极坐标与参数方程复习课件
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选修系列极坐标与参数方程课件
x＝3－2 t2 ∴曲线 C 的参数方程为 y＝3t－2 t3
(t 为参数)．
考点三 极坐标、参数方程的综合应用
利用极坐标、参数方程与普通方程间的转化，把 点、线和曲线等问题转化为熟知内容，进而解决 有关问题．
例3 (2011 年盐城市高三调研)已知直线 l 的参数方 程xy＝＝1t ＋2t (t 为参数)和圆 C 的极坐标方程 ρ＝
x＝a＋rcosθ，
y＝b_＋__r_si_n_θ___其___中_. θ是参数． 当圆心在(0,0)时，方程为
x＝rcosθ， y＝rsinθ.
(3)椭圆 中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种 情况： ①椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的参数方程是x__＝y_＝_a_cbo_ss_iθn_，θ___. 其 中 θ 是参数．
参数)，
所以曲线 C 的直线坐标方程为 y＝12x2(x∈[－
2,2])，
联立解方程组得xy＝＝00，，
或x＝2 3， y＝6.
根据 x 的范围应舍去x＝2 3， y＝6，
故 P 点的直角坐标为(0,0)．
考点一
考点探究·挑战高考
考点突破 极坐极系与直角坐标系的互化
1．极坐标的四要素：(1)极点；(2)极轴；(3)长 度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一 不可．
＝sinθ＋π4cos π4－cosθ＋π4sin π4＝ 22，
cosθ＝ cosθ＋ π4 －π4
＝cosθ＋π4 cos
π4＋sinθ＋π4 sin
π4＝
2 2.
所以点 P 的坐标为
2，
2 2
.
从而椭圆 C 上到直线 l 的距离最小的点 P 的坐标为
高考总复习数学(文)课件：18.2 极坐标与参数方程精选课件
(φ 为参数)．
x＝2pt2， (4)抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程为___y_＝__2_p_t _____(t 为参
数)．
x＝x0＋at，
(5)过点 P(x0，y0)，斜率为ba的直线的参数方程为__y_＝__y_0＋__b_t__
(t 为参数)；过点 P(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程为 x＝x0＋tcosα， _y_＝__y_0_＋__ts_i_n_α_，_此时|t|表示参数 t 对应的点 M(x，y)到定点 M0(x0，
5．在极坐标系中，点(1,0)到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝2 的距离
2 为____2______.
考点 1 极坐标与直角坐标的相互转化 例1：(1)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝ 1与ρ(sinθ－cosθ)＝1的交点的极坐标为________．
解析：曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，
第2讲 极坐标与参数方程
考纲要求
考情风向标
1.理解坐标系的作用；了解在平面直角坐标系伸 缩变换作用下平面图形的变化情况．
2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理 解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位 置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直 线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．通过比 较这些图形在极坐标和平面直角坐标系中的方 程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系 的意义．
φ， φ
转换
成普通方程为 y＝x－a 和x92＋y42＝1，直线与 x 轴的交点为(a,0)
就是椭圆的右顶点(3,0)，所以 a＝3.
答案：3
【方法与技巧】常见的消参数法有：代入消元(抛物线的参 数方程)、加减消元(直线的参数方程)、平方后再加减消元(圆、 椭圆的参数方程)等.经常使用的公式有sin2α＋cos2α＝1.在将曲 线的参数方程化为普通方程的过程中一定要注意参数的范围， 确保普通方程与参数方程等价.
x＝2pt2， (4)抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程为___y_＝__2_p_t _____(t 为参
数)．
x＝x0＋at，
(5)过点 P(x0，y0)，斜率为ba的直线的参数方程为__y_＝__y_0＋__b_t__
(t 为参数)；过点 P(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程为 x＝x0＋tcosα， _y_＝__y_0_＋__ts_i_n_α_，_此时|t|表示参数 t 对应的点 M(x，y)到定点 M0(x0，
5．在极坐标系中，点(1,0)到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝2 的距离
2 为____2______.
考点 1 极坐标与直角坐标的相互转化 例1：(1)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝ 1与ρ(sinθ－cosθ)＝1的交点的极坐标为________．
解析：曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，
第2讲 极坐标与参数方程
考纲要求
考情风向标
1.理解坐标系的作用；了解在平面直角坐标系伸 缩变换作用下平面图形的变化情况．
2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理 解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位 置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直 线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．通过比 较这些图形在极坐标和平面直角坐标系中的方 程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系 的意义．
φ， φ
转换
成普通方程为 y＝x－a 和x92＋y42＝1，直线与 x 轴的交点为(a,0)
就是椭圆的右顶点(3,0)，所以 a＝3.
答案：3
【方法与技巧】常见的消参数法有：代入消元(抛物线的参 数方程)、加减消元(直线的参数方程)、平方后再加减消元(圆、 椭圆的参数方程)等.经常使用的公式有sin2α＋cos2α＝1.在将曲 线的参数方程化为普通方程的过程中一定要注意参数的范围， 确保普通方程与参数方程等价.
极坐标与参数方程复习课件
详细描述
摆线的极坐标方程是ρ=a(1-cosθ)，其中ρ表示点到原点的距离，θ表示点与x轴的夹角，a表示摆线的 半径。通过这个方程，我们可以方便地计算摆线的长度和面积。
实例三：磁场线的参数方程
总结词
磁场线的参数方程表示
详细描述
磁场线的参数方程通常由两个参数构 成，例如时间和角度。参数方程可以 描述磁场线在任意时刻的位置和方向 ，从而方便地计算磁场线的长度和面 积。
极坐标与参数方程的转换关系
极坐标与直角坐标转换
极坐标系中的点可以用直角坐标系中的坐标表示，反之亦然。具体转换公式为 ：$x = rho cos theta, y = rho sin theta, x^2 + y^2 = rho^2$。
参数方程与直角坐标转换
参数方程中的点也可以用直角坐标系中的坐标表示，具体转换公式取决于参数 方程的形式。
05
极坐标与参数方程的习题及解析
习题一：求圆的极坐标方程
总结词
理解并掌握圆的极坐标方程的推 导方法
详细描述
通过给定的圆心和半径，利用极 坐标与直角坐标方程
80%
总结词
掌握参数方程转换为普通方程的 方法
100%
详细描述
通过消去参数，将参数方程转化 为普通方程，以便更好地理解曲 线的几何意义。
极坐标与直角坐标的关系
对于平面内任意一点P，其直角坐标为(x,y)，则其极坐标为(r,θ)， 其中r=√(x²+y²)，tanθ=y/x。
极坐标与直角坐标的转换
直角坐标转换为极坐标
已知点P的直角坐标为(x,y)，则其极 坐标为(r,θ)，其中r=√(x²+y²)， tanθ=y/x。
极坐标转换为直角坐标
摆线的极坐标方程是ρ=a(1-cosθ)，其中ρ表示点到原点的距离，θ表示点与x轴的夹角，a表示摆线的 半径。通过这个方程，我们可以方便地计算摆线的长度和面积。
实例三：磁场线的参数方程
总结词
磁场线的参数方程表示
详细描述
磁场线的参数方程通常由两个参数构 成，例如时间和角度。参数方程可以 描述磁场线在任意时刻的位置和方向 ，从而方便地计算磁场线的长度和面 积。
极坐标与参数方程的转换关系
极坐标与直角坐标转换
极坐标系中的点可以用直角坐标系中的坐标表示，反之亦然。具体转换公式为 ：$x = rho cos theta, y = rho sin theta, x^2 + y^2 = rho^2$。
参数方程与直角坐标转换
参数方程中的点也可以用直角坐标系中的坐标表示，具体转换公式取决于参数 方程的形式。
05
极坐标与参数方程的习题及解析
习题一：求圆的极坐标方程
总结词
理解并掌握圆的极坐标方程的推 导方法
详细描述
通过给定的圆心和半径，利用极 坐标与直角坐标方程
80%
总结词
掌握参数方程转换为普通方程的 方法
100%
详细描述
通过消去参数，将参数方程转化 为普通方程，以便更好地理解曲 线的几何意义。
极坐标与直角坐标的关系
对于平面内任意一点P，其直角坐标为(x,y)，则其极坐标为(r,θ)， 其中r=√(x²+y²)，tanθ=y/x。
极坐标与直角坐标的转换
直角坐标转换为极坐标
已知点P的直角坐标为(x,y)，则其极 坐标为(r,θ)，其中r=√(x²+y²)， tanθ=y/x。
极坐标转换为直角坐标
极坐标与参数方程ppt课件
当 θ1=θ2，|AB|＝/ρ1—-ρ2/
• 3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且极 轴到此直线的角为α，则它的方程为：
• ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． • 几个特殊位置的直线的极坐标方程 • (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π+θ0； • (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0 ＋t2cos α，y0＋t2sin α)． (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋2 t2， 中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|＝|t|＝t1＋2 t2. (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
[解] (1)直线 l 的普通方程为 xsin α－ycos α＋cos α＝0. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝4sin θ， 即 ρ2cos2θ＝4ρsin θ，∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＝4y.
x＝tcos α， (2)将 l: y＝1＋tsin α 代入曲线 C∶x2＝4y 中， 得 t2cos2α－4tsin α－4＝0.
意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以 便正确地求出角θ. • (2)注意“双坐标系”是直角坐标与极坐标互化的 前提．若要判断曲线的形状，通常是先将极坐标 方程化为直角坐标方程，再判断．
(3)极坐标系中两点间的距离公式：已知点 A(ρ1，θ1)，
B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.
• 3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且极 轴到此直线的角为α，则它的方程为：
• ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． • 几个特殊位置的直线的极坐标方程 • (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π+θ0； • (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0 ＋t2cos α，y0＋t2sin α)． (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋2 t2， 中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|＝|t|＝t1＋2 t2. (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
[解] (1)直线 l 的普通方程为 xsin α－ycos α＋cos α＝0. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝4sin θ， 即 ρ2cos2θ＝4ρsin θ，∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＝4y.
x＝tcos α， (2)将 l: y＝1＋tsin α 代入曲线 C∶x2＝4y 中， 得 t2cos2α－4tsin α－4＝0.
意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以 便正确地求出角θ. • (2)注意“双坐标系”是直角坐标与极坐标互化的 前提．若要判断曲线的形状，通常是先将极坐标 方程化为直角坐标方程，再判断．
(3)极坐标系中两点间的距离公式：已知点 A(ρ1，θ1)，
B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.
高三第二轮专题复习极坐标与参数方程课件.ppt
x
y
a b
r r
cos sin
(为参数)
其中参数的几何意义为: θ为圆心角
4.椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的参数方程为:
x
y
a b
cos sin
(为参数)
双基自测
1．极坐标方程 ρ＝cos θ 和参数方程xy＝ ＝2－＋1t－t， (t 为参
数)所表示的图形分别是( )．
A．直线、直线
答案 (－4,0)
4．(2013·广州调研)已知直线 l 的参数方程为：xy＝＝12＋t，4t (t 为参数)， 圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2 2sin θ，则直线 l 与圆 C 的位置关系为 ________．
x＝2t，
解析 将直线 l 的参数方程：
化为普通方程得，y＝1＋2x，
y＝1＋4t
圆 ρ＝2 2sin θ 的直角坐标方程为 x2＋(y－ 2)2＝2，圆心(0， 2)到
重点方法：<1>消参的方法；<2>极 坐标方程化为直角坐标方程的方法； <3>设参的方法。
1、过定点 M 0 (x0 , y0 ) 、倾斜角为 的直线 l 的参
数方程为
x
y
x0 y0
t cos t sin
，(t
为参数)
我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式，其
中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x,y)为终 点的有向线段的数量M0M。当点M在点M0的上方时， t>0；当点M在点M0的下方时，t<0；当点M与点M0重合 时，t=0。很明显，我们也可以参数t理解为以M0为原点， 直线l向上的方向为正方向的数轴上点M的坐标，其长度
极坐标与参数方程课件——高三数学一轮复习
【解析】 (1)
t为参数
，代
入(y－2)2－x2＝1，得 7t2＋12t－5＝0.
12
5
∴t1＋t2＝－ 7 ，t1t2＝－ 7 .
2
∴|AB|＝|t1－t2|＝ （t1＋t2）2－4t1t2＝ 7 71. (2)P 点直角坐标为(－2，2)，线段 AB 中点对应的参数值为t1＋2 t2，
二、破解难点：参数方程与普通方程的互化 ． 三、廓清疑点：参数方程的应用．
<2>（1）曲线的参数方程与普通方程的互化、极坐 标方程与直角坐标方程互化需注意等价性．
（2）参数思想、转化思想 ． （3）类比已有知识，注重新旧知识的整合与循
环上升．
当堂检测：
1.极坐标方程 ρ＝sinθ＋cosθ 表示的曲线是( A )
M0(x0,y0)
O
M0M te
x
13
· 知识点y 回顾： B
· A
M（x，y）
·· M0（x0，y0）
x y
x0 y0
t cos t sin
(t是 参 数 ）
O
x
设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参
数值分别为t1,t2.
（1）|AB|＝t1 t 2
（2）若M是AB的中点，M对应的参数
3
.
（Ⅰ）求直线 l 在相应直角坐标系下的参数方程;
（Ⅱ）设 l 与曲线 C 相交于两点 A、B ，
①求点 P 到 A、B 两点的距离之积；② A、B 之间的距离。
1 P的直角坐标 1,1
l的参数方程
x
1
1 2
y=1+
3
2
t t
t为参数
2 C的直角坐标方程
t为参数
，代
入(y－2)2－x2＝1，得 7t2＋12t－5＝0.
12
5
∴t1＋t2＝－ 7 ，t1t2＝－ 7 .
2
∴|AB|＝|t1－t2|＝ （t1＋t2）2－4t1t2＝ 7 71. (2)P 点直角坐标为(－2，2)，线段 AB 中点对应的参数值为t1＋2 t2，
二、破解难点：参数方程与普通方程的互化 ． 三、廓清疑点：参数方程的应用．
<2>（1）曲线的参数方程与普通方程的互化、极坐 标方程与直角坐标方程互化需注意等价性．
（2）参数思想、转化思想 ． （3）类比已有知识，注重新旧知识的整合与循
环上升．
当堂检测：
1.极坐标方程 ρ＝sinθ＋cosθ 表示的曲线是( A )
M0(x0,y0)
O
M0M te
x
13
· 知识点y 回顾： B
· A
M（x，y）
·· M0（x0，y0）
x y
x0 y0
t cos t sin
(t是 参 数 ）
O
x
设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参
数值分别为t1,t2.
（1）|AB|＝t1 t 2
（2）若M是AB的中点，M对应的参数
3
.
（Ⅰ）求直线 l 在相应直角坐标系下的参数方程;
（Ⅱ）设 l 与曲线 C 相交于两点 A、B ，
①求点 P 到 A、B 两点的距离之积；② A、B 之间的距离。
1 P的直角坐标 1,1
l的参数方程
x
1
1 2
y=1+
3
2
t t
t为参数
2 C的直角坐标方程
极坐标和参数方程知识点总结课件.doc
第一部分：坐标系与参数方程【考纲知识梳理】1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换: xyx,y,的作用下,点P x, y 对应到点P x , y ,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图(1)所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角,记为.有序数对, 叫做点M 的极坐标,记作M , .一般地,不作特殊说明时,我们认为0, 可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为0, R 。
和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,0 2 ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标, 表示;同时,极坐标, 表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图(2)所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是x, y ,极坐标是, 0 ,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M 直角坐标x, y 极坐标,互化公式xycossin2tan2xyxy2x 0在一般情况下,由tan 确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程1 / 10圆心在极点,半径为r 的圆r 0 2圆心为r,0 ,半径为r 的圆2r2 2圆心为r,半径为r 的圆2r sin 0,2(1) R 或R 过极点,倾斜角为的直线(2) 0 或0 过点a,0 ,与极轴垂直的直线cos a2 2过点a, ,与极轴平行的直2 sin a 0线注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即, , ,2 , , , , 都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可. 例如对于极坐标方程点M, 可以表示为4 45M , 2 或M , 2 或M , 等多种形式,其中,只有4 4 4 4 4 4 M , 的极坐标满足方程4 4.二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x, y 都是某个变数t 的函数xyfgtt①,并且对2 / 10于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M x, y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x, y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数x, y 中的一个与参数t 的关系,例如x f t ,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y g t ,那么xyfgtt就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使x, y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
选修4-4极坐标与参数方程课件
转换的方法
转换的方法包括代入法、消元法、三角换元法等，具体使 用哪种方法需要根据具体的情况来选择。
参数方程的应用举例
01
物理问题中的应用
在物理问题中，很多运动轨迹可以用参数方程来表示，例如行星的运动
轨迹、摆线的形状等。通过建立物理问题的数学模型，可以将物理问题
转化为数学问题，进而求解。
02
工程问题中的应用
极坐标与参数方程在工程中的应用
在工程中，极坐标和参数方程被广泛应用于各种领域，如 机械工程、航空航天工程、土木工程等。例如，在机械工 程中，零件的形状可以用极坐标和参数方程来描述；在航 空航天工程中，飞行器的轨迹可以用极坐标来描述。
极坐标和参数方程在工程中还有许多其他应用，如管道设 计、电路设计、结构设计等。这些应用有助于提高工程设 计的精度和效率。
极坐标的应用举例
Hale Waihona Puke 010203
平面几何问题
极坐标在解决平面几何问 题中非常有用，例如求圆 的面积和周长，以及解决 与圆和直线相关的问题。
物理学中的应用
在物理学中，极坐标常用 于描述电子在磁场中的运 动轨迹，以及行星和卫星 的运动轨迹。
工程领域应用
在工程领域，极坐标常用 于解决流体力学、电磁学 和光学等领域的问题。
PART 04
极坐标与参数方程的综合 应用
REPORTING
WENKU DESIGN
极坐标与参数方程在几何图形中的应用
极坐标与参数方程在解析几何中有着广泛的应用，它们可以用来描述平面上的曲 线和曲面。例如，极坐标可以用来描述圆的轨迹，参数方程可以用来描述直线的 轨迹。
在几何图形中，极坐标和参数方程还可以用来描述旋转曲面、柱面等复杂的几何 形状。这些形状在建筑设计、工程制图等领域有着广泛的应用。
转换的方法包括代入法、消元法、三角换元法等，具体使 用哪种方法需要根据具体的情况来选择。
参数方程的应用举例
01
物理问题中的应用
在物理问题中，很多运动轨迹可以用参数方程来表示，例如行星的运动
轨迹、摆线的形状等。通过建立物理问题的数学模型，可以将物理问题
转化为数学问题，进而求解。
02
工程问题中的应用
极坐标与参数方程在工程中的应用
在工程中，极坐标和参数方程被广泛应用于各种领域，如 机械工程、航空航天工程、土木工程等。例如，在机械工 程中，零件的形状可以用极坐标和参数方程来描述；在航 空航天工程中，飞行器的轨迹可以用极坐标来描述。
极坐标和参数方程在工程中还有许多其他应用，如管道设 计、电路设计、结构设计等。这些应用有助于提高工程设 计的精度和效率。
极坐标的应用举例
Hale Waihona Puke 010203
平面几何问题
极坐标在解决平面几何问 题中非常有用，例如求圆 的面积和周长，以及解决 与圆和直线相关的问题。
物理学中的应用
在物理学中，极坐标常用 于描述电子在磁场中的运 动轨迹，以及行星和卫星 的运动轨迹。
工程领域应用
在工程领域，极坐标常用 于解决流体力学、电磁学 和光学等领域的问题。
PART 04
极坐标与参数方程的综合 应用
REPORTING
WENKU DESIGN
极坐标与参数方程在几何图形中的应用
极坐标与参数方程在解析几何中有着广泛的应用，它们可以用来描述平面上的曲 线和曲面。例如，极坐标可以用来描述圆的轨迹，参数方程可以用来描述直线的 轨迹。
在几何图形中，极坐标和参数方程还可以用来描述旋转曲面、柱面等复杂的几何 形状。这些形状在建筑设计、工程制图等领域有着广泛的应用。
极坐标与参数方程专题复习课件
极坐标与参数方程
例1.三种形式方程间的互化
1.已知曲线C：x 2 4
y2 9
1,
直线l：xy
2 2
t (t为参数). 2t
⑴写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程;
分析：高考在22题第一问都是考查三种形式方 程的互化。
例1.三种形式方程间的互化
1.已知曲线C：x 2 4
y2 9
1,
直线l：xy
4cos
θ.因为直线
l
的极坐标方程为
ρsinθ＋π6＝4，即
3 2
ρsin θ＋12ρcos θ＝4，
所以直线 l 的直角坐标方程为 x＋ 3y－8＝0.
(2)依题意，A ，B
两点的极坐标分别为
A
2，π 3
，B
4，π 3
，联
立射线θ ＝11π 与曲线 C 的极坐标方程得 P 点极坐标为
6
2
3，161π
1写出C
2与C
交点的直角坐标；
3
解：因为
2 sin , 所以 2
2 sin ,又因为xy
cos sin
所以，C2的直角坐标方程为：x 2 y 2 2 y 0;
同理，C3的直角坐标方程为：x 2 y 2 2 3x 0;
联立
x x
2 2
y2 y2
2y 0 2 3x
，解得
0
x y
0种形式方程间的互化
2.在直角坐标系xOy中，C1：xy
t t
c s
os in
(t为参数,t 0)，
其中，0 ,曲线C2： 2sin ,曲线C3： 2 3 cos.
1写出C
2与C
交点的直角坐标；
3
例1.三种形式方程间的互化
1.已知曲线C：x 2 4
y2 9
1,
直线l：xy
2 2
t (t为参数). 2t
⑴写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程;
分析：高考在22题第一问都是考查三种形式方 程的互化。
例1.三种形式方程间的互化
1.已知曲线C：x 2 4
y2 9
1,
直线l：xy
4cos
θ.因为直线
l
的极坐标方程为
ρsinθ＋π6＝4，即
3 2
ρsin θ＋12ρcos θ＝4，
所以直线 l 的直角坐标方程为 x＋ 3y－8＝0.
(2)依题意，A ，B
两点的极坐标分别为
A
2，π 3
，B
4，π 3
，联
立射线θ ＝11π 与曲线 C 的极坐标方程得 P 点极坐标为
6
2
3，161π
1写出C
2与C
交点的直角坐标；
3
解：因为
2 sin , 所以 2
2 sin ,又因为xy
cos sin
所以，C2的直角坐标方程为：x 2 y 2 2 y 0;
同理，C3的直角坐标方程为：x 2 y 2 2 3x 0;
联立
x x
2 2
y2 y2
2y 0 2 3x
，解得
0
x y
0种形式方程间的互化
2.在直角坐标系xOy中，C1：xy
t t
c s
os in
(t为参数,t 0)，
其中，0 ,曲线C2： 2sin ,曲线C3： 2 3 cos.
1写出C
2与C
交点的直角坐标；
3
2020届二轮复习 极坐标与参数方程 课件(75张)(全国通用)
当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2， 所以|－kk2＋＋21|＝2，故k＝－43或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没
有公共点；当k＝－
4 3
ห้องสมุดไป่ตู้
时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个
公共点．
当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，
所以
|k＋2| k2＋1
综上，α的取值范围是(π4，34π)．
(2)l的参数方程为xy＝＝t－cosα2，＋tsinα
(t为参数，π4<α<34π)．
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝
tA＋tB 2
，且
tA，tB满足t2－2 2tsinα＋1＝0.
于是tA＋tB＝2 2sinα，tP＝ 2sinα.
又点P的坐标(x，y)满足xy＝＝t－Pcos2α＋，tPsinα， 所以点P的轨迹的参数方程是 yx＝＝－22s2i2n－2α，22cos2α(α为参数，π4<α<34π)．
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜
率．
解析 (1)曲线C的直角坐标方程为x42＋1y62＝1.
当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，
当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方
程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①
解析 (1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x＋ 1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆． 由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线．记 y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外 面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点 且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个 公共点．
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由于Δ＝(3 2 )2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两个
实根，所以tt11＋·t2＝t2＝4.3 2，
又直线l过点P(3， 5)，
故由上式及t的几何意义得
|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3 2.
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选修4-4 第二节
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
x＝3－ 22t，
y＝
5＋
2 2t
(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同
的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的 方程为ρ＝2 5sin θ.
(1)求圆C的圆心到直线l的距离； (2)设圆C与直线l交于点A、B.若点P的坐标为(3， 5)，求|PA|＋
|PB|.
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选修4-4 第二节
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
►名师点拨 直线参数方程的应用
经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为
x＝x0＋tcosα， y＝y0＋tsinα
(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数
分别为t1，t2.线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0.注意以下
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高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
解析：(1)由ρ＝2 5 sin θ，得x2＋y2－2 5 y＝0，即圆C的直角 坐标方程为x2＋(y－ 5)2＝5.
由x＝3－ 22t， y＝ 5＋ 22t，
可得直线l的普通方程为
x＋y－ 5－3＝0.
(3)设线段M1M2中点为M，则点M对应的参数值tM＝
t1＋t2 2
(由此
可求|M2M|及中点坐标)．
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选修4-4 第二节
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
1．参数方程
x＝3t＋2， y＝t－1
____________________．
(t为参数)的普通方程为
x2＋y2＝100＜ ≤xy≤ ＜11，
或－－11≤＜xy＜≤00，
.
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高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
(2)∵y＝－1＋cos2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，sin2θ＝x－ 2，∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0.
方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做□4 ________.
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高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
2．直线的参数方程
过定点P0(x0，y0)且倾斜角为α的直线的参数方程为
□5
_________(t为参数)，则参数t的几何意义是□6 _________.
y
解析：(1)两式相除，得k＝
y 2x
，将其代入得x＝
3·2x 1＋2yx2
，化简
得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)．
(2)由(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝2－(1－sin2θ)
得y2＝2－x.又x＝1－sin2θ∈[0,2]，
得所求的普通方程为y2＝2－x，x∈[0,2]．
1个要点——参数t的几何意义
在直线的参数方程
x＝x0＋tcosα， y＝y0＋tsinα
(t为参数)中t的几何意
义是表示在直线上从定点P0(x0，y0)到直线上的任一点P(x，y)构
成的有向线段P0P的数量且在直线上任意两点P1、P2的距离为
|P1P2|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2.
解析：化为普通方程为2x52 ＋y92＝1，故左焦点为(－4,0)．
答案：(－4,0)
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选修4-4 第二节
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
3．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极
轴建立极坐标系．已知射线θ＝
π 4
与曲线
x＝t＋1， y＝t－12
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高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
3．圆的参数方程 圆心为(a，b)，半径为r，以圆心为顶点且与x轴同向的射 线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径成的角α为参数的圆
的参数方程为□7 __________________α∈[0,2π)．
4．椭圆的参数方程
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选修4－4
坐标系与参数方程
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选修4－4 坐标系与参数方程
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
第二节 参数方程
课前学案 基础诊断
课堂学案 考点通关
自主园地 备考套餐
开卷速查
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选修4-4 第二节
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(t为参数)，则直线的倾
斜角为__________．
解析：由直线的参数方程知，斜率k＝
y－2 x－1
＝
－ 3t 3t
＝－
3 3
＝
tanθ，θ为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为150°.
答案：150°
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高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
课堂学案 考点通关
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选修4-4 第二节
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3种方法——化参数方程为普通方程的方法 (1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参 数； (2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整 体上消去参数． 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的 扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值 域，即x和y的取值范围．
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选修4-4 第二节
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
通关特训1 将下列参数方程化为普通方程． x＝1＋3kk2，
(1)y＝16＋k2k2； x＝1－sin2θ，
(2)y＝sinθ＋cosθ.
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高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
考点例析 通关特训
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高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
考点一
参数方程与普通方程的互化
【例1】 将下列参数方程化为普通方程．
x＝1t ， (1)y＝1t t2－1
(t为参数)；
x＝2＋sin2θ， (2)y＝－1＋cos2θ
(θ为参数)．
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高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
解析：(1)∵1t 2＋1t
t2－12＝1，∴x2＋y2＝1.
∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1.
又x＝1t ，∴x≠0.
当t≥1时，0＜x≤1，当t≤－1时，－1≤x＜0，
∴所求普通方程为
答案：52，52
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选修4-4 第二节
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
4．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
x＝t， y＝t＋1
(参数t∈R)，圆C的参数方程为
x＝cosθ＋1， y＝sinθ
(参数θ∈[0,2π))，则
圆心C到直线l的距离是__________．
解析：直线方程可化为x－y＋1＝0，圆的方程可化为(x－1)2＋ y2＝1.由点到直线的距离公式可得，圆心C(1,0)到直线l的距离为
12＋|2|－12＝ 2.
答案： 2
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高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
5．若直线的参数方程为
x＝1＋3t， y＝2－ 3t
∵0≤sin2θ≤1，∴0≤x－2≤1.∴2≤x≤3. ∴所求的普通方程为2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．
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高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
►名师点拨 将参数方程化为普通方程的方法 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特 征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减 消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角 三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等． (2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性， 不要增解．
(2)设l与圆C相交于A、B两点，求|PA|·|PB|的值．
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选修4-4 第二节
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
(2)把直线l的参数方程
x＝2＋12t，
y＝2＋
3 2t
代入圆C：x2＋y2＝16
中，得2＋12t2＋2＋ 23t2＝16， t2＋2( 3＋1)t－8＝0， 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2， 则t1t2＝－8，即|PA|·|PB|＝8.
以椭圆的离心角θ为参数，椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)的参数
方程为□8 ________________θ∈[0,2π)．
第7页
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