数学建模(层次分析法(AHP法))
数学建模(层次分析法(AHP法)
2 构造判断(成对比较)矩阵
在建立递阶层次结构以后，上下层次之 间元素的隶属关系就被确定了。假定上一层 次 的 元 素 Ck 作 为 准 则 ， 对 下 一 层 次 的 元 素 A1, …, An 有支配关系，我们的目的是在准则 Ck 之下按它们相对重要性赋予 A1, …, An 相 应的权重。
RI
一般，当一致性比率 CR CI 0.1 时，认为A
RI
的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通 过一致性检验。否则要重新构造成对比较矩阵A，对 aij 加以调整。
一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1 及随机一致性指标的数值表，对A进行检验的过程。
判断矩阵一致性检验的步骤如下： (1) 计算一致性指标 C.I.：
一个典型的层次可以用下图表示出来：
几点注意
1.处于最上面的的层次通常只有一个元素， 一般是分析问题的预定目标或理想结果。 中间层次一般是准则、子准则。最低一层 包括决策的方案。层次之间元素的支配关 系不一定是完全的，即可以存在这样的元 素，它并不支配下一层次的所有元素。
2.层次数与问题的复杂程度和所需要分析的详尽 程度有关。每一层次中的元素一般不超过9个，因 一层中包含数目过多的元素会给两两比较判断带 来困难。
3.一个好的层次结构对于解决问题是极为重要的。 层次结构建立在决策者对所面临的问题具有全面 深入的认识基础上，如果在层次的划分和确定层 次之间的支配关系上举棋不定，最好重新分析问 题，弄清问题各部分相互之间的关系，以确保建 立一个合理的层次结构。
层次分析法(AHP)建模
新余高等专科学校 数学建模教练组 2005-
6
Mathematical Contest in Modeling
层次分析法
3
计算权向量并做一致性检验
什么是权重(权系数)? 在决策问题中，通常要把变量Z表成变量x1,x2, … , xn的线性组合:
z w1x1 w2 x2 wn xn
n
其中 wi 0, wi 1 w1, w2 ,...., w则n
1 例: A 1/ 2
2 1
6 4
列向量 归一化
0.6 0.3
0.615 0.308
0.545 0.364
按行求和
1.760 0.972
1/ 6 1/ 4 1
0.1 0.077 0.091
0.268
, 即为
归一化
0.587 0.324 w
0.089
1.769 Aw 0.974
0.268
1 (1.769 0.974 0.268) 3.009
比较因素的权向量,其不一致程度应在容许的范围内.如何确定这个范围?
Mathematical Contest in Modeling 第5讲: 层次分析法(AHP)建模
层次分析法基本简介 层次分析法的基本步骤
1. 建立层次结构模型 2. 构造成对比较阵(判断矩阵) 3. 计算权向量并做一致性检验 4. 计算组合权向量并做组合一致性检验
不完全层次结构模型
新余高等专科学校 数学建模教练组 (设计制作: syllen
权重(权系数)?
a. 将A的每一列向量归一化得 w~ij aij / n aij
w~ b. 对 ij
按行求和得w~i n w~ij
j 1
i 1
数学建模——层次分析法
数学建模——层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种用于复杂决策和评估问题的定量方法，旨在帮助决策者在多个准则和选项之间进行权衡和选择。
该方法由美国学者Thomas L. Saaty于1970年代初提出，已经广泛应用于管理、工程、经济学、环境科学等领域。
方法步骤：1.建立层次结构：将复杂的决策问题分解为不同层次的因素和准则，形成层次结构。
层次结构包括目标层、准则层和选择层。
2.创建比较矩阵：对每个层次内的准则和选择进行两两比较，确定它们之间的相对重要性。
使用尺度来表示两者之间的相对优先级，通常是1到9之间的数值。
3.计算权重：通过计算比较矩阵的特征向量，得出每个准则和选择的权重。
特征向量反映了每个准则和选择对目标的贡献程度。
4.一致性检验：检查比较矩阵的一致性，确保所做的两两比较是合理的。
如果比较矩阵不够一致，需要进行调整。
5.计算综合得分：将每个选择的权重与其所属准则的权重相乘，得出每个选择的综合得分。
综合得分反映了每个选择在整体目标中的重要性。
6.做出决策：根据综合得分，确定最佳选择。
较高的综合得分通常意味着更优选。
示例：选择旅游目的地假设你想选择一个旅游目的地，考虑了三个因素：景色美丽度、文化体验和交通便利性。
你将这三个因素作为准则，然后列出了三个潜在的旅游目的地：A、B 和C。
步骤：1.建立层次结构：2.目标层：选择最佳旅游目的地3.准则层：景色美丽度、文化体验、交通便利性4.选择层：A、B、C5.创建比较矩阵：比较准则之间的相对重要性，如景色美丽度相对于文化体验的比较，以及文化体验相对于交通便利性的比较。
使用1到9的尺度，表明一个因素比另一个因素重要多少。
6.计算权重：计算每个准则和每个选择的权重，使用特征向量法。
7.一致性检验：检查比较矩阵的一致性。
如果一致性不够，可能需要重新考虑比较。
8.计算综合得分：将每个选择的权重与其所属准则的权重相乘，得出每个选择的综合得分。
数学建模第三讲层次分析法
数学建模第三讲层次分析法在数学建模的领域中，层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称 AHP）是一种相当实用且重要的决策方法。
它能够帮助我们在面对复杂的多准则决策问题时，做出更为合理、科学的决策。
那么，什么是层次分析法呢？简单来说，层次分析法就是把一个复杂的问题分解成若干个层次，通过两两比较的方式，确定各层次元素之间的相对重要性，最后综合这些比较结果，得出最终的决策方案。
比如说，我们要选择一个旅游目的地。
这时候，可能会考虑多个因素，比如景点吸引力、交通便利性、住宿条件、餐饮质量、费用等等。
这些因素就构成了不同的层次。
然后，我们会对每个因素进行两两比较，比如景点吸引力比交通便利性更重要吗？重要多少？通过这样的比较，我们就能给每个因素赋予一个相对的权重。
为了更清楚地理解层次分析法，我们来看看它的具体步骤。
第一步，建立层次结构模型。
这是层次分析法的基础。
我们需要把问题分解成目标层、准则层和方案层。
目标层就是我们最终要实现的目标，比如选择最佳的旅游目的地。
准则层就是影响目标实现的各种因素，像前面提到的景点吸引力、交通便利性等等。
方案层就是我们可以选择的具体方案，比如去三亚、去桂林、去丽江等等。
第二步，构造判断矩阵。
在这一步，我们要对同一层次的元素进行两两比较，比较它们对于上一层某个元素的重要性。
比较的结果通常用 1 9 标度法来表示。
比如说，如果因素 A 比因素 B 稍微重要，就给A 对B 的比较值赋 3；如果 A 比 B 明显重要，就赋 5；如果 A 比 B 极端重要，就赋 9。
反过来，如果 B 比 A 稍微重要，就给 B 对 A 的比较值赋 1/3，以此类推。
第三步，计算权重向量并进行一致性检验。
通过数学方法，比如特征根法，计算出每个判断矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
这个特征向量就是我们所需要的权重向量。
但是，为了确保我们的判断是合理的，还需要进行一致性检验。
如果一致性比率小于 01，就认为判断矩阵的一致性是可以接受的；否则，就需要重新调整判断矩阵。
层次分析法—AHP简介
第一单元 层次分析法—AHP 简介(The Analgtic Hierarachy Process----AHP)前言最优化技术在决策分析中占着极重要的位置，数学模型在最优化技术中占着统治地位；由于系统越来复杂，数学模型也越来越复杂，掌握运用困难很多，并且随着复杂性增加，模型解与实际要求距离也在增加。
事实上，数学模型也非万能，决策中大量因素无法定量表示，所以，有时人们不得不回到决策的起点和终点：——人的选择和判断，需要认真地研究选择和判断的规律，这就是AHP 产生的背景。
匹兹堡大学Saaty 教授于七十年代中期提出层次分析法A HP 。
于80年代初由Saaty 的学生介绍到我国。
层次分析AHP 的特点：1. 输入信息主要是决策者的选择和判断。
决策过程充分反映了决策者对决策问题的认识；2. 简洁性：基于高中知识，可不用计算机完成计算；3. 实用性：能进行定量分析，也可定性分析；而通常最优化方法只能用于定量分析；4. 系统性：人们决策大致分三种：（因果判断、概率推断和系统推断），AHP 把问题看作一个系统属于第三种，真正要搞清楚AHP 原理，需要深刻的数学背景。
好在我们只重应用，并不过多涉及AHP 的数学背景。
AHP 的主要不足在于：1. AHP 只能用于选择方案，而不能生成方案；主观性太强，从层次结构建立，判断矩阵的构造，均依赖决策人的主观判断，选择，偏好，若判断失误，即可能造成决策失误。
规划论——采用较严格的数学计算，把人的主观性降到最低程度；但有些决策结果令决策人难以接受。
AHP ——从本质上讲是试图使人的判断条理化，所得结果基本上依据人的主观判断，当决策者的判断因受个人偏好影响对客观规律歪曲时，AHP 的结果显然靠不住，所以，AHP 中通常是群组判断方式。
尽管AHP 在理论上尚不完善，应用中也有缺陷；但由于AHP 简单、实用，仍被视为是多目标决策的有效方法，至今仍被广泛应用的一种无结构决策方法。
数学建模方法详解三种最常用算法
数学建模方法详解--三种最常用算法一、层次分析法层次分析法[1] (analytic hierarchy process，AHP)是美国著名的运筹学家T．L．Saaty教授于20世纪70年代初首先提出的一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法[2，3，4]．该方法是社会、经济系统决策的有效工具，目前在工程计划、资源分配、方案排序、政策制定、冲突问题、性能评价等方面都有广泛的应用．(一) 层次分析法的基本原理层次分析法的核心问题是排序，包括递阶层次结构原理、测度原理和排序原理[5]．下面分别予以介绍．1．递阶层次结构原理一个复杂的结构问题可以分解为它的组成部分或因素，即目标、准则、方案等．每一个因素称为元素．按照属性的不同把这些元素分组形成互不相交的层次，上一层的元素对相邻的下一层的全部或部分元素起支配作用，形成按层次自上而下的逐层支配关系．具有这种性质的层次称为递阶层次．2．测度原理决策就是要从一组已知的方案中选择理想方案，而理想方案一般是在一定的准则下通过使效用函数极大化而产生的．然而对于社会、经济系统的决策模型来说，常常难以定量测度．因此，层次分析法的核心是决策模型中各因素的测度化．3．排序原理层次分析法的排序问题，实质上是一组元素两两比较其重要性，计算元素相对重要性的测度问题． (二) 层次分析法的基本步骤层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一致的[1]． 1． 成对比较矩阵和权向量为了能够尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高结果的准确度．T ．L ．Saaty 等人的作法，一是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比，二是对比时采用相对尺度．假设要比较某一层n 个因素n C C ,,1 对上层一个因素O 的影响，每次取两个因素i C 和j C ，用ij a 表示i C 和j C 对O 的影响之比，全部比较结果可用成对比较阵1,0,ij ij ji n nijA a a a a表示，A 称为正互反矩阵． 一般地，如果一个正互反阵A 满足：,ij jk ik a a a ,,1,2,,i j k n L （1）则A 称为一致性矩阵，简称一致阵．容易证明n 阶一致阵A 有下列性质： ①A 的秩为1，A 的唯一非零特征根为n ；②A 的任一列向量都是对应于特征根n 的特征向量．如果得到的成对比较阵是一致阵，自然应取对应于特征根n 的、归一化的特征向量（即分量之和为1）表示诸因素n C C ,,1 对上层因素O 的权重，这个向量称为权向量．如果成对比较阵A 不是一致阵，但在不一致的容许范围内，用对应于A 最大特征根(记作 )的特征向量（归一化后）作为权向量w ，即w 满足：Aw w （2）直观地看，因为矩阵A 的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素ij a ，所以当ij a 离一致性的要求不远时,A 的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大．（2）式表示的方法称为由成对比较阵求权向量的特征根法．2． 比较尺度当比较两个可能具有不同性质的因素i C 和j C 对于一个上层因素O 的影响时，采用Saaty 等人提出的91 尺度，即ij a 的取值范围是9,,2,1 及其互反数91,,21,1 ．3． 一致性检验成对比较阵通常不是一致阵，但是为了能用它的对应于特征根 的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应在容许范围内．若已经给出n 阶一致阵的特征根是n ，则n 阶正互反阵A 的最大特征根n ，而当n 时A 是一致阵．所以 比n 大得越多，A 的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大．因而可以用n 数值的大小衡量A 的不一致程度．Saaty 将1nCI n(3)定义为一致性指标．0CI 时A 为一致阵；CI 越大A 的不一致程度越严重．注意到A 的n 个特征根之和恰好等于n ，所以CI 相当于除 外其余1n 个特征根的平均值．为了确定A 的不一致程度的容许范围，需要找到衡量A 的一致性指标CI 的标准，又引入所谓随机一致性指标RI ，计算RI 的过程是：对于固定的n ，随机地构造正互反阵A ，然后计算A 的一致性指标CI ．表1 随机一致性指标RI 的数值表中1,2n 时0RI ，是因为2,1阶的正互反阵总是一致阵．对于3n 的成对比较阵A ，将它的一致性指标CI 与同阶（指n 相同）的随机一致性指标RI 之比称为一致性比率CR ，当0.1CICR RI(4) 时认为A 的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量．对于A 利用(3)，(4)式和表1进行检验称为一致性检验．当检验不通过时，要重新进行成对比较，或对已有的A 进行修正． 4． 组合权向量由各准则对目标的权向量和各方案对每一准则的权向量，计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量．一般地，若共有s 层，则第k 层对第一层（设只有1个因素）的组合权向量满足：1,3,4,kkk w W w k s L （5）其中 kW 是以第k 层对第1k 层的权向量为列向量组成的矩阵．于是最下层对最上层的组合权向量为:132s s s w W W W w L （6）5． 组合一致性检验在应用层次分析法作重大决策时，除了对每个成对比较阵进行一致性检验外，还常要进行所谓组合一致性检验，以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据．组合一致性检验可逐层进行．如第p 层的一致性指标为p n p CI CI ,,1 (n 是第1 p 层因素的数目)，随机一致性指标为1,,p p nRI RI L ，定义11,,P p p p n CI CI CI w L 11,,p p p p n RI RI RI wL 则第p 层的组合一致性比率为:,3,4,,p p p CI CRp s RIL (7) 第p 层通过组合一致性检验的条件为 0.1pCR ．定义最下层(第s 层)对第一层的组合一致性比率为：2*sP p CR CR (8)对于重大项目，仅当*CR 适当地小时，才认为整个层次的比较判断通过一致性检验．层次分析法的基本步骤归纳如下:(1) 建立层次结构模型 在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次．同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用，而同一层的各因素之间尽量相互独立．最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有1个或几个层次，通常称为准则或指标层，当准则过多时（比如多于9个）应进一步分解出子准则层．(2) 构造成对比较阵从层次结构模型的第2层开始，对于从属于上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和91 比较尺度构造成对比较阵，直到最下层．(3)计算权向量并做一致性检验对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比率做一致性检验．若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，重新构造成对比较阵．(4)计算组合权向量并做组合一致性检验利用公式计算最下层对目标的组合权向量，并酌情作组合一致性检验．若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率CR较大的成对比较阵．(三) 层次分析法的优点1．系统性层次分析把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具．2．实用性层次分析把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广．同时，这种方法将决策者与决策分析者相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性．3．简洁性具有中等文化程度的人即可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤，计算也非常简便，且所得结果简单明确，容易为决策者了解和掌握．(四) 层次分析法的局限性层次分析法的局限性可以用囿旧、粗略、主观等词来概括．第一，它只能从原有的方案中选优，不能生成新方案；第二，它的比较、判断直到结果都是粗糙的，不适于精度要求很高的问题；第三，从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人的主观因素的作用很大，这就使得决策结果可能难以为众人接受．当然，采取专家群体判断的方法是克服这个缺点的一种途径． (五) 层次分析法的若干问题层次分析法问世以来不仅得到广泛的应用而且在理论体系、计算方法等方面都有很大发展，下面从应用的角度讨论几个问题． 1． 正互反阵最大特征根和对应特征向量的性质成对比较阵是正互反阵．层次分析法中用对应它的最大特征根的特征向量作为权向量，用最大特征根定义一致性指标进行一致性检验．这里人们碰到的问题是：正互反阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量；一致性指标的大小是否反映它接近一致阵的程度，特别，当一致性指标为零时，它是否就为一致阵．下面两个定理可以回答这些问题． 定理1 对于正矩阵A （A 的所有元素为正数） 1）A 的最大特征根是正单根 ；2） 对应正特征向量w （ 的所有分量为正数）；3）w IA I I A k k k lim ，其中1,1,1 I ，w 是对应 的归一化特征向量．定理2 n 阶正互反阵A 的最大特征根n ；当n 时A 是一致阵．定理2和前面所述的一致阵的性质表明,n 阶正互反阵A 是一致阵的充要条件为 A 的最大特征根n ．2． 正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法众所周知，用定义计算矩阵的特征根和特征向量是相当困难的，特别是矩阵阶数较高时．另一方面，因为成对比较阵是通过定性比较得到的比较粗糙的量化结果，对它精确计算是不必要的，下面介绍几种简单的方法． (1) 幂法 步骤如下：a ．任取n 维归一化初始向量 0wb ．计算1,0,1,2,k k wAw k %L c ．1k w%归一化,即令ni k ik k ww1111~~d ．对于预先给定的精度 ,当 1||1,2,,k k i i i n L 时,1k w 即为所求的特征向量；否则返回be. 计算最大特征根 111k n ik i in %这是求最大特征根对应特征向量的迭代法, 0w 可任选或取下面方法得到的结果．(2) 和法 步骤如下：a. 将A 的每一列向量归一化得1nij ij iji a a%b ．对ij %按行求和得1ni ij j %%c ．将i %归一化 *121,,,ni ini w%%L 即为近似特征向量．d. 计算 11n ii iAw n ，作为最大特征根的近似值．这个方法实际上是将A 的列向量归一化后取平均值，作为A 的特征向量．(3) 根法 步骤与和法基本相同，只是将步骤b 改为对ij %按行求积并开n 次方，即11nn iij j%%．根法是将和法中求列向量的算术平均值改为求几何平均值．3． 为什么用成对比较阵的特征向量作为权向量当成对比较阵A 是一致阵时,ij a 与权向量n w ,,1 的关系满iij ja,那么当A 不是一致阵时，权向量w 的选择应使得ij a 与ij相差尽量小．这样,如果从拟合的角度看确定w 可以化为如下的最小二乘问题： 21,,11min i nniij i n i j j aL (9) 由(9)式得到的最小二乘权向量一般与特征根法得到的不同．因为(9)式将导致求解关于i 的非线性方程组，计算复杂，且不能保证得到全局最优解,没有实用价值．如果改为对数最小二乘问题：21,,11min ln ln i nni ij i n i j j aL (10)则化为求解关于ln i 的线性方程组．可以验证，如此解得的i 恰是前面根法计算的结果．特征根法解决这个问题的途径可通过对定理2的证明看出． 4． 成对比较阵残缺时的处理专家或有关学者由于某种原因无法或不愿对某两个因素给出相互比较的结果，于是成对比较阵出现残缺．应如何修正,以便继续进行权向量的计算呢？一般地，由残缺阵 ij A a 构造修正阵 ijA a %%的方法是令,,0,,1,ij ij ij ij i i a a i j a a i jm m i i j%为第行的个数, (11)表示残缺．已经证明，可以接受的残缺阵A 的充分必要条件是A 为不可约矩阵．(六) 层次分析法的广泛应用层次分析法在正式提出来之后，由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快就在世界范围内得到普遍的重视和广泛的应用．从处理问题的类型看，主要是决策、评价、分析、预测等方面． 这个方法在20世纪80年代初引入我国，很快为广大的应用数学工作者和有关领域的技术人员所接受，得到了成功的应用．层次分析法在求解某些优化问题中的应用[5]举例 假设某人在制定食谱时有三类食品可供选择：肉、面包、蔬菜．这三类食品所含的营养成分及单价如表所示表2 肉、面包、蔬菜三类食品所含的营养成分及单价该人体重为55kg维生素A 7500国际单位 (IU)维生素B 1.6338mg热量 R 8548.5kJ考虑应如何制定食谱可使在保证营养需求的前提下支出最小？用层次分析法求解最优化问题可以引入包括偏好等这类因素．具体的求解过程如下：①建立层次结构② 根据偏好建立如下两两比较判断矩阵表3 比较判断矩阵max 2 ，10CI ，100.1CR ，主特征向量0.75,0.25W 故第二层元素排序总权重为 10.75,0.25W表4 比较判断矩阵111max 1113,0,0,0.58CI CR RI ，主特征向量0.4,0.4,0.2W故相对权重 210.4,0.4,0.2,0P③ 第三层组合一致性检验问题因为 2111211112120;0.435CI CI CI W RI RI RI W ,212200.1CR CR CI RI故第三层所有判断矩阵通过一致性检验，从而得到第三层元素维生素A 、维生素B 、热量Q 及支出E 的总权重为：221221120.3,0.3,0.15,0.25W P W P P W求第四层元素关于总目标W 的排序权重向量时，用到第三层与第四层元素的排序关系矩阵，可以用原始的营养成分及单价的数据得到．注意到单价对人们来说希望最小，因此应取各单价的倒数，然后归一化．其他营养成分的数据直接进行归一化计算，可得表5表5 各营养成分数据的归一化则最终的第四层各元素的综合权重向量为：3320.2376,0.2293,0.5331W P W ，结果表明，按这个人的偏好，肉、面包和蔬菜的比例取0.2376:0.2293:0.5331较为合适．引入参数变量，令10.2376x k ，20.2293x k ，30.5331x k ，代入 1LP123min 0.02750.0060.007f x x x131231231230.352725.075000.00210.00060.002 1.6338..(1)11.930011.5100 1.048548.5,,,0x x x x x s t LP x x x x x x则得k f 0116.0min13.411375000.0017 1.6338..26.02828548.50k k s t LP k k容易求得1418.1k ，故得最优解 *336.9350,325.1650,755.9767x；最优值 *16.4497f ，即肉336.94g ，面325.17g ，蔬菜755.98g ，每日的食品费用为16.45元．总之，对含有主、客观因素以及要求与期望是模糊的优化问题，用层次分析法来处理比较适用．二、模糊数学法模糊数学是1965年美国控制论专家L．A．Zadeh创立的．模糊数学作为一门新兴学科，它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判等各方面．在气象、结构力学、控制、心理学方面已有具体的研究成果．(一) 模糊数学的研究内容第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系；第二，研究模糊语言和模糊逻辑，并能作出正确的识别和判断；第三，研究模糊数学的应用．(二) 模糊数学在数学建模中应用的可行性1．数学建模的意义在于将数学理论应用于实际问题[6]．而模糊数学作为一种新的理论，本身就有其巨大的应用背景，国内外每年都有大量的相关论文发表，解决了许多实际问题．目前在数学建模中较少运用模糊数学方法的原因不在于模糊数学理论本身有问题，而在于最新的研究成果没有在第一时间进入数学建模的教科书中，就其理论本身所具有的实用性的特点而言，模糊数学应该有助于我们解决建模过程中的实际问题．2．数学建模的要求是模型与实际问题尽可能相符．对实际问题有这样一种分类方式：白色问题、灰色问题和黑色问题．毫无疑问，引进新的方法对解决这些问题大有裨益．在灰色问题和黑色问题中有很多现象是用“模糊”的自然语言描述的．在这种情况下，用模糊的模型也许更符合实际．3．数学建模活动的目的之一是培养学生的创新精神．用新理论、新方法解题应该受到鼓励．近年来，用神经网络法、层次分析法等新方法建立模型的论文屡有获奖，这也说明了评审者对新方法的重视．我们相信，模糊数学方法应该很好，同样能够写出优秀的论文．(三) 模糊综合评判法中的最大隶属原则有效度在模糊统计综合评判中，如何利用综合评判结果向量12,,,m b b b b L ,其中， 01j b ，m为可能出现的评语个数，提供的信息对被评判对象作出所属等级的判断，目前通用的判别原则是最大隶属原则[7]．在实际应用中很少有人注意到最大隶属原则的有效性问题，在模糊综合评判的实例中最大隶属原则无一例外地被到处搬用，然而这个原则并不是普遍适用的．最大隶属原则有效度的测量1． 有效度指标的导出在模糊综合评判中，当11max 1,1njj j nj bb 时，最大隶属原则最有效；而在 1max 01,jj nbc c 1n j j b nc 时，最大隶属原则完全失效，且1max jj nb 越大（相对于1njj b 而言），最大隶属原则也越有效．由此可认为，最大隶属原则的有效性与1max jj nb 在1njj b 中的比重有关，于是令：11max njjj nj b b (12)显然，当11max 1,1njj j nj bb 时，则1 为 的最大值，当 1max 01jj nb c c ,1njj bnc时，有1n 为 的最小值，即得到 的取值范围为:11n ．由于在最大隶属原则完全失效时，1n 而不为0，所以不宜直接用 值来判断最大隶属原则的有效性．为此设：11111n n n n(13)则 可在某种程度上测定最大隶属原则的有效性．而最大隶属原则的有效性还与j nj b 1sec （jnj b 1sec 的含义是向量b 各分量中第二大的分量）的大小有很大关系，于是我们定义：11sec njjj nj b b(14)可见： 当 1,1,0,0,,0b L 时， 取得最大值12．当 0,1,0,0,,0b L 时， 取得最小值0．即 的取值范围为012 ，设 02120．一般地， 值越大最大隶属原则有效程度越高；而 值越大，最大隶属原则的有效程度越低．因此，可以定义测量最大隶属原则有效度的相对指标：112121n n n n(15) 使用 指标能更准确地表明实施最大隶属原则的有效性．2. 指标的使用从 指标的计算公式看出 与 成反比，与 成正比．由 与 的取值范围，可以讨论 的取值范围： 当 取最大值， 取最小值时， 将取得最小值0；当 取最小值， 取最大值时， 将取得最大值：因为 0lim ，所以可定义0 时， ．即：0 ．由以上讨论，可得如下结论：当 时，可认定施行最大隶属原则完全有效；当1 时，可认为施行最大隶属原则非常有效；当0.51 时，可认为施行最大隶属原则比较有效，其有效程度即为 值；当00.5 时可认为施行最大隶属原则是最低效的；而当0 时，可认定施行最大隶属原则完全无效．有了测量最大隶属原则有效度的指标，不仅可以判断所得可否用最大隶属原则确定所属等级，而且可以说明施行最大隶属原则判断后的相对置信程度，即有多大把握认定被评对象属于某个等级． 讨论a ． 在很多情况下，可根据 值的大小来直接判断使用最大隶属原则的有效性而不必计算 值．根据 与 之间的关系，当0.7 ，且4n 时，一定存在1 ．通常评价等级数取4和9之间，所以4n 这一条件往往可以忽略，只要0.7 就可免算 值，直接认定此时采取最大隶属原则确定被评对象的等级是很有效的．b ． 如果对 12,,,m b b b b L 进行归一化处理而得到b ，则可直接根据b 进行最大隶属原则的有效度测量． (四) 模糊数学在数学建模中的应用模糊数学有诸多分支，应用广泛．如模糊规划、模糊优化设计、综合评判、模糊聚类分析、模糊排序、模糊层次分析等等．这些方法在工业、军事、管理等诸多领域被广泛应用． 举例 带模糊约束的最小费用流问题[8]问题的提出 最小费用流问题的一般提法是：设 ,,,D V A c 是一个带出发点s v 和收点t v 的容量-费用网络，对于任意,ijv v A ，ijc表示弧 ,i j v v 上的容量，ij 表示弧 ,i j v v 上通过单位流量的费用，0v 是给定的非负数，问怎样制定运输方案使得从s v 到t v 恰好运输流值为0v 的流且总费用最小？如果希望尽可能地节省时间并提高道路的通畅程度，问运输方案应当怎样制定？模型和解法 问题可以归结为：怎样制定满足以下三个条件的最优运输方案？(1)从s v 到t v 运送的流的值恰好为0v ；(2)总运输费用最小;(3)在容量ij c 大的弧 ,i j v v 上适当多运输．如果仅考虑条件(1)和(2)，易写出其数学模型为：,0,,0,,,,min()..0,0i j s j j s t j j t i j j i ij ijv v Asj js v v A v v A tj jt v v Av v A ij ji i s t v v A v v A ij ijf f f v f f v M s t f f v V v v f c把条件(3)中的“容量大” 看作A 上的一个模糊子集A %，定义其隶属函数 ： 0,1A 为： 00,0,1,ij ij ij i j A d c c v ij c c v v e c c%其中 1,i j ij v v c A cg （平均容量）21,21,0,1lg 1i j i j ij v v A ij v v A A c c d A c cg g建立ij 是为了量化“适当多运输”这一模糊概念．对条件(2)作如下处理：对容量ij c 大的弧 ,i j v v ，人为地降低运价ij ，形成“虚拟运价”ij ，其中ij 满足：ij c 越大，相应的ij 的调整幅度也越大．选取ij 为 1kij ij ij ， ,i j v v A ．其中k 是正参数，它反映了条件(2)和条件(3)在决策者心目中的地位．决策者越看重条件(3)，k 取值越小；当k 取值足够大时，便可忽略条件(3) ．一般情况下，合适的k 值最好通过使用一定数量的实际数据进行模拟、检验和判断来决定．最后，用ij 代替原模型M 中的ij ，得到一个新的模型M ．用现有的方法求解这个新的规划问题，可期望得到满足条件(3)的解．模型的评价 此模型在原有的数学规划模型和解法的基础上，增加了模糊约束．新模型比较符合实际，它的解包含了原模型的解，因而它是一个较为理想的模型．隶属度的确定在模糊数学中有多种方法，可以根据不同的实际问题进行调整．同样的思想方法可以处理其他的模糊约束问题．三、灰色系统客观世界的很多实际问题，其内部结构、参数以及特征并未全部被人们了解，对部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统．灰色系统理论是从系统的角度出发来研究信息间的关系，即研究如何利用已知信息去揭示未知信息．灰色系统理论包括系统建模、系统预测、系统分析等方面．(一)灰色关联分析理论及方法灰色系统理论[9]中的灰色关联分析法是在不完全的信息中，对所要分析研究的各因素，通过一定的数据，在随机的因素序列间，找出它们的关联性，找到主要特性和主要影响因素．计算方法与步骤：1．原始数据初值化变换处理分别用时间序列 k 的第一个数据去除后面的原始数据，得出新的倍数列，即初始化数列，量纲为一，各值均大于零，且数列有共同的起点．2． 求关联系数0000min min ||max max ||||max max ||k i k k i k ik i ki k k i k k i k ikx x x x x x x x3． 取分辨系数 01 4． 求关联度11ni ki k k r n(二) 灰色预测1．灰色预测方法的特点(1)灰色预测需要的原始数据少，最少只需四个数据即可建模；(2)灰色模型计算方法简单，适用于计算机程序运行，可作实时预测；(3) 灰色预测一般不需要多因素数据，而只需要预测对象本身的单因素数据，它可以通过数据本身的生成，寻找系统内在的规律；(4) 灰色预测既可做短期预测，也可做长期预测，实践证明，灰色预测精度较高，误差较小．2． 灰色预测GM(1，1)模型的一点改进一些学者为了提高预测精度做出了大量的研究工作，提出了相应的方法．本文将在改善原始离散序列光滑性的基础上，进一步研究GM(1，1)预测模型的理论缺陷及改进方法[10]．问题的存在及改进方法如下：传统灰色预测GM(1，1)模型的一般步骤为： （1）1-ADO ：对原始数据序列0k x 1,2,,k n L 进行一次累加生成序列 101kk i i x x1,2,,k n L（2）对0x 数列进行光滑性检验：00,k ，当0k k 时：0011101k k k k ii x x x x文献[11]进一步指出只要0101k k ii x x 为k 的递减函数即可．（3）对1x 作紧邻生成： 1111*1*,2,3,,k k k Z x x k n L一般取0.5b ax dtdx 11 （16）为灰色微分方程 01k k x aZ b 的白化方程． （4）按最小二乘法计算参数,a b（5）解（16）式并进行离散化得模拟序列1x 和0x 的计算公式： 1101exp k x x b a ak b a ，其中0,1,2,,k n L01111011exp *exp k k k x x x a x b a ak ，其中1,2,k L并假定 111101x x x文献[12,13]指出：假定 111101x x x 的理由是不充分的，文献[14]认为应当以最后一个 1n x 为已知条件来确定微分方程中常数项m c 的值，理由是最后一个数据是最新的，最能反映实际情况．同时文献[15]又进一步提出常数m c 的确定，由于数据序列中。
数学建模(层次分析法(AHP法))
判断矩阵元素a 判断矩阵元素 ij的标度方法
标度 1 3 5 7 9 2 ， 4 ， 6， 8 倒数 含义 表示两个因素相比， 表示两个因素相比，具有同样重要性 表示两个因素相比， 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要 表示两个因素相比， 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要 表示两个因素相比， 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要 表示两个因素相比， 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要 上述两相邻判断的中值
层次分析法在经济、科技、文化、军事、 环境乃至社会发展等方面的管理决策中都 有广泛的应用。 常用来解决诸如综合评价、选择决策方案、 估计和预测、投入量的分配等问题。
层次分析法建模
一 、问题的提出 日常生活中有许多决策问题。 日常生活中有许多决策问题。决策是指 在面临多种方案时需要依据一定的标准选择 某一种方案。 某一种方案。 例1 某人准备选购一台电冰箱 他对市场上的6 他对市场上的6种不同类型的电冰箱进行了解 选取一些中间指标进行考察。例如电冰 指标进行考察 后，选取一些中间指标进行考察。例如电冰 箱的容量、制冷级别、价格、型式、耗电量、 箱的容量、制冷级别、价格、型式、耗电量、 外界信誉、售后服务等 外界信誉、售后服务等。
目标层
O(选择旅游地 选择旅游地) 选择旅游地
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性 要比较各准则 对目标 的重要性
Ci :Cj ⇒aij
选 择 C1 旅 C2 游 C 3 地
C4 C5 C1
层次分析法(AHP法 层次分析法(AHP法)
Analytic Hierarchy Process
层次分析法（AHP）法建模
层次分析法建模层次分析法（AHP－Analytic Hierachy process）---- 多目标决策方法70 年代由美国运筹学家T·L·Satty提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论。
吸收利用行为科学的特点，是将决策者的经验判断给予量化，对目标（因素）结构复杂而且缺乏必要的数据情况下，採用此方法较为实用，是一种系统科学中，常用的一种系统分析方法，因而成为系统分析的数学工具之一。
传统的常用的研究自然科学和社会科学的方法有：统计分析方法：利用大量观测数据寻求统计规律，用随机数学方法描述（自然现象、社会现象）现象的规律。
基本内容：（1）多目标决策问题举例AHP建模方法（3）AHP建模方法基本算法（3）AHP建模方法理论算法应用的若干问题。
参考书： 1、姜启源，数学模型（第二版，第9章；第三版，第8章），高等教育出版社2、程理民等，运筹学模型与方法教程，（第10章），清华大学出版社3、《运筹学》编写组，运筹学（修订版），第11章，第7节，清华大学出版社一、问题举例：A．大学毕业生就业选择问题获得大学毕业学位的毕业生，“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。
就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：①能发挥自己的才干为国家作出较好贡献（即工作岗位适合发挥专长）；②工作收入较好（待遇好）；③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）；④单位名声好（声誉-Reputation）；⑤工作环境好（人际关系和谐等）⑥发展晋升（promote, promotion）机会多（如新单位或单位发展有后劲）等。
问题：现在有多个用人单位可供他选择，因此，他面临多种选择和决策，问题是他将如何作出决策和选择？——或者说他将用什么方法将可供选择的工作单位排序？Ｂ.假期旅游地点选择暑假有3个旅游胜地可供选择。
例如：1P ：苏州杭州，2P 北戴河，3P 桂林，到底到哪个地方去旅游最好？要作出决策和选择。
层次分析法建模
层次分析法建模层次分析法(AHP)是一种用于多准则决策的定量分析方法，最早由美国学者托马斯·S·萨亚基提出，常用于解决复杂的决策问题。
AHP方法通过构建层次结构模型，并运用专家主观判断与数学计算相结合的方法，评估多个准则的重要性，并最终选择最佳方案。
AHP方法的优势在于，能够将主观因素与客观因素相结合，充分考虑决策者的主观意见，并且能够提供较为可靠的决策结果。
下面将介绍AHP 方法的建模过程。
首先，我们需要明确决策的目标是什么。
然后，将目标拆分成若干个层次，形成一个层次结构。
层次结构通常包括目标层、准则层和方案层。
目标层表示最终的决策目标，准则层表示实现目标所必须满足的准则，而方案层则表示可以选择的方案。
例如，假设我们要购买一辆新车，目标层为“购买一辆适合自己的车”，准则层可以包括“价格”、“品牌口碑”、“性能”等，方案层可以包括“A品牌的小型车”、“B品牌的中型车”等。
接下来，我们需要对每个层次的准则和方案进行两两比较，以确定其重要性。
比较的方法是两两比较矩阵。
对于准则层，我们可以将每个准则之间的重要性按照9点标度进行比较，其中1表示两个准则具有相同的重要性，9表示一个准则比另一个准则重要性高很多。
对于方案层，我们可以将每个方案与每个准则之间的重要性进行比较。
比较的结果可以用一个判断矩阵表示。
然后，我们需要计算每个层次的权重。
对于准则层，我们可以通过计算准则之间的重要性判断矩阵的特征向量来得到各准则的权重。
对于方案层，我们可以通过计算方案与准则之间的重要性判断矩阵的特征向量来得到各方案的权重。
最后，我们可以通过计算方案的综合得分来确定最佳方案。
综合得分可以通过将每个方案的权重与各准则的权重相乘并求和得到。
AHP方法的建模过程相对简单，但是需要决策者对各准则和方案之间的重要性进行准确评估。
因此，选择合适的专家和确保专家对决策问题有足够的了解是非常重要的。
总之，层次分析法是一种用于多准则决策的定量分析方法。
数学建模教学 19.层次分析法
W i W i/ nW j i1,2, ,n j1
所求特征向量: W [W 1 ,W 2 , ,W n ]T
编辑ppt
(4)计算最大特征根:
maxn1 in1(AWW i )i
1 A 1/ 2
2 1
6 4
列向量 归一化
0.6 0.3
0.615 0.545 0.308 0.364
1/ 6 1/ 4 1
化的结果，允许存在一定的误差范围。
※常用近似算法求解判断矩阵的最大特征根及其所
对应的特征向量：和法和根法。
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和法计算步骤
(1)将判断矩阵每一列归一化:
n
b ijb ij/ b kj
i,j1 ,2 , ,n
k 1
(2)对按列归一化后的判断矩阵再按行求和:
n
W i bij
i1,2, ,n
j1
(3)将求和后的向量归一化:
编辑ppt
1 基本原理
假定我们已知n只西瓜的重量和为1，每只 西瓜的重量分别为W1，W2，…，Wn。把这 些西瓜两两比较，很容易得到表示n只西瓜 相对重量关系的比较矩阵：
A=
=(aij)n×n
编辑ppt
显然aii= 1，aij =1/aji，aij =aik/ajk， i、j、k= 1，2，…，n
买钢笔 质颜价外实 量色格形用
可供选择的笔
编辑ppt
目标层 准则层 方案层
若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素， 或被下一层所有因素影响，称为完全层次结构， 否则称为不完全层次结构。还可以建立 子层 次。
目标层：
选购电冰箱
准则层： 信誉T1 型式T2 价格T3 容量T4 制冷级别T5 耗电量T6
数学建模方法
法
建
模
原理关键词： 随机 分布 模拟
建模方法：
方法1 利用理论分布,基于对问题的实际、合理的假设,选择 适当的理论分布模拟随机变量,
方法2 基于实际数据的频率作近似模拟,
随机性存储模型是研究不确定性因素下随机库存模 型中的多时期存储控制系统,着重分析连续存盘的存储控 制系统在不同情况下确定的安全库存量的最优采购策略, 可分为需求为离散型随机变量的存储模型和需求为连续 型随机变量的存储模型,
模糊综合评判方法： 1. 模糊综合评判提点法击添加文本 2. 确定因素集、评判集、模糊评判矩阵
点击添加文本
线性规划是数学规划的一个重要组成部分,它
起源于工业生产组织管理的决策问题,在数学上它
用来确定多变量线性函数在变量满足线性约束条
线
件下的最优值,
性
规
划
模
型
原理关键词： 多变量 线性函数 最优值
一般线性规划的数学模型：
式说明层次的递阶结构与因素的从属关系, 2. 构造判断矩阵 3. 当相互比较因素的重要性能够用具有实际意义的比
值说明时,判断矩阵相应的值则可以取这个比值, 3. 层次单排序及其一致性检验 4. 通过判断矩阵的特征根得到特征向量,经过一系列归
化后即为同一层次相关因素对于上一层次某因素相对重 要性的排序权值,然后进行一致性检验, 4. 层次总排序 5. 计算同一层次所有因素对于最高层相对重要性的排 序, 5. 层次总排序的一致性检验 6. 这一步骤也是从高到低逐层进行的,
设P x 为顾客对煤炭需求量xkg的概率,显然
0 P(x)dx1
供应部门收益的期望值：
Q
g ( Q ) E [ y ( x ) ] 0 ( 1 x 4 9 Q ) P ( x ) d Q x ( 1 Q 5 1 x ) P 0 ( x ) dx
数学建模层次分析法
(Analytic Hierarchy Process) 建模
数学建模
模型背景 基本步骤 应用实例
一、模型背景
❖ 美国运筹学家匹兹堡大学教授Saaty在20世纪70 年代初提出的一种层次权重决策分析方法。
❖层次分析法(Analytic Hierarchy Process简称AHP) 是一种定性和定量分析相结合的决策分析方法。
对总目标Z的排序为
A1
A2
Am
a1, a2 ,, am
B层n个因素对上层 A中因素为 Aj
其层次单排序为
B1
B2
Bn b1 j ,b2 j ,,bnj ( j 1,2,, m)
层次 A A1
层次 B a1
B1
b11
B2
b21
.
.
.
.
.
.
Bn
bn1
A2 … Am B 层次总
a2
… am 排序权值
RI 0i RIi 0.58 i 1
CR CI / RI 0.087 / 0.58 0.015 0.1
C5
0.118 0.166 0.166 0.668
层次P的 总排序
0.3 0.246 0.456
层次分析法的优点
系统性——将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合 的思维方式进行决策。成为成为继机理分析、统 计分析之后发展起来的系统分析的重要工具；
w(2) (0.263, 0.475, 0.055, 0.090, 0.110)T
同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量
方案层对C1(景色)的 成对比较阵
方案层对C2(费用)的 成对比较阵
…Cn
数学建模常见评价模型简介
数学建模常见评价模型简介Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998常见评价模型简介评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。
主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。
层次分析模型层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。
其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。
运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤：步骤1 建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。
步骤2构造成对比较阵对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵；步骤3计算权向量并作一致性检验由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。
步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验)组合权向量可作为决策的定量依据通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。
例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。
步骤1 建立系统的递阶层次结构将决策问题分为3个层次：目标层O ，准则层C ，方案层P ；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。
图1 选择旅游地的层次结构步骤2构造比较矩阵标度值 含义1 两因素相比，具有同等重要性 3 两因素相比，前者比后者稍重要 5 两因素相比，前者比后者明显重要 7 两因素相比，前者比后者强烈重要 9 两因素相比，前者比后者极端重要2、4、6、8表示上述相邻判断的中间值以上各数值的倒数若指标i 与指标j 比较相对重要性用上述之一数值标度，则指标j 与指标i 的相对重要性用上述数值的倒数标度表1 1~9标度的含义设要比较各准则n C C C ,,,21 对目标O 的重要性，记判断矩阵为A显然，A 是正互反阵。
层次分析法-数学建模
步骤5 层次总排序即求各方案的综合得分
前面我们求的都是在一层中各因素的权重，这个过程称为单
层次排序。不妨设准则层权向量W (w1, w2,L , wn )，T 而方案层有 l
个方案可供选择，且每个方案的权向量分别为 1, 2,L , l 。那么 每个方案对最终目标的影响程度(C1,C2,L ,Cl )T 就可以通过下面的 式子算出来了。
合理分配企业利润
准则层 调动积极性 提高企业质量 改善生活条件
方案层 发奖金 扩展福利设施 引进人才和设备
在层次划分及因素选取时，我们要注意三点：
（1）上层对下层有支配作用；
（2）同一层因素不存在支配关系（相互独立）；
（3）每层因素一般不要超过9个。 （心理学家通过实验认为，人对许多东西优劣及优劣 程度判断能力，最多大致在9个以内，超过这个范围就 会判断失真。例如，人们在面对琳琅满目的商品常常会 眼花缭乱，难以抉择。）
23
9
重要性
xi比 x j 相同 稍重要 重要
绝对 很重要 重要
aij
1
3
5
7
9
在每两个等级之间有一个中间状态， aij 可分别 取值 2 , 4 ,L , 8 。
例如：评价电影的好坏
目标层
评价
准则层 娱乐性 x1 艺术性 x2 教育性 x3
方案层 电影1
电影2
……
这
个人认为：
x1 : x2 3
层次分析法是将定性问题定量化处理的一种有效手 段。
面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、 最后作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用 数学方法解决问题带来不便。T.L.saaty等人20世纪在七 十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法。
层次分析法法建模
层次分析法法建模
一、AHP简介
AHP(Analysis Hierarchy Process)，即层次分析法，是一种从抽象的多个目标到具体决策的一种分析方法，它由美国系统工程师 Thomas Saaty 于1970年提出，它利用层次结构表示影响多元决策的各因素之间的相互关系，采用数学模型进行综合比较，把多样性、复杂性及无序综合化，转变成一个有序的决策过程。
二、AHP的基本原理
（1）设定目标待决策的层次结构，并建立多个分支，形成一棵决策树。
（2）比较每一对相邻层次因素，将它们的相互关系表示为一个矩阵大小。
（3）从矩阵大小求出矩阵的特征值及特征向量。
（4）根据特征值来判断比较矩阵的相似程度，选出最大特征值及其对应的特征向量。
（5）根据特征向量算出权值，从而确定决策问题的最优解。
三、AHP的应用
AHP方法提供了一种科学、系统的方法，它适用于复杂的决策问题，可以将复杂问题转化为可以解决的层次分析问题，实现有效的决策过程。
AHP方法可以用于企业管理、决策分析、公共安全、计算机技术、政府管理、商业投资、优化设计等。
层次分析法AHP法建模
层次分析法AHP法建模层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是由美国运筹学家托马斯·L·赛蒙提斯（Thomas L. Saaty）于20世纪70年代提出的一种多属性决策方法。
AHP法通过构建一个层次结构，将复杂的决策问题分解为若干个层次，从而使决策问题具有可比较性和可量化性，通过量化的方法进行决策。
AHP法建模的步骤如下：1.构建层次结构：首先将决策问题分解为若干个层次，从上到下依次是目标层、准则层和方案层。
目标层是决策问题的最高层，准则层是目标层下的子目标，方案层是准则层下的具体方案。
2.确定判断矩阵：对于准则层和方案层，通过两两比较确定判断矩阵。
判断矩阵是一个n×n的矩阵，其中n是准则层或方案层的数量。
在两两比较中，使用1-9的尺度对两个元素之间的相对重要性进行评判，其中1表示两个元素的重要性相等，9表示一个元素比另一个元素重要性明显更大。
3.计算权重向量：通过求解判断矩阵的最大特征值和对应的特征向量，可以得到准则层和方案层的权重向量。
特征向量中的每个元素表示对应准则或方案的重要性权重。
4. 一致性检验：利用一致性指标判断判断矩阵的一致性。
一致性指标的计算涉及到随机一致性指数（Random Index，RI）和一致性比例（Consistency Ratio，CR），一致性通过对RI进行比较得到。
5.汇总判断矩阵：将判断矩阵的权重向量进行归一化，然后将准则层和方案层的权重向量进行组合，得到决策问题在各层次上的权重向量。
6.最终评价：利用各层次上的权重向量计算方案的综合得分，从而得到最佳方案。
层次分析法通过将复杂的决策问题分解为简单的子问题，将主观判断量化，避免了直接比较和抽象概念的评价，使决策问题更加精确和可行。
同时，通过一致性检验可以验证判断矩阵的可靠性和有效性，提高了决策结果的可信度。
AHP法广泛应用于各个领域，如工程管理、市场营销、投资决策等。
数学建模的层次分析法
1、层次分析法的基本概念
1、层次分析法的基本概念
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种广泛应用于数学 建模中的方法。它通过将复杂问题分解为多个层次，帮助我们更好地理解和解决 实际问题。层次分析法的基本原理是将一个复杂问题分解为多个相关因素，并根 据这些因素之间的相对重要性进行排序。
3、层次分析法的实际应用
(4)权重计算：通过计算判断矩阵的特征向量，得到每个因素的权重值。 (5)一致性检验：对判断矩阵进行一致性检验，以确保得到的权重值是合理的。
3、层次分析法的实际应用
(6)结果分析：根据权重值的大小，对每个因素进行分析，从而得到问题的解 决方案。层次分析法在多目标决策、资源分配、风险评估等领域有着广泛的应用。 例如，在多目标决策中，层次分析法可以帮助我们确定各目标的权重，从而得到 最优解。
三、大学生毕业设计质量评价的 数学模型建立
三、大学生毕业设计质量评价的数学模型建立
1、确定评价指标：根据模糊层次分析法的原理，我们首先需要确定评价指标 体系。选取与毕业设计质量相关的指标，建立多级递阶结构，其中一级指标为选 题质量、设计过程、成果质量等，二级指标为选题难度、选题新颖性、设计规范 性等。
2、数学建模在各领域的应用
在科学研究领域，数学建模被广泛应用于物理学、化学、生物学等学科。例 如，牛顿第二定律、万有引力定律等都是通过数学建模得到的。在工程技术领域， 数学建模也发挥着重要的作用。例如，桥梁设计、建筑设计等领域都需要用到数 学建模来分析结构稳定性和安全性。此外，数学建模在金融、经济、社会等领域 也有着广泛的应用。
参考内容
一、引言
一、引言
随着高等教育的普及化，大学生毕业设计的质量评价已成为一个重要的研究 领域。毕业设计是大学生综合素质和教育水平的直接体现，因此，对其质量进行 科学、客观的评价至关重要。本次演示将介绍一种基于模糊层次分析法（Fuzzy Analytic Hierarchy Process，FAHP）的大学生毕业设计质量评价数学建模方 法，旨在为提高毕业设计质量和评价效率提供有效手段。
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由于经费等因素，有时不能同时开展几
个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、
理论价值、被培养人才等因素进行选题。
一、层次分析法基本原理
分解
建立 多个因素 层次结构
实际问题
确定
诸因素的相 对重要性
计算 权向量
判断 综合决策
二、层次分析法的步骤和方法
运用层次分析法构造系统模型时，大体可 以分为以下四个步骤：
这种方法的特点是在对复杂的决策问题的 本质、影响因素及其内在关系等进行深入 分析的基础上，利用较少的定量信息使决 策的思维过程数学化，从而为多目标、多 准则或无结构特性的复杂决策问题提供简 便的决策方法。
是对难于完全定量的复杂系统作出决策的 模型和方法。
层次分析法在经济、科技、文化、军事、 环境乃至社会发展等方面的管理决策中都 有广泛的应用。
O(选择旅游地)
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
P3 北戴河
例2
大学毕业生就业选择问题 获得大学毕业学位的毕业生，在“双向选择” 时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。 就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的， 例如： ①能发挥自己才干作出较好贡献（即工作岗位适 合发挥自己的专长）； ②工作收入较好（待遇好）； ③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）； ④单位名声好（声誉等）； ⑤工作环境好（人际关系和谐等） ⑥发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。
一个典型的层次可以用下图表示出来：
几点注意
1.处于最上面的的层次通常只有一个元素， 一般是分析问题的预定目标或理想结果。 中间层次一般是准则、子准则。最低一层 包括决策的方案。层次之间元素的支配关 系不一定是完全的，即可以存在这样的元 素，它并不支配下一层次的所有元素。
2.层次数与问题的复杂程度和所需要分析的详尽 程度有关。每一层次中的元素一般不超过9个，因 一层中包含数目过多的元素会给两两比较判断带 来困难。
3.一个好的层次结构对于解决问题是极为重要的。 层次结构建立在决策者对所面临的问题具有全面 深入的认识基础上，如果在层次的划分和确定层 次之间的支配关系上举棋不定，最好重新分析问 题，弄清问题各部分相互之间的关系，以确保建 立一个合理的层次结构。
例1. 选择旅游地
目标层
如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.
比较同一层次中每个因素关于上一层次 的同一个因素的相对重要性
在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是 定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而 Saaty等人提出构造：成对比较矩阵A = (aij)nn，即： 1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比 较。 2. 对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同 的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。 成对比较矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个 因素的相对重要性的比较。判断矩阵的元素aij用 Saaty的1—9标度方法给出。
常用来解决诸如综合评价、选择决策方案、 估计和预测、投入量的分配等问题。
层次分析法建模
一
、问题的提出 日常生活中有许多决策问题。决策是指 在面临多种方案时需要依据一定的标准选择 某一种方案。 例1 某人准备选购一台电冰箱 他对市场上的6种不同类型的电冰箱进行了解 后，选取一些中间指标进行考察。例如电冰 箱的容量、制冷级别、价格、型式、耗电量、 外界信誉、售后服务等。
工作选择 目标层
贡 准则层 献 方案层
收
发
声
入
展
誉
工 作 环 境
生 活 环 境
可供选择的单位P1’ P2 ， Pn
建立层次结构模型的思维过程的归纳
将决策问题分为3个或多个层次： 最高层：目标层。表示解决问题的目的，即层次分析 要达到的总目标。通常只有一个总目标。 中间层：准则层、指标层、…。表示采取某种措施、 政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节； 一般又分为准则层、指标层、策略层、约束层等。 最低层：方案层。表示将选用的解决问题的各种措施、 政策、方案等。通常有几个方案可选。 每层有若干元素，层间元素的关系用相连直线表示。
例 2
旅游
假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是
去凉爽宜人的北戴河，或者是去山水甲天下
的桂林？通常会依据景色、费用、食宿条件、 旅途等因素选择去哪个地方。
例 3
择业
面临毕业，可能有高校、科研单位、企
业等单位可以去选择，一般依据工作环境、
工资待遇、发展前途选择
层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相 对权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、 措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择 方案的原则。
2
构造判断(成对比较)矩阵
在建立递阶层次结构以后，上下层次之 间元素的隶属关系就被确定了。假定上一层 次 的 元 素 Ck 作 为 准 则 ， 对 下 一 层 次 的 元 素 A1, …, An 有支配关系，我们的目的是在准则 Ck 之下按它们相对重要性赋予 A1, …, An 相 应的权重。
1. 建立层次结构模型 2. 构造判断(成对比较)矩阵 3. 层次单排序及其一致性检验 4. 层次总排序及其一致性检验
1
建立层次结构模型
将决策的目标、考虑的因素（决策准则） 和决策对象按它们之间的相互关系分为最 高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。
最高层：决策的目的、要解决的问题。 最低层：决策时的备选方案。 中间层：考虑的因素、决策的准则。 对于相邻的两层，称高层为目标层，低 层为因素层。
然后再考虑各种型号冰箱在上述各中间标 准下的优劣排序。借助这种排序，最终作 出选购决策。在决策时，由于6种电冰箱对 于每个中间标准的优劣排序一般是不一致 的，因此，决策者首先要对这7个标准的重 要度作一个估计，给出一种排序，然后把6 种冰箱分别对每一个标准的排序权重找出 来，最后把这些信息数据综合，得到针对 总目标即购买电冰箱的排序权重。有了这 个权重向量，决策就很容易了。
层次分析法(AHP法)
Analytic Hierarchy Process
引 言
层次分析法（AHP）是美国运筹学家匹茨
堡大学教授萨蒂(T.L.Saaty)于上世纪70年代 初，为美国国防部研究“根据各个工业部 门对国家福利的贡献大小而进行电力分配” 课题时，应用网络系统理论和多目标综合 评价方法，提出的一种层次权重决策分析 方法。