【概率论习题答案】第3章_随机变量的数字特征
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第3章 随机变量的数字特征
1，在下列句子中随机地取一单词，以X 表示取到的单词所包含的字母个数，试写出X 的分布律并求)(X E .
“They found Peking greatly changed ”
解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。它们的字母数分别为4，5，6，7，7。所以分布律为
5/29)77654(5
1)(=++++=
X E .
2，在上述句子的29个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在的单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求)(Y E 。 解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。这时，字母数更多的单词更有可能被取到。分布律为
29
/175)147665544(29
1)(=⨯+⨯+⨯+⨯=
Y E .
3，在一批12台电视机中有2台是次品，若在其中随即地取3台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。
解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，
2台的概率分别为
11
63123
100=
=
C
C p ，
22
9312
2
10121=
=
C
C C p ，
22
1312
1
10222=
=
C
C C p 。
所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为
)(2
1222112290116台=
⨯+
⨯+
⨯=
E 。
4，抛一颗骰子，若得6点则可抛第二次，此时得分为6+（第二次所抛的点数），否则得分就是第一次所抛的点数，不能再抛。求所得分数的分布律，并求得分的数学期望。
解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，而且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第一次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分小于6。分布律为
得分的数学期望为
)
(12
49)121110987(36
1)54321(6
1点=
++++++
++++=
E 。
5，（1）已知)(~X
λπ，}6{}5{===X P X P ，求)(X E 。
（2）设随机变量X 的分布律为
,4,3,2,1,
6
}{2
2--==
=k k
k X P π，
问X 的数学期望是否存在？ 解：（1）根据)(~X
λπ，可得}
6{!
6!
5}5{65===
=
=--X P e
e
X P λ
λ
λλ，因此
计算得到6
=λ
，即)6(~X π。所以)(X E =6。
（2）根据题意，按照数学期望的公式可得
2
1
1
2
1
2
21
1
1
2
ln 61)
1(6
6
)
1(}{)
1()(π
π
π=
-=
-==-=
∑
∑∑
+∞
=-+∞
=-+∞
=-k k k k k k k
k
k
k X kP X E ，
因此期望存在。（利用了11,
1
)
1()1ln(0
≤<-+-=+∑∞
=x n x
x n n
n
）
（不符书上答案）
6，（1）某城市一天水的消费量X （百万升计）是一个随机变量，其概率密度为
⎩⎨
⎧>=-其他
,
00,
9/)(3/x xe x f x ，求一天的平均耗水量。
（2）设某动物的寿命X （以年计）是一个随机变量，其分布函数为
⎪⎩
⎪
⎨
⎧>-≤=5
,2515,0)(2x x x x F
求这种动物的平均寿命。 解：（1）一天的平均耗水量为
⎰⎰
⎰⎰
⎰+∞
-+∞
-+∞
-+∞
-+∞
∞
--=
+
=-
=
=
=
3
/0
3/0
3
/20
3/2)
(23
20)(3
9
)()(x x x x e
xd dx xe
e
d x
dx e
x dx
x xf X E
6200
3
/=+
=⎰+∞
-dx e
x （百万升）。
（2）这种动物的平均寿命为
10
50
)251()()(5
2
5
2
==
-
=
=
⎰⎰
⎰
+∞
+∞
+∞
∞
-dx x
x
xd x xdF X E （年）。
7，在美国，致命的汽车事故所占的比例X 的概率密度为