初中数学实数讲义(20200710022824)

实数

平方根与立方根

知识点：1.一般地，如果一个数的平方等于

a ，这个数叫做

a 的平方根。（也叫二次方根）

2.一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。负数没有平方根。

3.求一个数的平方根的运算，叫做开平方，开平方和平方互为你运算。

4.一般地，如果一个数的立方等于

a ，那么这个数叫

a 的立方根。

5.一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。6．求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方，开立方与立方互为逆运算7.正数a 的正的平方根和零的平方根,统称算术平方根。

例1判断题

(1)4的算术平方根是± 2 (2)4的平方根是 2 (3)8的立方是 2 (4)－1的立方根是－ 1 (5)－1的平方根是± 1

4

16)6(的平方根是

的算术平方根的相反数

表示66)7(任何数都有平方根)8( (9)

任何数都有立方根

填空（1）-8是

的平方根

（2）64的平方根（3）64的算术平方根

（4）

64的值

（5）

64的平方根

（6）64的立方根（7）-64的立方根（8）0的平方根是

例2（1）如果一个数的平方根是

3a

和152a ，则这个数为

（2）若x ，y 都是实数，且

42112y x x ，则

xy 的值（

）。

A 、0

B 、

2

1 C 、

2 D 、不能确定

【课堂练习】

1. 36的平方根是

，算术平方根是.

2.

3

64的平方根是

( )

A. 2

B. ±2

C.

±4 D. 不存在

3.在下列各式中，正确的是( ) A.

2

)

2(2

B.

4

.0064.03

C.

2

)

2(3

3

D.

)2()

2(

3

3

2

4. x

是

2

)

9(

的平方根，y 是64的立方根，则

x ＋y 的值为( )

A. 3

B. 7

C. 3，7

D. 1

，7

5.下列叙述正确的是（）

A 、0.4的平方根是2.0 B

、

3

2）（的立方根不存在

C 、

6是（－6）2

的算术平方根 D

、–27的立方根是– 3

6.如果一个数的平方根是

3a

和152a ，则这个数为

实数的概念

知识点：1.

负无理数

正无理数无理数

负分数

正分数分数

负整数零正整数整数

有理数

实数

2.无理数是无限不循环小数，分为三类情况（

1）类似

（2）

3

,开不尽的数

（3）00010100100010.0类似于3.实数和数轴上的点一一对应。

4.在数轴上表示的两个实数,右边的数总比左边的数大

5.

2

a

)

0(a -)0(0)0(a a

a a

a ．

6.

a （a ≥0）是一个非负数

例1 将下列各数分别填入下列的集合括号中

,93

,7,

7

22，

,2,16,

5,

83

,9

4

,0,2513，3737737773.0有理数集合：无理数集合：整数集合：自然数集合：

例2下列命题中，正确的是（）。

A 、无理数包括正无理数、0和负无理数

B 、无理数不是实数

C 、无理数是带根号的数

D

、无理数是无限不循环小数

下列命题中，正确的是（）。A 、两个无理数的和是无理数 B 、两个无理数的积是实数C 、无理数是开方开不尽的数

D

、两个有理数的商有可能是无理

例3（1）估计20的算术平方根的大小在（

）

A ．2与3之间

B ．3与4之间

C ．4与5之间 D

．5与6之间

分析：因为16<20<25，所以16的算术平方根<20的算术平方根<25的算术平方根，即20

的算术平方根的大小在

4与5之间。

解：选C

总结：熟练记忆常见的一些较小的有理数的平方根、立方根，利用乘方、开方运算是互逆运算的性质，是解决此类问题的基本方法。

（2）

3最接近的整数是（

）

A ．0 B

．2 C

．4 D

．5

（3）把下列各数在数轴上用点表示，并有小到大用“＜”连接起来

2

13

,8,

5,2,43

例4（1）当

a a

2

时，实数

a 在数轴上的对应点在

( )

A. 原点右侧

B. 原点左侧

C.

原点或原点右侧 D.

原点或原点左侧

（2）若

4,1y

x ，且0xy

,则y

x （3）已知

a

2

b

1

0，那么(a+b)

2011

的值为（）.

（A ）-1 （B ）1

（C ）3

2011

（D ）-3

2011

分

析

：∵

a 2

0,b 10，而a 2b 10

，∴a 20,

b

1

. ∴a=-2，b=1.∴(a+b)2011

=(-1)

2011

=-1.

解：（A ）

实数的运算

知识点：1.实数的运算顺序是先乘方和开方，在算乘除，再算加减。如果有括号，则先进性括号里的运算。

2.二次根式的乘法法则：

ab b a （a ≥0，b ≥0）.

二次根式的除法法则：

b

a

b

a （a ≥0，

b ＞0）.

例1 (1) 求

9

72

的平方根和算术平方根