2019湖南怀化市中考数学试卷及答案解析

2019年湖南省怀化市初中学业水平考试试卷
数学
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．1．（2019·怀化）下列实数中，哪个数是负数（）
A.0
B.3
C.2
D.-1
【答案】D
【解析】由于-1＜0，所以-1为负数．故选D.
2.（2019·怀化）单项式-5ab的系数是（）
A.5
B.-5
C.2
D.-2
【答案】B
【解析】单项式-5ab的系数是-5．故选B．
3.（2019·怀化）怀化位于湖南西南郊，区域面积约为27600平方公里，将27600用科学计数法表示为（）
A.27.6×103
B.2.76×103
C.2.76×104
D.2.76×105
【答案】C
【解析】根据科学计数法的概念可得27600=2.76×104.故选C.
4.（2019·怀化）抽样调查某班10名同学身高（单位：厘米）如下：160，152，165，152，160，160，170，160，165，159.则这组数据的众数是（）
A.152
B.160
C.165
D.170
【答案】B
【解析】在这组数据中160出现4次；152出现2次；165出现2次；170和159各出现一次，
所以这组数据的总数为160．故选B.
5．（2019·怀化）与30°的角互为余角的角的度数是（）
A.30°
B.60°
C.70°
D.90°
【答案】B
【解析】∵30°+60°=90°，∴30°的余角为60°.故选B.
6．（2019·怀化）一元一次方程x-2=0的解是（）
A.x=2
B.x=-2
C.x=0
D.x=1
【答案】A
【解析】解方程x-2=0得：x=2．故选A．
7.（2019·怀化）怀化市是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩.下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A B C D
【答案】C
【解析】A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；
C.是轴对称图形，是中心对称图形，故选项正确；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误．
故选C ．
8．（2019·怀化） 已知∠α为锐角，且sin α=1
2
，则∠α=（ ） A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】A
【解析】∵∠α为锐角，且sin α=
1
2
，∴∠α=30°．故选A. 9．（2019·怀化）一元二次方程x 2+2x +1=0的解是（ ） A.x 1=1，x 2=-1 B.x 1=x 2=1 C.x 1=x 2=-1 D.x 1=-1，x 2=2 【答案】C
【解析】方程x 2+2x +1=0，配方可得(x +1)2=0，解得x 1=x 2=-1.故选C.
10. （2019·怀化）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只.在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则可有一户可分得母羊但不足3只.这批种羊共（ ）只. A.55 B.72 C.83 D.89 【答案】C
【解析】设该村有x 户，则这批种羊中母羊有(5x +17)只，根据题意可得
()()517710
517713
x x x x +--⎧⎪⎨
+--⎪⎩＞＜ 解得10.5＜x ＜12.
∵x 为正整数，∴x =11，
∴这批种羊共有11+5×11+17=83只. 故选C.
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11．（2019·怀化）合并同类项：4a 2+6a 2-a 2= 【答案】9a 2
【解析】4a 2+6a 2-a 2=(4+6-1)a 2=9a 2.故填9a 2. 12．（2019·怀化）因式分解：a 2-b 2= 【答案】(a -b )(a +b )
【解析】a 2-b 2=(a -b )(a +b ).故填(a -b )(a +b ). 13．（2019·怀化）计算：1
11
x x x -
--= ． 【答案】1 【解析】
111x x x -
--=1
1
x x --=1.故答案为1. 14．（2019·怀化）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为 【答案】36°.
【解析】∵等腰三角形的一个底角为72°， ∴这个等腰三角形的顶角为180°-72°×2=36°. 故答案为36°.
15. （2019·怀化）当a =-1，b =3时，代数式2a -b 的值等于 【答案】-5.
【解析】∵a =-1，b =3，∴2a -b =2×(-1)-3=-5. 故答案为-5.
16. （2019·怀化）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是
【答案】n-1.
【解析】第一行面积和为
11
+=122
， 第二行面积和为111++=1333， 第三行面积和为1111
+++=14444
，
…
第n 行面积和为
1111
++++=1n n n n
…， ∴整面“分数墙”的总面积是n -1.
故答案为n-1.
三、解答题（本大题共8小题，满分64分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2019湖南怀化，17，8分） 计算：()0
20194sin 60123π-+︒-.
【思路分析】首先利用特殊角的三角函数值，零指数幂以、绝对值的性质以及二次根式的性质进行化简，然后将化简后的式子进行加减即可. 【解题过程】解：原式=1+4×
1
2
32323【知识点】二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂，绝对值的性质 18.（2019湖南怀化，18，8分）解二元一次方程组：37
31x y x y +=⎧⎨
-=⎩
【思路分析】首先将两方程相加可解出x 的值，然后将x 的值代入其中一个方程解出y 即可.
【解题过程】解：
37
31
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
①
②
，
①+②，得2x=8，
解得x=4，
把x=4代入①，得y=1，
所以方程组的解为
3
1 x
y
=⎧
⎨
=⎩
.
【知识点】解二元一次方程组
19.（2019湖南怀化，19，10分）已知：如图，在ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足.
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形AECF是矩形.
【思路分析】（1）根据平行四边形的性质可得出AB=CD，∠B=∠D，根据AE⊥BC，CF⊥AD可得∠AEB=∠CFD，进而证明出结果；
（2）根据（1）根据BE=DF，进而得出四边形AECF是平行四边形，根据AE⊥BC即可得出答案．
【解题过程】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D.
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE≌△CDF（AAS）.
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴BE=DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AF∥CE，AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴四边形AECF是矩形.
【知识点】平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定
20.（2019湖南怀化，20，10分）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A 处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度.
【思路分析】过A 点作AD ⊥BC ，垂足为D ，根据题意可得∠ABC=30°，∠ACD=60°，BC=40×1.5=60米，然后根据锐角三角函数的定义可得BD=3AD ，CD=
3
3
AD ，进而得出AD 的值即可. 【解题过程】解：过A 点作AD ⊥BC ，垂足为D.
根据题意可得∠ABC=30°，∠ACD=60°，BC=40×1.5=60米， 在Rt △ABD 中，BD=
tan 30
AD
=3AD ，
在Rt △ACD 中，CD=
tan 60
AD =33AD ， ∴BC=BD-CD=23
3
AD=60， ∴AD=303.
所以此段河面的宽度为303.
【知识点】锐角三角函数的定义，解直角三角形的应用 21．（2019湖南怀化，21，12分） 某射箭队准备从王方、李明二人中选拨1人参加射箭比赛，在选拔赛中，两人各射箭10次的成绩（单位：环数）如下： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 王方 7 10 9 8 6 9 9 7 10 10 李明
8
9
8
9
8
8
9
8
10
8
（1）根据以上数据，将下面两个表格补充完整：
（2）分别求出两人10次射箭得分的平均数；
（3）从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适.
【思路分析】（1）根据王方和李明的10次射箭情况填表即可；
（2）根据加权平均数的计算公式计算即可；
（3）根据方差的计算公式分别计算出王方和李明的方差，根据方差的大小和性质即可得出答案.
【解题过程】解：（1）填表如下：
（2）=60.1+70.2+80.1+90.3+100.3=8.5
x⨯⨯⨯⨯⨯
王方
，
=80.6+90.3+100.1=8.5
x⨯⨯⨯
李明
，
（3）()()()()()
22222
2
1
s=6-8.5+27-8.5+8-8.5+39-8.5+310-8.5=1.85
10
⎡⎤
⨯⨯⨯⨯
⎣⎦
王方
，
()()()
222
2
1
s=68-8.5+39-8.5+10-8.5=0.45
10
⎡⎤
⨯⨯⨯
⎣⎦
李明
，
∵22
s s
王方李明
＞，
∴李明的成绩较稳定，
∴应选派李明参加比赛合适.
【知识点】数据的统计，平均数，方差
22.（2019湖南怀化，22，12分）如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH.
（1）计算∠CAD的度数；
（2）连接AE，证明：AE=ME；
（3）求证：ME2=BM·BE.
【思路分析】（1）根据A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点可得∠COD的度数，根据圆周角定理可得∠CAD的度数，同理可得∠EBD，∠ACE，∠BDA，∠CEB的度数；
（2）根据圆周角定理可得∠AEB=∠BDA，∠DAE=∠EBD，根据（1）可得出∠MAE=∠AME，进而得出结论；
（3）连接AB，由（2）△ABE∽△NAE，△ABM≌△EAN，进而得出AB BE
AN AE
=，AN=BM，根据AE=ME即可得出答
案.
【解题过程】（1）解：∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴∠COD=360
5
=72°，
∴∠CAD=1
2
∠COD=36°.
同理可得∠EBD=∠ACE=∠BDA=∠CEB=36°.
（2）∵∠AEB=∠BDA，∠DAE=∠EBD，
又∵∠CAD=∠EBD=∠ACE=∠BDA=∠CEB=36°，
∴∠MAE=72°，∠AEB=36°，
∴∠MAE=∠AME=72°，
∴AE=ME.
（3）连接AB.
由（2）可知∠NAE=∠AEN=36°，∠ABE=∠AEB=36°，AB=AE
∴△ABE∽△NAE，△ABM≌△EAN，
∴AB BE
AN AE
=，AN=BM，
∴AB·AE=BE·AN，
∵AE=ME，
∴ME2=BM·BE.
.
【知识点】圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
23.（2019湖南怀化，23，14分）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB=1，tan∠ABO=3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y=-x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点.
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）过定点Q的直线l：y=kx-k+3与二次函数图象相交于M，N两点.
①若S△PMN=2，求k的值；
②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形
③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出抛物线的表达式.
【思路分析】（1）根据题意分别求出点A和点C的坐标，并把坐标代入y=-x2+bx+c，解出b和c的值即可，进而得出顶点P的坐标；
（2）①设M（x1，y1），N（x2，y2），首先求出定点Q的坐标，然后根据S△PMN=1
2
PQ·(x2-x1)得出x1和x2的数量关系，
最后联立方程y=-x2+2x+3与方程y=kx-k+3，根据根与系数的关系得出x1+x2=2-k，x1·x2=-k，进而求出k的值；
②过点P作PG⊥x轴，垂足为G，分别过点M、N作PG的垂线，垂足分别为E、F，首先表示出线段PE，ME，
PF，NF，然后根据锐角三角函数的定义得出tan∠PAE与tan∠FPN，根据x1+x2=2-k，x1·x2=-k，可得1-x1=
21 1
x-
，进而推出tan∠PAE=tan∠FPN，进而证明出结论；
③设线段MN的中点（x，y），由②可得MN的中点为（2
2
k
-
，
26
2
k-+
）进而得出抛物线方程.
【解题过程】（1）解：∵OB=1，tan∠ABO=3，∴OA=OB tan∠ABO=3，
∴A（0，3）.
根据旋转的性质可得Rt△AOB≌Rt△COD，
∴OC=OA=3， ∴C （3，0），
根据题意可得c=3930b c ⎧⎨-++=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩
，
∴二次函数的解析式为y =-x 2+2x +3，顶点坐标P （1，4）
（2）①解：由直线l 的方程y =kx -k +3可得定点Q （1，3）， 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则 S △PMN =
1
2
PQ·(x 2-x 1)=2， ∴x 2-x 1=4.
联立y =-x 2+2x +3与y =kx -k +3可得x 2+(k -2)x -k =0， ∴x 1+x 2=2-k ，x 1·x 2=-k ，
∴(x 2-x 1)2=(x 1+x 2)2-4x 1·x 2=k 2+4=16， ∴k =±23.
②证明：过点P 作PG ⊥x 轴，垂足为G ，分别过点M 、N 作PG 的垂线，垂足分别为E 、F.
设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）.
∵M ，N 在二次函数y =-x 2+2x +3图象上， ∴y 1=-x 12+2x 1+3，y 2=-x 22+2x 2+3. ∵P （1，4），
∴PE=4-y 1=4+x 12-2x 1-3=(x 1-1)2，ME=1-x 1， PF=4-y 2=4+x 22-2x 2-3=(x 2-1)2，NF=x 2-1，
∴tan ∠PAE=()2
111
1=11x PE x ME x -=--， tan ∠FPN=
()222211
1
1x FN PF x x -==
--. 由①可知x 1+x 2=2-k ，x 1·x 2=-k ，
∴x 1+x 2=2+x 1x 2， ∴(1-x 1)(x 2-1)=1， ∴1-x 1=
21
1
x -， ∴tan ∠PAE=tan ∠FPN ，
∴∠PAE=∠FPN.
∵∠PAE+∠APE=90°， ∴∠FPN+∠APE=90°， 即∠APN=90°，
∴无论k 为何值，△PMN 恒为直角三角形. ③解：设线段MN 的中点（x ，y ），
由②可得MN 的中点为（22k -，262k -+），
∴2
2262
k x k y -⎧
=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩，化简，得y =-2x 2+4x +1. ∴抛物线的表达式为y =-2x 2+4x +1.
【知识点】待定系数法求二次函数的解析式，一次函数与二次函数的交点问题，锐角三角函数的定义，一元二次方程根与系数的关系，中点坐标公式。