向量值函数的导数与积分【精选】
向量函数导数
向量函数导数向量函数是一种将实数域映射到向量空间的函数，即对于每个实数t，向量函数f(t)都会返回一个向量。
向量函数是向量微积分、向量微分方程和向量场理论的基础。
在计算机图形学、机器学习和控制理论等领域中经常使用向量函数来描述物理系统。
向量函数的导数也被称为向量值函数的导数，它是描述向量函数在每个点的切线方向和强度的向量。
向量函数的导数在物理学、工程学和自然科学中都有广泛的应用。
一般来说，向量函数f(t)=<f1(t), f2(t), f3(t)>的导数f'(t)被定义为：f'(t) = df1/dt i + df2/dt j + df3/dt k其中，i、j和k是三个互相垂直的单位向量，den/dt代表f关于t的导数。
向量函数的导数具有一些与标量函数的导数类似的性质，如乘法法则、链式法则等。
此外，它还有一些特殊的性质。
例如，向量函数f(t)的定积分可以用来计算其导数：f(t) = ∫f'(t)dt此时，向量函数的导数可以被看作是向量函数的原函数。
这个性质在计算机图形学和数值分析中经常使用。
对于向量函数f(t)的导数，还有一个重要的概念是方向导数。
方向导数是指向量函数在给定方向上的导数。
对于给定的向量v，函数f在点p上沿着v方向的导数可以使用以下公式计算：Dvf(p) = lim(h→0) [f(p + hv)−f(p)]/h其中，Dvf(p)是函数f在点p上沿着v方向的方向导数。
最后，需要注意的是，向量函数的导数不一定是一定存在的。
在某些情况下，向量函数的导数可能不存在或是无限大。
例如，考虑向量函数f(t)=<sin t, cos t>在t=π/2的导数，会发现该导数不存在，因为左导数和右导数的值不同。
总的来说，向量函数的导数是向量微积分中的重要概念。
它不仅有着广泛的应用，还与向量场、物理学、工程学和计算机图形学等领域有着密切的联系。
理解向量函数导数的定义和性质，是学习向量微积分和相关学科的关键。
§1.4、向量函数的导数
(2) 令：h(x)a(x)f(x)
则：
h i( x ) a ( x ) f i( x ) ,i 1 ,2 , ,m
显然 h ( x )在 x 点可微，且：
h ix(jx) ax (x j)fi(x)a(x)fix (x j)
若令：
显然A ：[aij][f ix (x j)], C[cij]h ix (jx) h '(x ) a x (x j)fi(x ) a (x ) f ix (x j) f(x )a '(x ) a (x )A f(x )a '(x ) a (x )f'(x )
2、向量函数的导数的求解
若令：
a ij
fi(x 0 ) x j
a 1 ,1
A
a m ,1
a 1,n
a m , n
则： f(x0)Am nx
显然，由定理1的证明有：
f1( x x1
0
)
A
f
m
(
x
0
)
x1
f1( x xn
0
)
hi(x)fi(x)gi(x)
xj
xj
xj
若令：
A [ a ij] [ f ix ( x j)] ,B [ b ij] [ g i x ( j x )] ,C [ c ij] h ix ( j x )
显然：
h '( x ) C A B f'( x ) g '( x )
为在 x 0 的梯度。
x y z
*注意：
由于对多元函数来说，偏导数存在与可微并不等价，所以
3-1向量值函数的导数与积分_538909627
Thm. r(t ) 为常数 r(t ) r(t ) 0 2 Proof. ( r (t ) ) r (t ) r (t ) 2r (t ) r (t ).
Remark: (几何解释) r (t ) 为常数,即曲线r (t )在某个球 面上,而该曲线的切线必与球面相切,从而与r (t )垂直.
Review
多元函数的无条件极值 无条件:定义域为开集,此时极值点必为驻点 思路:Step1.求所有驻点 Step2. 逐个判断是否为极值点 低头拉车 极值点判别法则
本质上是多元函数的Taylor展开
Question:条件极值 条件:定义域为有界闭集,或者附加其它约束条件
抬头看路
Chap3. 多元函数微分的应用
Remark2: L在r (t0 )处的切线方程为 (x(t ), y (t ), z (t ))T r (t0 ) t r (t0 ).
Remark3: (物理意义)设质点的位移为r (t ),则速度 为r (t ), 加速度为r (t ). Remark4: r (t )既反映了r (t )在长度上的变化,又反 映了r (t )在方向上的变化.
本章第1,2,4节的内容是后面曲线和曲面积分的
基础.第6节条件极值是多元微分学的重要应用. §1. 向量值函数的导数与积分 1.向量值函数的导数
空间曲线L : r r(t ) x(t ), y(t ), z(t ) 记 x x(t t ) x(t ), y y(t t ) y(t ), z z (t t ) z (t ), r r (t t ) r (t ).
r x y z Def. r (t ) lim lim , , x(t ), y(t ), z(t ). t 0 t t 0 t t t
向量值函数的导数
由此可见,凡是一元m 维向量值的导数是各个分量 的导数所组成的一个m 维列向量.
例2： 当n=2，m=1时，有向量值函数 y=f(x),其中
x x1, x2 T D R2. 它等价于 y f x1, x2 .
如果在点x0 x10, x20 处函数的偏导都存在，则可称
A
a21
a22
副对角线 am1 am1
a1n
a2n
amn
矩阵A的
m, n元
简记为
A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
•元素是实数的矩阵称为实矩阵,
•元素是复数的矩阵称为复矩阵.
•只有一行的矩阵 A a1, a2, , an , 称为行矩阵
(或行向量).
a1
•只有一列的矩阵
B
a2
,
称为列矩阵(或列向量).
an
定义（转置矩阵）把矩阵 A 的行换成同序数的列 得到的新矩阵，叫做 A的转置矩阵，记作 A .
例
A
1 4
2 5
2 8
,
1 4
AT
2
5 ;
2 8
在点a 以A A1, A2, A3 T A1i A2 j A3 k 为极限的
定义是：
0, 0,x D,当0 x a 时,有
3
2
f (x) A
fk x Ak
应用数学基础 第四章-向量值函数的导数
2!2! 13
§4.2－4 方阵函数 性质
性质1 (Euler公式) XCnn, 有
eiX = cosX + isinX , cosX = ( eiX + e iX )/2 , sinX = ( eiX e iX )/2 .
两边对应的 数项幂级数 具有此性质
性质2 XCnn及 t C, 有
d eAt = AeAt = eAt A ,
征值都满足不等式 | j - 0 | < R, j = 1, 2,…, n .则方阵幂级
数 cm(X 0E)m绝对收敛. 若存在X的一个特征 m0
值k, 使得 | k - 0 | > R, 则方阵幂级数发散.
12
§4.2－3 方阵函数 几个特殊的和函数
e
Xe
z
mm00
Xz mm mm!!
1E
定理4.3 设ACnn, 则Am收敛于零矩阵 至少 存在一种方阵范数||•||, 使得||A||1.
9
定理4§.4 4设.2－Am1=[方aij阵(m级)]数Cnn收, m敛=的0,1充,2要,…条,件S=及[s性ij]质Cnn.
则方阵级数 Am 收敛于方阵 S=[sij]
m0
i,j=1,2,…,n,
定义 设ACnn 的谱 (A) = {1, 2,…, s }, A的最小多项式()= (-1) (m1 1) … (-s) (ms 1), f (z)是复变函数.
若对j=1, 2,…, s, f(j), f (j),…, f (mi 1)(j) 都存在, 则称 f(z)在(A)上有定义, 并称
数项级数
a(m) ij
收敛于sij.
mo
证明思路：根据矩阵级数收敛的定义，以及定理4.1。
向量值函数积分学
x x(t),
y
y(t ),
z z(t),
r (t )
x(t)i
y(t) j
z(t)k,
t
.
因此一元向量值函数在物理上是质点运动的轨迹，
几何上表示空间一条曲线。
z
（2)当 Rr (t ) 0时, 得r平面向量r 值函数
f ( x) P( x)i Q( x) j , x I x
Q(
x)
,
lim
x0
R(
x
x) x
R(
x)
dP dx
,
dQ dx
,
dR dx
dP dx
r i
dQ dx
r j
dR dx
r k
r
即 df {dP , dQ , dR } dx dx dx dx
例：设f (t ) t i t 2 j t 3k .
(1)(C ) 0,其 中C是 常 向 量 ；
（2）(a u b v) a u b v, a, b是 常 数 ；
（3）(u v) u v u v;
(4)(u v) u v u v;
(5)r
r( (t )),
( x)v2 u2v2
(
x)u,
v
u
v
3、一元向量值函数导数的物理意义与几何意义
rr(t )
r x(t )i
r y(t) j
r z(t )k
高等数学向量值函数的积分
接续【例8-3】
解：由已知，L的方程为
z 3 z 4 x2 y2
消去z得
x2 y2 1 z 3
可设L的参数方程为：x=cost，y=sint，z=3( 0 t 2 ),
所以
I 2 [cos2 t sin3 t(sin t) 3cos t 0]dt 0
2 sin4 t(1 sin2 t)dt 3
L f ( x, y)dx g( x, y)dy O
x
L g( x0 , y)dy
（图8-2）
【例8-3】计算曲线积分 I
x2 y3dx zdy L
ydz,
其中L
是抛物面 z 4 x2 y2 与平面 z=3的交线，从 z 轴正向往
负向看，其方向为逆时针．这里积分号 L 表示沿闭合
曲线L积分．
1.格林公式 2.平面曲线积分与路径无关的条件 3.原函数与全微分方程
1.格林公式 格林公式，可以看做一般的斯托克斯公式的特例，
也可以看做牛顿-莱布尼茨公式的推广。而一般形式 的斯托克斯公式，也被称为整个微积分学的基本定 理。牛顿莱布尼茨公式，仅仅是一元微积分学的基 本定理。
解释和证明一般形式的斯多克斯公式属于高级微积 分学，需要较多的其它方面的数学知识。
由于原方程是全微分方程所以有方程通解为两边对x积分得所以由此得dydzdzdxdxdy1考察向量积各个分量的几何意义根据向量积的代数表示有设有z型曲面考虑如下定义和表示的向量即所由行列式的几何意义下面三个行列式恰好就是以为邻边的平行四边形在三个坐标平面上投影所得平行四边形的面积有向即可正可负
第八章 向量值函数的 曲线与曲面积分
＝L F ( x, y, z) •ds
（5）
这个关系也提供了计算第二型曲线积分的主要方法。
多元向量值函数的导数与微分
y f ( x)
y1 f1 ( x1 , x2 ,, xn ) y2 f 2 ( x1 , x2 ,, xn ) ym f m ( x1 , x2 ,, xn )
5.1 一元向量值函数的导数与微分 定义5.1 设 f : U ( x 0 ) R R m , x 0 x U ( x 0 ), 若
y ( y1 ,, ym ), f ( f1 ,, f m )T y f ( x)
14/20
F ( x, y) 0
?
向量值函数的导数与微分 西安交通大学 李换琴
定理5.4(隐函数存在定理) 设F连续可微，且满足 ）F（x0，y0 ） 1 0;
工科数学分析基础
李换琴 西安交通大学理学院
hqlee@
第五章
多元函数微分学及其应用
第一节 n维Euclid空间点集的初步知识 1 第二节 多元函数的极限与连续性 第三节 多元数量值函数的导数与微分 第四节 多元函数的taylor公式与极值问题 第五节 多元向量值函数的导数与微分 第六节 多元函数微分学在几何上的应用 第七节 空间曲线的曲率和挠率
2 x1 x2 u 例4 1 u2 2 2 2 设w f ( u) u2 u3 , u g ( x ) x1 x2 , 求D( f g ) 2 u 1 x1 x2 3
f ( x0 ) Df ( x 0 ) x1 f ( x0 ) x2
0
f ( x0 ) f ( x0 ) x n
定义 D 2 f ( x 0 ) D ( Df ( x )T ) 为f 在 x0 处的二阶导数. x 则有
向量值函数的导数
r x r x t x r u s u t u
r r r r y z u v u u u s s s s x y z y z u v v v v t t t t x y z y z u v u r v r u r v r u r v x v x u y v y u z v z u s v s u s v s u s v x v x u y v y u z v z u t v t u t v t u t v x v x u y v y u z v z
则称f是一个线性向量值函数. n m R R 线性向量值函数就是从 到 的线性变换.
6.2向量值函数的导数 设有向量值函数
y f x f x1 , f x2 ,, f xn , x Dn .
f m f x f1 f 2 , , , , i 1,2,, n . xi xi xi xi
0
称为f(x)在点x0处的导数，也称为f(x)在点x0处的Jacobi 矩阵，记为 f ' x0 , Df x0 , T T x 定义中的df(x0)=J 是关于 x 的线性向量函数.
n m D , y = f ( x ), x y R , 定理6.1 设向量值函数
设x0为 D 的内点.若f(x)的每个分量fi(x)(i=1,2,…,m)关于
有向量值函数复合求导的连锁规则 左边是 m n 矩阵，右边是 m k 矩阵与 k n 矩阵的乘积. 这三个矩阵分别是向量值函数 f g ，f 以及g的导数.
f g
' x
向量函数的导数和曲线积分
向量函数的导数和曲线积分在微积分中，向量函数的导数和曲线积分是非常重要的概念。
向量函数的导数描述了向量在曲线上的变化率，而曲线积分则用于计算向量场沿曲线的总效应。
本文将详细介绍向量函数的导数和曲线积分的概念、计算方法以及在实际问题中的应用。
一、向量函数的导数向量函数是一个将实数映射到向量的函数。
设向量函数为F(t) =\<f1(t), f2(t), f3(t)\>，其中f1(t)，f2(t)，f3(t)为实数函数，t为自变量。
向量函数的导数定义为F'(t) = \<f1'(t), f2'(t), f3'(t)\>。
计算向量函数的导数时，可以将每个分量函数看作是独立变量的函数，然后分别对每个分量函数求导即可。
导数的几何意义是向量在曲线上的切向量，它的方向与曲线切线的方向相同，大小等于在单位时间内曲线上的位移。
二、曲线积分的概念曲线积分用于计算向量场沿曲线的总效应。
设曲线C为一条smooth 曲线，可以使用参数方程表示为C: r(t) = \<x(t), y(t), z(t)\>，a ≤ t ≤ b。
向量场F(x, y, z)在曲线C上的曲线积分定义为∫[C] F·dr，其中dr为曲线的微小位移向量。
曲线积分可以分为第一类和第二类曲线积分。
第一类曲线积分是将向量场F(x, y, z)沿曲线C的弧长积分，表示为∫[C] F·ds。
第二类曲线积分是将向量场F(x, y, z)经过曲线C的环量积分，表示为∫[C] F·dr。
计算曲线积分时，可以将曲线参数化，并将曲线上的微小位移ds或dr用参数表示，然后将向量场F代入曲线参数方程得到F的函数形式，最后对函数形式进行积分。
三、向量函数的导数的计算方法计算向量函数的导数可以使用分量法或矩阵法。
分量法即分别对向量的每个分量函数求导，矩阵法则使用雅可比矩阵进行计算。
以分量法为例，对向量函数F(t) = \<f1(t), f2(t), f3(t)\>求导，可以得到F'(t) = \<f1'(t), f2'(t), f3'(t)\>。
向量值函数的积分
向量值函数的积分向量值函数的积分是指对于一个向量值函数，通过积分运算得到其在某一区域内的平均值或总和。
在数学中，向量值函数是指自变量为一个或多个实数的函数，其返回值为一个向量。
对于一个标量函数f(x)，我们可以通过积分运算得到其在某一区间[a,b]内的平均值或总和。
而对于一个向量值函数F(x)，我们需要定义如何进行积分运算。
设F(x) = (f1(x), f2(x), ..., fn(x))为n维向量值函数，其中fi(x)为标量函数，则F(x)在区域D上的积分定义为：∫F(x)·ds = ∫(f1(x), f2(x), ..., fn(x))·ds其中ds表示曲线段元素，即ds = ||r'(t)||dt，r(t)是曲线C上的参数方程。
例如，在二维平面上，设F(x,y) = (x^2, y^2)，则其在曲线C：y=x^2上的积分可以表示为：∫F(x,y)·ds = ∫(x^2, y^2)·ds= ∫(x^2, x^4)·sqrt(1+4x^2)dx= ∫x^2sqrt(1+4x^2)dx + ∫x^4sqrt(1+4x^2)dx这里需要注意的是，在进行向量值函数的积分运算时，需要对每个分量进行独立的积分运算，然后将结果合并成一个向量。
另外，向量值函数的积分也可以表示为对曲面上的某一物理量的平均值或总和。
例如，在三维空间中，设F(x,y,z) = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))为流体速度场，则其在曲面S上的通量可以表示为：Φ = ∫F(x,y,z)·n·dS其中n为曲面S上的单位法向量，dS表示曲面元素。
总之，向量值函数的积分是一种广泛应用于物理、工程等领域中的数学工具，其可以帮助我们计算出某一物理量在某一区域内的平均值或总和。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的积分方法，并注意对每个向量分量进行独立计算。
向量求导——精选推荐
向量求导1. 矩阵Y对标量x求导：相当于每个元素求导数后转置⼀下，注意M×N矩阵求导后变成N×M了Y = [y(ij)] --> dY/dx = [dy(ji)/dx]2. 标量y对列向量X求导：注意与上⾯不同，这次括号内是求偏导，不转置，对N×1向量求导后还是N×1向量 y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)'3. ⾏向量Y'对列向量X求导：注意1×M向量对N×1向量求导后是N×M矩阵。
将Y的每⼀列对X求偏导，将各列构成⼀个矩阵。
重要结论：dX'/dX = Id(AX)'/dX = A'4. 列向量Y对⾏向量X’求导：转化为⾏向量Y’对列向量X的导数，然后转置。
注意M×1向量对1×N向量求导结果为M×N矩阵。
dY/dX' = (dY'/dX)'5. 向量积对列向量X求导运算法则：注意与标量求导有点不同。
d(UV')/dX = (dU/dX)V' + U(dV'/dX)d(U'V)/dX = (dU'/dX)V + (dV'/dX)U'重要结论：d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + (dA/dX)X' = IA + 0X' = Ad(AX)/dX' = (d(X'A')/dX)' = (A')' = Ad(X'AX)/dX = (dX'/dX)AX + (d(AX)'/dX)X = AX + A'X6. 矩阵Y对列向量X求导：将Y对X的每⼀个分量求偏导，构成⼀个超向量。
注意该向量的每⼀个元素都是⼀个矩阵。
向量值函数的导数与微分
向量值函数的导数与微分当我们研究单变量函数的导数时，我们可以通过计算其斜率来衡量其变化率。
然而，当涉及到向量值函数时，这种思维方式就不再适用了。
在本文中，我们将探讨向量值函数的导数与微分的概念，并了解其在向量微积分中的应用。
一、向量值函数的定义向量值函数是指以实数为自变量，向量为函数值的函数。
一般形式为：r(t) = [f1(t), f2(t), ..., fn(t)]其中，f1(t), f2(t), ..., fn(t) 是 t 的函数，称为向量值函数的分量函数。
向量值函数可以看作是将实数映射到向量空间中的曲线。
二、向量值函数的导数我们知道，对于单变量函数 f(x)，其导数可表示为 f'(x) 或 df/dx。
类似地，对于向量值函数 r(t)，其导数可表示为 r'(t) 或 dr/dt。
向量值函数的导数是一个向量，其分量函数对应各个分量函数的导数，即：r'(t) = [f1'(t), f2'(t), ..., fn'(t)]三、向量值函数的微分向量值函数的微分是指对函数进行微小变化时，所产生的向量变化。
假设我们在 t0 时刻的函数值为 r(t0)，且函数在 t0 处可导，则向量值函数在 t0 处的微分可表示为：dr = r'(t0) dt其中，dr 是函数值的微小变化量，dt 是 t 的微小变化量。
微分可看作是近似函数值的改变。
四、向量值函数的几何意义向量值函数的导数和微分反映了函数在每个时刻的斜率和微小变化量。
从几何上讲，导数表示了函数的切线方向和斜率，微分表示了函数曲线的微小位移。
五、向量值函数的应用向量值函数的导数和微分在物理学、工程学和计算机图形学中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，物体的位置、速度和加速度可以用向量值函数表示，通过求导和微分可以得到物体在不同时刻的速度和加速度。
在计算机图形学中，通过对向量值函数进行导数和微分，可以生成平滑的曲线和曲面，用于三维模型的表示和动画。
向量值函数的导数与积分
平面点的运动轨迹
二维向量值函数
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数与空间曲线
三维向量值函数 M
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数与空间曲线
例1已知直线 过点
,其方向向量为
,
试用向量值函数表示直线.
直线的向量值函数
或
对应的参数方程为：
(
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数与空间曲线
间 内的一个原函数，则
d
向量值函数的不定积分
各分量函数的不定积分
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数的积分
向量值函数的不定积分
例9 计算
d
【例9解】
原式
d
d
d
C
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数的积分
向量值函数的不定积分
例10一枚导弹以初始速度 、仰角 发射，假设导弹只受重力作 用，空气阻力可以忽略不记，求这枚导弹的位置函数 ，并问 取何值时射程最远？
数量函数求导法则
向量值函数求导法则
定理2设 为可导的向量值函数， 为可导的数值函
数， 为常向量（即 的各分量都为常数）， 为常数，则有
d (1)
d (3) d
d
(2) d d
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数的导数
向量值函数的求导法则
(4) d d
(5) d d d
(6) d
(7)链式法则：设 数值函数，则
向量值函数的定积分
例11计算
d
【例11解一】
原式
(1+ )d
d
【例11解二】 由牛顿-莱布尼兹公式，
原式
5.6 向量值函数的导数与微分
代入(4)，得 4x2 1 0, x 1 , y 1 ,
2
2
得到：
(1 , 1 , 0), ( 1 , 1 , 0)
22
22
u(1 , 1 , 0) 22
2 ( x y) (1, 1, 0) 22
2
> u( 1 , 1 , 0) 2
22
所求点为：(1 , 1 , 0). 22
内有定义, a (a1, a2 ,, am )T 是一个 m 维常向量
0
如果满足 0, 0,使当x U (x0 , )时，恒有
m
f (x) a ( fi (x) ai )2 i 1
则称
当x
x0时f
(x)以a为极限，记为lim xx0
f
(x)
a
定理1 证明
可知
lim
xx0
f
(x)
x
*(区间（区域）有界函数未必有最值）
3. 闭区间(闭区域）上的有界函数一定在该区间取得最值， 这种说法正确吗？
答：不正确.
例如：z
xy 0.5
其它, x Q, y Q
在区区域 D {(x, y) 1 x 1, 1 y 1} 是有界的，但是
在D上取不到最值.
*(闭区间（闭区域）有界函数未必有最值）
例9 在球面 2x2 2 y2 2z2 1 求一点, 使得函数 f ( x, y, z) x2 y2 z2沿点 A(1,1,1) 到点 B(2,0,1)
el
AB AB
{
1 , 2
1 , 0}, 2
grad f { f x , f y , fz } {2x, 2 y, 2z}
f1( x1 , x2 )
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向量值函数 r(t) 在 t 处的导数，记为 r(t) 或者 dr . dt
明显地，r(t) 也是一个向量值函数．如果向量值函
数 r(t) 在 t 处可导，则r(t) 在 t 处连续.
高等数学分级教学A2班教学课件
Dept. Math. & Sys. Sci. 应用数学教研室
与一元数量函数类似，可以进一步定义向量值函数的 高阶导数，如 r(t)的二阶导数定义为 r(t)的导数, 即:
r(t) f (t)i g(t) j h(t)k.
同样，对于可导的二维向量值函数有类似的结论.
高等数学分级教学A2班教学课件
Dept. Math. & Sys. Sci. 应用数学教研室
例1 计算下列向量值函数的一阶及二阶导数：
(1) r(t) {a cost,bsin t}; (2) r(t) {a cost,bsin t, ct}.
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9.2.1 向量值函数的导数与微分
1．向量值函数导数与微分的概念
定义9.2.1 设向量值函数 r r(t) 在 t 的某邻域内有定 义，如果极限
lim r lim r(t t) r(t)
t t 0
t 0
t
存在，则称向量值函数 r(t) 在 t 处可导，并称极限值为
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向量值函数的导数的物理意义:
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r(t)表示在平面上与空间中运动的质点在 t 时刻的位置,
对应的几何曲线为质点的运动轨迹,
r r(t t) r(t) 是质点在时间段 [t, t + t] 上的位移,
r(t) (r(t)) 向量值函数的导数的几何解释
（a）二维向量值函数的情形 （b）三维向量值函数的情形
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Dept. MaQ 的位置向量为 r(t) 与 r(t+t), 那么
PQ r(t t) r(t)
质点的速率为 r(t) 1 4t2 4sin2 2t , 质点的加速度为 r(t) (0, 2, 4cos 2t).
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可导的向量值函数 r = r (t) 的微分定义为 dr r(t)dt.
在曲线上出现了尖点的特征．
y
尖点
o
1
x
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例3 一个质点的位置向量为 r(t) (t,t2, cos 2t), 求 质点的速度、加速度与速率． 解 质点的速度为 r(t) (1, 2t, 2sin 2t),
这个向量可以看作是割线向量．当 t 0 时, 割线向量 趋于曲线在点 P 处的切线向量．如果 r(t) 存在，且 r(t) 0, 则称 r(t) 为曲线r(t) 在点 P 处的切向量, 过 P 点且以 r(t) 为方向向量的直线为曲线 r(t) 在点P处的切 线．这样, 曲线r(t) 在点 P处的切向量为T (t) r(t).
对于可导的二维向量值函数 r(t) f (t)i g(t) j, dr df (t) i dg(t) j f (t)dt i g(t)dt j.
对于可导的三维向量值函数 r(t) f (t)i g(t) j h(t) k,
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如果一个向量值函数 r(t) 在区间 I 上满足 r(t) 连续， 且在区间 I 内 r(t) 0, 我们就称 r(t) 在区间 I 上是 光滑的． 例如，例1中的椭圆曲线与螺旋曲线都是光滑的． 一条曲线如果由多个光滑的片段组成，那么就称这 条曲线为分段光滑曲线．
r 是质点在这段时间内的平均速度，
t
r(t) 是质点在时刻 t 的瞬时速度 v(t)，即 v(t) r(t),
速度的方向或质点运动的方向是运动轨迹的切线方向,
v(t) r(t) 是质点在时刻 t 的瞬时加速度 a (t).
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第九章 向量值函数的导数与积分
● §9.1 向量值函数及其极限与连续 ★ §9.2 向量值函数的导数与微分 ● §9.3 向量值函数的不定积分与定积分
§9.2 向量值函数的导数与微分
9.2.1 向量值函数的导数与微分 9.2.2 空间曲线的切线及法平面方程 内容小结与作业
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例2 判断曲线 r(t) {1 t3,t2}是否为光滑曲线？
解 因为 r(t) (3t2, 2t), r(0) (0,0), 所以，该曲线不是 光滑的．曲线在点(1, 0) (对应t = 0)突然改变了方向，
．
解 (1) r(t) {a sin t,b cos t}, r(t) (a cost, bsin t).
(2) r(t) {a sin t,b cos t, c}, r(t) (a cost, bsin t,0).
这里, (1)中的二维向量值函数对应的图形是二维平面 上的椭圆曲线; (2)中的三维向量值函数对应的图形是 三维空间上的螺旋曲线．
向量值函数的导数可通过计算其分量函数的导数得到. 定理9.2.2 设三维向量值函数 r(t) f (t)i g(t) j h(t)k, 其中各分量函数在点 t 处可导, 则 r(t) 在点 t 处可导, 且
r(t) f (t)i g(t) j h(t)k.
三维向量值函数 r(t) f (t)i g(t) j h(t)k 的二阶导数为