电磁场理论基础课件第三章

模拟电荷法

数学模拟法 物理模拟法

作图法
图3.1.2 边值问题研究方法框图
例3.1.1 图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方形， 铅皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为
，并且在两导体之间接有电源
U0，试写出该电缆中静电场的边值问题。
解：根据场分布对称性，确定场域。 场的边值问题
2.
两根细导线产生的电场
Q
1
h
图3.2.10
h
两根细导线的电场计算
d ln 1 C1 2 2 0 0 2 ln 2 C2 2 0 P 1 2 ln 2 C 2 0 1 1
以y轴为参考点, C=0, 则
p dS
qh 2(h x )
2 2 3/ 2
0
2xdx

1 q qh 2 2 1/ 2 (h x ) 0
例 两个相交成直角的半无限大导体平面间有一个点电荷q，与两平面的距离分 d1和d2，求平面上的感应电荷作用在电荷q上的力。 解： 利用镜像法得 d1 q
0
1 r
r a
r a
r 0
0
2 r
r a
2
r
解得
C1 0 C4 0
a 2 a 3 C3 , C2 2 0 3 0
电位：
1 (r ) (3 a 2 r 2 ) 6 0 a 3 2 (r ) 3 0 r
0ra ar
等位线方程为：
(x
圆心坐标
K 1
2
K2 1
b) 2 y 2 (
2bK K2 1
)2
2bK K2 1
P
K2 1 h( 2 b ) , K 1
0 ,
ln 2 2 0 1
圆半径 a
( x b) 2 y 2 ln 2 0 ( x b) 2 y 2
解:
a)确定电轴的位置
b 2 h 2 a 2 d 2h
当K取不同数值时,就得到一族偏心圆。
a、h、b三者之间的关系满足
令： P 常数
a 2 b2 (
2bK K 1
2
)2 b2 (
K2 1 K 1
2
b) 2 h 2
( x b) 2 y 2 ( x b) 2 y 2
K2
应该注意到,线电荷所在的两个点,对每一个等位圆的圆心来说,互为反演。即
(a r )
图3.1.4 体电荷分布的球形域电场
2 2
1 d 2 d 2 (r )0 2 r dr dr
积分之，得通解
r 2 1 1( r ) C1 C2 6 0 r
边界条件
2( r )
1
C3 C4 r
有限值 0
参考点电位
1 r a 2
不接地导体球面上的正负感应电荷 的绝对值等于镜像电荷 q 吗? 为什么？
图3.2.7 点电荷位于不接地导体球附近的场图
补充题： 试确定用镜像法求解下列问题时，其镜像电荷的个数，大小与位 置?
图3.2.8
点电荷对导体球面的镜像
3.2.3
线电荷对导体圆柱面的镜像
边值问题：
1.问题提出
2 0
a 2 h2 b2 (h b)(h b)
根据 E 及E线的微分方程
dy E y dx Ex
， 得E线方程为
2
K K x2 ( y 1 )2 b2 1 2 4
图3.2.11
两细导线的场图
3.
电轴法 用置于电轴上的等效线电荷,来代替圆柱导体面上分布电荷,从而求得电场
图3.2.1 平面导体的镜像
（除 q 所在点外的区
s D dS q
（S 为包围q 的闭合面）
镜像法:
用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布,虚设电荷的
个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理。
例3.2.1 求空气中一个点电荷 q 在地面引起的感应电荷分布情况。
解: 设点电荷 q 离地面高度为h，则
0
( y 0 ,b x a )
0
例3.1.2 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度 为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。 解: 采用球坐标系,分区域建立方程
21
1 d 2 d1 (r ) r 2 dr dr 0
(0 r a )
q1 q q2 q q3 q
d2
y
F F1 F 2 F3
d1
q2
d2 d2
d1 o
q
d2 d2
q2 F1 y 4 0 (2d 2 ) 2 q2 F2 x 4 0 (2d1 ) 2 x
F3 2d1 x 2d 2 2 2 3/ 2 4 0 (2d1 ) (2d 2 )

（导线以外的空间）

导体A 常数
S D dS ,

电荷分布不均匀

3.2.9 长直平行圆柱导体传输线
导体B 常数
S D dS ,
电荷分布不均匀
能否用高斯定理求解？
根据唯一性定理，寻找等效线电荷——电轴。
y p 1 b o b 2 x
了思路及理论根据。
3.2 镜像法
3.2.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
1.平面导体的镜像 边值问题：
2 0 0
（除 q 所在点外的区域） （导板及无穷远处） （S 为包围 q 的闭合面）
s D dS q
上半场域边值问题：
2 0 域） q q （导板及无穷远处） 0 4 0 r 4 0 r
EP
1 2
( 以 y 轴Biblioteka 电位为参考点 )图3.2.12 平行圆柱导体传输线电场的计算
例3.2.4 已知两根不同半径,相互平行,轴线距离为d 的带电长直圆柱 导体。试决定电轴位置。
图3.2.13 不同半径传输线的电轴位置
2 b 2 h12 a1 2 2 2 b h2 a2 确定 b , h1 , h2 d h h 1 2 试确定图示偏心电缆的电轴位置。
2 0
( 除 q 点外的导体球外空间）

p r2 +q' R
o
r 球面 s
0 常数 0
( S 为球面面积 )

r q
S
r1 b -q' d
D dS 0
在接地球的基础上判断镜像电荷的个数、大小与位置
感应电荷分布及球对称性，在球内有两个等效电荷。
图3.2.6 点电荷对不接地金属 球的镜像
解:
例3.2.5
解：
2 h1 2 a1 b 2 2 2 2 h2 a2 b h h d 2 1

确定 b , h1 , h2
注意：1）参考电位的位置；2）适用区域。
图3.2.14 偏心电缆电轴位置
例3.2.6 已知一对半径为a,相距为d的长直圆柱导体传输线之间电压为U 0 ， 试求圆柱导体间电位的分布。
为什么说第二类 边界条件
与导体上给定电荷分 布或边界是电力线的条 件是等价的？
图3.1.1 边值问题框图
n
f 2 (s)
S
积分法
分离变量法
解析法 镜像法、电轴法 微分方程法 计算法
保角变换法

有限差分法 有限元法 数值法 边界元法 矩量法
边值问题 研究方法
实验法
实测法 模拟法 定性 定量
第三章
静电场边值问题的解析解
边值问题的分类和解的唯一性定理 镜像法 复变函数法 分离变量法 点电荷密度的delta函数表示 格林函数法
3.1.1
静电场的边值问题
3.1 边值问题的分类和解的唯一性定理
边值问题
微分方程
边界条件
2 2 0

场域 边界条件
分界面 衔接条件
1 2 2 1 1 2
电场强度（球坐标梯度公式）：
E1 (r ) 1
1 r er er r 3 0
0ra
2 a 2 E2 (r ) 2 er e 2 r r 3 0 r
ar
对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分 方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解； 再由 E 得到电场强度E的分布。
的方法,称为电轴法。 例3.2.3 试求图示两带电长直平行圆柱导体传输线的电场及电位分布。
解：
a ) 建立坐标系 , 确定电轴位置 : b h2 a 2
b ) 圆柱导线间的电场与电 位 :
1 1 ( e e ) 2 0 1 2 p ln 2 2 0 1

q' 4 0 r2
0
r1 d 2 R 2 2 Rd cos r2 b 2 R 2 2 Rb cos
图3.2.3 点电荷对接地导体球面的镜像
[q 2 (b2 R2 ) q'2 (d 2 R2 )] 2R(q'2 d q 2b) cos 0

q3
d1
d1
q1

q2

y

3.2.2 点电荷对导体球面的镜像 设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。 1) 边值问题：
2 0
（除q点外的导体球外空间)