名师一号高中新课标A数学必修2课件：4.2.3

4.2.3直线与圆的方程的应用

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自学导引（学生用书P93）

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同

1 ■掌握直线方程、圆的方程，进一步提高知识运用能力•

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3

课前热身（学生用书P93）

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在掌握直线方程与圆

力，领会将几何问题转化为代数问题的过程，即由坐标方法

解决平面几何问题•一般来说此类问题分为如下三步:

第一步:

中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题. 第二步:通过

代数运解决代数问题.

第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.

注意:数形结合思想方法的灵活运用■

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名师讲解

（学生用书

P93）

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1 •用坐标法解决几何问题的方法步骤:（俗称“三步曲”）第一步:根据题目的特点，建立适当的直角坐标系，一般坐标原点选在线段的中点,几何图形的对称中心等•建立坐标系适当,可使问题简化•用坐标和方程表示几何问题中的元素•将几何问题转化为代数问题.

第二步:用代数运算解决代数问题.

第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论.

2•要灵活运用数形结合的思想方法.

对于一些代数问题，根据其几何意义,可用几何方法解决.

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典例剖析

（学生用书

P93）

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题型一数形结合思想方法的应用

例1 ：(1)方程y = J9-荐示的曲线是什么？

(2)若方程□十弟解，求实数b的取值范围.

解:⑴y =疔？等价于x2+y2=9(y>0),

/. y =尼表示半圆，即以原点为圆心,3为半径的圆在X轴上方的半圆(包括两个端点)•

与直线⑵方程a -x2=x + b有解，即半圆11

y =寸9_分

1

变式训练1 :（2008 •全国卷）若直线与圆x2+y2=1有公共点，则（）

A.a2+b2<1

.a2+b2>1

C・A +、W1

a2 b2

解析：直线- + — 1可化为bx^ray—ab = O 9

a b

直线与圆有公共点,

•••"s 即vi占<1,

a2 + 方$ / 9••寺 + gf

a b

答案:D

题型二用坐标法求圆的方程

例2:如下图所示，点M是弓形弧血中点，弦|OA|=8,弓

.

形的高为2 □求此弧所在圆的方程

那么圆的方程是(x ・4)2+(y ・b)2=『2. 由于原点0(02)和圆弧最高点M(4,2)也在圆上

(0 —4)2 +(0 — 5)2 =严， (4一4)2 + (2 — 6)2=厂2,

解#:b=-3,r 2

=25.

所以圆的方程是(x-4)2

+(y+3)2

=25.

规律技巧:本题也可以选取弦° A 的中点为坐标原点建立直角 坐标,可求得此弧所在圆的方程为x 2

+(y+3)2

=25.由此看来，建 立

解:(4,b),圆的半径为r, 于是解方程组

的坐标系不同，所求得的方程不同•

变式训练2：如图，圆Q和圆。2的半径都等于%°1°2=4＞过动点P分别作

O15fflO2的切线PM、PN（M,N分别为切点），使

得PM N PN，建立平面直角坐标系，并求动点卩的轨迹方程.

，建立

直

角坐标系如图所示，则0[(・2,0),02(2,0).

由已知 PM =近PN 、得PM 2

=2PN 2

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因为圆的半径为1,所以:

PO

2

r 1=2(PO 2

2-1),

设 P(x,y),则(x+2)2

+y 2

-1 =2[(x-2)2

+y 2

-1 ], BP(x-6)2

+y 2

=33. 故所求动点P 的轨迹方程为(x ・6)2+y2=33. 题型三与圆有关的综合问题 例 3:已知△ AOB 中

JOB|=3JOA|=4，|AB|=5,点 P 是 AABO 内

切圆上一点，求以|PA|. |PB|. |PO|为直径的三个圆面积之 和的最大值与最小值.

分析:三个圆面积之和的最值问题实质上是求

|PA|2+|PB|2+|PO|2的最值.

由于P是AAB O内切圆上的点，若想找到P点坐标，必须先从△ABO内切圆的方程入手.

解:如下图，建立直角坐标系，彳

A(450).B(053).0(050).

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吏A. B. O 三点的坐标分别为

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X

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故内切圆的方程是

（x-i ）2+（y-i ）2

=i -

化简为 x 2

+y 2

-2x-2y+1 =0,① 设 P （x ，y ），则

|PA|2+|PB|2+|PO|2

=（x-4）2

+y 2

+x 2

+（y-3）2

+x 2

+y 2

易求得AAB O 的内切点半径曰,

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由①可知 x 2+y 2

-2y=2x-15 将其代入②有

|PA|2+|PB|2+|PO|2

=3(2x-1)-8x+25 =・2x+22.

VXG[052],M|PA|2

+|PB|2

+|PO| 啲最大值为 22,最小值为 18,

三个圆面积之和为

^-!)2

+ 龙(巴$2 =-(IPA 卩 + 丨 PB 卩 +

2 2 4

所求面积的最大值为学小值为辛

IPAL 2 (

丁)+”(