陈鹤鸣激光原理习题与思考题3解答

习题与思考题三解答

1. 简述光学谐振腔的作用。

2. CO 2激光器的腔长L=100cm ，反射镜直径D=1.5cm ，两镜的光强反射系数分别为

r1=0.985，r2=0.8。求由衍射损耗及输出损耗分别引起的δ,τ。 解答1 衍射损耗:

1880107501106102

262.).(.a L =⨯⨯⨯=λ=δ-- s ..c L c 8

81075110318801-⨯=⨯⨯=δ=

τ

输出损耗:

119080985050212

1.)..ln(.r r ln =⨯⨯-=-=δ s ..c L c 881078210

311901-⨯=⨯⨯=δ=

τ

解答2：

（1）输出损耗由腔镜反射不完全引起。初始光强为I0在无源腔内往返一次后光强衰减为I1，则：

1210120

1128

18

1886

1111111

ln ln 0.119

220.985*0.8100 2.78*100.12*3*10/3*10/222*2.78*10 4.94*1010.6R R R R I I e r r I r r L

cm s c m s

c

m s

Q s m δδτδπυτπτπλμ---==⇒==========

（2）衍射损耗：腔的菲涅耳数

22

22

8

28

6

222

4144*100*10.60.188(1.5)1 1.77*100.188*3*10/2222 3.15*10d R d R R d d

a D N L L L cm m N D cm L m s c m s c

c L L Q c λλ

λμδτδπυτπ

τππλ

λδλδ--==

============

3. 利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意近轴光线在其中可以往返无限多次，而

且两次往返即自行闭合。

证明如下：（共焦腔的定义——两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔为共焦腔。共焦腔分为实共焦腔和虚共焦腔。公共焦点在腔内的共 焦腔是实共焦腔，反之是虚共焦腔。两个反射镜曲率相等的共焦腔称为对称共焦腔，可以证明，对称共焦腔是实双凹腔。）

根据以上一系列定义，我们取具对称共焦腔为例来证明。

设两个凹镜的曲率半径分别是1R 和2R ，腔长为L ，根据对称共焦腔特点可知：

L R R R ===21

因此，一次往返转换矩阵为

⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=211121222121221221221R L R L R L R L R R R L L R L D C B A T

把条件L R R R ===21带入到转换矩阵T ，得到：

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001D C B A T

共轴球面腔的稳定判别式子

()121

1<+<

-D A

如果()121-=+D A 或者()121

=+D A ，则谐振腔是临界腔，是否是稳定腔要根据

情况来定。本题中 ，因此可以断定是介稳腔（临界腔），下面证明对称共焦腔在近轴光线条件下属于稳定腔。经过两个往返的转换矩阵式2

T ，

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=10012T

坐标转换公式为：

⎥

⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111112221001θθθθr r r T r 其中等式左边的坐标和角度为经过两次往返后的坐标，通过上边的式子可以看出，光线经过两次往返后回到光线的出发点，即形成了封闭，因此得到近轴光线经过两次往返形成闭合，对称共焦腔是稳定腔。

4. 分别按下图3-48(a)(b)中的往返顺序，推导近轴光线往返一周的光学变换矩阵

(A B

C D

)，并证明这两种情况下的 12(A+D)相等。

解： 1234T T T T T = (a) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=D C B A L

R L R T 1011201

1011201

21

221R L A -= 1

2442

1212+--=R L R L R R L D 24442

1212+--=+R L

R L R R L D

A (b) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-

=D C B A L

R L R T 1011201

10112

01

12

121R L A -= 12441

2212

+--=R L R L R R L D 24442

1212+--=+R L

R L R R L D

A 5. 激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m 的凸面镜和曲率半径为2m 的凹面镜组成，

工作物质长0.5m ，其折射率为1.52.求腔长L 在什么范围内是稳定腔？ 解答如下：设腔长为1L ，腔的光学长度为L ，

已知IM R -=1，M R 22=，M L 5.00=，11=η，52

.12=η，

根据

()212

21222121R R L R L R L D A +--=+，

代入已知的凸凹镜的曲率半径，得到：

()22

12122212121L L M M L M L M L D A -+=⨯--+=+

因为含有工作物质，已经不是无源腔，因此，这里L 应该是光程的大小（或者说是利用光线在均匀介质里传播矩阵）。 即

52

.15

.015.012

1

1+-=

+

-=

L L L L L ηη，

代入上式，得到：

()2

11252.15.015.052.15.015.01121

⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+=-+=+L L L L D A