向量值函数的导数与积分【精选】
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高等数学分级教学A2班教学课件
Dept. Math. & Sys. Sci. 应用数学教研室
如果一个向量值函数 r(t) 在区间 I 上满足 r(t) 连续， 且在区间 I 内 r(t) 0, 我们就称 r(t) 在区间 I 上是 光滑的． 例如，例1中的椭圆曲线与螺旋曲线都是光滑的． 一条曲线如果由多个光滑的片段组成，那么就称这 条曲线为分段光滑曲线．
r(t) (r(t)) 向量值函数的导数的几何解释
（a）二维向量值函数的情形 （b）三维向量值函数的情形
高等数学分级教学A2班教学课件
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如果点 P 和 Q 的位置向量为 r(t) 与 r(t+t), 那么
PQ r(t t) r(t)
向量值函数 r(t) 在 t 处的导数，记为 r(t) 或者 dr . dt
明显地，r(t) 也是一个向量值函数．如果向量值函
数 r(t) 在 t 处可导，则r(t) 在 t 处连续.
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与一元数量函数类似，可以进一步定义向量值函数的 高阶导数，如 r(t)的二阶导数定义为 r(t)的导数, 即:
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例2 判断曲线 r(t) {1 t3,t2}是否为光滑曲线？
解 因为 r(t) (3t2, 2t), r(0) (0,0), 所以，该曲线不是 光滑的．曲线在点(1, 0) (对应t = 0)突然改变了方向，
高等数学分级教学A2班教学课件
向量值函数的导数的物理意义:
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r(t)表示在平面上与空间中运动的质点在 t 时刻的位置,
对应的几何曲线为质点的运动轨迹,
r r(t t) r(t) 是质点在时间段 [t, t + t] 上的位移,
质点的速率为 r(t) 1 4t2 4sin2 2t , 质点的加速度为 r(t) (0, 2, 4cos 2t).
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可导的向量值函数 r = r (t) 的微分定义为 dr r(t)dt.
r(t) f (t)i g(t) j h(t)k.
同样，对于可导的二维向量值函数有类似的结论.
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例1 计算下列向量值函数的一阶及二阶导数：
(1) r(t) {a cost,bsin t}; (2) r(t) {a cost,bsin t, ct}.
应用数学教研室
9.2Biblioteka Baidu1 向量值函数的导数与微分
1．向量值函数导数与微分的概念
定义9.2.1 设向量值函数 r r(t) 在 t 的某邻域内有定 义，如果极限
lim r lim r(t t) r(t)
t t 0
t 0
t
存在，则称向量值函数 r(t) 在 t 处可导，并称极限值为
这个向量可以看作是割线向量．当 t 0 时, 割线向量 趋于曲线在点 P 处的切线向量．如果 r(t) 存在，且 r(t) 0, 则称 r(t) 为曲线r(t) 在点 P 处的切向量, 过 P 点且以 r(t) 为方向向量的直线为曲线 r(t) 在点P处的切 线．这样, 曲线r(t) 在点 P处的切向量为T (t) r(t).
在曲线上出现了尖点的特征．
y
尖点
o
1
x
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例3 一个质点的位置向量为 r(t) (t,t2, cos 2t), 求 质点的速度、加速度与速率． 解 质点的速度为 r(t) (1, 2t, 2sin 2t),
向量值函数的导数可通过计算其分量函数的导数得到. 定理9.2.2 设三维向量值函数 r(t) f (t)i g(t) j h(t)k, 其中各分量函数在点 t 处可导, 则 r(t) 在点 t 处可导, 且
r(t) f (t)i g(t) j h(t)k.
三维向量值函数 r(t) f (t)i g(t) j h(t)k 的二阶导数为
r 是质点在这段时间内的平均速度，
t
r(t) 是质点在时刻 t 的瞬时速度 v(t)，即 v(t) r(t),
速度的方向或质点运动的方向是运动轨迹的切线方向,
v(t) r(t) 是质点在时刻 t 的瞬时加速度 a (t).
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．
解 (1) r(t) {a sin t,b cos t}, r(t) (a cost, bsin t).
(2) r(t) {a sin t,b cos t, c}, r(t) (a cost, bsin t,0).
这里, (1)中的二维向量值函数对应的图形是二维平面 上的椭圆曲线; (2)中的三维向量值函数对应的图形是 三维空间上的螺旋曲线．
第九章 向量值函数的导数与积分
● §9.1 向量值函数及其极限与连续 ★ §9.2 向量值函数的导数与微分 ● §9.3 向量值函数的不定积分与定积分
§9.2 向量值函数的导数与微分
9.2.1 向量值函数的导数与微分 9.2.2 空间曲线的切线及法平面方程 内容小结与作业
Dept. Math. & Sys. Sci.
对于可导的二维向量值函数 r(t) f (t)i g(t) j, dr df (t) i dg(t) j f (t)dt i g(t)dt j.
对于可导的三维向量值函数 r(t) f (t)i g(t) j h(t) k,
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如果一个向量值函数 r(t) 在区间 I 上满足 r(t) 连续， 且在区间 I 内 r(t) 0, 我们就称 r(t) 在区间 I 上是 光滑的． 例如，例1中的椭圆曲线与螺旋曲线都是光滑的． 一条曲线如果由多个光滑的片段组成，那么就称这 条曲线为分段光滑曲线．
r(t) (r(t)) 向量值函数的导数的几何解释
（a）二维向量值函数的情形 （b）三维向量值函数的情形
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如果点 P 和 Q 的位置向量为 r(t) 与 r(t+t), 那么
PQ r(t t) r(t)
向量值函数 r(t) 在 t 处的导数，记为 r(t) 或者 dr . dt
明显地，r(t) 也是一个向量值函数．如果向量值函
数 r(t) 在 t 处可导，则r(t) 在 t 处连续.
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与一元数量函数类似，可以进一步定义向量值函数的 高阶导数，如 r(t)的二阶导数定义为 r(t)的导数, 即:
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例2 判断曲线 r(t) {1 t3,t2}是否为光滑曲线？
解 因为 r(t) (3t2, 2t), r(0) (0,0), 所以，该曲线不是 光滑的．曲线在点(1, 0) (对应t = 0)突然改变了方向，
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r(t)表示在平面上与空间中运动的质点在 t 时刻的位置,
对应的几何曲线为质点的运动轨迹,
r r(t t) r(t) 是质点在时间段 [t, t + t] 上的位移,
质点的速率为 r(t) 1 4t2 4sin2 2t , 质点的加速度为 r(t) (0, 2, 4cos 2t).
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可导的向量值函数 r = r (t) 的微分定义为 dr r(t)dt.
r(t) f (t)i g(t) j h(t)k.
同样，对于可导的二维向量值函数有类似的结论.
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例1 计算下列向量值函数的一阶及二阶导数：
(1) r(t) {a cost,bsin t}; (2) r(t) {a cost,bsin t, ct}.
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9.2Biblioteka Baidu1 向量值函数的导数与微分
1．向量值函数导数与微分的概念
定义9.2.1 设向量值函数 r r(t) 在 t 的某邻域内有定 义，如果极限
lim r lim r(t t) r(t)
t t 0
t 0
t
存在，则称向量值函数 r(t) 在 t 处可导，并称极限值为
这个向量可以看作是割线向量．当 t 0 时, 割线向量 趋于曲线在点 P 处的切线向量．如果 r(t) 存在，且 r(t) 0, 则称 r(t) 为曲线r(t) 在点 P 处的切向量, 过 P 点且以 r(t) 为方向向量的直线为曲线 r(t) 在点P处的切 线．这样, 曲线r(t) 在点 P处的切向量为T (t) r(t).
在曲线上出现了尖点的特征．
y
尖点
o
1
x
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例3 一个质点的位置向量为 r(t) (t,t2, cos 2t), 求 质点的速度、加速度与速率． 解 质点的速度为 r(t) (1, 2t, 2sin 2t),
向量值函数的导数可通过计算其分量函数的导数得到. 定理9.2.2 设三维向量值函数 r(t) f (t)i g(t) j h(t)k, 其中各分量函数在点 t 处可导, 则 r(t) 在点 t 处可导, 且
r(t) f (t)i g(t) j h(t)k.
三维向量值函数 r(t) f (t)i g(t) j h(t)k 的二阶导数为
r 是质点在这段时间内的平均速度，
t
r(t) 是质点在时刻 t 的瞬时速度 v(t)，即 v(t) r(t),
速度的方向或质点运动的方向是运动轨迹的切线方向,
v(t) r(t) 是质点在时刻 t 的瞬时加速度 a (t).
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．
解 (1) r(t) {a sin t,b cos t}, r(t) (a cost, bsin t).
(2) r(t) {a sin t,b cos t, c}, r(t) (a cost, bsin t,0).
这里, (1)中的二维向量值函数对应的图形是二维平面 上的椭圆曲线; (2)中的三维向量值函数对应的图形是 三维空间上的螺旋曲线．
第九章 向量值函数的导数与积分
● §9.1 向量值函数及其极限与连续 ★ §9.2 向量值函数的导数与微分 ● §9.3 向量值函数的不定积分与定积分
§9.2 向量值函数的导数与微分
9.2.1 向量值函数的导数与微分 9.2.2 空间曲线的切线及法平面方程 内容小结与作业
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对于可导的二维向量值函数 r(t) f (t)i g(t) j, dr df (t) i dg(t) j f (t)dt i g(t)dt j.
对于可导的三维向量值函数 r(t) f (t)i g(t) j h(t) k,