极坐标与参数方程复习课件

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选修4-4 第二节
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
3个结论——参数方程的应用
根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结
论．
(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦
长l＝|t1－t2|；
(2)定点M0是线段M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；
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选修4－4
坐标系与参数方程
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选修4－4 坐标系与参数方程
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第二节 参数方程
课前学案 基础诊断
课堂学案 考点通关
自主园地 备考套餐
开卷速查
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1．参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上□1 ____的坐标
x，y都是某个变数t的函数：
x＝ft， y＝gt.
并且对于t的每一个允许
值，由方程组所确定的点M(x，y)都在□2 _____，那么方程叫做
这条曲线的参数方程，t叫做参变数，简称□3 _____.相对于参数
解析：化为普通方程为2x52 ＋y92＝1，故左焦点为(－4,0)．
答案：(－4,0)
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3．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极
轴建立极坐标系．已知射线θ＝
π 4
与曲线
x＝t＋1， y＝t－12
x＝3－ 22t，

y＝
5＋
2 2t
(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同
的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的 方程为ρ＝2 5sin θ.
(1)求圆C的圆心到直线l的距离； (2)设圆C与直线l交于点A、B.若点P的坐标为(3， 5)，求|PA|＋
|PB|.
方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做□4 ________.
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2．直线的参数方程
过定点P0(x0，y0)且倾斜角为α的直线的参数方程为
□5
_________(t为参数)，则参数t的几何意义是□6 _________.
由于Δ＝(3 2 )2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两个
实根，所以tt11＋·t2＝t2＝4.3 2，
又直线l过点P(3， 5)，
故由上式及t的几何意义得
|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3 2.
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所以圆C的圆心(0， 5)到直线l的距离为
|0＋
5－ 2
5－3|＝3 2
2 .
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(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得 3－ 22t 2＋

22t2＝5，即t2－3
2t＋4＝0.
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考点二
参数方程的应用
【例2】 在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为
x＝4cosθ， y＝4sinθ
(θ为参数)，直线l经过点P(2,2)，倾斜角α＝π3.
(1)写出圆的标准方程和直线l的参数方程；
考点例析 通关特训
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考点一
参数方程与普通方程的互化
【例1】 将下列参数方程化为普通方程．
x＝1t ， (1)y＝1t t2－1
(t为参数)；
x＝2＋sin2θ， (2)y＝－1＋cos2θ
(θ为参数)．
解析：由y＝t－1，得t＝y＋1，代入x＝3t＋2，得x＝3y＋5.即 x－3y－5＝0.
答案：x－3y－5＝0
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2．曲线 __________．
x＝5cosθ， y＝3sinθ
(θ为参数)的左焦点的坐标是
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通关特训1 将下列参数方程化为普通方程． x＝1＋3kk2，
(1)y＝16＋k2k2； x＝1－sin2θ，
(2)y＝sinθ＋cosθ.
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y
解析：(1)两式相除，得k＝
y 2x
，将其代入得x＝
3·2x 1＋2yx2
，化简
得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)．
(2)由(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝2－(1－sin2θ)
得y2＝2－x.又x＝1－sin2θ∈[0,2]，
得所求的普通方程为y2＝2－x，x∈[0,2]．
(t为参数)，则直线的倾
斜角为__________．
解析：由直线的参数方程知，斜率k＝
y－2 x－1
＝
－ 3t 3t
＝－Fra Baidu bibliotek
3 3
＝
tanθ，θ为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为150°.
答案：150°
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课堂学案 考点通关
(3)设线段M1M2中点为M，则点M对应的参数值tM＝
t1＋t2 2
(由此
可求|M2M|及中点坐标)．
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1．参数方程
x＝3t＋2， y＝t－1
____________________．
(t为参数)的普通方程为
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解析：(1)由ρ＝2 5 sin θ，得x2＋y2－2 5 y＝0，即圆C的直角 坐标方程为x2＋(y－ 5)2＝5.
由x＝3－ 22t， y＝ 5＋ 22t，
可得直线l的普通方程为
x＋y－ 5－3＝0.
几个常用的结论：(1)t0＝
t1＋t2 2
；(2)|PM|＝|t0|＝
|t1＋t2| 2
；(3)|AB|＝|t2
－t1|；(4)|PA|·|PB|＝|t1t2|.
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通关特训2 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
以椭圆的离心角θ为参数，椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)的参数
方程为□8 ________________θ∈[0,2π)．
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答案：
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►名师点拨 直线参数方程的应用
经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为
x＝x0＋tcosα， y＝y0＋tsinα
(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数
分别为t1，t2.线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0.注意以下
(t为参数)相交
于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为__________．
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解析：记A(x1，y1)，B(x2，y2)，将θ＝π4转化为直角坐标方程为 y＝x(x≥0)，曲线为y＝(x－2)2，联立上述两个方程得x2－5x＋4＝ 0，所以x1＋x2＝5，故线段AB的中点坐标为52，52.
解析：直线方程可化为x－y＋1＝0，圆的方程可化为(x－1)2＋ y2＝1.由点到直线的距离公式可得，圆心C(1,0)到直线l的距离为
12＋|2|－12＝ 2.
答案： 2
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5．若直线的参数方程为
x＝1＋3t， y＝2－ 3t
∵0≤sin2θ≤1，∴0≤x－2≤1.∴2≤x≤3. ∴所求的普通方程为2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．
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►名师点拨 将参数方程化为普通方程的方法 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特 征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减 消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角 三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等． (2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性， 不要增解．
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解析：(1)∵1t 2＋1t
t2－12＝1，∴x2＋y2＝1.

∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1.
又x＝1t ，∴x≠0.
当t≥1时，0＜x≤1，当t≤－1时，－1≤x＜0，
∴所求普通方程为
(2)设l与圆C相交于A、B两点，求|PA|·|PB|的值．
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(2)把直线l的参数方程
x＝2＋12t，

y＝2＋
3 2t
代入圆C：x2＋y2＝16
中，得2＋12t2＋2＋ 23t2＝16， t2＋2( 3＋1)t－8＝0， 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2， 则t1t2＝－8，即|PA|·|PB|＝8.
考 1.了解参数方程，了解参数的意义． 纲 导 2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方 学 程.
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课前学案 基础诊断
夯基固本 基础自测
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1个要点——参数t的几何意义
在直线的参数方程
x＝x0＋tcosα， y＝y0＋tsinα
(t为参数)中t的几何意
义是表示在直线上从定点P0(x0，y0)到直线上的任一点P(x，y)构
成的有向线段P0P的数量且在直线上任意两点P1、P2的距离为
|P1P2|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2.
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3种方法——化参数方程为普通方程的方法 (1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参 数； (2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整 体上消去参数． 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的 扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值 域，即x和y的取值范围．
x2＋y2＝100＜ ≤xy≤ ＜11，
或－－11≤＜xy＜≤00，
.
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(2)∵y＝－1＋cos2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，sin2θ＝x－ 2，∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0.
答案：52，52
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4．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
x＝t， y＝t＋1
(参数t∈R)，圆C的参数方程为
x＝cosθ＋1， y＝sinθ
(参数θ∈[0,2π))，则
圆心C到直线l的距离是__________．
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3．圆的参数方程 圆心为(a，b)，半径为r，以圆心为顶点且与x轴同向的射 线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径成的角α为参数的圆
的参数方程为□7 __________________α∈[0,2π)．
4．椭圆的参数方程