组合恒等式的证明方法与技巧

证明组合恒等式的方法与技巧

前言

组合恒等式在数学及其应用中占有不可忽视的地位,它是以高中排前言列组合、二项式定理为基础．组合恒等式的证明有一定的难度和特殊的技巧，且灵活性很强，要求学生掌握这部分知识，不但要学好有关的基础知识，基本概念和基本技能，而且还要适当诱导学生拓宽思路、发挥才智，培养解决问题方法多样化的思想．下面就以例题讲解的形式，把证明组合恒等式的常见方法与技巧一一列举出来．

1. 利用组合公式证明

组合公式：m

n C =

n!

!n m m （－）！

例1． 求证：m m

n C =n 1

1m n C －－

分析：这是组合恒等式的一个基本性质，等式两边都只是一个简单的组合数．由此，我们只要把组合公式

代入，经过简化比较，等号两边相等即可．

证：∵ m m

n C =

m n!

!n m m （－）！

1

1m n C －－=

n n !1!n m m （－1）（－）（－）！=n n !m 1!n m m m （－1）（－）（－）！=m n!

!n m m （－）！

∴ m m

n C =n －－1

1m n C .

技巧：利用组合公式证明时，只须将等式中的组合数用公式代入，经过化简比较即可，此方法思路清晰，对处理比较简单的等式证明很有效，但运算量比较大，如遇到比较复杂一点的组合恒等式，此方法而不可取．

2. 利用组合数性质证明

组合数的基本性质：（1）m n C =n m

n

C －

（2）1m

n C ＋=m

n C +1

m n

C －

（3）k k

n C =n k 11n C －－

（4）＋＋...＋＝012n 2n

n n n n C C C C

－＋－＋...＋（－1）＝00123n n

n n n n n C C C C C （5）

例2：求证：－＋＋3...＋n ＝n 123n 1

22

n n n n n C C C C

分析：等式左边各项组合数的系数与该项组合数上标相等，且各项上标是递增加1的,由此我们联想到组

合数的基本性质：k k

n C =n k 11n C －－ ，利用它可以将各项组合数的系数化为相等，再利用性质＋＋...＋＝01

2n 2n n n n n C C C C 可得到证明．

证：由k k

n C =n k 11n C －－ 得

123n

2n n n n C C C C ＋＋3...＋n

＝0

1

2

n 1

1111n n n n n n n C C C C －－－－－＋＋...＋n ＝n （0

1

2

n 1

1111n n n n C C C C －－－－－＋＋...＋） ＝n n 1

2

－.

例3．求证：0

1

2

k 1

k 1

m m 1m 2m k 1m k C C C C C －－＋＋＋－＋＋＋＋...＋＝

分析： 观察到，等式左边各项的组合数的上标和下标存在联系：上标＋m ＝下标，而且各项下标是递增＋1的．由此我们想到性质（2），将左边自第二项各项裂项相消，然后整理而得到求证．

证：由性质（2）可得

i m i 1C ＋＋=i m i C ＋+i 1

m i C －＋ （i ∈N ） 即i

m i C ＋＝i m i 1C ＋＋－i 1

m i C －＋

令i ＝1，2，…，k －1，并将这k －1个等式相加，得

12k 1

m 1m 2m k 1C C C －＋＋＋－＋＋...＋ ＝1021k 1k 2

m 2m 1m m m k m k C C C C C C －－＋＋＋3＋2＋＋－1－＋－＋...＋－ ＝－0

m 1C ＋＋k 1

m k C －＋ ＝－0m C ＋k 1

m k C －＋

∴0

1

2

k 1

k 1

m m 1m 2m k 1m k C C C C C －－＋＋＋－＋＋＋＋...＋＝.

技巧：例2和例3的证明分别利用性质（3）（5）、（2）此方法的技巧关键在于观察，分析各项组合数存在的联系，读者应在平时实践做题总结，把它们对号入座，什么样的联系用什么样的性质来解决．

3. 利用二项式定理证明

我们都知道二项式定理：

n n 1n 2n 2n 1n n n n n a b a a b a b ab b C C C －1

－2－－1（＋）＝＋＋＋...＋＋，对于某些比较特殊的组合恒等式可以用它

来证明，下面以两个例子说明

3．1．直接代值

例4．求证：（1）－1

－1＋3＋3＋...＋3

＋3＝122n n 1n 2n n n n 2C C C （2）－－－1－－＋＋...＋（－1）＋（－1）＝n n 11n 22n n 1n

n n n 22

221C C C 分析：以上两题左边的各项组合数都是以 i n i

i n a

b C － 的形式出现，这样自然会联想到二项式定理．

证：设

n n 1n 2n 2n 1n n n n n a b a a b a b ab b C C C －1

－2－－1（＋）＝＋＋＋...＋＋ ① ⑴ 令a ＝1，b ＝3，代入①，得 －1－＋）＝1＋3＋3＋...＋3＋3n 1

22n n 1n n n n (13C C C 即， －1－1＋3＋3＋...＋3＋3＝1

22n n 1n 2n n n n 2C C C

(2) 令a ＝2，b ＝－1，代入①，得

n n n 11n-22n 1n 1n n n n 121C C C －－－（2－1）＝2－2＋2＋...＋（－）＋（－）即，－－－1－－＋＋...＋（－1）＋（－1）＝n n 11n 22n n 1n n n n 22221C C C .

技巧：此方法的关键在于代值，在一般情况，a ，b 值都不会很大，一般都是0， 1，－1，2，－2 , 3，—3这些数，而且a ，b 值与恒等式右边也有必然的联系，如上题中1＋3＝2

2，2－1=1,在做题的时候要抓住这点．

3. 2．求导代值

例5．求证： －＋3＋...＋（－1）＝（－1）2

3

n

n 2

n n n 212n

n n n 2C C C （n ≧2）

分析：观察左边各项组合数的系数发现不可以直接运用二项式定理，但系数也有一定的规律，系数都是i(i-1) i=2,3,…n 我们又知道（x i

）’’=i(i-1)x i-2

由此我们想到了求导的方法．

证：对n 01

22n n n n n n x x x x C C C C （1＋）

＝＋＋＋...＋ 两边求二阶导数，得

n 2

23n n 2n n n n n 1x 212x n n x C C C －－（－1）（＋）＝＋3＋...＋（－1）

令x=1

得 －＋3＋...＋（－1）

＝（－1）23n n 2

n n n 212n n n n 2C C C （n ≧2）