第7章(责任准备金)

公式1：
k
Vx P vqxk vpx k k 1 x V x
解释：k年末给付准备金加k+1年初净保费 收入，正好用于第k+1年的死亡给付和k+1 年末给付准备金。
公式1的推导：
k
Vx Axk P axk x
kVx Px Axk Px (axk 1) Axk Px axk
利用过去法计算下列责任准备金 1、某人在50岁时投保了20000元的死亡年 末赔付终身寿险，限期10年缴清保费，假 设利率i=6%，计算第5年末和第15年末均 衡净保费责任准备金。
2、李某在30岁时投保了30年定期寿险，死 亡年末给付1万元，假设利率i=6%，保险期 限内缴清保费。计算第10年末责任准备金。
例：某人30岁时投保了从60岁起每年1万元 的生存年金，保费从投保起在30年内每年 缴付一次均衡缴清，预定利率为6%，据附 表1计算在投保第10年末和第40年末的责任 准备金。
7.2.2.过去法
k
V 过去净保费积累值－已赔付积累值
死亡年末赔付终身寿险，保费每年缴一次、 终身缴付，第k年末的给付准备金为
Ax k : n k h Px : n ax k : h k , k h h hk n kV ( Ax : n ) Ax k : n k , k n 1,
例：某人在40岁时投保了5万元30年两全保 险，保险费在20年内均衡缴付，预定利率为 6%，求投保第10年末的责任准备金。
（1）S的公式； （2）第k年末责任准备金的未来法公式； （3）第k年末责任准备金的过去法公式；
3、某35岁的人购买了一种寿险产品，该保险在第 10年末的死亡给付为25000元，准备金按i=6%计算 ，年缴纯保费为P，且假定
9
V P10 V 5000 ,
利用责任准备金递推公式
k
Vx P bk 1vqx k vpx k k 1 x V x
衡纯保费又小于自然保费（或支出）。对于投保
人早期缴付的均衡纯保费中多于自然保费的部分， 不能作为公司的业务盈余来处理，只能视为保险
人对被保险人的负债，须逐年提存并妥善运用，
以保证履行将来的保险金给付义务。这种逐年提
存的负债就是寿险责任准备金。
2.责任准备金的计算方法
将来法：责任准备金是保险人未来的净责
4.延期年金给付准备金
延期n年终身生存年金保险，保险费 在n年内缴清，每年缴付一次，第k年末的 给付准备金为
n k ax k P ( n a x ) a x k : n k , k n kV ( n ax ) k n ax k ,
因为
Axk vqxk vpxk Axk 1 axk vpxk axk 1
所以
k
Vx P vqxk vpx k k 1 x V x
公式2：
lxk ( kVx P )(1 i) d xk lxk 1 k 1 x V x
3、某人在40岁时投保了50000元30年两全 保险，保险费限期10年均衡缴付，预定利率 为6%，求投保第10年末的责任准备金。
4、某人30岁时投保了从60岁起每年1万元 的生存年金，保费从投保起在30年内每年缴 付一次均衡缴清，预定利率为6%，计算在 投保第10年末和第40年末的责任准备金。
7.3 给付准备金的递推公式
1 h
px t h
v [bt 1 (1 h)qx t t 1Vx px t ] 1 hqx t
实践中，当 i 和 q x t 很小时，有如下近似公式
t h x
V (1 h) tVx h t 1Vx (1 h) P t
式中，(1 h) pt 是t+1年初保费收入与t+h～t+1时期 长度的乘积，表示保险人保险责任尚未完成时期的 保费收入，通常称为未经过保费或未满期保费。
计算
q44
（其中， k 1 是第k+1年末的死亡赔付额）。 b
7.4 会计年度末给付准备金
一、基本概念
保险年度：又称契约年度，是从保险契约成立日为起 点的年度，即从契约成立日到下年同一日为一年。前 面所考虑的准备金即为保险年度给付准备金。 会计年度：又称业务年度，通常等同于日历年度，会 计年度末的给付准备金是保险公司在年度决算日的累 积给付准备金，它可以由保险年度末给付准备金推算 出来。
二、基本公式
保险年度末的给付准备金
k
Vx P vqxk vpx k k 1 x V x
1h 1h
会计年度末的给付准备金
t h x
V bt 1 v
qxt h t 1Vx v
1h
1h
pxt h
其中t为整数，0<h<1 在死亡均匀分布假设下，有
k x
V Px x : k A s
1 x:k
1 k Ex
1 1 ( Px ax : k Ax : k ) k Ex
死亡年末赔付终身寿险，保费每年缴一次、 h年内定期缴付，第k年末的给付准备金为
1 1 ( h Px ax : k Ax : k ), k h E k x h kVx 1 ( P a A1 ), k h x : h h x x:k k Ex
n年缴费的n年两全保险，第k年末的 给付准备金为
k x:n
V
1 1 ( Px : n ax : k Ax : k ), k n k Ex 1, k n
n年延期生存年金，保险费在n年内 定期缴付，第k年末的给付准备金为
P( n ax )x : k , s k n 1 kV ( n ax ) x n : k n , k n s P ( n ax ) ax : n k Ex
补充作业： 1、某30岁的人购买了从60岁起的生存年金， 契约规定，在被保险人60～69岁时每年的 给付额为8000元，70～79岁每年的给付额 为9000元，80岁以后每年给付额为10000元， 预定利率为6%。保费限期30年缴清，求第 20年末和第40年末均衡净保费责任准备金。
2、某35岁的人购买一种趸缴保费形式的保 单，当被保险人活到65岁时可得保险金10万 元，若被保险人在65岁以前死亡，则保险人 在其死亡年末无息返还已缴的趸缴纯保费。 记趸缴纯保费为S，写出：
P
1 x:n
ax k : n k
保险费每年一次，h (h<n)年内缴清
h k
V
1 x:n
A1 k : nk h Px1: n ax k : h k , k h x 1 k h Ax k : nk ,
例2：李某在30岁时投保了30年定期寿险， 死亡年末给付10000元，保费限期10年均衡 缴付。假设利率i=6%。计算第8年末和第15 年末责任准备金。
1 h
qx t h
(1 h)qx t 1 hqx t
1 h
px t h 1 1h qx t h
px t 1 hqx t
于是
t h x
V bt 1 v
1 h
1 h
1 h
qx t h t 1Vx v
1 h
3.两全保险给付准备金
保险费每年1次,n年缴清,k年末的给付准备金
Vx : n Ax k : n k Px : n ax k : n k k
保险费每年1次，h (h<n)年内缴清
h k
Vx : n
Ax k : n k h Px : n ax k : h k , k h A , hk n x k : n k k n 1,
保费在h年内缴付（h<n）,一年m次， k年末的给付准备金
h ( m) k x:n
V
Ax k : n k h P1( m ) axmk) : h k , k h ( x:n A , hk n xk : nk k n 1,
死亡即时赔付时，保险费每年一次，h (h<n)年内缴清，k年末的给付准备金为：
表明第1年减少的净保费与第2年以后增加的 净保费现值相等。 公式2
P P ax : k 1
表明第2年以后调整的净保费 是在均衡净 保费P的基础上，加上能够补偿第1年减少的净保 费数额的调整项组成的。 公式3
会计年度末的给付准备金示意图
Pt
(1 h) P t
(1 h) tV h t 1V
t 1
tV
V
t 1 h
t 1 h
t
会计年度
th
t 1
会计年度
7.5 修正的净保费给付准备金
7.5.1 修正的净保费给付准备金法的一般方法
G

P

1 2
3
k
n
修正给付准备金法对净保费的调整
任，用未来给付金现值减去未来净保费现 值来衡量。
过去法：它是保险人过去净保费收入大于
赔付支出部分，用过去净保费终值减去过 去给付的保险金终值计算。
7.2 均衡净保费给付准备金 7.2.1 将来法 kV K年末的责任准备金
对(x)，在下列条件下的责任准备金： ① 在死亡年末1单位元死亡赔付； ② 均衡保费从契约开始时每年初缴付。
第7章 给付责任准备金
本章主要内容：
● 准备金的意义 ● 均衡净保费给付准备金 ● 给付准备金的递推公式 ● 会计年度末给付准备金 ● 修正的净保费给付准备金 ● 现金价值
§7.1 责任准备金的意义
金额 Biblioteka Baidu险金
保费
保险年度
1. 责任准备金的定义

由于人寿保险采取均衡保费的缴费方式，因 而在投保后的一定时期内，投保人缴付的均衡纯 保费大于自然保费（或支出），此后所缴付的均
G

P

1 2
3
k
n
调整后的净保费的平衡公式： 即
ax : k 1 P k ax : nk Pax : n ax : k 1 Pax : k P ( P)ax : k 1
故
公式1
P ( P)ax : k 1
k
V v
j 0
?
j 1 j
q x k P v
j 0
?
j j
px k
1.终身寿险给付准备金
保费终身缴付
k x
V v
j 0

j 1 j
qx k Px v
j 0

j j
px k
Ax k Px ax k
h年内缴清保费
Ax k h Px ax k : h k , k h h kVx kh Ax k ,
例1：某人在50岁时投保了20000元的死亡 年末赔付终身寿险，假设i=6%，试计算 （1）终身缴费情况下第15年末均衡净保费 责任准备金 （2）限期10年缴费时第5年末和第15年末 均衡净保费责任准备金
2.定期寿险给付准备金
保险费每年一次，n年缴清,k年末的给付准备金
k
V
1 x:n
A
1 x k : nk
解释：为 l x k 个人提取的给付准备金加上他们所 缴付的净保费总和，正好满足k+1年发生的死亡每 人给付1单位元的给付额 d x k 和k+1年末 lx k 1 的给付准备金。
V 公式3： P vqxk vpx k 1 k 1 x kVx x
解释：每年的净保费正好满足死亡和相邻两期给付 准备金的差额。
公式4：
P vqxk (1 k 1 x ) v k 1 x kVx V V x
1 k 1Vx 是k+1年内死亡，在k+1年末给付准备金不足
部分，称为k+1年末保险人的风险净额。
又称为保险成本。
qxk (1 k 1Vx ) 是保险人k+1年末的期望风险净额，
公式4右端的两项分别表示为风险净额缴付的保 费部分，和为增加给付准备金而缴付的保费部分， 它们分别称为风险净保费和储蓄净保费。