陈鹤鸣激光原理习题与思考题3解答

习题与思考题三解答
1. 简述光学谐振腔的作用。

2. CO 2激光器的腔长L=100cm ，反射镜直径D=1.5cm ，两镜的光强反射系数分别为
r1=0.985，r2=0.8。

求由衍射损耗及输出损耗分别引起的δ,τ。

解答1 衍射损耗:
1880107501106102
262.).(.a L =⨯⨯⨯=λ=δ-- s ..c L c 8
81075110318801-⨯=⨯⨯=δ=
τ
输出损耗:
119080985050212
1.)..ln(.r r ln =⨯⨯-=-=δ s ..c L c 881078210
311901-⨯=⨯⨯=δ=
τ
解答2：
（1）输出损耗由腔镜反射不完全引起。

初始光强为I0在无源腔内往返一次后光强衰减为I1，则：
1210120
1128
18
1886
1111111
ln ln 0.119
220.985*0.8100 2.78*100.12*3*10/3*10/222*2.78*10 4.94*1010.6R R R R I I e r r I r r L
cm s c m s
c
m s
Q s m δδτδπυτπτπλμ---==⇒==========
（2）衍射损耗：腔的菲涅耳数
22
22
8
28
6
222
4144*100*10.60.188(1.5)1 1.77*100.188*3*10/2222 3.15*10d R d R R d d
a D N L L L cm m N D cm L m s c m s c
c L L Q c λλ
λμδτδπυτπ
τππλ
λδλδ--==
============
3. 利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意近轴光线在其中可以往返无限多次，而
且两次往返即自行闭合。

证明如下：（共焦腔的定义——两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔为共焦腔。

共焦腔分为实共焦腔和虚共焦腔。

公共焦点在腔内的共 焦腔是实共焦腔，反之是虚共焦腔。

两个反射镜曲率相等的共焦腔称为对称共焦腔，可以证明，对称共焦腔是实双凹腔。

）
根据以上一系列定义，我们取具对称共焦腔为例来证明。

设两个凹镜的曲率半径分别是1R 和2R ，腔长为L ，根据对称共焦腔特点可知：
L R R R ===21
因此，一次往返转换矩阵为
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=211121222121221221221R L R L R L R L R R R L L R L D C B A T
把条件L R R R ===21带入到转换矩阵T ，得到：
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001D C B A T
共轴球面腔的稳定判别式子
()121
1<+<
-D A
如果()121-=+D A 或者()121
=+D A ，则谐振腔是临界腔，是否是稳定腔要根据
情况来定。

本题中 ，因此可以断定是介稳腔（临界腔），下面证明对称共焦腔在近轴光线条件下属于稳定腔。

经过两个往返的转换矩阵式2
T ，
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=10012T
坐标转换公式为：
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111112221001θθθθr r r T r 其中等式左边的坐标和角度为经过两次往返后的坐标，通过上边的式子可以看出，光线经过两次往返后回到光线的出发点，即形成了封闭，因此得到近轴光线经过两次往返形成闭合，对称共焦腔是稳定腔。

4. 分别按下图3-48(a)(b)中的往返顺序，推导近轴光线往返一周的光学变换矩阵
(A B
C D
)，并证明这两种情况下的 12(A+D)相等。

解： 1234T T T T T = (a) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=D C B A L
R L R T 1011201
1011201
21
221R L A -= 1
2442
1212+--=R L R L R R L D 24442
1212+--=+R L
R L R R L D
A (b) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-
=D C B A L
R L R T 1011201
10112
01
12
121R L A -= 12441
2212
+--=R L R L R R L D 24442
1212+--=+R L
R L R R L D
A 5. 激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m 的凸面镜和曲率半径为2m 的凹面镜组成，
工作物质长0.5m ，其折射率为1.52.求腔长L 在什么范围内是稳定腔？ 解答如下：设腔长为1L ，腔的光学长度为L ，
已知IM R -=1，M R 22=，M L 5.00=，11=η，52
.12=η，
根据
()212
21222121R R L R L R L D A +--=+，
代入已知的凸凹镜的曲率半径，得到：
()22
12122212121L L M M L M L M L D A -+=⨯--+=+
因为含有工作物质，已经不是无源腔，因此，这里L 应该是光程的大小（或者说是利用光线在均匀介质里传播矩阵）。

即
52
.15
.015.012
1
1+-=
+
-=
L L L L L ηη，
代入上式，得到：
()2
11252.15.015.052.15.015.01121
⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+=-+=+L L L L D A
要达到稳定腔的条件，必须是
()121
1<+<
-D A ，
按照这个条件，得到腔的几何长度为：
17.217.11<<L ，
单位是米。

解答完毕。

6. 设光学谐振腔两镜面曲率半径R1=-1m ，R2=1.5m ，试问：腔长L 在什么范围内变
化时该腔为稳定腔？
解：
所以： 7. R=100cm,L=40cm 的对称腔，相邻纵模的频率差为多少？
8. 腔长为0.5m 的氩离子激光器，发射中心频率ν0=5.85╳1014Hz ，荧光线宽∆ν=6╳
108Hz 。

问可能存在几个纵模?相应的q 值为多少？ 解：纵模间隔为:
Hz L c
q 88
1035
.0121032⨯=⨯⨯⨯==∆ην，
210
31068
8
=⨯⨯=∆∆=q n νν， 则可能存在的纵模数有3个，它们对应的q 值分别为：
68
14
1095.110
31085.522⨯=⨯⨯=⨯=⇒=νμμνc L q L qc ， q ＋1=1950001，q －1＝1949999
1
)3
2
1(*)1(01)1(*)1(021<-+<→<--<L L R L R L m
L 23
2
1<<Hz L c q 8
8'
10*75.34
.0*210*3*2V ===∆
9. He-Ne 激光器的中心频率ν0=4.74╳1014Hz ，荧光线宽∆ν=1.5╳109Hz ，腔长L=1m ，
问可能输出的纵模数为多少？为获得单纵模输出，腔长最长为多少？ 解：
（1） q ν∆=L 2c η=2L c =121038
⨯⨯=1.5×810Hz
输出纵模数为 N=[
q
νν
∆∆]+1=[8
9
101.5101.5⨯⨯]+1=11
（2） ν
ν∆>∆q ，
即
q ν∆=L 2c η=2L c =L
21038
⨯⨯=1.5×810/L>1.5×910
则L<0.1m, 腔长最长不能超过0.1m
10. 有一个谐振腔，腔长L=1m ，两个反射镜中，一个全反，一个半反。

半反镜反射系
数r=0.99。

求在1500MHz 的范围内所包含的纵模个数，及每个纵模的线宽（不考虑其它损耗）。

解：
（1） q ν∆=L 2c η=2L
c =121038
⨯⨯=1.5×810Hz
输出纵模数为 N=[q
νν
∆∆]+1=[8
6
101.5101500⨯⨯]+1=11
所以输出纵模数为11. （2）透射损耗
2
/01.0)]1()1[(2
1r ln 21-2121=-+-≈=r r r δ=0.005
5-810151
103005.0/1c L/⨯=
⨯⨯==δτ
线宽
Hz v 551039.210215
2/1⨯=⨯=
=∆ππτ
11. 求方形镜共焦腔镜面上的TEM 30模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？（可以
ω0s 为参数）
解答2：
方形镜共焦腔自再现模满足的积分方程式为
()()
'
''''
',,dy dx e
y x e L i y x a a a
a
L
yy xx ik
mn ikL mn mn ⎰⎰--+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=υλγυ
经过博伊德—戈登变换，在通过厄密-高斯近似，可以用厄密-高斯函数表示镜面上场的函数
()()
()
πλλπ
λπ
υL y x c n m mn mn e y L H x L H C y x 2
222,+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛
=
()()
()
()
()
πλπλλπ
λπ
λπ
λπ
υL y x L y x e x L x L C e y L H x L H C y x 222
22122822,3
30033030+-+-⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛
=使
()0,30=
y x υ就可以求出节线的位置。

由上式得到：
λπ
l x x 223,03,21±
==，这些节线是等距的。

解答完毕。

12. 试写出圆形镜共焦腔TEM20和TEM02模在镜面上场的分布函数ν02(r,φ)和
ν20(r,φ)，并计算各节线的位置。

解答：圆形镜共焦腔场函数在拉盖尔—高斯近似下，可以写成如下的形式
()⎩⎨
⎧⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-
ϕ
ϕωωϕυωm m e
r L r C r s
r s n m m
s mn mn sin cos 22,2
02
202
（这个场对应于
mn
TEM ，两个三角函数因子可以任意选择，但是当m 为零时，只能
选余弦，否则整个式子将为零）
对于20TEM ：
()⎩⎨⎧⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-ϕϕ
ωωϕυω2sin 2cos 22,202
202
202
02020s r s s e r L r C r 并且122022
=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛s r L ω，代入上式，得到
()⎩⎨⎧⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-ϕϕ
ωϕυω2sin 2cos 2,202
2
02020s r s e r C r ， 取余弦项，根据题中所要求的结果，取
()02cos 2,202
2
02020=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-ϕωϕυωs
r s e r C r ，
就能求出镜面上节线的位置。

既
43,4
02cos 21π
ϕπ
ϕϕ=
=
⇒=
对于
02
TEM ，可以做类似的分析。

()202
202
2
02
02
022
02
020
00202222,s
s
r s
r s s e r
L C e r
L r C r ωωωωωϕυ-
-
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=
4
042022020
2
2412s s s r r r L ωωω+-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛， 代入上式并使光波场为零，得到
()0
2412,202
404
2
020
00202=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=-
s
r s s s e r r r C r ωωωωϕυ
显然，只要
2412404
2022020
2
=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s s s r r r L ωωω
即满足上式.最后镜面上节线圆的半径分别为：
s s r r 0201221,221ωω-=+
=
解答完毕。

13. 从镜面上的光斑大小来分析，当它超过镜子的线度时，这样的横模不可能存在。

试
估算在腔长l=30cm ，镜面线度2a=0.2cm 的He-Ne 激光方形镜共焦腔中所可能出现的最高阶横模的阶次是多大？
14.稳定双凹球面腔腔长L=1m,两个反射镜的曲率半径分别为R1=1.5m,R2=3m，求
它的等价共焦腔腔长，并画出它的位置。

解答：
15.对称双凹球面腔腔长为L，反射镜的曲率半径R=2.5L，光波长为λ，求镜面上的基
模光斑半径。

解：因为为对称球面腔，所以假设Z1<0，Z2>0，并且z2=-z1=z，f为等价共焦腔
焦距,所以
⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==+=+===+=+===2z z1-z2L /z f z /z1f z1R(z2)R R2/z)f -(z /z1)f -(z1R(z1)-R R12222⎭⎬⎫⎩⎨⎧==⇒L L/2z f
等价共焦腔腔长L'=2f=2L 。

所以镜面上基模光斑半径为 πλϖ'L 0s ==πλ
2L
16. 有一凹凸腔He-Ne 激光器，腔长L=30cm ，凹面镜的曲率半径R1=50cm ，凸面镜的曲率半径R2=30cm.
(1) 利用稳定性条件证明此腔为稳定腔。

(2) 求此腔产生的基模高斯光束的腰斑半径及束腰位置。

(3) 求此腔产生的基模高斯光束的远场发散角。

17. 有一平凹腔，凹面镜曲率半径R=5m,腔长L=1m ，光波长λ=0.5m.求：
（1） 两镜面上的基模光斑半径；
（2） 基模高斯光束的腰斑半径及束腰位置；
（3） 基模高斯光束的远场发散角。

解：(1)
41512=-⨯=-=)()L R (L f 等价共焦腔腔长L'=2f=4m ，λ=0.5m
2
0)/(1z)(f z +=ϖϖ , m L 56.02/'0==πλϖ
⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=====∴m z m z m z z 63.0)2/1(1)2(1256.0)1(01200ϖϖϖϖ时，时，
(2)腰斑半径m 56.02/'L 0==πλϖ，束腰在z=0处，与平面镜重合。

rad 0.564/2/f 200===πϖλπλθ
18. 设计一对称光学谐振腔，腔长L=2m,波长λ=10.6μm.如选择凹面镜曲率半径R=L ，
试求镜面上光斑尺寸。

若保持L 不变，选择R>L ，并使镜面上光斑尺寸ω0s =0.3cm,问此时镜的曲率半径和腔中心光斑尺寸多大？
解：
（1）镜面光斑尺寸（此时可把它看作对称共焦腔）：
mm L s s 5977.22106.10621=⨯⨯===-ππλωω
（2）此时不能当作对称共焦腔，但是仍然是对称光学谐振腔，只是L R R R >>==21，根据（3-160）式可得镜面光斑尺寸为（舍去一个与L 近似相等的解R=1.204m ）： ()()m R R R L R L R L L R L R L L R R L s 911.53])22(2[5977.2])2([)2(4124124
12≈⇒=-⨯⨯=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=πλπλω
（3） ()()()()
mm f w m L R L R L R L R L f 735.2911.4106.10216.24)2911.52(2222602=⨯⨯===-⨯⨯=----=-π
πλ 19. 某共焦腔Ne-Ne 激光器，波长λ=0.6328μm,若镜面上基模光斑尺寸为0.5mm ，试
求共焦腔的腔长。

若腔长保持不变，而波长λ=3.39μm ，此时镜面上光斑尺寸为多少？
解：（1）因为镜面上光斑尺寸为：
πλϖ'L 0s =
，
所以等价共焦腔腔长 λπϖ/L'20s =
当λ=0.6328m μ，0s ϖ=0.5mm 时，
λπϖ/L'2
0s ==1.24m
(2)当λ=3.39m μ时， πλ
ϖ'L 0s ==1.16m
20. 图3-49为四平面反射镜（M1~M4）构成的环形腔，在M1和M4之间放置一个薄
透镜，其焦距为f(>0)，整个腔长为L=2(2L1+L2)。

（1） 确定该腔的稳定性区间。

（2） 画出该腔的双球面镜等价腔，并标出腔参数。

（3） 若f=20cm,L1=5cm,L2=10cm,λ=514.5nm.求该腔的束腰大小，位置和谐振
频率。

21.一台激光器如图3-50所示，一个长度为d的激光介质置于腔长为L的平凹腔中，
平面镜M1为全反镜，球面镜M2的曲率半径为R2，反射系数为r2，不考虑增益介质，（1）确定激光器的稳定性条件；（2）求束腰的大小及位置；（3）求输出
镜处的光束曲率半径。

22. 一虚共焦非稳腔，工作波长λ=1.06μm,腔长L=0.3m,有效菲涅尔数Nef=0.5,往返
损耗率δ=0.5，试求单端输出时，镜M1和M2的线度和曲率半径。