工程电磁场-基本概念回顾及习题课

(1) 库仑定律
两个点电荷之间的作用力用下式表示
在真空中， 两个静止点电荷q1及q2之间的相互作用力 的大小和q1与q2的乘积成正比，和它们之间距离R的平方 成反比；作用力的方向沿着它们的连线，同号电荷相斥， 异号电荷相吸。
0
是真空中的介电常数，单位是（法（拉）/米），F/m；
电荷量的单位库仑，C 距离的单位米，m 力的单位牛顿，N 计算时，要用国际单位制。 单位的符号要用正体。 点电荷：只带电荷而没有形状和大小的物体。 库仑定律是静电场的基础，也是电磁场的基础。
P 0 E
是电介质的极化率。
（1）极化率大表示材料易于极化， 极化率小表示材料不易于极化； （2）真空的极化率为0，说明真空不能被极化； （3）不同的电介质有不同的极化率。
（10）电介质分界面条件标量表达式
在不同电介质的分界面上，存在极化面电荷(束缚面电荷)，
也可能存在自由面电荷。这造成分界面两侧场矢量不连续。这 种场矢量的不连续性虽然不会影响积分形式基本方程的应用， 却使微分形式的基本方程在不同电介质分界面处的应用遇到困 难。因此必须研究场矢量的分界面条件。
则电场强度可表示为E= kdl。在直角坐标系中，有
电场强度线方程
位于坐标原点的点电荷产生的电场强度线是过原点 的一族射线
正负点电荷的电场线
+
-
例2-2-1 如图所示，在位于直角坐标系坐标原点的点电荷q所产 生的静电场中，求P1 (0,0,1)到P2(0,2,0)的电位差。
解： 由电位公式直接计算，P1和P2点的电 位分别为
分界面上的电荷面密度为
D2 n D1n
E2t E1t
习题 2-15
（12）泊松方程、拉普拉斯方程表达式及边 值问题的分类
称为静电场的 泊松方程。
当场域中没有 电荷分布时
称为静电场的拉普拉斯方程
第1类边值问题
第2类边值问题
混合边值问题
例 随
y 和 z 坐标变化，已知电荷体密度 x 1 3 （ C m ）； x 0 ， 0 0 ； x 1（ m ）， 1 100 （ V ）。求 0 x 1 区域的电位和电
3、电源中电场强度的表达式
作用于单位电荷上的局外电场力定义为局外电 场强度，记为 Ee 。 电源中总的电场强度 ET EC Ee 。 在电源以外的区域，只存在库仑电场。 总的电场强度 ET EC 。
4、电荷守恒原理的表达式
电荷守恒原理：自然界中电荷量是守恒的。 给定任意闭合面，设闭合面内的电荷量为 q ， 空间的电流密度为 J ，则
场点坐标 (r , , z) 是不变量，源点坐标 (0, , z ) 中 z 是变量，统一用θ表 示
总的电场强度 若为无限长直导线
习题 2-1
（3）静电场环路定理
由电位计算电场强度，是求梯度的运算，也就是求微分 的运算
在静电场中，任意一点的电场强度E 的方向总是沿着
电位减少最快方向，其大小等于电位的最大变化率。 在直角坐标系中： E [ e e Hale Waihona Puke Baidu e ] x y z
x2 1 100 x 2 0 2 0
（V）
x d 1 E e x 100 ex dx 2 0 0 （V m）
第三章 恒定电场的基本原理
1、体电流密度的定义式 2、电流密度与电场强度的关系 3、电源中电场强度的表达式 4、电荷守恒原理的表达式 5、导电媒质分界面衔接条件的标量表达式
解：根据叠加原理，空洞内P点的电场强度，可以看作是由充 满电荷、电荷体密度为ρ的大球和充满电荷、电荷体密度为- ρ 的小球在P共同产生的电场强度。
根据高斯通量定理
因为大球内电荷产生的电场强度为
小球内电荷产生的电场强度为
习题 2-8
q πr 2
（6）电偶极子电位和电场与距离的关系
得恒定电场的电流连续性方程
J 0
J dS 0
S
上式适合于电源和电 源以外恒定电场的任何区 域。电流连续即电流密度的散度为零，说明恒定电流 场是无散场，场内任一点不产生电流密度线，也不终 止电流密度线，即电流密度线处处连续。
dl A 0
直角坐标系下 矢量线方程
在电磁场中，电场强度线和磁感应强度线都是矢量线。
习题1-4
（3）方向倒数与梯度的关系
如果在标量场中任一点Ｍ 处，存在矢量Ｇ，其方向为场函 数u (x, y, z）在Ｍ 点处变化率最大（方向导数最大）的方向， 其模｜Ｇ｜是这个最大变化率的数值，则称矢量Ｇ 为标量场u (x, y, z）在点 Ｍ 处的梯度，记为
方向导数等于梯度在该方向上 的投影，表示为
习题1-5
l xye x xze y xye z 2e x 3e y 2e z
（4）无源场
应用散度概念可以分析矢量场中任一点的情况。 在M 点，若divＡ＞０，则表明 Ｍ 点有正源； 若divＡ＜０，则表明 Ｍ 点有负源。 若divＡ＝０，则表明该点无源。 如果在场中处处有divＡ＝０，则称此场为无源场或无散场。
（5） 高斯通量定理
高斯通量定理的微分形式
即静电场中任一点上电场强度的散度等于该点的体电荷密 度与真空的介电常数之比。 高斯通量定理的积分形式
例2-3-2 如图所示，真空中，半径为A的大圆球内有一个半径 为a的小圆球，两圆球面之间部分充满体密度为ρ的电荷，小圆 球内电荷密度为零(空洞)。求小圆球(空洞)内任一点的电场强度。
所谓电偶极子就是两个相距很近的等量异号电荷组成的整 体。设电偶极子两电荷的电荷量分别为q和-q，从负电荷到正电 荷的距离矢量为d，则可以用一个矢量来表示电偶极子。这个矢 量叫做电偶极矩，记为p，且 电偶极子产生的电场与单个点电荷产生的电场的空间分布规 律有明显不同。点电荷的电位与R成反比，而电偶极子的电位
x
y
z
对电场强度求旋度，可得
即电场强度的旋度为零，这是静电场环路定理的微分 形式。旋度处处为零的场称为无旋场。静电场是无旋场。 根据斯托克斯定理，有
电场强度的闭合线积分为零，是静电场环路定理的积分形式。
（4） 等电位面与电场强度线方程
等电位面和电场强度线是对电场的形象表示。等电位面就是由 电位相同的点组成的曲面，其方程为 点电荷是一种典型的电荷结构 它所产生电场的等电位面的方程为
习题1-22
第二章 静电场的基本原理
1、库仑定律 2、电场强度 4、等位面和电场强度线方程
3、环路定律的表达形式 5、高斯通量定理的表达形式
6、电偶极子电位和电场与距离的关系 7、静电场中导体内和导体表面的电场特性 8、电位移矢量与电场和极化强度的关系 9、常见介质极化强度与电场强度的关系
10、电介质分界面条件标量表达式 11、泊松方程、拉普拉斯方程和拉普拉斯算子的表达式及边值 问题的分类
解得
q 4 0 R
C ( R 0)
R q
q 4 0C
。
即等电位面是以点电荷所在点为球心， 以
4 0C
为半径的球面。
点电荷在它所在平面上产生电场的等 电位线是一系列的圆，见图。
电场强度线是一族有方向的线。电场强度线上每一点的切线方
向就是该点的电场强度方向。设dl为P点电场强度线的有向线段元，
（2） 电场强度
点电荷q 产生的电场强度
电场强度的单位伏/米，V/m
例2-1-1 真空中长度为2l 的直线段，均匀带电，电荷线密度为τ。
求线段外任一点P 的电场强度。
解： 根据对称性分析，采用柱坐标系分 析比较方便。坐标的源点位于线段的中 心，z 轴与线段重合。场点P的坐标 为 (r, , z) ，取电荷元 d z ，源点坐 标为 (0, , z) 则电荷元在P 点产生的电场强度的各分 量为
E
E F
E0
+
（8）电位移矢量与电场和极化强度的关系
电介质极化后，其内部存在大量按一定规律分布的电偶极
子。将电偶极子偶极矩的密度定义为极化强度P, 用来表示电介
质极化的程度，即
小体积内电偶 极矩的矢量和
定义一个新的场矢量D，叫做电位移矢量，且
（9）常见介质极化强度与电场强度的关系
根据实验，常见的电介质是线性、各向同性的。 极化强度与电场强度的关系可表示为
场强度。 解 静电场的电位满足泊松方程
真空中一静电场的电荷分布只随 x 坐标变化，不
0
2
d 0 2 0 2 1 x dx
2 2
d 1 2 dx 0
2
d x C1 dx 0
x2 C1 x C 2 2 0
代入边界条件
0 0 , 得 C2 0 , 1 1 1 C1 100 , 得 C1 100 2 0 2 0 代入 C1 和 C2
u( x, y, z ) C
式中，Ｃ为常数。给定Ｃ 的一系列不同的数值，可以得到一系 列不同的等值面，称为等值面族。 电位场是一个标量场，由电位相同的点所组成的等值面叫做 等电位面。
（2）矢量线
所谓矢量线，是指其上每一点处曲线的切线方向和该点 的场矢量方向相同。矢量线反映了场矢量在线上每一点的方 向。 矢量线的切线方向与场矢量的方向相同，所以矢量线方程 又可以用矢量式表示为
2.电流密度与电场强度的关系
根据有关导电理论和实验， 对于大多数导电媒质，其中的电流密度与 电场强度的关系可表示为
J E
式中: 称为导电媒质的电导率， 单位是西门子米（ S m ）。
如果 0 ，上式也可表示为
E
1

J R J
式中: R 称为导电媒质的电阻率， 单位是欧姆· 米（ m ）。 可见 与 R 互为倒数。
小河
泉眼
漏洞
直角坐标系中 散度的计算公式
习题1-18
（5）无旋场
• 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 • 点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 • 点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。 • 在矢量场中，若 A=J 0,称之为旋度场，J 称为 旋度源； • 若矢量场处处 A=0，称之为无旋场(或保守场)。
工程电磁场基本概念回顾及习题课
1
第1章 矢量分析与场论基础
（1）等值面； （2）矢量线；
（3）方向倒数与梯度的关系；
（4）无源场或无散场；
（5）无旋场
（1）标量场的等值面
设标量场u (M)是空间的连续函数，那么通过所讨论空间的 任何一点 M0，可以作出这样的一个曲面S，在它上面每一点处， 函数u (M)的值都等于u (M0)，即在曲面S 上，函数u (M)保持着 同一 数 值 u (M0)，这样的曲面S叫做标量场u 的 等值面。等值 面的方程为
E
1

J R J
此式称为欧姆定律的微分形式，是导电媒质 中恒定电场的辅助方程。 若 不随电场强度方向改变而变化，则称导 电媒质为各向同性媒质。 若 不随电场强度和电流密度量值变化，则 称导电媒质为线性媒质。
若媒质中 处处相等， 则称导电媒质为均匀 媒质。 许多导电媒质的电导率随温度变化。 如金属导体的电导率 随温度降低而增大， 有些金属或化合物当温度降到某一临界数值 后， ，变为超导体, J E 不再适用。
与R2成反比。
电偶极子产生的电场强度的幅值与R3成反比。
（7）静电场中导体内和导体表面的电场特性
1）导体内部的场强处处为零。
2）导体是个等势体，导体表面是个等势面。
3）导体外表面切线方向的电场强度为零，导体外表面
电场强度只有法向分量，即导体外表面上电场强度的
方向垂直于导体的表面。 因为：电场线与等势面处处正交。
6、恒定电场边界条件的分类
1、体电流密度的定义式
将单位时间内流过某个面积 S 的电荷量 定义为穿过该面积的电流，用 I 表示
q dq I lim t 0 t dt
电流的单位是安（培）（A）。1 安＝1 库秒。 电荷在空间体积中运动，形成体电流。 密度为 的体电荷以速度 v 运动， 形成体电流密度 J ， 定义 J v 。
q J dS t S
等式左边是单位时间从闭合面流出的电荷量， 等式右侧为单位时间闭合面内减少的电荷量。 上式为电荷守恒原理的积分形式。
应用散度定理得
J t
这电荷守恒原理的微分形式。
对于恒定电场，电荷的分布不随时间变化，
q 0, 0。 t t