【概率论习题答案】第3章_随机变量的数字特征

第3章 随机变量的数字特征
1，在下列句子中随机地取一单词，以X 表示取到的单词所包含的字母个数，试写出X 的分布律并求)(X E .
“They found Peking greatly changed ”
解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。

它们的字母数分别为4，5，6，7，7。

所以分布律为
5/29)77654(5
1)(=++++=
X E .
2，在上述句子的29个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在的单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求)(Y E 。

解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。

这时，字母数更多的单词更有可能被取到。

分布律为
29
/175)147665544(29
1)(=⨯+⨯+⨯+⨯=
Y E .
3，在一批12台电视机中有2台是次品，若在其中随即地取3台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。

解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，
2台的概率分别为
11
63123
100=
=
C
C p ，
22
9312
2
10121=
=
C
C C p ，
22
1312
1
10222=
=
C
C C p 。

所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为
)(2
1222112290116台=
⨯+
⨯+
⨯=
E 。

4，抛一颗骰子，若得6点则可抛第二次，此时得分为6+（第二次所抛的点数），否则得分就是第一次所抛的点数，不能再抛。

求所得分数的分布律，并求得分的数学期望。

解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，而且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第一次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分小于6。

分布律为
得分的数学期望为
)
(12
49)121110987(36
1)54321(6
1点=
++++++
++++=
E 。

5，（1）已知)(~X
λπ，}6{}5{===X P X P ，求)(X E 。

（2）设随机变量X 的分布律为
,4,3,2,1,
6
}{2
2--==
=k k
k X P π，
问X 的数学期望是否存在？ 解：（1）根据)(~X
λπ，可得}
6{!
6!
5}5{65===
=
=--X P e
e
X P λ
λ
λλ，因此
计算得到6
=λ
，即)6(~X π。

所以)(X E =6。

（2）根据题意，按照数学期望的公式可得
2
1
1
2
1
2
21
1
1
2
ln 61)
1(6
6
)
1(}{)
1()(π
π
π=
-=
-==-=
∑
∑∑
+∞
=-+∞
=-+∞
=-k k k k k k k
k
k
k X kP X E ，
因此期望存在。

（利用了11,
1
)
1()1ln(0
≤<-+-=+∑∞
=x n x
x n n
n
）
（不符书上答案）
6，（1）某城市一天水的消费量X （百万升计）是一个随机变量，其概率密度为
⎩⎨
⎧>=-其他
,
00,
9/)(3/x xe x f x ，求一天的平均耗水量。

（2）设某动物的寿命X （以年计）是一个随机变量，其分布函数为
⎪⎩
⎪
⎨
⎧>-≤=5
,2515,0)(2x x x x F
求这种动物的平均寿命。

解：（1）一天的平均耗水量为
⎰⎰
⎰⎰
⎰+∞
-+∞
-+∞
-+∞
-+∞
∞
--=
+
=-
=
=
=
3
/0
3/0
3
/20
3/2)
(23
20)(3
9
)()(x x x x e
xd dx xe
e
d x
dx e
x dx
x xf X E
6200
3
/=+
=⎰+∞
-dx e
x （百万升）。

（2）这种动物的平均寿命为
10
50
)251()()(5
2
5
2
==
-
=
=
⎰⎰
⎰
+∞
+∞
+∞
∞
-dx x
x
xd x xdF X E （年）。

7，在美国，致命的汽车事故所占的比例X 的概率密度为
⎩⎨
⎧<<-=其他
,
010,
)1(42)(5x x x x f ，
求X 的数学期望。

解：[]⎰⎰⎰--=
-=
=+∞
∞-1
6
2
1
5
2
)1(7)1(42)()(x d x dx x x
dx
x xf X E
[
]
[
]
[
]⎰⎰⎰-+
--=--=
-+--=1
7
10
7
1
7
1
6
10
6
2
)1(2)
1(2)
1(2)1(14)
1(7dx
x x x x xd dx x x x x =1/4。

8，设随机变量X 具有概率密度如下，求)(X E 。

⎩⎨
⎧≤≤-=其他
,
021),
/11(2)(2x x x f 。

解：2ln 23)
ln 2()/11(2)()(21
2
2
1
2
-=-=-=
=⎰⎰+∞
∞
-x x dx x
x dx x xf
X E 。

9，设随机变量X 具有概率密度如下，求)(X E 。

⎪⎩
⎪⎨⎧<<-≤≤-+=其他
,010,
2/)1(301,2/)1(3)(2
2x x x x x f 解：⎰
⎰
⎰-+
+=
=-+∞
∞
-1
2
1
2
)1(2
3)1(2
3)()(dx
x x dx x x dx
x xf X E
0)1(2
3)1(2
31
2
1
2
=-+
-=
⎰
⎰
dx x x dx x x 。

（对第一个积分进行变量代换y x -=）
10，设)
,4(~p B X ，求数学期望)2
(sin
X
E π.
解：
∑=-⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡-⨯⨯⨯=
4
044)1(2sin )2
(sin
k k k k p p C k X
E ππ
)221)(1(4)1()1(2
13343114p p p p p p C p p C +--=-⨯⨯+-⨯⨯=。

（不符书上答案）
11，设球的直径R 服从区间),0(a 上的均匀分布，求球体积6/3
R V π=的
数学期望。

解：R 的概率密度函数为
⎩⎨
⎧≤≤=其他
,
00,
/1)(a
x a x f ，所以
24
16
)(3
3
a
dr a
r
V E a
ππ=
⨯
=
⎰。

12，设随机变量X 的概率密度为
⎩⎨
⎧>=-其他
,
00,
3.0)(3.0x e x f x ，另有X 的
函数⎪⎩
⎪⎨⎧>≤≤<=4
,164
0,
0,0)(2
X X X X X g ，求数学期望)]([X g E 。

解：⎰⎰⎰+∞
--+∞
∞
-⨯+
⨯=
=4
3.04
3.02
3.0163.0)()()]([dx
e
dx e
x
dx
x f x g X g E x
x
)584200(9
12
.1--=
e
（不符书上答案）
13，设随机变量n X X X ,,,21 相互独立，且都服从区间)1,0(上的均匀分布，记),,,min(211
n X X X Y =，),,,max(21n n X X X Y =，求)
(),(1n Y E Y E 。

解：因为),2,1(n i X i =的分布函数为⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤<=1,110,0,
0)(x x x x x F ，所以可以求出
n Y Y ,1的分布函数为
⎪⎩
⎪⎨⎧≥<≤--<=1
,110,
)1(10,0)(min
y y y y y F n
，
⎪⎩
⎪⎨⎧≥<≤<=1
,110,
0,
0)(max
y y y y y F n。

n Y Y ,1的密度函数为
⎩⎨
⎧<<-=-其他
,
010,)1()(1min
y y n y f n ，
⎩⎨
⎧<<=-其他
,
01
0,)(1max
y ny y f n 。

所以n Y Y ,1的数学期望为
1
1)1()
1()
1()()(1
1
1
1
01
min 1+=
--
-=
-=
=
⎰⎰⎰⎰
--+∞
∞-n dy y n dy y n dy y ny dy y yf Y E n
n n ，
1
)()(1
max +=
=
=
⎰⎰
+∞
∞
-n n dy ny dy y yf Y E n
n 。

14，设随机变量(X,Y)具有分布律
求)(),(),(XY E Y E X E ，)23(),(Y X E Y X E +-。

解：求出边缘分布律如下
2/1}{)(2
===
∑=k k X
kP X E ， 4
/3}{)(2
===
∑=k k Y
kP Y E ，
14
/314/311}{}{)(202
=⨯⨯====
∑∑==j i j Y P i X
ijP XY E ， 4
/128/7}{}{)()(2
02
-=-===-
=
-∑∑==j i j Y P i X P j i Y X E ，
328/84}{}{)23()23(2
02
====+=
+∑∑==j i j Y P i X
P j i Y X E 。

15，在上题中，求)]
1/([)],,[min(+X Y E Y X E 。

解：14
/314/31}{}{),min()],[min(
2
02
0=⨯====
∑∑==j i j Y P i X
P j i Y X E ，
14
/928/18}{}{1)]1/([2
02
====+=
+∑∑==j i j Y P i X
P i j
X Y E 。

16，设随机变量具有概率密度
其他
1
,10,10,
0,
24),(≤+≤≤≤≤⎩⎨
⎧=y x y x xy y x f
求)(),(),(XY E Y E X E 。

解：5/224),()(10
2
1
0==
=⎰⎰⎰⎰-⨯y
R
R ydx x dy
dxdy y x xf
X E ，
5
/224),()(10
2
1
==
=
⎰⎰⎰⎰
-⨯y
R
R xdx y dy
dxdy y x yf Y E ，
15
/224),()(10
2
2
1
==
=
⎰⎰⎰⎰
-⨯y
R
R dx y x dy
dxdy y x xyf XY E 。

17，某工程队完成某种工程的天数X 是随机变量，具有分布律
所得利润（以元计）为)12(1000X Y
-=，求)(),(Y
D Y
E 。

解：根据题意，可得利润的分布律为
因此，
4001.020001.010003.010002.02000)(=⨯-⨯-⨯+⨯=Y E （元）
1600000
1.0)2000(1.0)1000(3.01000
2.02000
)(2
2
2
2
2=⨯-+⨯-+⨯+⨯=Y E
[]1440000)()()(2
2
=-=Y E Y E Y D 。

18，设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,
00
,)()2/(2
22x e x x f x σσ
其中0
>σ
为常数，求)
(),
(),(X D X D X E 。

解：2
)()(0
)
2/(0
)
2/(0
)
2/(2
22
22
2
2
2π
σ
σ
σσσ=+
-==
=⎰⎰⎰+∞
-∞
+-+∞
-+∞
∞-dx e
xe dx e
x
dx
x xf X E x x x ， ⎰⎰⎰
+∞
-∞
+-+∞
-+∞
∞
-+
-==
=
)
2/(0
)
2/(20
)
2/(2
32
2
2
22
22
22)()(dx
xe
e
x dx e
x
dx x f x X E x x x σσσσ
2
)
2/(2222
2
σσσ
=-=+∞-x e
，
[]2
22
)2/2()()()(σ
π-=-=X E X E X D ，
σ
π)2/2()(-=X D 。

（本题积分利用了
2
2
/2
π
=
⎰+∞
-dx e
x ，这个结果可以从标准正态分布密度函数中得到）
19，设随机变量X 服从几何分布，其分布律为
,2,1,
)
1(}{1
=-==-k p p k X P k ，
其中10<<p 是常数。

求)(),(X D X E 。

解：p
p
p p k p k X
kP X E k k k 11)
1(}{)(12
1
1
=
⨯
=-===∑∑+∞
=-+∞
=，
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--
-+=-===
∑
∑∑∑
+∞
=-+∞=-+∞
=-+∞
=1
1
1
1
1
1
21
22
)
1()1)(1()
1(}{)(k k k k k k k p k p k k p p k p k X P k X E
p
p
p
p
p 12)12(
2
2
3
-
=
-
=，
所以，[]2
2
2
2
111)()()(p
p p
p
X E X E X D -=
-
=
-=。

本题利用了幂级数求和中先积分再求导的方法。

设∑+∞
=--
=1
1
)
1()(k k p k p s ，
则p p dp p s k k
p
1
1)1()(11-=--=∑⎰+∞
=，所以2'
1
1
)()(p dp p s p s p
=
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎰。

类似的，设
∑+∞
=--
+=
1
1
)
1)(1()(k k p k k p S ，则经过两次积分以后可得到p
p 2
)
1(-，在经过
两次求导得到3
2)(p
p S =。

20，设随机变量X 具有概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧<≥=+θ
θθθx x x k k x f k k
,
0,
),;(1
其中0,0>>θk 为常数。

（1） 若1>k
，求)(X E 。

（2） 问当1=k
时，)(X E 是否存在？
（3） 若2
>k
，求)(X D 。

（4） 问当2
=k
时，)(X D 是否存在？
解：（1）当1>k 时，1
1
)()(-=
==
=
⎰⎰
⎰
+∞
+∞
+∞
∞
-k k dx x
k dx x
k dx x xf X E k
k
k
k θθ
θθ
θ。

（2）当1=k
时，+∞
==⎰+∞
θ
θ
dx
x X E 1
)(，即)(X E 不存在。

（3），当2
>k
时，2
)()(2
1
2
2
-=
=
=
⎰⎰+∞
-+∞
∞-k k dx x
k dx x f x
X
E k k
θ
θ
θ
，
所以，[]
)
2()1()1(21)()()(2
2
22
2
2
--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=k k k k k k k X E X E X D θθ。

（4）当2=k 时，+∞
==
=
⎰
⎰+∞
+∞
∞
-θ
θdx x
dx x f x
X E 2
2
2
2)()(，所以)(X D 不存在。

21，（1）在14题中，求XY Y X Cov ρ),,(。

（2）在16题中，求XY Y X Cov ρ),,(，)(Y X
D +。

（3）在第二章习题第14题中，求XY Y X Cov ρ),,(。

解：（1）根据14题中结果，得到
56
/94/32/114/3)()()(),(-=⨯-=-=Y E X E XY E Y X Cov ；
因为7
/4}{)(2
2
2
===
∑=k k X P k
X
E ，
28
/27}{)(2
2
2
===
∑=k k Y P k
Y E ， 所以[]28
/9)()()(2
2
=-=X E X E X D ，[]112
/45)()()(2
2
=-=Y E Y E Y D ，
5
5)
()
(),(-
==
Y D X D Y X Cov XY ρ。

（2）根据16题结果可得：
()75
/25/215/2)()()(),(2
-=-=-=Y E X E XY E Y X Cov ；
因为
5/124),()(10
3
102
2
==
=
⎰⎰⎰⎰-⨯y
R
R ydx x
dy dxdy y x f x
X E ，
5/124),()(10
3
1
2
2
==
=
⎰⎰⎰⎰
-⨯y
R R xdx y dy
dxdy y x f y Y E ，
所以，[]25
/1)()()(2
2
=-=
X E X E X D ，[]25
/1)()()(2
2
=-=
Y E Y E Y D
75/2),(2)()()(=++=+Y X Cov Y D X D Y X D ，
3
2)
()
(),(-
==
Y D X D Y X Cov XY ρ。

（3）在第2章14题中，由以下结果
得到，14.1)(=X E ，34.1)(=Y E ，8.1)(=XY E ，9.1)(2=X E ，34.2)(2=Y E ， 所以，2724.0)()()(),(=-=Y E X E XY E Y X Cov ；
[]6004
.0)()()(2
2
=-=X E X E X D ，[]5444
.0)()()(22
=-=
Y E Y E Y D ,
4765
.05717
.02724.0)
()
(),(==
=
Y D X D Y X Cov XY ρ.
22，设随机变量(X,Y)具有4)(,9)(==Y D X D ，6/1-=XY
ρ，求)(Y X D +，
)43(+-Y X D 。

解：根据题意有 ),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ++=+
)()
(2)()(Y D X D Y D X D XY
ρ++=116)6/1(249=⨯-⨯++=。

)3,4(2)3()4()43(Y X Cov Y D X D Y X D +-++=+-
),(6)(9)(Y X Cov Y D X D -+=516)6/1(6369=⨯-⨯-+=。

23，（1）设随机变量321,,X X X 相互独立，且有1)(,0)(2==i i X E X E ，
3,2,1=i ，求[
]2
322
1)
4(X X X E -。

（2）设321,,X X X 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，求[]2
32
1
)
2(X X
X
E +-。

解：（1）因为321,,X X X 相互独立，所以
[
]]168[])4[()()
4(2
3322
22
32212
3221X X X X E X X E X
E X X X E +-=-=-
][16][][8][]168[2
3322
22
3322
2X E X E X E X E X X X X E +-=+-=
17
1601=+-=。

（2）根据题意，可得[]3/1)()()(,
2/1)(2
2
=+==i i i i X E X D X E X E ，3,2,1=i 。

[
]]4244[)
2(2331212
322212
321X X X X X X X X X
E X X X E -+-++=+-
]
[][4][][2][][4][][4][2331212
32
22
1X E X E X E X E X E X E X E X E X E -+-++= 2
112
113
13
43
1=
-+
-+
+
=。

24，设随机变量(X,Y)具有概率密度
其他
1
0,,
0,
1),(<<<⎩⎨
⎧=x x y y x f
验证X,Y 不相关，但X,Y 不是相互独立的。

解：因为
3/2),()(1
0==
=
⎰⎰⎰⎰-⨯x
x R
R xdy
dx dxdy
y x xf X E ，
0),()(1
==
=
⎰⎰⎰⎰
-⨯x
x
R
R ydy
dx dxdy y x yf Y E ，
0),()(10
==
=
⎰⎰⎰⎰-⨯x
x
R
R xydy
dx dxdy y x xyf
XY E ，
所以，0)()()(),(=-=Y E X E XY E Y X Cov ， 即，验证了X,Y 不相关。

又因为，
⎪⎩
⎪⎨⎧<<===⎰⎰-∞
+∞-他其，,01
021),()(x x dy dy y x f x f x
x
X ； ⎪⎩
⎪
⎨⎧<<-<<+=⎪⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-==⎰⎰⎰-∞+∞-他其，，，他其，，，015.015
.00101
01011),()(1
1
y y y y y dx y dx dx y x f y f y
y
Y ，
显然，)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以验证了
X,Y 不是相互独立的。

25，将n 只球号）n ~1(放入n 只盒子号）n ~1(中去，一只盒子装一之球。

若一只球装入与之同号的盒子中，称为一个配对。

记X 为总的配对数，求)(X E 。

解：引入随机变量定义如下
⎩⎨
⎧=个盒子
个球未落入第
第个盒子个球落入第第i i i i X i 0
1
则总的配对数∑
==
n
i i
X X 1
，而且因为n
X
P i
1}1{=
=，所以，)
1,
(~n n N X 。

故所以，11)(=⨯
=n
n X E 。

（第3章习题解答完毕）。