傅里叶级数课程及习题讲解

第15章 傅里叶级数

§15.1 傅里叶级数

一 基本内容

一、傅里叶级数 在幂级数讨论中

1

()n

n n f x a x ∞

==∑，可视为()f x 经函数系

21, , , , , n x x x L L

线性表出而得．不妨称

2{1,,,,,}n

x x x L L 为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数系作为基，就得到傅里叶级数．

1 三角函数系

函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx L L 称为三角函数系．其有下面两个重要性质．

(1) 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零．

对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:L ，定义两个函数的内积为

(),()()()d b

n m n m a

u x u x u x u x x

=⋅⎰，

如果

0 (),() 0 n m l m n

u x u x m n ≠=⎧=⎨

≠⎩，则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:L 为正交系． 由于

1, sin 1sin d 1cos d 0

nx nx x nx x ππ

π

π

--=⋅=⋅=⎰⎰；

sin , sin sin sin d 0 m n

mx nx mx nx x m n π

π

π-=⎧=⋅=⎨≠⎩⎰

；

cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n π

π

π-=⎧=⋅=⎨≠⎩⎰

；

sin , cos sin cos d 0

mx nx mx nx x π

π

-=⋅=⎰

；

2 1, 11d 2x ππ

π

-==⎰，

所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性，故称为正交系．

利用三角函数系构成的级数

()01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞

=++∑

称为三角级数，其中011,,,,,,n n a a b a b L L 为常数

2 以2π为周期的傅里叶级数

定义1 设函数()f x 在[],ππ-上可积，

1

1

(),cos ()cos d k a f x kx f x kx x

π

π

π

π

-=

=

⎰

0,1,2,k =L ；

1

1

(),sin ()sin d k b f x kx f x kx x

π

π

π

π

-=

=

⎰

1,2,k =L ，

称为函数()f x 的傅里叶系数，而三角级数

()01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞

=++∑

称为()f x 的傅里叶级数，记作

()f x ～()

01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞

=++∑．

这里之所以不用等号，是因为函数()f x 按定义1所得系数而获得的傅里叶级数并不知其是否收敛于()f x ．

二、傅里叶级数收敛定理

定理1 若以2π为周期的函数()f x 在[,]ππ-上按段光滑，则

()01(0)(0)cos sin 22n n n a f x f x a nx b nx ∞=++-++=∑，

其中,n n a b 为()f x 的傅里叶系数．

定义2 如果()[, ]f x C a b '∈，则称()f x 在[,]a b 上光滑．若

[,),(0),(0)x a b f x f x '∀∈++存在；

(,],(0)x a b f x ∀∈-，(0)f x '-存在，

且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称()f x 在[,]a b 上按段光滑．

几何解释如图．

按段光滑函数图象是由有限条 光滑曲线段组成，它至多有有限个 第一类间断点与角点．

推论 如果()f x 是以2π

]上按 段光滑，则x R ∀∈，

有 ()

01()cos sin 2n n n a f x a nx b nx ∞

==++∑．

定义3 设()f x 在(,]ππ-上有定义，函数

() (,]

ˆ()(2) (2,2],1,2,f x x f x f x k x k k k πππππππ∈-⎧=⎨

-∈-+=±±⎩L

称()f x 为的周期延拓．

二 习题解答

1 在指定区间内把下列函数展开为傅里叶级数 (1) (),(i) , (ii) 02f x x x x πππ=-<<<<； 解：(i)、()f x =x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下．

其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得

01

1

()d d 0

a f x x x x π

π

π

π

ππ--=

==⎰

⎰

．

当1n ≥时，

1

1cos d d(sin )

n a x nx x x nx n π

π

π

π

ππ

--=

=

⎰

⎰

11

sin sin d 0

|x nx nx x n n π

πππ

ππ

--=

-

=⎰

，

1

1sin d d(cos )

n b x nx x x nx n π

π

ππ

ππ---=

=⎰⎰

1112cos cos d (1)|n x nx nx x n n n ππππππ+---=+=-⎰，

所以

1

1sin ()2(1)n n nx

f x n ∞

+==-∑，(,)x ππ∈-为所求． (ii)、()f x =x ，(0,2)x π∈作周期延拓的图象如下．

其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得

2200

1

1

()d d 2a f x x x x πππ

π

π

=

=

=⎰⎰

．

当1n ≥时，

220

1

1cos d d(sin )

n a x nx x x nx n πππ

π

=

=

⎰

⎰

2200

11

sin sin d 0

|x nx nx x n n π

πππ

=-

=⎰

，

220

1

1sin d d(cos )n b x nx x x nx n ππ

π

π-=

=

⎰

⎰