2017年上海市高考数学试卷

8
的解为 ．
9
【分析】由奇函数的定义，当 x＞0 时，﹣x＜0，代入已知解析式，即可得到所求 x＞0
的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．
【解答】解：若 g（x） =
‒ 1， ≤ 0
为奇函数，
{3()
，＞0

可得当 x＞0 时，﹣x＜0，即有 g（﹣x）＝3﹣x﹣1，
6 = 6×5×4，则 m＝
‒1
＞1 的解集为

3．（4 分）（2017•上海）不等式
．
．
4．（4 分）（2017•上海）已知球的体积为 36π，则该球主视图的面积等于
5．（4 分）（2017•上海）已知复数 z 满足 z +
6．（4 分）（2017•上海）设双曲线
3
= 0，则|z|＝

．
．
2 2
‒ = 1（b＞0）的焦点为 F1、F2，P 为该双曲线上的
9 2
一点，若|PF1|＝5，则|PF2|＝
．
7．（5 分）（2017•上海）如图，以长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点 D 为坐标原点，过 D 的
→
→
三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若D1的坐标为（4，3，2），则A1
1．（4 分）（2017•上海）已知集合 A＝{1，2，3，4}，集合 B＝{3，4，5}，则 A∩B＝
{3，4} ．
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合 A＝{1，2，3，4}，集合 B＝{3，4，5}，
∴A∩B＝{3，4}．
故答案为：{3，4}．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运
【解答】解：如图，以长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点 D 为坐标原点，
过 D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
→
∵D1的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2）
，
→
∴A1 = ( ‒ 4，3，2)．
故答案为：（﹣4，3，2）．
第 7 页（共 21 页）
A．2 个
B．4 个
C．8 个
D．无穷个
三、解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18＝76 分）
17．（14 分）（2017•上海）如图，直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面为直角三角形，两直角边
AB 和 AC 的长分别为 4 和 2，侧棱 AA1 的长为 5．
（1）求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积；
查运算能力，属于基础题．
1
1
9．（5 分）（2017•上海）已知四个函数：①y＝﹣x，②y = - ，③y＝x3，④y = 2，从

1
中任选 2 个，则事件“所选 2 个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 ．
2
+ 2 = 1，A 为Γ的
4
上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为 x 正半轴上的动点．
（1）若 P 在第一象限，且|OP| =
2，求 P 的坐标；
8 3
（2）设 P（ ， ），若以 A、P、M 为顶点的三角形是直角三角形，求 M 的横坐标；
5 5
→
→
→
→
（3）若|MA|＝|MP|，直线 AQ 与Γ交于另一点 C，且AQ = 2，PQ = 4，求直线 AQ
A．a≥0
B．b≤0
C．c＝0
D．a﹣2b+c＝0
2 2
16．（5 分）（2017•上海）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1： + = 1 和 C2：x2
36 4
2
→
→

= 1．P 为 C1 上的动点，Q 为 C2 上的动点，w 是OP ⋅ 的最大值．记 Ω＝{（P，
+
9
→
→
Q）|P 在 C1 上，Q 在 C2 上，且OP ⋅ = w}，则 Ω 中元素个数为（ ）
由 g（x）为奇函数，可得 g（﹣x）＝﹣g（x），
则 g（x）＝f（x）＝1﹣3﹣x，x＞0，
由定义在（0，+∞）上的函数 y＝f（x）的反函数为 y＝f﹣1（x），
且 f﹣1（x）＝2，
可由 f（2）＝1﹣3﹣2 =
8
，
9
可得 f﹣1（x）＝2 的解为 x =
8
．
9
8
故答案为： ．
9
【点评】本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关系，考
法，是基础题．
2 2
6．（4 分）（2017•上海）设双曲线 ‒ 2 = 1（b＞0）的焦点为 F1、F2，P 为该双曲线上的
9
一点，若|PF1|＝5，则|PF2|＝ 11 ．
第 6 页（共 21 页）
【分析】根据题意，由双曲线的方程可得 a 的值，结合双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||
．
二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）
{
x + 5y = 0
13．（5 分）（2017•上海）关于 x、y 的二元一次方程组 2 + 3 = 4的系数行列式 D 为
（ ）
|
|
|
0 5
A． 4 3
|
|
1 0
B． 2 4
14．（5 分）（2017•上海）在数列{an}中，an＝（ A．等于 -
(1234)
=
．
11．（5 分）（2017•上海）设 a1、a2∈R，且
1
1
+
= 2，则|10π﹣a1﹣a2|
2 + 1 2 + (22)
第 1 页（共 21 页）
的最小值等于
．
12．（5 分）（2017•上海）如图，用 35 个单位正方形拼成一个矩形，点 P1、P2、P3、P4 以
【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算
求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
8．（5 分）（2017•上海）定义在（0，+∞）上的函数 y＝f（x）的反函数为 y＝f﹣1（x），若
g（x） =
‒ 1， ≤ 0
为奇函数，则 f
{3()
，＞0

﹣1（x）＝2
的方程．
21．（18 分）（2017•上海）设定义在 R 上的函数 f（x）满足：对于任意的 x1、x2∈R，当 x1
＜x2 时，都有 f（x1）≤f（x2）．
（1）若 f（x）＝ax3+1，求 a 的取值范围；
（2）若 f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；
（3）设 f（x）恒大于零，g（x）是定义在 R 上的、恒大于零的周期函数，M 是 g（x）
（1）求该地区第 4 个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第 n 个月底的单车容纳量 Sn＝﹣4（n﹣46）2+8800（单
位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点
的单车容纳量？
20．（16 分）（2017•上海）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆Γ：

中任选 2 个，则事件“所选 2 个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为
．
10．（5 分）（2017•上海）已知数列{an}和{bn}，其中 an＝n2，n∈N*，{bn}的项是互不相等
的正整数，若对于任意 n∈N*，{bn}的第 an 项等于{an}的第 bn 项，则
(14916)
第 3 页（共 21 页）
的最大值．函数 h（x）＝f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f
（x）是常值函数”．
第 4 页（共 21 页）
2017 年上海市高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分）
得答案．
【解答】解：由 z +
3
= 0，

得 z2＝﹣3，
设 z＝a+bi（a，b∈R），
由 z2＝﹣3，得（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi＝﹣3，
{
2
a = 0
‒ 2 =‒ 3
即 a 2 = 0 ，解得： =± 3．
∴z =
则|z| =
{
±
3．
3．
故答案为： 3．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求
4．（4 分）（2017•上海）已知球的体积为 36π，则该球主视图的面积等于 9π ．
【分析】由球的体积公式，可得半径 R＝3，再由主视图为圆，可得面积．
第 5 页（共 21 页）
【解答】解：球的体积为 36π，
4
设球的半径为 R，可得 πR3＝36π，
3
可得 R＝3，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ该球主视图为半径为 3 的圆，
2017 年上海市高考数学试卷
一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分）
1．（ 4 分 ）（ 2017• 上 海 ） 已 知 集 合 A＝ {1， 2， 3， 4}， 集 合 B＝ {3， 4， 5}， 则 A∩ B
＝
．
2．（4 分）（2017•上海）若排列数P
及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合 Ω＝{P1，P2，P3，P4}，点 P∈Ω，
过 P 作直线 lP，使得不在 lP 上的“▲”的点分布在 lP 的两侧．用 D1（lP）和 D2（lP）
分别表示 lP 一侧和另一侧的“▲”的点到 lP 的距离之和．若过 P 的直线 lP 中有且只有
一条满足 D1（lP）＝D2（lP），则 Ω 中所有这样的 P 为
理运用．
‒1
＞1 的解集为 （﹣∞，0） ．

3．（4 分）（2017•上海）不等式
【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．
‒1
＞1 得：

【解答】解：由
1 -
1
1
＞1⇒ ＜0⇒＜0，


故不等式的解集为：（﹣∞，0），
故答案为：（﹣∞，0）．
【点评】本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题．
＝6，解可得|PF2|的值，即可得答案．
2 2
‒ = 1，
9 2
【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：
其中 a =
9 = 3，
则有||PF1|﹣|PF2||＝6，
又由|PF1|＝5，
解可得|PF2|＝11 或﹣1（舍）
故|PF2|＝11，
故答案为：11．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义．
第 2 页（共 21 页）
（2）设 M 是 BC 中点，求直线 A1M 与平面 ABC 所成角的大小．
18．（14 分）（2017•上海）已知函数 f（x）＝cos2x﹣sin2x +
1
，x∈（0，π）．
2
（1）求 f（x）的单调递增区间；
（2）设△ABC 为锐角三角形，角 A 所对边 a =
19，角 B 所对边 b＝5，若 f（A）＝
的坐标是
．
8．（5 分）（2017•上海）定义在（0，+∞）上的函数 y＝f（x）的反函数为 y＝f﹣1（x），若
g（x） =
‒ 1， ≤ 0
为奇函数，则 f
{3()
，＞0

﹣1（x）＝2
的解为
．
1
9．（5 分）（2017•上海）已知四个函数：①y＝﹣x，②y =
1
- ，③y＝x3，④y = 2，从
7．（5 分）（2017•上海）如图，以长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点 D 为坐标原点，过 D 的
→
→
三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若D1的坐标为（4，3，2），则A1
的坐标是 （﹣4，3，2） ．
→
【分析】由D1的坐标为（4，3，2），分别求出 A 和 C1 的坐标，由此能求出结果．
可得面积为 πR2＝9π．
故答案为：9π．
【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于
基础题．
5．（4 分）（2017•上海）已知复数 z 满足 z +
3
= 0，则|z|＝ 3 ．

【分析】设 z＝a+bi（a，b∈R），代入 z2＝﹣3，由复数相等的条件列式求得 a，b 的值
0，求△ABC 的面积．
19．（14 分）（2017•上海）根据预测，某地第 n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量
分别为 an 和 bn（单位：辆），其中 an =
{5‒ 10+ 15+ ，4701 ，≤ ≥≤ 43，b ＝n+5，第 n 个月底
4
n
的共享单车的保有量是前 n 个月的累计投放量与累计损失量的差．
用．
2．（4 分）（2017•上海）若排列数P
6 = 6×5×4，则 m＝ 3 ．
【分析】利用排列数公式直接求解．
【解答】解：∵排列数P
6 = 6×5×4，
∴由排列数公式得P36 = 6 × 5 × 4，
∴m＝3．
故答案为：m＝3．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合
1
2
|
1 5
C． 2 3
|
1
）n，n∈N*，则 lim an（ ）
2
→∞
1
2
B．等于 0
|
6 0
D． 5 4
C．等于
D．不存在
15．（5 分）（2017•上海）已知 a、b、c 为实常数，数列{xn}的通项 xn＝an2+bn+c，n∈N*，
则“存在 k∈N*，使得 x100+k、x200+k、x300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ）