2017中考知识点之旋转类几何变换

图1
图2
图3
图8 【例19】 如图 1，Rt△ ABC≌Rt△ EDF，∠ACB＝∠F＝90° ，∠A＝∠E＝30° ．△ EDF 绕着边 AB 的中点 D 旋转，DE，DF 分别交线段 AC 于点 M，K． （1）观察：①如图 2、图 3，当∠CDF＝0° 或 60° 时，AM＋CK_______MK（填“＞”，“＜”或“＝”）． ②如图 4，当∠CDF＝30° 时，AM＋CK_______MK（只填“＞”或“＜”）． （2）猜想：如图 1，当 0° ＜∠CDF＜60° 时，AM＋CK_______MK，证明你所得到的结论．
O y
B A C D
x
【例4】 如图， 在平面直角坐标系中， 若将 OAB 绕点 O 逆时针旋转 60 Rt OAB 的顶点 A 的坐标为 ( 3 ， 1) ， 后， B 点到达 B ' 点，则 B ' 点的坐标是________
y A O B x
考点三
旋转与勾股定理
☞考点说明：在等边三角形与正方形中，常见的一种题型，应重点掌握 【例5】 如图， P 是等边 ABC 中的一个点， PA 2, PB 2 3, PC 4 ，则 ABC 的边长是________
C
P B A
PC 2， PA 3 ， 【例6】 如图，在 ABC 中， ACB 90 ， AC BC ， P 是 ABC 内的一点，且 PB 1，
求 BPC 的度数．
C
P A B
【例7】 如图点 P 是正方形 ABCD 内部一点， PA 1 PB 2 PC 3 ，则 APB =
N E B M C A D
【例2】 阅读下列材料 对于任意的 ABC ，若三角形内或三角形上有一点 P ，若 PA PB PC 有最小值，则取到最小值 时，点 P 为该三角形的费马点。 ①若三角形内有一个内角大于或等于 120 ，这个内角的顶点就是费马点 ②若三角形内角均小于 120 ，则满足条件 APB BPC APC 120 时，点 P 既为费马点 解决问题： ⑴如图， ABC 中，三个内角均小于 120 ，分别以 AB 、 AC 为边向外作等边 ABD 、 ACE ，连 接 CD 、 BE 交于点 P ， 证明：点 P 为 ABC 的费马点。(即证明 APB BPC APC 120 )且 PA PB PC CD
B
D （图 1）
B
D （图 2）
【例17】 ⑴如图所示， 在四边形 ABCD 中，AB AD ，BAD 60 ，BCD 120 ， 证明：BC DC AC . ⑵ 如 图 所 示 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， AB BC , ABC 60 ， P 为 四 边 形 ABCD 内 部 一 点 ，
2 2 2 （3）如果 MK ＋CK ＝AM ，请直接写出∠CDF 的度数和
MK 的值． AM
E K M A D
图1
E FC M A D
图2
C(Βιβλιοθήκη Baidu,K)
B
B
F K E A(M) D
图3
C
B
E M A
F K D
图4
C
B
N， D 为 ABC 外 一 点 ， 且 【例20】 在 等 边 ABC 的 两 边 AB ， AC 所 在 直 线 上 分 别 有 两 点 M ，
为 BD 中点.若将图 1 中的△ ADE 绕点 A 旋转，使得 D、E、B 三点共线，点 F 仍为 BD 中点，如图 2 所示．求证：BE-DE=2CF；
A D E D E
A
A
F F
C
B
C
B
C
备图
B
图1
图2
B'
A
B
【例10】 如图，将 ABC 绕点 A 逆时针旋转 80 得到 ABC ．若 BAC 50 ，则 CAB 的度数为( A． 30 B． 40
C' A B B' C
)
C． 50
D． 80
【例11】 如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 90 后，得到矩形 AB ' C ' D ' ，如果 CD 2DA 2 ，那么
出你的猜想并加以证明；
N 分别在边 AB ， L 表示) CA 的延长线上时， ⑶如图③， 当点 M ， 若 AN x ， 则 Q _________(用 x ，
【例21】 在 Rt△ ABC 中，∠ACB=90° ，tan∠BAC=
1 . 点 D 在边 AC 上（不与 A，C 重合），连结 BD，F 2
1 EN CE ，连结 AM 、 AN 、 MN ，得到图③，请解答下列问题： 2 1 BD ， 2
⑴若 AB AC ，请探究下列数量关系： ①在图②中， BD 与 CE 的数量关系是________________； ②在图③中，猜想 AM 与 AN 的数量关系、 MAN 与 BAC 的数量关系，并证明你的猜想； ⑵若 AB k AC（ k 1 ） ， 按上述操作方法， 得到图④， 请继续探究： AM 与 AN 的数量关系、 MAN 与 BAC 的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明． C E A B
☞考点说明：旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有 关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题，涉及费马点问题，视学生程度进行选择性讲解。 【例1】 如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形， M 为对角线 BD 上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60 得到 BN ，连接 AM 、 CM 、 EN ． ⑴求证： AMB≌ENB ⑵①当 M 点在何处时， AM CM 的值最小； ②当 M 点在何处时， AM BM CM 的值最小，并说明理由； ⑶当 AM BM CM 的最小值为 3 1 时，求正方形的边长．
二
利用旋转思想构造辅助线
（1）根据相等的边先找出被旋转的三角形
（2）根据对应边找出旋转角度 （3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形
三
旋转变换前后具有以下性质：
（1）对应线段相等，对应角相等 （2）对应点位置的排列次序相同 （3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角 ．
中考满分必做题
考点一 旋转与最短路程
A D F H B E C
【例14】 已知 ABC ，分别以 AB 、 BC 、 CA 为边向形外作等边三角形 ABD ，等边三角形 BCE ，等边三 角形 ACF ⑴如图 1，当 ABC 是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论。
D A F
D
A
F
B C
B
C
E
E
⑵如图 2，当 ABC 中只有 ACB 60 时，请你证明 SABC 与 SABD 的和等于 SBCE 与 SACF 的和 【例15】 如图①，在 ABC 中， D 、 E 分别是 AB 、 AC 上的点，且 DE∥BC ，将 ADE 绕 A 点顺时针旋 转一定角度，连结 BD 、 CE ，得到图②，然后将 BD 、 CE 分别延长至 M 、 N ，使 DM
CC ' _________．
C B D' C'
D
A
B'
【例12】 把边长分别为 4 和 6 的矩形 ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点 C 顺时针旋转 角，旋 转后的矩形记为矩形 EDCF ．在旋转过程中， ⑴如图①，当点 E 在射线 CB 上时， E 点坐标为___________； ⑵当 CBD 是等边三角形时，旋转角 的度数是____________( 为锐角时)； ⑶如图②，设 EF 与 BC 交于点 G ，当 EG CG 时，求点 G 的坐标；
N 分别爱直线 AB ， AC 上移动时， MDN 60 ， BDC 120 ， BD CD ，探究：当点 M ，
BM ， BN ， MN 之间的数量关系及 AMN 的周长 Q 与等边 ABC 的周长 L 的关系．
N
A
A
A
M B D 图①
N C
N M B D 图② C
M D 图③ B C
2017 中考知识点之旋转类几何变换
自检自查必考点
一 几何变换——旋转
旋转中的基本图形 利用旋转思想构造辅助线
（一）共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”)
等边三角形共顶点
共顶点等腰直角三角形
共顶点等腰三角形
共顶点等腰三角形
以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的 是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化
y A E B D y A F α O C 图① x O α C 图② x B G E
D
考点五
利用旋转的性质解决几何有关的证明
☞考点说明：旋转有关的几何变换是中考的热点问题，同时也是中考试题中的重难点所在。 【例13】 E 、 F 分别是正方形 ABCD 的边 BC 、 CD 上的点，且 ∠EAF 45 ， AH EF ， H 为垂足， 求证： AH AB ．
APD 120 ，证明： PA PD PC BD .
A
A P
B C
D
B
D
C
【例18】 如图 1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M，N 分别 EB，CD 的中点，易证：CD=BE，△AMN 是 等边三角形． （1）把△ADE 绕 A 点旋转到图 2 的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明， 若不成立请说明理由； （2）当△ADE 绕 A 点旋转到图 3 的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若 是，请给出证明，并求出当 AB=2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理 由．
N 在边 AB ， AC 上，且 DM DN 时， BM ， NC， MN 之间的数量关系式 （ 1 ）如图①，当点 M ，
_________；此时
Q __________ L
N 在边 AB ， AC 上，且 DM DN 时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写 （2）如图②，当点 M ，
．
A P D
B
C
考点四
利用旋转的性质解决几何有关的计算
☞考点说明：此类问题多以选择填空的形式出现，较为简单，有的时候也会再综合题中出现。 【例8】 如图，将 ABC 绕点 A 顺时针旋转 45 得到 ADE ，点 E 落在边 BC 上，则 BED _______
D A
B
E
C
【例9】 如图，将直径为 4 的半圆 AB ，绕点 A 逆时针旋转 60 ，则阴影部分的面积为
图②
C D E A
B
D
图①
C D E
M
M C D E N B N A
图④
B
A
图③
【例16】 已知：在 ABC 中， AB AC ，点 D 为 BC 边的中点，点 F 是 AB 边上一点，点 E 在线段 DF 的 延长线上， BAE BDF ，点 M 在线段 DF 上， ABE DBM ． ⑴如图 1，当 ABC 45 时，求证： AE 2MD ； ⑵如图 2，当 ABC 60 时，则线段 AE 、 MD 之间的数量关系为________ ⑶在⑵的条件下，延长 BM 到 P ，使 MP BM ，连接 CP ，若 AB 7 ， AE 2 7 ，求 tan ACP 的值． E F A E M C F M C A
D A P B C B E D A P C E
Q
⑵如图，点 Q 为三角形内部异于点 P 的一点，证明： QA QC QB PA PB PC ⑶若 ABC 30 ， AB 3 ， BC 4 ，直接写出 PA PB PC 的最小值
考点二
利用旋转求点的坐标
☞考点说明：利用全等三角形的性质进行边与角的转化。 【例3】 正方形 ABCD 在坐标系中的位置如图所示，将正方形 ABCD 绕 D 点顺时针方向旋转 90 后， B 点 的坐标为（ A. (2 ， 2) C. (3 ， 1) ） B. (4 ， 1) D. (4 ， 0)