求22y x +的最大值．
错解：由已知有 x x y 32
32
2
+-
= ①，代入22y x +得 22y x +()293213212
2+--=+-=x x x ，∴当3=x 时，22y x +的最大值为2
9．
剖析：上述错解忽视了二次函数的定义域必须是整个实数的集合，同时也未挖掘出约束条件
x y x 62322=+中x 的限制条件．
正解：由032322
≥+-=x x y 得20≤≤x ，
∴22y x +()2
93213212
2+--=+-=x x x ，[]2,0∈x ，因函数图象的对称轴为3=x ，∴当
[]2,0∈x 是函数是增函数，故当当2=x 时，22y x +的最大值为4．
例3．已知函数()()32log 19f x x x =+≤≤，则函数()()2
2
y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的最大值为（ ）
A ．33
B ．22
C ．13
D ．6
错解：()()2
2
y f x f x
=+⎡⎤⎣⎦=()2
2
3
3
2log 2log x x +++=()
2
3
log 33x +-在()19x ≤≤上是
增函数，故函数()()22
y f x f x =+⎡⎤⎣⎦在9x =时取得最大值为33．
正解：由已知所求函数()()2
2
y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的定义域是2
19
19
x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩得13x ≤≤， ()()22
y f x f x =+⎡⎤⎣⎦=()22332log 2log x x +++=()2
3log 33x +-在13x ≤≤是增函数，故函数
()()2
2y f x f x =+⎡⎤⎣⎦在3x =时取得最大值为13．
例4．已知()()423
2
≤≤=-x x f x ，求()[]()2121x f x f y --+=的最大值和最小值．
错解：由()()4232
≤≤=-x x f x 得91≤≤y ．∴()()91log 231≤≤+=-x x x f ．
∴()[]()()6log 6log log 2log 23232
3232121++=+++=+=--x x x x x f x f y
()33log 2
3-+=x ． ∵91≤≤x ，∴2log 03≤≤x ．∴22max =y ，6min =y ．
剖析：∵()x f 1-中91≤≤x ，则()2
1x f -中912≤≤x ，即31≤≤x ，∴本题的定义域应为[]3,1．
∴1log 03≤≤x ．
正解：（前面同上）()33log 2
3-+=x y ，由31≤≤x 得1log 03≤≤x ．
∴13max =y ，6min =y ．
例5．求函数3254-+-=x x y 的值域． 错解：令32-=
x t ，则322+=t x ，∴()
1253222++=+-+=t t t t y
8
7
874122
≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t ．故所求函数的值域是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,87．
剖析：经换元后，应有0≥t ，而函数122
++=t t y 在[)+∞,0上是增函数，随着t 增大而无穷
增大．所以当0=t 时，1min =y ．故所求函数的值域是)+∞,1．
三、求反函数时
例6．求函数)20(242≤≤++-=x x x y 的反函数．
错解：函数)20(2
42
≤≤++-=x x x y 的值域为[]6,2∈y ,
又6)2(2+--=x y ，即 y x -=-6)2(2∴y x -±=-62，∴所求的反函数为
()6262≤≤-±=x x y ．
剖析：上述解法中忽视了原函数的定义域 ，没有对x 进行合理取舍,从而得出了一个非函数表达式．
正解：由2
42(02)y x x x =-++≤≤的值域为[]6,2∈y , 因y x -=-6)2(2，又
02≤-x ∴y x --=-62，∴所求的反函数为()6262≤≤--=x x y ．
四、求函数单调区间时
例7．求函数)4lg()(2
x x f -=的单调递增区间.
错解：令24x t -=，则t y lg =，它是增函数. 2
4x t -= 在]0,(-∞上为增函数，由复合函数的单调性可知，函数)4lg()(2
x x f -=在]0,(-∞上为增函数，即原函数的单调增区间是]0,(-∞.
剖析：判断函数的单调性，必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子区间．
正解：由042
>-x ，得)(x f 的定义域为)2,2(-.2
4x t -= 在]0,2(-上为增函数，由可复合函数的单调性可确定函数)4lg()(2x x f -=的单调增区间是]0,2(-.
例8．求()
23log 27.0+-=x x y 的单调区间．
错解：令232+-=x x t ，t y 7.0log =，⎥⎦
⎤ ⎝
⎛∞-∈2
3,x 时，232
+-=x x t 为减函数，
⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡+∞∈,23x 时，232+-=x x t 为增函数，又t y 7.0log =为减函数，故以复合函数单调性知原函
数增区间为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-23,，减区间为⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡+∞,23．
剖析：在定义域内取1=x ，y 值不存在，显然上面所求不对，根本原因正是疏忽了定义域，单
调区间必须在函数定义域内．由0232
>+-x x ，得1<x 或2>x ，故增区间为()1,∞-，减区间
为()+∞,2．
例9．指出函数2
2ln y x x =+的单调增区间． 错解：∵
22ln y x x =+，∴2
2y x x
'=+
，∴当0y '>时，1x ≥或1x ≤-，∴函数22l n y x x
=+的单调增区间为(][),1,1,-∞-+∞． 剖析：此题错在没有考虑函数的定义域()0,+∞，故本题的答案为[)1,+∞． 五、判断函数的奇偶性时 例10．判断()()
x
x
x x f +-+=111的奇偶性． 错解：∵()()()()()
()x f x
x
x x
x x x
x
x x f =+-+=-+-=
-+-=-1111111112， ∴()x f 为偶函数．。