教师资格证考试：2018下高中数学真题

2018年下半年高中数学教师资格证考试真题及解析一、单选题1.与向量()2,3,1=a 平行的平面是（）A.x-2y+z=3B.2x+y+3z=3C.2x+3y+z=3D.x-y+z=3 2.201cos lim x x x →-的值是（） A.0B.12C.1D.∞ 3.函数f （x ）在[a ，b]上黎曼可积的必要条件是f （x ）在[a ，b]上（）A.可微B.连续C.不连续点个数有限D.有界4.定积分a a -⎰（a ＞0，b ＞0）的值是（） A.ab π B.2abπ C.3abπ D.4abπ5.与向量()1,0,1=α，()1,1,0=β线性无关的向量是（）A.（2,1,1）B.（3,2,1）C.（1,2,1）D.（3,1,2）6.设f （x ）=acosx+bsinx 是R 到R 的函数，V=()(){}|cos sin ,,f x f x a x b x a b R =+∈是线性空间，则V 的维数是（）A.1B.2C.3D.∞7.在下列描述课程目标的行为动词中，要求最高的是（）A.B.了解C.掌握D.知道8.命题p 的逆命题和命题p 的否命题的关系是（）A.同真同假B.同真不同假C.同假不同真D.不确定二、简答题9.求函数f （x ）=3cosx+4sinx 的一阶导数为0的点。

10.设2152D ⎛⎫= ⎪⎝⎭，x y '⎛⎫ ⎪'⎝⎭表示x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭在D 作用下的象，若x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足方程xy=1，求x y '⎛⎫ ⎪'⎝⎭满足的方程。

11.设f （x ）是[0，1]上的可导函数，且()f x '有界。

证明：存在M ＞0，使得对于任意的x 1，x 2∈[0,1]，有()()1212f x f x M x x -≤-。

12.简述日常数学教学中对学生进行学习评价的目的。

13.2a b +≤（a ，b ≥0）的一种几何解释，并说明几何解释对学生数学学习的作用。

三、解答题14.设随机变量ξ服从[0,1]上的均匀分布，即(){}0,0,,,01,1,1x P x x x x ξ<⎧⎪∈-∞=≤≤⎨⎪>⎩。

求(){}2-P x ξ∈∞，。

四、论述题15.论述数学教学中使用信息技术的作用，并阐述使用信息技术与其他教学手段的关系。

五、案例分析题16.案例：下面是高中“集合”一章“集合的含义与表示”的部分教材内容： 在小学和初中，我们已经接触过一些集合，例如，自然数的集合，有理数的集合，不等式的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合（即圆），到一条线段的两个端点距离相等的点的集合（即这条线段的垂直平分线）……那么，集合的含义是什么呢?我们再来看一些例子：（1）1~20以内的所有素数；（2）我国从1991~2003年的13年内所发射的所有人造卫星；（3）金星汽车厂2003年生产的所有汽车；（4）2004年1月1日之前与中华人民共和国建立外交关系的所有国家；（5）所有的正方形；（6）到直线1的距离等于定长d 的所有的点；（7）方程x 2+3x-2=0的所有实数根；（8）新华中学2004年9月入学的所有的高一学生。

例（1）中，我们把1~20以内的每一个素数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；同样地，例（2）中，把我国从1991~2003年的13年内发射的每一颗人造卫星作为元素，这些元素的全体也是一个集合。

【元素1】上面的例（3）到例（8）也都能组成集合吗?它们的元素分别是什么?一般地，我们把研究对象统称为元素（element）,把一些无素组成的总体叫作集合（set）（简称为集）。

给定的集合，它的元素必须是确定的。

也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在这个集合中就确定了。

例如，“中国的直辖市”构成一个集合，北京、上海、天津、重庆在这个集合中，杭州、南京、广州……不在这个集合中。

“身材较高的人”不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的。

一个给定集合中的元素是互不相同的。

也就是说，集合中的元素是不重复出现的。

构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。

【思考2】判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流。

我们通常用大写拉丁字母A，B，C…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c…表示集合中的元素。

如果a是集合A的元素，就说a是属于（belong to）集合A，记作a∈A；如果a 不是集合A中的元素，就说a不属于（not belong to）集合A，记作a∉A。

例如，我们用A表示“1~20以内的所有素数”组成的集合，则有3∈A，4∉A，等等。

问题：(1)阅读这段教材，概括与集合有关的新知识点；(2)阅读这段教材中的【思考2】，说明设置此栏目内容的主要意图；(3)请说明集合在高中数学课程中的地位和作用。

六、教学设计题(本大题1小题，30分)17.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理：一个直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

请你完成下列任务：（1）请你设计一个探索该定理的活动成问题情境，并说明设计意图；(10分)（2）请你设计一个习题(不必解答)，以帮助学生理解该定理，井说明具体的设计意图；(10分)(3)请你设计一个习题(不必解答)，进一步巩固、应用该定理，并说明具体的设计意图。

(10分)一、单项选择题1.D 【解析】在直角坐标系中，平面Ax+By+cZ+D=0（A ，B ，C 不同时为0）的法向量为(),,A B C =n ，经计算，向量()2,3,1=a 只与D 项中平面的法向量（1，-1,1）垂直，故向量()2,3,1=a 与D 项中的平面平行，故选D 。

2.B 【解析】20001cos sin 1sin 1lim lim lim 222x x x x x x x x x→→→-===，故选B 。

3.D 【解析】若函数f （x ）在[a ，b]上（黎曼）可积，则f （x ）在[a ，b]上必有界，故选D 。

4.B 【解析】定积分a a -⎰表示的是被积函数y =与x 轴所围成的图形的面积，即椭圆22221x y a b +=在x 轴上方部分的面积，而椭圆22221x y a b+=的面积为ab π，所以a a -⎰=2ab π。

5.C 【解析】若向量γ与向量α和向量β线性相关，则存在不同时为零的实数x ，y ，使得(),,x y x y y x =+=+γαβ，经观察，A 、B 、D 三项中的向量都能被α和β线性表出，故选C 。

6.A 【解析】由题意知，线性空间V 中的每一个元素都是cosx 与sinx 的线性组合。

而cosx 和sinx 是线性无关的（若存在实数m ，n ，使得mcosx+nsinx=0对任意x ∈R 都成立，则m=n=0），因此cosx 和sinx 是线性空间V 的一组基，所以V 的维数是2，故选B 。

7.C 【解析】略。

8.A 【解析】命题的逆命题和否命题互为逆否命题，互为逆否命题的命题同真同假，故选A 。

二、简答题9.【解析】由题意可知，()3sin 4cos f x x x '=-+，令()0f x '=，则()3sin 4cos 0f x x x '=-+=，所以3sinx=4cosx ，4tan 3x =，x=4arctan 3k π+（k ∈Z ）。

10.【解析】由已知得2125252x x y x y x y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪'+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2,.52,x y x x y y '+=⎧⎨'+=⎩解得2,52,x y x y x y ''=-⎧⎨''=-⎩∵xy=1，所以()()2521y x x y ''''--=，化简得22109210x x y y ''''-++=。

11.【解析】证明：不妨设x 1＜x 2，由拉格朗日中值定理有：()12,x x ξ∃∈，使得()()()2121f x f x f x x ξ-'=-，因为()()()2121f x f x f x x ξ'-=-，又因为()f x '有界，故0M ∃>，使得()f x M '≤，故()()1212f x f x M x x -≤-。

12.【参考答案】评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学，应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。

对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程；要关注学生学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。

对于课程标准提出的评价理念可以从以下三个方面理解。

（1）评价目标多元化新课程提出多元化的评价目标，评价的对象既包括学生，也包活教师。

以往的评价更多的关注学生的成就，关注学生的表现，忽视对教师教学过程的评价。

通过教学过程和学生学习状况的考查，不只是看学生的表现，还促使教师认识教学中存在的问题，及时改进教学方式，调整教学进度和教学目标。

（2）评价内容多维性数学课程的总体目标，对义务教育阶段学生的数学素养提出四个方面的具体要求，包括知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度。

评价的具体内容应围绕这些方面展开，形成多维度、全面性的评价内容体系。

对不同内容的评价可以通过设计反映不同内容的问题，如对某一方面知识与技能的评价；也可以在综合的问题情境中进行评价，如在一项调查活动中，对知识的理解与运用、学生解决实际问题的能力以及学生参与投入的态度进行评价；还可以通过对学生平时学习情况的考查来评价。

（3）评价方法多样化评价中应针对不同学段学生的特点和具体内容的特征，选择恰当有效的方法。

对学生知识技能掌握情况的评价，应当将定量评价和定性评价相结合，结果评价与过程评价相结合。

不同的评价方法在教学过程中起着不同的作用，不能希望一种评价方法会解决所有的问题。

封闭式的问题、纸笔式的评价可以简捷方便地了解学生对某些知识技能的掌握情况，而开放式问题、综合性的、在丰富的情境中的评价有助于了解学生的思考过程和学习过程。

13.2a b +≤（a ≥0，b ≥0）的几何解释； 如图，以AB 为直径的圆，在直径AB 上取点C 使得AC=a ，过点C 作直径AB的垂线与半圆交于D 点，由射影定理可得，由图显然可得CD ≤OD （即2a b +≤。

几何解释对学生数学学习的作用：（1）有助于培养学生数形结合的数学思想。

在教学过程中教师通过几何解释渗透数形结合思想。