高三数学一轮复习优质教案5：5.1 平面向量的概念及线性运算教学设计

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(完整word版)高三一轮复习平面向量复习优秀教案

平面向量第一课时平面向量的概念【重要知识】知识点一：向量的概念既有大小又有方向的量叫向量。

注意数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.知识点二：向量的表示法①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；①用有向线段表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.知识点三：有向线段（1）有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.（2）向量与有向线段的区别：①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.知识点四：两个特殊的向量（1）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。

知识点五：平行向量、共线向量（1）定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量。

（2）规定：规定0与任一向量平行.（3）共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：①综合(1)、(2)才是平行向量的完整定义;a b c平行，记作a∥b∥c②向量,,③平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；④共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.知识点六：相等向量（1）定义长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（2）向量a 与b 相等，记作a b =；（3）零向量与零向量相等；（4）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.【典型例题】1．下列命题正确的是（）A ．向量AB 与BA 是两平行向量B ．若b a 、都是单位向量,则a b =C ．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同2．若b a 、都是单位向量，则||b a -的取值范围是（） A ．（1，2） B ．（0，2）C ．［1，2］ D ．［0，2］3.在正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，则2FA AB BO ED +++等于（）A ．FE B.AC C DC D FC 4. 如图，在△ABC 中，AB = a , BC = b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，求：向量AG ．5．已知△ABC 及一点O ，求证：O 为△ABC 的重心的充要条件是.O OC OB OA =++D A B C ab G·6.设平面内有四边形ABCD 和O 点，,,,OA a OB b OC c OD d ====，若a c b d +=+，则四边形ABCD 的形状为。

山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-平面向量的概念及线性运算含答案解析

第1讲平面向量的概念及线性运算[考纲解读] 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示．2．掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．(重点)3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一般不直接考查．预测2021年高考中，平面向量的线性运算是考查的热点，常以客观题的形式呈现，属中、低档试题.1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量向量的模向量a的□01大小，也就是表示向量a的有向线段AB→的□02长度(或称模)□03|a|或□04|AB→| 零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作□050单位向量长度等于1个单位的向量与非零向量a共线的单位向量为±a|a|平行向量方向□06相同或□07相反的非零向量0与任一向量□08平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度□09相等且方向□10相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度□11相等且方向□12相反的向量0的相反向量为0向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝□01b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝□02a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝□03|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向□04相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向□05相反；当λ＝0时，λa＝□060λ(μa)＝□07λμa；(λ＋μ)a＝□08λa＋μa；λ(a＋b)＝□09λa＋λb 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得□01b＝λa.1．概念辨析(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．()(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(3)向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．() (4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．()答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)下列命题正确的是()A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若|a|>|b|，则a>bC ．若a ＝b ，则a ∥bD ．若|a |＝0，则a ＝0答案 C解析 A 错误，模相等，方向相同的向量才是相等向量；B 错误，向量不能比较大小；C 正确，若a ＝b ，则a 与b 方向相同，故a ∥b ；D 错误，若|a |＝0，则a ＝0.(2)设a ，b 是不共线的两个向量，已知BA →＝a ＋2b ，BC →＝4a －4b ，CD →＝－a ＋2b ，则( )A ．A ，B ，D 三点共线 B ．A ，C ，D 三点共线 C ．A ，B ，C 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线答案 B解析因为BA→＝a ＋2b ，所以AB →＝－a －2b ，所以AC →＝AB →＋BC →＝(－a －2b )＋(4a －4b )＝3a －6b ＝－3(－a ＋2b )＝－3CD →.所以AC →∥CD →，所以A ，C ，D 三点共线．(3)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC→＝________(用a ，b 表示)．答案 b －a －a －b解析因为四边形ABCD 是平行四边形，所以DC→＝AB →，OC →＝－OA →＝－a ，所以DC→＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ， BC→＝OC →－OB →＝－a －b .题型一平面向量的基本概念1．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 D解析向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.2．下列叙述错误的是________(填序号)．①已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向与向量a 的方向相同； ②|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同；③向量b 与向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ； ④AB→＋BA →＝0； ⑤若λa ＝λb ，则a ＝b . 答案 ②③④⑤解析对于①，当a 和b 方向相同，则它们的和的方向应该与a (或b )的方向相同；当a 和b 方向相反，而a 的模大于b 的模，则它们的和的方向与a 的方向相同．对于②，当a ，b 之一为零向量时结论不成立．对于③，当a ＝0且b ＝0时，λ有无数个值；当a ＝0但b ≠0时，λ不存在．对于④，由于两个向量之和仍是一个向量，所以AB→＋BA →＝0.对于⑤，当λ＝0时，无论a 与b 的大小与方向如何，都有λa ＝λb ，此时不一定有a ＝b .故②③④⑤均错误．有关平面向量概念的六个注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a |a |是与a 同方向的单位向量，－a|a |是与a 反方向的单位向量．(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．(6)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．1.给出下列说法：①若A ，B ，C ，D 是不共线的四个点，则AB→＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA→相等；④若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .其中正确说法的序号是( ) A.①④ B ．③④ C ．②③ D ．①②答案 A解析 ①④正确；②错误，因为a ，b 的方向不一定相同；③错误，AB →＝－BA →.2.下列命题中，正确的个数是( )①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； ③若λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． A.0 B ．1 C ．2 D ．3答案 A解析 ①错误，如在▱ABCD 中，AD→＝BC →，但是这两个向量的起点和终点分别不重合；②错误，模相等的两个向量，方向关系不确定；③错误，若λa ＝0(λ为实数)，则λ＝0或a ＝0；④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，但a 与b 不一定共线.题型二向量的线性运算1.下列四个结论： ①AB→＋BC →＋CA →＝0； ②AB→＋MB →＋BO →＋OM →＝0；③AB →－AC →＋BD →－CD →＝0； ④NQ→＋QP →＋MN →－MP →＝0. 其中一定正确的结论个数是( ) A.1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 ①正确；②错误，AB→＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＝AB →≠0；③正确，AB →－AC →＋BD →－CD →＝(AB →－AC →)＋(BD →＋DC →)＝CB →＋BC →＝0；④正确，NQ →＋QP→＋MN →－MP →＝(NQ →＋QP →)＋(MN →－MP →)＝NP →＋PN →＝0. 2.(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( )A.34AB →－14AC →B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC → 答案 A解析根据向量的运算法则，可得EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－14(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.3.在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足2CE →＋BE →＝0，则AE →＝________(用A B →，C D →表示)．答案 23 AB →－23 CD →解析因为D 为AB 的中点，所以CD →＝CA →＋AD →＝－AC →＋12AB →，所以AC →＝12AB →－CD →. 又因为2CE→＋BE →＝0，所以2(AE→－AC →)＋(AE →－AB →)＝0，所以3AE→＝2AC →＋AB →，所以AE→＝23AC →＋13AB → ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－CD →＋13AB →＝23AB →－23CD →.1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2.向量线性运算的两个常用结论(1)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，则AD→＝12(AC →＋AB →)，如举例说明2. (2)O 为△ABC 的重心的充要条件是OA→＋OB →＋OC →＝0.1.在△ABC 中，若点D 满足CD →＝2DB →，点M 为AC 的中点，则MD →＝( )A.23AB →－16AC →B.13AB →－16AC →C.23AB →－13AC →D.23AB →＋16AC →答案 A解析 MD→＝MC →＋CD →＝12AC →＋23CB →＝12AC →＋23(AB →－AC →)＝23AB →－16AC →. 2．(2019·衡水模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且AE→＝2EO →，则ED →＝( )A.13AD →－23AB →B.23AD →＋13AB →C.23AD →－13AB →D.13AD →＋23AB →答案 C解析因为AE→＝2EO →，所以AE →＝23AO →，又因为AO →＝12AC →，所以EA →＝－13AC →，所以ED→＝EA →＋AD →＝－13AC →＋AD →＝－13(AD →＋AB →)＋AD →＝23AD →－13AB →.题型三共线向量定理的应用角度1 证明向量共线或三点共线1.已知平面内一点P 及△ABC ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( )A.点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C.点P 在线段AC 上 D ．点P 在△ABC 外部答案 C解析因为P A →＋PB →＋PC →＝AB →＝PB →－P A →，所以PC →＝－2P A →，所以A ，P ，C 三点共线，且P 是线段AC 的三等分点(靠近A ).角度2 由向量共线求参数的值2．(2019·安徽合肥一中高考模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且AM→＝45AB →，连接AC ，MN 交于点P ，若AP →＝411AC →，则点N 在AD 上的位置为( )A.AD 中点B.AD 上靠近点D 的三等分点C.AD 上靠近点D 的四等分点D.AD 上靠近点D 的五等分点答案 B解析设AD →＝λAN →，因为AP →＝411AC →＝411(AB →＋AD →)＝411⎝ ⎛⎭⎪⎫54AM →＋λAN →＝511AM →＋4λ11AN →，又M ，N ，P 三点共线，所以511＋4λ11＝1，解得λ＝32，所以AN →＝23AD →，所以点N 在AD 上靠近点D 的三等分点.求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．如举例说明2.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(4)直线的向量式参数方程，A ，P ，B 三点共线⇔OP →＝(1－t )OA →＋tOB →(O 为平面内任一点，t ∈R )．OA→＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.1.在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A.矩形 B ．平行四边形 C.梯形 D ．以上都不对答案 C解析 AD→＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC→，所以AD ∥BC ，且AD ≠BC ，所以四边形ABCD 是梯形.2.设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解 (1)证明：由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB →＝2e 1－8e 2， ∴AB→＝2BD →. 又A B →与B D →有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可知BD →＝e 1－4e 2， ∵BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF→＝λBD →(λ∈R )，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2， ∴⎩⎨⎧λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12.组基础关1.设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( ) A.a ＝2b B ．a ∥b C.a ＝－13b D ．a ·b ＝0答案 C解析使a |a |＋b|b |＝0成立，需向量a 与b 反向．故选C.2.已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 反向共线，则实数λ的值为( )A.1 B ．－12 C.1或－12D ．－1或－12答案 B解析由于c 与d 反向共线，则存在实数k 使c ＝k d (k <0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]．整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又k <0，所以λ<0，故λ＝－12.3.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA→，则( ) A.点P 在线段AB 上B.点P 在线段AB 的反向延长线上C.点P 在线段AB 的延长线上D.点P 不在直线AB 上答案 B解析因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.4.已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP →＝( )A.λ(AB→＋AD →)，λ∈(0,1) B.λ(AB→＋BC →)，λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C.λ(AB→－AD →)，λ∈(0,1)D.λ(AB→－BC →)，λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 答案 A解析根据向量的平行四边形法则，得AC→＝AB →＋AD →.因为点P 在对角线AC上(不包括端点A ，C )，所以AP →与AC →共线，所以AP →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)，λ∈(0,1)，故选A.5.(2019·湖北省“四地七市”联考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa ＋b 与c 共线，则实数λ＝( )A.－2 B ．－1 C.1 D ．2答案 D解析由图可知2a ＋b ＝c ，若向量λa ＋b 与c 共线，则λ＝2.故选D. 6．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝π2，AC ＝2AB ，∠BAC 的平分线交△ABC的外接圆于点D .设AB→＝a ，AC →＝b ，则向量AD →＝( )A.a ＋bB.12a ＋b C.a ＋12bD ．a ＋23b答案 C解析由题意知，AC 为△ABC 的外接圆的直径．设△ABC 的外接圆圆心为O ，如图，连接OD ，BD ，则AB ＝OA ＝OD .又易得AB ∥OD ，所以四边形ABDO 是平行四边形，所以AD→＝AB →＋AO →＝AB →＋12AC →＝a ＋12b .故选C.7．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC →＝3EC→，F 为AE 的中点，则BF →＝( )A.23AB →－13AD →B.13AB →－23AD →C.－23AB →＋13AD → D ．－13AB →＋23AD →答案 C解析 BF→＝BA →＋AF →＝BA →＋12AE →＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋CE →＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋13CB →＝－AB →＋12AD →＋14AB →＋16(CD →＋DA →＋AB →)＝－23AB →＋13AD →. 8.(2019·河南三市联考)若AP→＝12PB →，AB →＝(λ＋1)BP →，则λ＝________.答案－52解析 ∵AP→＝12PB →，∴AP →＋PB →＝AB →＝32PB →＝－32BP →.∴λ＋1＝－32，λ＝－52.9.给出下列四个命题：①若a ＋b 与a －b 是共线向量，则a 与b 也是共线向量； ②若|a |－|b |＝|a －b |，则a 与b 是共线向量； ③若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 是共线向量；④若||a |－|b ||＝|a |＋|b |，则b 与任何向量都共线．其中是真命题的有________(填上序号)．答案 ①②③解析 ①由向量的平行四边形法则可知，若a ＋b 与a －b 是共线向量，则必有a 与b 也是共线向量，所以①是真命题；②若|a |－|b |＝|a －b |，则a 与b 同向，或b 是零向量，或a ，b 均为零向量，所以a 与b 是共线向量，所以②是真命题；③若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 方向相反，或a ，b 中至少有一个零向量，所以a 与b 是共线向量，所以③是真命题；④当a 是零向量，b 是非零向量时，||a |－|b ||＝|a |＋|b |成立，而b 不能与任何向量都共线，所以④是假命题.10.(2019·青岛质检)已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC→＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD→＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0. 其中正确命题的序号为________．答案 ②③④解析 AD→＝CD →－CA →＝－12BC →－CA →＝－12a －b ，所以①错误；BE →＝BC →＋CE →＝BC→＋12CA →＝a ＋12b ，故②正确；CF →＝12(CA →＋CB →)＝12(b －a )＝－12a ＋12b ，故③正确；综上知AD→＋BE →＋CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b ＝0，故④正确. 组能力关1.已知点O 为△ABC 的外接圆的圆心，且OA →＋OB →－OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A.30° B ．60° C ．90° D ．120°答案 A解析因为OA→＋OB →－OC →＝0，所以OC →＝OA →＋OB →.所以四边形OACB 是平行四边形，又因为|OA→|＝|OB →|＝|OC →|，所以四边形OACB 是菱形，△OAC 是等边三角形．所以∠BAC ＝12∠OAC ＝30°.2.在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC→＝3CD →，点O 在线段CD上(与点C ，D 不重合)，若AO→＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 答案 D解析设CO →＝yBC →，∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →.∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，∵AO→＝xAB →＋(1－x )AC →，∴x ＝－y ，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.3.点O 是△ABC 内一点，满足条件OA →＝2BO →＋3CO →，延长BO 交AC 于点D ，则S △CODS △AOD的值为( ) A.23 B.13 C.12 D.34答案 B解析解法一：如图(1)，分别取BC ，AC 的中点为E ，F ，连接EF .∵OA →＝2BO→＋3CO →，∴OA →－CO →＝2(BO →＋CO →)，即OA →＋OC →＝－2(OB →＋OC →)，∴2OF →＝－2·2OE→，∴OF →＝－2OE →.故O 在△ABC 的中位线EF 上，且OF ＝2OE .过点E 作EH ∥CD ，交BD 于点H ，则H 为BD 的中点，EH ＝12CD ＝12DF ，因此CD ＝DF ，CD ∶AD ＝1∶3，∴S △COD S △AOD＝CD AD ＝13.故选B.解法二：∵OA →＋2OB →＋3OC →＝0，令2OB →＝OB ′→，3OC →＝OC ′→，∴OA →＋OB ′→＋OC ′→＝0，∴O 是△AB ′C ′的重心，如图(2)，延长B ′O 交AC ′于点F ，则AF ＝FC ′.过点C 作CE ∥AC ′，交BF 于点E ，∴CD AD ＝CE AF ＝CE C ′F ＝OC OC ′＝13，∴S △COD S △AOD ＝CD AD ＝13.故选B.4．在平面向量中有如下定理：设点O ，P ，Q ，R 为同一平面内的点，则P ，Q ，R 三点共线的充要条件是：存在实数t ，使OP→＝(1－t )OQ →＋tOR →.试利用该定理解答下列问题：如图，在△ABC 中，点E 为AB 边的中点，点F 在AC 边上，且CF ＝2F A ，BF 交CE 于点M ，设AM →＝xAE →＋yAF →，则x ＋y ＝________.答案 75解析因为B ，M ，F 三点共线，所以存在实数t ，使得AM →＝(1－t )·AB →＋tAF →，又AB→＝2AE →，AF →＝13AC →，所以AM →＝2(1－t )AE →＋13tAC →.又E ，M ，C 三点共线，所以2(1－t )＋13t ＝1，得t ＝35.所以AM→＝2(1－t )AE →＋tAF →＝45AE →＋35AF →，所以x ＝45，y ＝35，所以x ＋y ＝75.。

高三数学一轮复习精品教案1：5.1 平面向量的概念与线性运算教学设计

5.1平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个；3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．『试一试』1.(2013·苏锡常镇二调)如下图，在△OAC 中，B 为AC 的中点，若OC ＝x OA ＋y OB (x ，y ∈R )，则x －y ＝________.『解析』法一：(直接法)根据图形有⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OA ＋AC ， AC ＝2AB ，AB ＝OB －OA ，所以OC ＝OA ＋2(OB －OA )，所以OC ＝－OA ＋2OB ，而OC ＝x OA ＋y OB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝2，故x －y ＝－3.法二：(间接法)由B 为AC 的中点得OC ＋OA ＝2OB ，所以OC ＝－OA ＋2OB ，而OC ＝x OA ＋y OB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，故x －y ＝－3.『答案』－32．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB ＋CD |＝________. 『解析』|AB －CB ＋CD |＝|AB ＋BC ＋CD |＝|AD |＝2. 『答案』21．向量的中线公式若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP ＝12(OA ＋OB )．2．三点共线等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)⇔ OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔ OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．『练一练』1．D 是△ABC 的边AB 上的中点，若CD ＝x BA ＋y BC ，则x ＋y ＝________.『解析』∵CD ＝BD －BC ＝12BA －BC ，则x ＝12，y ＝－1∴x ＋y ＝－12.『答案』－122．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.『解析』由题意知a ＋λb ＝k 『－(b －3a )』，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎨⎧k ＝13，λ＝－13.『答案』－13考点一向量的有关概念1.给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝CD 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是________．『解析』①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB ＝DC ，∴|AB |＝|DC |且AB ∥DC ，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ∥DC 且|AB |＝|DC |，因此，AB ＝DC . ③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． ⑤不正确．考虑b ＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③. 『答案』②③.2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是________．『解析』向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 『答案』3『备课札记』『类题通法』平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈．(3)a |a |是与a 同向的单位向量，－a|a |是与a 反向的单位向量．考点二向量的线性运算『典例』 (2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．『解析』由题意DE ＝DB ＋BE ＝12AB ＋23BC ＝12AB ＋23(BA ＋AC )＝－16AB ＋23AC ，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.『答案』 12『备课札记』若条件变为：若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.『解析』∵CD ＝CA ＋AD ，CD ＝CB ＋BD ，∴2CD ＝CA ＋CB ＋AD ＋BD .又∵AD ＝2BD ，∴2CD ＝CA ＋CB ＋13AB ＝CA ＋CB ＋13(CB －CA )＝23CA ＋43CB .∴CD ＝13CA ＋23CB ，即λ＝23.『答案』23『类题通法』在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．『针对训练』若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子： ①AB ＋CD ＝BC ＋DA ；②AC ＋BD ＝BC ＋AD ； ③AC －BD ＝DC ＋AB .其中正确的有________个．『解析』①式的等价式是AB －BC ＝DA －CD ，左边＝AB ＋CB ，右边＝DA ＋DC ，不一定相等；②式的等价式是AC －BC ＝AD －BD ，AC ＋CB ＝AD ＋DB ＝AB 成立；③式的等价式是AC －DC ＝AB ＋BD ，AD ＝AD 成立．『答案』2考点三共线向量定理的应用『典例』设两个非零向量a 与b 不共线， (1)若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．『解』 (1)证明：∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )， ∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB . ∴AB ，BD 共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.『备课札记』『类题通法』1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a ，b 不共线，则λa ＋μb ＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB ＝λAC ，则A 、B 、C 三点共线．『针对训练』已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OE ＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE ＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD ，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．『课堂练通考点』1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的有________个．『解析』①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量．『答案』32.如下图，已知AB ＝a ，AC ＝b ，BD ＝3DC ，用a ，b 表示AD ，则AD ＝________.『解析』∵CB ＝AB －AC ＝a －b ，又BD ＝3DC ，∴CD ＝14CB ＝14(a －b )，∴AD ＝AC ＋CD ＝b ＋14(a －b )＝14a ＋34b .『答案』14a ＋34b3．(2013·苏锡常镇二调)已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，则△P AB 与△PBC 的面积的比值为________．『解析』因为2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，所以2PA ＋3PB ＋4PC ＝3PB －3PA ，即5PA ＋4PC ＝0，所以△P AB 与△PBC 的面积的比为P A ∶PC ＝4∶5. 『答案』454.(2014·“江南十校”联考)如下图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB ＝4，且AD ＝14AC ＋λAB (λ∈R )，则AD 的长为________．『解析』因为B ，D ，C 三点共线，所以有14＋λ＝1，解得λ＝34，如下图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN ＝14AC ，AM ＝34AB ，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.『答案』335．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)．『解析』由AN ＝3NC 得4AN ＝3AC ＝3(a ＋b )，AM ＝a ＋12b ，所以MN ＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 『答案』－14a ＋14b6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝________.『解析』由|AB＋AC|＝|AB－AC|可知，AB⊥AC，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，|AM|＝12|BC|＝2.『答案』2。

2025高考数学一轮复习-5.1-平面向量的概念及线性运算【课件】

2．设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意
一点，则O→A＋O→B＋O→C ＋O →D 等于( D ) A．O→M B．2O→M C．3O→M D．4O→M
【解析】 ∵M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，
有两个，即向量|aa|和－|aa|.
2．向量的线性运算
向量运算
法则(或几何意义)
加法
运算律
①交换律： a＋b＝ b＋a ②结合律：
(a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)
减法
a－b＝a＋(－b)
数乘
①|λa|＝ |λ||a|
λ(μa)＝
λμa ；
②当 λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当 λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当 λ＝0 时，λa＝
易错易混 5．给出下列说法：①A→B＋B→A＝2A→B；②已知向量 a∥b，且|a|>|b|>0，则向量 a＋b 的方向与向量 a 方向相同；③设 a0 为单位向量，则平面内向量 a＝|a|·a0.其中正确说法的序号是____②____．
【解析】 A→B＋B→A＝0，①错，②正确，③错，可能有 a＝－|a|a0.
∴O→A ＋O→C ＝2O→M，O→B ＋O→D ＝2O→M， ∴O→A ＋O→B ＋O→C ＋O→D ＝4O→M，故选 D.
3．已知▱ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，且O→A＝a，O→B＝b，则D→C＝___b_－__a__， B→C＝_－__a_－__b__.(用 a，b 表示)
【解析】 D→C＝A→B＝O→B－O→A＝b－a，B→C＝O→C－O→B＝－O→A－O→B＝－a－b.

高三数学一轮复习优质学案：§5.1 平面向量的概念及线性运算

1．向量的有关概念2.向量的线性运算向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 『知识拓展』1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ——→＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．3.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1.『思考辨析』判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( )1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等．则所有正确命题的序号是( ) A ．①B ．③2．(教材改编)D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( ) A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C.BC →－12BA →D.BC →＋12BA →3．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件是( ) A ．λ＋μ＝2 B ．λ－μ＝1 C ．λμ＝－1D ．λμ＝15．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.题型一平面向量的概念例1 给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( )C ．③④D ．②④思维升华向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3题型二平面向量的线性运算命题点1 向量的线性运算例2 (1)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c (2)(2015·课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，若BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →命题点2 根据向量线性运算求参数例3 (1)设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．(2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎝⎛⎭⎫－12，0 D.⎝⎛⎭⎫－13，0 思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于点K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A.29B.27C.25D.23 题型三共线定理的应用例4 设两个非零向量a 与b 不共线． (1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线．(1)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD→＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线(2)如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．5．容易忽视的零向量典例下列叙述错误的是________． ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .②若非零向量a 与b 方向相同或相反，则a ＋b 与a ，b 之一的方向相同．③|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同．④向量b 与向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa . ⑤AB →＋BA →＝0. ⑥若λa ＝λb ，则a ＝b . 错解展示解析 ⑤中两个向量的和仍是一个向量，∴AB →＋BA →＝0.答案 ⑤现场纠错：纠错心得：提醒：完成作业第五章 §5.1答案精析基础知识自主学习知识梳理1．大小方向长度模 0 0 1个单位相同相反相同相反平行相等相同相等相反2．三角形平行四边形 b ＋a a ＋(b ＋c )三角形 |λ||a | 相同相反 0 (λμ)a λa ＋μa λa ＋λb 思考辨析(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ 考点自测1．A 2.A 3.A 4.D 5.2 题型分类深度剖析例1 A 跟踪训练1 D 例2 (1)A (2)A例3 (1)12 (2)D 跟踪训练2 A例4 (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ， BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →， ∴AB →，BD →共线．又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)解假设k a ＋b 与a ＋k b 共线，则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.高三数学一轮复习消去λ，得k2－1＝0，∴k＝±1.跟踪训练3(1)B(2)2现场纠错系列现场纠错①②③④⑤⑥解析对于①，当b＝0时，a不一定与c平行．对于②，当a＋b＝0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同．对于③，当a，b之一为零向量时结论不成立．对于④，当a＝0且b＝0时，λ有无数个值；当a＝0但b≠0或a≠0但b＝0时，λ不存在．对于⑤，由于两个向量之和仍是一个向量，所以AB→＋BA→＝0.对于⑥，当λ＝0时，不管a与b的大小与方向如何，都有λa＝λb，此时不一定有a＝b.故①②③④⑤⑥均错．纠错心得在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量．11。

高考数学一轮总复习教学课件第五章平面向量、复数第1节平面向量的概念及线性运算

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②利用结论“若=λ+μ(λ,μ为实数),则 A,B,C 三点共线的
充要条件是λ+μ=1”来证明三点共线,但应注意此结论成立的前提条
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件是“,不共线”.
[针对训练]
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→
(1)已知向量 a,b 且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三
点是(
A.A,B,D
相等,与起点(终点)无关.
(3)两向量可以相等,也可以不相等,但两向量不能比较大小.向量
的模长均为实数,所以模长可以比较大小.

(4)非零向量a与 || 的关系: ||是与a同方向的单位向量.
[针对训练] 给出下列命题:
→
→
①若A,B,C,D是不共线的四点,且 = ,则四边形ABCD为平行
(1)|a|与|b|是否相等和a,b的方向无关.( √
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.(
→
×
)
)
→
(3)向量与向量是共线向量,则 A,B,C,D 四点在一条直线上.
(
)
×
(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.( √
)
2.在平行四边形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点
k(2a-b),则有(1-2k)a+(k+λ)b=0,因为a,b是两个不共线向量,故a
- = ,
与b均不为零向量,所以
+ = ,

解得 k=,λ=-.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
平面向量的基本概念
[例1] (1)下列命题正确的是(

高三数学大一轮复习 5.1平面向量的概念及线性运算教案理新人教A版

§5.1 平面向量的概念及线性运算2014高考会这样考 1.考查平面向量的概念、线性运算；2.考查向量运算的几何意义，向量共线的应用．复习备考要这样做 1.重视向量的概念，熟练掌握向量加减法及几何意义；2.理解应用向量共线和点共线、直线平行的关系．1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a 的单位向量为±a |a |平行向量方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为02. 向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.[难点正本疑点清源]1．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．2．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．3．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．1．若a ＝“向东走8 km”，b ＝“向北走8 km”，则|a ＋b |＝_____；a ＋b 的方向是_____．答案 8 2 东北方向解析根据向量加法的几何意义，|a ＋b |表示以8 km 为边长的正方形的对角线长，∴|a ＋b |＝82，a ＋b 的方向是东北方向．2. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB→＝a ，AD →＝b ，则BE →＝____________.答案 b －12a 解析 BE →＝BA →＋AD →＋12DC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a . 3．已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．答案－2解析如图所示，由AP →＝λPD →，且PA →＋BP →＋CP →＝0，则P 是以AB 、AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP →＝－2PD →，则λ＝－2.4．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →答案 A解析由2OA →＋OB →＋OC →＝0可知，O 是底边BC 上的中线AD 的中点，故AO →＝OD →.5． (2012·四川)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b |b |成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |答案 C解析 a |a |表示与a 同向的单位向量，b |b |表示与b 同向的单位向量，只要a 与b 同向，就有a |a |＝b |b |，观察选项易知C 满足题意．题型一平面向量的概念辨析例1 给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC→是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________．答案②③解析①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB→＝DC→，∴|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→，又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB→∥DC→且|AB→|＝|DC→|，因此，AB→＝DC→.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.探究提高(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(5)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是a方向上的单位向量．下列命题中正确的是( )A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D．有相同起点的两个非零向量不平行答案C解析由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手来考虑，假设a与b不都是非零向量，即a与b中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a与b共线，符合已知条件，所以有向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，故选C.题型二向量的线性运算例2如图，以向量OA→＝a，OB→＝b为邻边作▱OADB，BM→＝13BC→，CN→＝13CD→，用a，b表示OM→，ON→，MN→.思维启迪：结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减运算的关键．解∵BA→＝OA→－OB→＝a－b，BM→＝16BA→＝16a－16b，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b . 又∵OD →＝a ＋b ，∴ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD → ＝23OD →＝23a ＋23b ， ∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b . 综上，OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b . 探究提高 (1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC→，则AD →等于( )A.23b ＋13cB.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 答案 A解析 ∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)，∴3AD →＝2AC →＋AB →，∴AD→＝23AC→＋13AB→＝23b＋13c.题型三共线向量定理及应用例3设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，求证：A、B、D 三点共线；(2)试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．思维启迪：解决点共线或向量共线的问题，要结合向量共线定理进行．(1)证明∵AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，∴BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB→.∴AB→、BD→共线，又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．(2)解∵k a＋b与a＋k b共线，∴存在实数λ，使k a＋b＝λ(a＋k b)，即k a＋b＝λa＋λk b.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a、b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.探究提高(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线．设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直答案 A解析由题意，得DC →＝DA →＋AC →，BD →＝BA →＋AD →.又DC →＝2BD →，所以DA →＋AC →＝2(BA →＋AD →)．所以AD →＝13AC →＋23AB →. 同理，得BE →＝13BC →＋23BA →，CF →＝13CA →＋23CB →. 将以上三式相加，得AD →＋BE →＋CF →＝－13BC →.故选A. 方程思想在平面向量的线性运算中的应用典例：(14分)如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与 BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →. 审题视角 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．(2)既然OM→能用a 、b 表示，那我们不妨设出OM →＝m a ＋n b . (3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解．规范解答解设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b .AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .[3分] 又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →共线．∴存在实数t ，使得AM →＝tAD→，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b .[5分]∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝－t n ＝t 2，消去t 得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.① [7分]又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b . 又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →与CB →共线．[10分]∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB→， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －14＝－14t 1n ＝t 1，消去t 1得，4m ＋n ＝1.②[12分]由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .[14分] 温馨提醒 (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是，找不到问题的切入口，亦即想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A 、M 、D 共线和B 、M 、C 共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会.方法与技巧1．将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是向量坐标形式的基础．2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB →∥CD →且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ；若AB →∥BC→，则A 、B 、C 三点共线．失误与防范1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．A 组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λa＝0 (λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4答案C解析①错，由于终点相同，两起点不一定相同，所以可以不共线．②对，由于模是实数，所以可以比较大小．③错，由于a＝0，λ≠0时，也可以得λa＝0.④错，当λ＝μ＝0时，虽然λa＝μb，但是a与b可以不共线．∴错误命题个数为3.2．设P是△ABC所在平面内的一点，BC→＋BA→＝2BP→，则( )A.PA→＋PB→＝0B.PC→＋PA→＝0C.PB→＋PC→＝0D.PA→＋PB→＋PC→＝0答案B解析如图，根据向量加法的几何意义有BC→＋BA→＝2BP→⇔P是AC 的中点，故PA →＋PC→＝0. 3．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么 ( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向答案 D解析 ∵c∥d ，∴c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λλ＝－1.4． (2011·四川)如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于 ( )A ．0 B.BE →C.AD →D.CF →答案 D解析因ABCDEF 是正六边形，故BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →.二、填空题(每小题5分，共15分)5．设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a－2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值为________．答案－1解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A 、B 、D 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝2λp ＝－λ，∴p ＝－1.6．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝____________(用a ，b 表示)．答案－14a ＋14b 解析由AN →＝3NC →得AN →＝34AC →＝34(a ＋b )， AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝AN →－AM → ＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 7．给出下列命题：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④向量AB →与向量CD→是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上．其中不正确的个数为________．答案 2解析命题①③正确，②④不正确．三、解答题(共22分)8． (10分)若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？解设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，∴AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t b －a . 要使A 、B 、C 三点共线，只需AC →＝λAB →.即－23a ＋13b ＝λt b －λa . ∴有⎩⎪⎨⎪⎧ －23＝－λ，13＝λt ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝23，t ＝12.∴当t ＝12时，三向量的终点在同一条直线上． 9． (12分)在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.解 AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ2(BA →＋BC →) ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－λ2AB →＋λ2(AC →－AB →) ＝(1－λ)AB →＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ2b . 又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋mCF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →) ＝(1－m )AC →＋m 2AB →＝m 2a ＋(1－m )b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－λ＝m 21－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴AG →＝13a ＋13b . B 组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·浙江)设a ，b 是两个非零向量．( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b | 答案 C解析利用向量运算法则，特别是|a |2＝a 2求解．由|a ＋b |＝|a |－|b |知(a ＋b )2＝(|a |－|b |)2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2－2|a ||b |＋|b |2，∴a ·b ＝－|a ||b |.∵a ·b ＝|a ||b |·cos〈a ，b 〉，∴cos〈a ，b 〉＝－1，∴〈a ，b 〉＝π，此时a 与b 反向共线，因此A 错误．当a ⊥b 时，a 与b 不反向也不共线，因此B 错误．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ＝－1，使b ＝－a ，满足a 与b 反向共线，故C 正确．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a ＋λa |＝|1＋λ||a |，|a |－|b |＝|a |－|λa |＝(1－|λ|)|a |，只有当－1≤λ≤0时，|a ＋b |＝|a |－|b |才能成立，否则不能成立，故D 错误．2．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM→成立，则m 等于 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析由已知条件得MB →＋MC →＝－MA →.如图，因此延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点．延长BM 交AC 于E 点，延长CM 交AB 于F 点，同理可证E 、F 分别为AC 、AB 的中点，即M 为△ABC 的重心．AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，则m ＝3. 3． O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →＋λ ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案 B解析作∠BAC 的平分线AD .∵OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝λ′·AD →|AD →| (λ′∈[0，＋∞))， ∴AP →＝λ′|AD →|·AD →，∴AP →∥AD →. ∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是__________(将正确的序号填在横线上)． ①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ；②存在相异实数λ、μ，使λ·a ＋μ·b ＝0；③x ·a ＋y ·b ＝0(实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；④若四边形ABCD 是梯形，则AB →与CD →共线．答案 ①②解析由①得10a －b ＝0，故①对．②对．对于③当x ＝y ＝0时，a 与b 不一定共线，故③不对．若AB ∥CD ，则AB→与CD →共线，若AD ∥BC ，则AB →与CD →不共线．5. 如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN→，则m ＋n 的值为________．答案 2解析 ∵O 是BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →)．又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →. ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1.则m ＋n ＝2. 6．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.答案 23解析由图知CD →＝CA →＋AD →，①CD →＝CB →＋BD →， ②且AD→＋2BD →＝0. ①＋②×2得：3CD →＝CA →＋2CB →，∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23. 三、解答题7． (13分)已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点．(1)求GA →＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n＝3. (1)解因为GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO→，所以GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0.(2)证明显然OM →＝12(a ＋b )．因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．由P 、G 、Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →. 而PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ，GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b .又因为a 、b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n ＝3.。

高三数学一轮复习精品学案3：§5.1平面向量的概念及线性运算

§5.1平面向量的概念及线性运算知识梳理 1.向量的有关概念(1)向量的定义及表示:既有又有的量叫做向量.以A 为起点、B 为终点的向量记作AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,也可用a ,b ,c ,…表示. (2)向量的长度:有向线段AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度,即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度(或称模),记作|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |. 的向量叫做零向量,记作0. 的向量,叫做单位向量.(3)平行(共线)向量:方向或的向量叫做平行(共线)向量(0与任何向量平行(共线)).(4)相等向量: 的向量叫做相等向量,向量a 与b 相等,记作a=b. (5)相反向量:长度相等且方向相反的向量叫做相反向量(0的相反向量为0). 2.向量的线性运算的三角形法则平行四边形法则的相反向的和的运算三角形法则3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b=λa.4.常用的数学方法与思想数形结合思想、转化化归思想.基础自测1.在△ABC中,若点D满足BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AD⃗⃗⃗⃗⃗ = ()A.13AC⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB⃗⃗⃗⃗⃗ B.53AB⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC⃗⃗⃗⃗⃗C.23AC⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB⃗⃗⃗⃗⃗ D.23AC⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB⃗⃗⃗⃗⃗2.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗ =λAO⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ=.3.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.考点1平面向量的基本概念典例1下列命题中:①相反向量就是方向相反的向量;②λ,μ为任意实数,若λa=μb,则a与b共线;③向量a与向量b平行,则a与b的方向相同;④a∥b,c∥b,则a∥c.其中错误命题的序号为.考点2 向量的线性运算典例2 在△ABC 中,点M ,N 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ .若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x= ,y=________. 规律方法向量的线性运算时注意以下三点 (1)尽可能转化到平行四边形或三角形中;(2)充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线定理、相似三角形的边长关系、特殊点构成的比例等关系;(3)利用数形结合思想向结论方向进行转化. 变式训练1.已知点M 是△ABC 的边BC 的中点,点E 在边AC 上,且EC⃗⃗⃗⃗⃗ =2AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则向量EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A .12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B .12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ C .16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D .16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2.在平面直角坐标中,△ABC 的三个顶点A ,B ,C ,下列两个命题中正确的是 . ①平面内点G 满足GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则G 是△ABC 的重心; ②平面内点M 满足MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,点M 是△ABC 的内心. 考点3 共线向量定理与应用典例3 已知非零平面向量a ,b ,则“a 与b 共线”是“a+b 与a -b 共线”的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件规律方法共线向量定理与应用要注意三点(1)向量b 与非零向量a 共线的充要条件是当且仅当存在唯一的实数λ,使b=λa ;(2)证明三点共线问题可以利用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线是有区别的,当两向量共线且有一个公共点时,才能得到三点共线;(3)利用共线求解问题时应注意待定系数法与方程思想的运用. 变式训练已知不共线向量a ,b ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =ta -b (t ∈R),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,若A ,B ,C 三点共线,则实数t= . 名师点睛对于形如AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的等式,一般有两种处理方法,一是从几何意义的角度思考问题;二是通过两边同时乘以同一向量,转化为实数问题求解. 针对训练圆O 为△ABC 的外接圆,半径为2,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,求向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影.——★ 参考答案 ★——知识梳理 1.向量的有关概念 (1)大小方向(2)长度为0 长度等于1个单位 (3)相同相反非零 (4)长度相等且方向相同基础自测 1.D『解析』AD⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,而DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),即有2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 2. 2.2『解析』因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以λ=2. 3. 12『解析』设λa +b =k(a +2b),则{λ=k ,1=2k ,解得λ=12.考点1 平面向量的基本概念典例1 ①②③④『解析』正确掌握相反向量、平行(共线)向量的概念,解题时勿忽视零向量.长度相同且方向相反的向量才为相反向量,故①错误;若λ=μ=0,则λa=μb=0,但a 与b 可能不共线,故②错误;若两向量平行,则两向量的方向可能平行,也可能相反,故③错误;若b=0,则a 与c 不一定平行,故④错误.考点2 向量的线性运算典例212−16 『解析』连接AN ,利用三角形法则进行转化求解.连接AN ,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又因为MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 故x=12,y =−16.变式训练 1. C『解析』因为EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EC⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .2.①『解析』对于①,设D 为边AB 的中点,则GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0得到2GD ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,同理设E,F 分别为AC,BC 中点,也有BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故点G 为△ABC 的重心,即①正确;对于②,|MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,即点M 到三顶点的距离相等,所以点M 应为三角形ABC 的外心,即②错误. 考点3 共线向量定理与应用典例3 C『解析』利用充分、必要条件的定义分别进行判断.由“a 与b 共线”易得“a+b 与a -b 共线”.当a+b 与a -b 共线且a ≠b 时,有a+b=λ(a -b ),则(λ+1)b =(λ-1)a,由a ,b 为非零向量,则λ≠±1, b=λ-1λ+1a,所以a 与b 共线;当a+b 与a -b 共线且a=b 时,则有a ,b 共线,综上可得C 项正确. 变式训练 -1『解析』因为A ,B ,C 三点共线,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =ta −b,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b,所以ta −b =λ(a +b),比较系数得{t =λ,-1=λ,则t=-1.针对训练解由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ , 可得点O 为线段BC 的中点.又因为点O 为△ABC 的外接圆的圆心, 由此可得△ABC 为以BC 为斜边的直角三角形, 且|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4. 又因为|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |, 可得|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=2, 根据勾股定理可得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3, 所以cos B=√32,根据投影的定义可知向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos B =2√3×√32=3.。

高考数学一轮复习第五章平面向量5-1平面向量的概念及线性运算学案理

【2019最新】精选高考数学一轮复习第五章平面向量5-1平面向量的概念及线性运算学案理考纲展示► 1.了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．考点1 平面向量的有关概念向量的有关概念(1)向量：既有大小又有________的量叫做向量，向量的大小叫做向量的________．(2)零向量：长度为________的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于________的向量．(4)平行向量：方向相同或________的非零向量，又叫共线向量．规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向________的向量．(6)相反向量：长度相等且方向________的向量．答案：(1)方向模(2)0 (3)1个单位(4)相反(5)相同(6)相反向量有关概念的理解误区：相等向量；共线向量．(1)若四边形ABCD满足＝，则四边形ABCD的形状是__________．答案：平行四边形解析：＝表示AD∥BC且AD＝BC，所以四边形ABCD是平行四边形．(2)若四边形ABCD满足＝k(k>0，k≠1)，则四边形ABCD的形状是__________．答案：梯形解析：＝k(k>0，k≠1)表示AD∥BC，但AD与BC不相等，所以四边形ABCD是梯形.[典题1] (1)给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是( )B．②④A．②③D．②③④C．③④[答案] A [解析] ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵＝，∴||＝||且∥.又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则||＝||，∥且，方向相同．因此＝.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当b＝0时，a，c可能不平行．综上所述，正确命题的序号是②③.(2)给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误命题的个数为( )B．2A．1D．4C．3[答案] C [解析] ①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点；②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小；③错误．当a＝0时，不论λ为何值，λa ＝0；④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．[点石成金] 1.相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．2．共线向量即平行向量，它们均与起点无关．3．向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．4．非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量．考点2 向量的线性运算向量的线性运算λa＋μa λa＋λb (1)[教材习题改编]向量和式(＋)＋(＋)＋化简后等于__________．→答案：AC解析：原式＝＋＋＋＋＝.(2)[教材习题改编]已知三角形ABC ，用与表示BC 边上的中线向量，则＝________.答案：＋12AC→ [典题2] (1)[2017·广东惠州高三二模]如图，在正方形ABCD中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么＝( )A.－B.＋12AD →C.＋D.－23AD →[答案] D[解析] 在△CEF 中，有＝＋.因为点E 为DC 的中点，所以＝.因为点F 为BC 的一个三等分点，所以＝.所以＝＋＝＋＝－，故选D.(2)[2017·辽宁沈阳模拟]已知△ABC 和点M 满足＋＋＝0.若存在实数m 使得＋＝m 成立，则m ＝() A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] B[解析] 由＋＋＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为底边BC 的中点，则＝＝×(＋)＝(＋)，所以＋＝3，故m ＝3.[点石成金] 向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．考点3 共线向量定理的应用共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λ________.答案：a 处理向量问题的常见错误：忽视零向量；滥用结论．(1)若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c的关系是__________．答案：共线向量或不共线向量解析：若b＝0，则a与c未必是共线向量；若b是非零向量，则a与c是共线向量．注意：在处理向量问题时不要忽略零向量．(2)已知两向量a，b，若|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|的范围是________．答案：[1,3]解析：当a，b方向相同时，有|a＋b|＝3；当a，b方向相反时，有|a＋b|＝1；当a，b不共线时，1<|a＋b|<3.所以|a＋b|的范围是[1,3].注意：在一般情况下，|a＋b|＝|a|＋|b|不成立.有关向量的几个结论：三点共线；向量的中线公式；三角形重心的向量表示．(1)A，B，C三点共线的充要条件是对不在直线AB上的任意一点O，存在实数t使得＝t＋________.答案：1－t解析：根据共线向量定理知，A，B，C三点共线的充要条件是存在实数t使得＝t，即－＝t(－)，即＝t＋(1－t).(2)△ABC中，D是BC的中点，则＝λ(＋)，则λ＝________.答案：12解析：由＝＋，＝＋，得2＝(＋)＋(＋)．∵＋＝0，∴＝(＋)．[典题3] 设两个非零向量a和b不共线．(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线．(1)[证明]因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，所以，共线．又与有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)[解] 因为ka＋b与a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即解得k＝±1.即当k＝±1时，ka＋b与a＋kb共线．[题点发散1] 若将本例(1)中“＝2a＋8b”改为“＝a＋mb”，则当m为何值时，A，B，D三点共线？解：＝＋＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使＝λ，即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，所以解得m＝7.故当m＝7时，A，B，D三点共线．[题点发散2] 若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？解：因为ka＋b与a＋kb反向共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)，即解得k＝±1.又λ<0，k＝λ，所以k＝－1.故当k＝－1时，两向量反向共线．[点石成金] 1.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．2．向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立；若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线．1.已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d同向，则实数λ＝________.答案：1解析：由于c与d同向，所以c＝kd(k＞0)，于是λa ＋b ＝k[a ＋(2λ－1)b]，整理得λa ＋b ＝ka ＋(2λk －k)b.由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－.又k ＞0，所以λ＞0，故λ＝1.2．已知a ，b 是两个不共线的非零向量，且a 与b 起点相同．若a ，tb ，(a ＋b)三向量的终点在同一条直线上，则t ＝________.答案：12解析：∵a，tb ，(a ＋b)三向量的终点在同一条直线上，且a 与b起点相同．∴a －tb 与a －(a ＋b)共线，即a －tb 与a －b 共线，∴存在实数λ，使a －tb ＝λ，∴解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，t ＝12，即当t ＝时，a ，tb ，(a ＋b)三向量的终点在同一条直线上.[方法技巧] 1.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．2．对于平面上的任一点O ，，不共线，满足＝x ＋y(x ，y∈R)，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1.[易错防范] 1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.真题演练集训1．[2015·新课标全国卷Ⅰ]设D 为△ABC 所在平面内一点，＝3，则( )A.＝－＋B.＝－43AC→ C.＝＋D.＝－13AC→ 答案：A解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋.故选A.2．[2014·新课标全国卷Ⅰ]设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则＋＝( )A.B. C.D.12BC → 答案：A 解析：＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝，故选A.3．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．答案：90°解析：∵＝(＋)，∴点O 是△ABC 边BC 的中点，∴BC 为直径，根据圆的几何性质有〈，〉＝90°.课外拓展阅读专题一平面向量与三角形问题的综合[典例1] 已知P 是△ABC 内一点，且＝＋，△PBC 的面积是2 015，则△PAB 的面积是________．[思路分析] △PBC，△PAB 分别与△ABC 共底边于BC ，AB ，由平面几何知识，将每组共底边的三角形面积之比转化为共底边上的对应高的比，即可得出面积关系，进而计算出△PAB 的面积．[解析] 设S△ABC＝S ，S△PBC＝S1＝2 015，S△PAB＝S2.解法一：(恰当切入，从“三点共线”突破)如图所示，延长AP 交BC 于D ，由平面几何知识，得＝.由A ，P ，D 三点共线，可得AD →＝μ＝μ＋μ(μ∈R)．①由B ，D ，C 三点共线，可得AD →＝λ＋(1－λ)(λ∈R)．②联立①和②，有解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝613，μ＝1813. 则＝μ＝，＝－＝，那么＝，于是S ＝S1.同理，延长CP 交AB 于E ，计算可得＝，所以S2＝S.于是S2＝S ＝×S1＝S1＝×2 015＝2 821.解法二：(巧妙构造，引出向量“投影”取胜)如图所示，构造一个单位向量e(其中e⊥)，那么，在单位向量e 方向上的投影长度|e·|与|e·|分别是△PBC，△ABC 的公共底边上的高，则S ＝||·|e·|＝|||e||||cos 〈e ，〉|＝||·||sin∠ABC；因为＝＋＝＋＋718AC→ ＝＋＋(＋)＝＋，所以S1＝||⎪⎪⎪⎪⎪⎪e·BP → ＝||⎪⎪⎪⎪⎪⎪e·⎝ ⎛⎭⎪⎫518BA →＋718BC → ＝||⎪⎪⎪⎪⎪⎪e·518BA → ＝|||cos 〈e ，〉|＝518⎝ ⎛⎭⎪⎫12|BC →||BA →|sin∠ABC ＝S.设i 为与向量垂直的单位向量，同理，可以推出S2＝S.于是S2＝S ＝×S1＝S1＝×2 015＝2 821.解法三：(划归转化，牵手三角形“重心”巧解)由＝＋，可得5＋6＋7＝0.令＝5，＝6，＝7，连接A′B′，B′C′，C′A′，如图所示，于是＋＋＝0.即P 是△A′B′C′的重心，S△PA′B′＝S△PB′C′，根据已知条件，得S1＝||||sin∠BPC＝sin∠BPC＝142⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PB′→||PC′→|sin ∠BPC ＝S△PB′C′，所以S△PB′C′＝42S1，同理可得S△PA′B′＝30S2.于是S2＝S1＝2 821.故填2 821.[答案] 2 821温馨提示在寻找三个三角形面积之间的关系时，可以从多方面思考： ①可以从“三点共线”突破，运用三点共线向量式求解，思维起点低，思路直接，如解法一；②可以从向量“投影”得出关系，构造出一个中介性辅助元素单位向量e ，i ，如解法二；③可以转化条件形式，将＝＋转化成5＋6＋7＝0，利用三角形“重心”性质引出巧解，如解法三．专题二用几何法求解向量填空题利用向量加法的几何意义或向量减法的几何意义，可以将一些向量问题转化为几何问题，利用数形结合的方法，快速得到答案，避免繁琐的运算和由于运算而产生的错误．[典例2] 已知a ，b 是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a －b|，则a 与a ＋b 的夹角是________．[解析] 令＝a ，＝b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则OC ＝a ＋b ，BA ＝a －b ，又|a|＝|b|＝|a －b|，所以△OAB 是正三角形，由向量加法的几何意义，可知OC是∠AOB的平分线，所以a与a＋b的夹角是.[答案] π6[典例3] 已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是________．①a∥b；②a⊥b；③|a|＝|b|；④a＋b＝a－b. [解析] 根据向量加法、减法的几何意义可知，|a＋b|与|a－b|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a＋b|＝|a－b|.所以该平行四边形为矩形，所以a⊥b.[答案] ②。

【优化设计】高考数学一轮复习第五章平面向量.平面向量的概念及其线性运算教学案理新人教A版

第五章平面向量5．1 平面向量的概念及其线性运算考纲要求1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念和向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．共线向量(平行向量)______向量叫做共线向量(平行向量)0与任一向量______(共线)相等向量长度______且方向______的向量记作a＝b相反向量长度______且方向______的向量0的相反向量为0向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b ＝____.(2)结合律：(a＋b)＋c＝______.减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝______.(2)当λ＞0时，λa与a的方向____；当λ＜0时，λa与a的方向____；当λ＝0时，λa＝____.λ(μa)＝____；(λ＋μ)a＝______；λ(a＋b)＝______.向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：__________.1．给出下列命题：①向量AB →与向量BA →的长度相等，方向相反； ②AB →＋BA →＝0；③a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ④两个相等向量的起点相同，则其终点必相同； ⑤AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线，其中不正确的个数是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →等于( )．A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C ．23OA →－13OB →D ．－13OA →＋23OB → 3．平面向量a ，b 共线的充要条件是( )． A ．a ，b 方向相同B ．a 与b 中至少有一个为零向量C ． λ∈R ，使b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝04．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，共线的三点是__________．5．在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝__________(用a ，b 表示)．一、向量的概念【例1】判断下列各命题是否正确． (1)零向量没有方向；(2)若|a |＝|b |，则a ＝b ； (3)单位向量都相等； (4)向量就是有向线段；(5)如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ； (6)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(7)若四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝CD →，BC →＝DA →； (8)a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 方法提炼1．平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．2．几个重要结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行具有传递性； (2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量； (3)平行向量与起点无关．请做演练巩固提升1二、向量的线性运算【例2－1】在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线AD 交边BC 于D ，已知AB ＝3，且AD →＝13AC →＋λAB →(λ∈R )，则AD 的长为( )．A ．1B. 3C ．2 3D ．3【例2－2】如图所示，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：(1)AD →－AB →； (2)AB →＋CF →. 方法提炼1．平面向量的线性运算法则的应用三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量的和用平行四边形法则，差用三角形法则．2．两个重要结论(1)向量的中线公式：若P 为线段AB 的中点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．(2)向量加法的多边形法则 A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.提醒：当两个向量共线(平行)时，三角形法则同样适用．向量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的，但当两个向量共线(平行)时，平行四边形法则就不适用了．请做演练巩固提升2,3 三、向量的共线问题【例3－1】设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．【例3－2】设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．方法提炼1．向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．提醒：平行向量也叫共线向量，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上．请做演练巩固提升5以向量为背景的新定义问题【典例】设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割点A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )．A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解析：由A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )知：四点A 1，A 2，A 3，A 4在同一条直线上，且不重合．因为C ，D 调和分割点A ，B ，所以A ，B ，C ，D 四点在同一直线上，设AC →＝cAB →，AD →＝dAB →，则1c ＋1d＝2，选项A 中c ＝12，此时d 不存在，故选项A 不正确；同理选项B 也不正确；选项C 中，0＜c ＜1,0＜d ＜1，1c ＋1d＞2，也不正确，故选D.答案：D 答题指导：1．可通过特例、验证等方法理解新定义问题．2．化生为熟、化新为旧，设法把新定义问题转化为熟悉的问题来解决． 3．“按规则办事”，新定义问题怎么规定，就怎么办．1．给出下列命题：(1)两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． (2)两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． (3)λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．(4)λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．42．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，并且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，那么a ＋b ＋c 等于( )．A ．aB ．bC ．cD ．03．已知△ABC 和点M 满足M A →＋M B →＋M C →＝0，若存在实数m 使得A B →＋A C →＝mAM →成立，则m ＝( )．A ．2B ．3C ．4D ．5 4．(2012四川高考)设a ，b 都是非零向量．下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )．A ．|a |＝|b |且a ∥bB ．a ＝－bC ．a ∥bD ．a ＝2b5．若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a＋b )三向量的终点在同一条直线上？参考答案基础梳理自测知识梳理1．大小方向模长度 0 0 为1个单位方向相同或相反的非零平行相等相同相等相反2．b ＋a a ＋(b ＋c ) |λ|·|a | 相同相反 0 (λμ)a λa ＋μa λa ＋λb 3．存在唯一的实数λ，使b ＝λa 基础自测1．B 解析：②中AB uu u r ＋BA uu r＝0，而不等于0；③中a 或b 为零向量满足a 与b 平行，但不能说a 与b 方向相同或相反，因为零向量方向是任意的；⑤中AB uu u r 与CD uuur 所在直线还可能平行，故②③⑤错．2．A 解析：依题意得2(OC uuu r －OA uu r )＋(OB uu u r －OC uuu r )＝0，所以OC uuu r ＝2OA uu r －OB uu u r.3．D 解析：A 中，a ，b 同向，则a ，b 共线，但a ，b 共线，a ，b 不一定同向． B 中，若a ，b 两向量中至少有一个为零向量，则a ，b 共线，但a ，b 共线时，a ，b 不一定是零向量．C 中，当b ＝λa 时，a 与b 一定共线，但a ，b 共线时，若b ≠0，a ＝0，则b ＝λa 不成立．排除A ，B ，C ，故选D.4．A ，B ，D 解析：AB uu u r ＋BC uu u r ＋CD uuu r ＝AD uuu r＝3a ＋6b ， ∵AD uuu r ＝3AB uu u r，∴A ，B ，D 三点共线．5．b －12a 解析：BE uur ＝BC uu u r ＋CE uur ＝AD uuu r ＋12BA uu r ＝b －12a .考点探究突破【例1】解：(1)不正确，零向量方向是任意的； (2)不正确；两向量模相等．方向不一定相同； (3)不正确；要看向量方向是否相同； (4)不正确；(5)不正确；(6)正确；(7)不正确；(8)不正确，a ∥b ，两向量方向不一定相同．【例2－1】 C 解析：如图所示，因为B ，D ，C 三点共线，所以λ＋13＝1，即λ＝23.在AB 上取一点E 使AE uu u r ＝23AB uu u r ，在AC 上取一点F 使AF uuu r ＝13AC uuur ，由AD uuu r ＝13AC uuu r ＋23AB uu u r ＝AF uuu r ＋AE uu u r，可知四边形AEDF 为平行四边形，又∠BAD ＝∠CAD ＝30°，所以Y AEDF 为菱形．因为AE uu u r ＝23AB uu u r，AB ＝3，所以菱形的边长为2.在△ADF 中，AD sin 120°＝DFsin 30°，所以AD ＝sin 120°·DFsin 30°＝2 3.故选C.【例2－2】解：(1)AD uuu r －AB uu u r ＝BD uuu r ＝OD uuur －OB uu u r ＝d －b .(2)AB uu u r ＋CF uu ur ＝OB uu u r －OA uu r ＋CO uuu r ＋OF uuu r ＝b －a －c ＋f .【例3－1】解：(1)证明：由已知得BD uuu r ＝CD uuur －CB uu r ＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB uu u r ＝2e 1－8e 2，∴AB uu u r ＝2BD uuu r ，又有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)由(1)可知BD uuu r ＝e 1－4e 2，且BF uu u r＝3e 1－k e 2，由B ，D ，F 三点共线，所以存在实数λ，使得BF uu u r ＝λBD uuu r，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ，解得k ＝12，∴k ＝12. 【例3－2】 (1)证明：∵AB uu u r＝a ＋b ，BC uu u r ＝2a ＋8b ，CD uuu r ＝3(a －b )，∴BD uuu r ＝BC uu u r ＋CD uuu r ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB uu u r. ∴AB uu u r 与BD uuu r共线．∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)解：∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝(λk －1)＝0. ∴k ＝±1. 演练巩固提升1．C 解析：(1)错，两向量共线要看其方向而不是起点与终点；(2)对，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小；(3)错，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0；(4)错．当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ，此时，a 与b 可以是任意向量．2．D 解析：∵a ＋b 与c 共线， ∴存在实数λ1，使得a ＋b ＝λ1c .① 又∵b ＋c 与a 共线，∴存在实数λ2，使得b ＋c ＝λ2a .② 由①得，b ＝λ1c －a .∴b ＋c ＝λ1c －a ＋c ＝(λ1＋1)c －a ＝λ2a ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋1＝0，λ2＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝－1. ∴a ＋b ＋c ＝－c ＋c ＝0.3．B 解析：由已知条件可得M 为△ABC 的重心，设BC 的中点为D ，则AB uu u r ＋AC uuu r ＝2AD uuu r，又AM uuu r ＝23AD uuu r，故m ＝3.4．D 解析：若a |a |＝b |b |，则向量a |a |与b|b |是方向相同的单位向量，所以a 与b 应共线同向，故选D.5．解：设OA uu r ＝a ，OB uu u r ＝t b ，OC uuu r ＝13(a ＋b )，∴AC uuu r ＝OC uuu r －OA uu r ＝－23a ＋13b ，AB uu u r ＝OB uu ur －OA uu r ＝t b －a .要使A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，使AC uuu r ＝λAD uuu r，即－23a ＋13b ＝λt b －λa ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －23＝－λ，13＝λt .∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12.∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上．。

高考数学一轮复习规划5.1平面向量的概念及线性运算课件

零向量
长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0
单位向量
长度等于 1 个单位长度的向量，叫做单位向量
平行向量(共线向量)
相等向量相反向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
与向量 a 长度相等，方向相反的向量，叫做 a 的相反向量，记作－a
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第五章平面向量与复数
(2)【多选题】(2021 届海南华侨中学高三第一次月考)如图，在梯形 ABDC 中，AB∥CD，|AB| ＝2|CD|，AD 与 BC 相交于点 O，则下列结论正确的是 ( )
A. A→D－A→C＝12A→B C. |O→A＋2O→D|＝0
B. A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0 D. O→A＝23D→C＋13D→B
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第五章平面向量与复数
1. 向量的有关概念
名称
定义
向量
在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量
有向线段
具有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段表示，也可用字母 a，b，c，… 表示
向量的模
向
量
→ AB
的
大
小
称
为
向
量 A→B
的
长
度
(
或
称
模)，记作|A→B|
5. 线性运算重要结论 (1)若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则O→P＝12(O→A＋O→B). (2)若 G 为△ABC 的重心，则G→A＋G→B＋G→C＝0. (3)若O→A＝λO→B＋μO→C(λ，μ为实数)，则点 A，B，C 共线的充要条件是 λ＋μ＝1.

高考数学一轮复习第五章平面向量第1节平面向量的概念及线性运算市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT

)
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
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2．若 A、B、C、D 是平面内任意四点，给出下列式子：
①A→B＋C→D＝B→C＋D→A；②A→C＋B→D＝B→C＋A→D；③A→C－B→D
＝D→C＋A→B.其中正确的有(
)
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
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[解析] ①式的等价式是A→B－B→C＝D→A－C→D，左边＝A→B ＋C→B，右边＝D→A＋D→C，不一定相等；②式的等价式是A→C－ B→C＝A→D－B→D，A→C＋C→B＝A→D＋D→B＝A→B成立；③式的等价式是A→C－D→C＝A→B＋B→D，A→D＝A→D成立．
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[解析] 由题中条件得M→N＝M→C＋C→N＝13A→C＋12C→B＝13
A→C＋12(A→B－A→C)＝12A→B－16A→C＝xA→B＋yA→C，所以 x＝12，y＝－
16.
[答案]
1 2
－16
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向量的线性运算的解题规律 (1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则的要素是“起点重合”．
第五章平面向量第一节平面向量的概念及线性运算
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1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

高三数学一轮复习平面向量复习教案和学案

1、向量的概念及运算一、考纲要求：（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2）向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；③了解向量的线性运算性质及其几何意义.（3）平面向量的基本定理及坐标表示了解平面向量的基本定理及其意义；二、知识梳理：1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。

向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB .几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。

向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |.即向量的大小，记作｜a|。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行.零向量a ＝0 ⇔｜a｜＝0。

由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。

（注意与0的区别）③单位向量模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。

④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b 。

由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的.⑤相等向量长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =。

大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x 。

最新高考数学(文)一轮教学案：第五章第1讲平面向量的概念及线性运算平面向量的基本定理 Word版

第五章平面向量第1讲平面向量的概念及线性运算平面向量的基本定理命题探究考纲展示1向量的有关概念名称定义既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量向量的模(或称向量的长度)零向量长度为零的向量叫做零向量，其方向是不确定的，零向量记作0单位向量长度等于1个单位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量又叫共线向量．规定：零向量与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋(－b)(1)向量的数乘①长度：|λa|＝|λ||a|②方向当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反，当λ＝0时，λa＝0，其方向是任意的．(2)向量的数乘的运算律设λ，μ为实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a ＋b)＝λa＋λb.(3)向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 注意点对向量的运算结果的理解 (1)两个向量的和或差仍是向量．(2)λ·a 仍是向量．(λ∈R )1．思维辨析(1)单位向量只与模有关，与方向无关．( ) (2)零向量的模等于0，没有方向．( ) (3)若两个向量共线，则其方向必定相同．( ) (4)若a ∥b ，b ∥c ，则必有a ∥c .( ) (5)AB →＋BA →＝0.( )答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√2．如图，在正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，AB →＋BO →＋OC →＝( )A ．0 B.AD → C.AC → D.BD →答案 C解析 AB →＋BO →＋OC →＝AO →＋OC →＝AC →.3．设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值为________．答案－1解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A 、B 、D 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎨⎧2＝2λp ＝－λ， ∴p ＝－1.[考法综述] 高考考查向量的概念、加减运算、数乘运算和向量共线的条件．一般难度不大．命题法对概念的理解、运算和共线定理的应用典例 (1)下列说法中： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是( ) A ．②③B ．①②C ．③④D ．④⑤(2)已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( )A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB →D ．－13OA →＋23OB →(3)已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果 c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向[解析] (1)①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则|AB →|＝|DC →|，AB →∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此，AB→＝DC →.③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ＝－b 时，也有|a |＝|b |且a ∥b ，故|a |＝|b |且a ∥b不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．当b ＝0时，a ，c 可能不平行．综上所述，正确命题的序号是②③.(2)∵2AC →＋CB →＝0，∴2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，∴OC →＝2OA →－OB →.故选A.(3)由c ∥d 得c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )，所以⎩⎨⎧k ＝λ，1＝－λ，所以k ＝λ＝－1，所以向量c 与d 共线反向．[答案] (1)A (2)A (3)D【解题法】向量的线性运算的解题策略(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．1.设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13AC → D.AD →＝43AB →－13AC → 答案 A解析由题意得AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →，故选A.2．已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B 解析解法一：因为A ，B ，C 均在单位圆上，AC 为直径，故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，|P A →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|≤2|PO →|＋|PB →|，又|PB →|≤|PO →|＋1＝3，所以|P A →＋PB →＋PC →|≤4＋3＝7，故其最大值为7，选B.解法二：因为A ，B ，C 均在单位圆上，AC 为直径，不妨设A (cos x ，sin x )，B (cos(x ＋α)，sin(x ＋α))(α≠k π，k ∈Z )，C (－cos x ，－sin x )，P A→＋PB →＋PC →＝(cos(x ＋α)－6，sin(x ＋α))，|P A →＋PB →＋PC →|＝[cos (x ＋α)－6]2＋sin 2(x ＋α)＝37－12cos (x ＋α)≤7，故选B.3．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )A ．|a ·b |≤|a ||b |B ．|a －b |≤||a |－|b ||C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2答案 B解析对于A 选项，设向量a ，b 的夹角为θ，∵|a ·b |＝|a |·|b ||cos θ|≤|a ||b |，∴A 选项正确；对于B 选项，∵当向量a ，b 反向时，|a －b |≥||a |－|b ||，∴B 选项错误；对于C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于D 选项，根据向量的运算法则，可推导出(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，故D 选项正确，综上选B.4．记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b为平面向量，则()A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2答案 D解析在A中，取a＝(1,0)，b＝(0,0)，则min{|a＋b|，|a－b|}＝1，而min{|a|，|b|}＝0，不符合，即A错．在B中，设a＝b≠0，则min{|a＋b|，|a－b|}＝0，而min{|a|，|b|}＝|a|>0，不符合，即B错．因为|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b，|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b，则当a·b≥0时，max{|a＋b|2，|a－b|2}＝|a|2＋|b|2＋2a·b≥|a|2＋|b|2；当a·b<0时，max{|a ＋b|2，|a－b|2}＝|a|2＋|b|2－2a·b≥|a|2＋|b|2，即总有max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2.故选D.5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.答案 12解析由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )，即(λ－μ)a ＋(1－2μ)b ＝0，因为向量a ，b 不平行，所以λ－μ＝0,1－2μ＝0，解得λ＝μ＝12.6．已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.答案 9解析因为OA →⊥AB →，|OA →|＝3，所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝|OA →|2＋OA →·AB →＝|OA →|2＝32＝9.7.设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.答案 12解析由a ∥b ，得sin2θ＝cos 2θ，即2sin θcos θ＝cos 2θ，因为0<θ<π2，所以cos θ≠0，整理得2sin θ＝cos θ.所以tan θ＝12.考点二平面向量的基本定理及坐标表示1 平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2 平面向量的坐标表示(1)向量的夹角如图，已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角，当θ＝0°或180°时，两向量共线，当θ＝90°时，两向量垂直．(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．(3)平面向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，由平面向量基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a ＝x i ＋y j ，由于a 与数对(x ，y )是一一对应的，因此把(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．3 平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)；(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)；(3)若a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )；(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.4 平面向量中的重要结论(1)||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(2)|a ＋b |2＋|a －b |2＝2(|a |2＋|b |2)．(3)G 为△ABC的重心⇔GA →＋GB →＋GC →＝0⇔G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33，其中A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)．注意点基向量的选取和共线问题的注意事项(1)零向量和共线向量不能作基底，基向量通常选取确定整个几何图形的从同一结点出发的两边所对应的向量．(2)a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定.1．思维辨析(1)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( )(2)平面内任何两个不共线的向量均可作为一组基底．( )(3)向量AB →与BC →的夹角为∠ABC .( )(4)在同一组基底下同一向量的表现形式是唯一的．( )答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√2．已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 C解析 AB →＝(3，y －1)，a ＝(1,2)，AB →∥a ，则2×3＝1×(y －1)，解得y ＝7，故选C.3．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则BD →＝( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4) 答案 B解析由题意得BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(AC →－AB →)－AB →＝AC →－2AB →＝(1,3)－(4,8)＝(－3，－5)．[考法综述] 高考对平面向量的基本定理与坐标运算的考查主要有以下几方面：①平面向量基本定理及其意义；②用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；③用坐标表示的平面向量共线的条件．对用坐标表示的平面向量共线的条件的考查是比较突出的．考查的形式以选择题、填空题为主，难度中等．命题法向量共线，垂直的条件和共线向量基本定理的应用典例(1)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)(2)已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，则2a－b＝()A．(4,0) B．(0,4)C．(4，－8) D．(－4,8)(3)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________.[解析] (1)设a ＝k 1e 1＋k 2e 2，A 选项，∵(3,2)＝(k 2,2k 2)，∴⎩⎨⎧k 2＝3，2k 2＝2，无解．B 选项，∵(3,2)＝(－k 1＋5k 2,2k 1－2k 2)，∴⎩⎨⎧－k 1＋5k 2＝3，2k 1－2k 2＝2，解之得⎩⎨⎧k 1＝2，k 2＝1.故B 中的e 1，e 2可把a 表示出来．同理，C 、D 选项同A 选项，无解．(2)因为向量a ＝(1，－2)，b ＝(m,4)，且a ∥b ，所以1×4＋2m ＝0，即m ＝－2,2a －b ＝2×(1，－2)－(－2,4)＝(4，－8)．(3)解法一：由AB →＝λAM →＋μAN →，得AB →＝λ·12(AD →＋AC →)＋μ·12(AC →＋AB →)，则⎝⎛⎭⎪⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎝⎛⎭⎪⎫λ2＋μ2AC →＝0，得⎝⎛⎭⎪⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎝⎛⎭⎪⎫λ2＋μ2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AD →＋12AB →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫14λ＋34μ－1AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2AD →＝0. 又因为AB →，AD →不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.解法二：连接MN 并延长交AB 的延长线于T ，由已知易得AB ＝45AT ，∴45AT →＝AB →＝λAM →＋μAN →，∵T ，M ，N 三点共线，∴λ＋μ＝45.[答案] (1)B (2)C (3)45【解题法】平面向量基本定理的应用及其坐标运算技巧 (1)共线问题的解题策略①向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．②证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．③若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.④直线的向量式参数方程，A ，P ，B 三点共线⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内任一点，t ∈R )．⑤OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路①先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．②在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．(3)坐标运算的技巧向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则，以向量为载体，可以解决三角函数、解析几何中的有关问题．1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，则b －a ＝( ) A ．(－2,1) B ．(2，－1) C ．(2,0) D ．(4,3)答案 B解析 b －a ＝(2，－1)，选B 项．2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73答案 D解析不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，由(c ＋a )∥b ，得－3(1＋m )＝2(2＋n )．①对于c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0，②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－79，n ＝－73.3.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝_______；y ＝_______.答案 12 －16解析由题中条件得MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB→－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16.4．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n∈R )，则m －n 的值为________．答案－3解析由向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，得m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m－2n )＝(9，－8)，则⎩⎨⎧2m ＋n ＝9m －2n ＝－8，解得⎩⎨⎧m ＝2n ＝5，故m －n ＝－3.5.设向量a ＝(3,3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________.答案 ±3解析由题意得(a ＋λb )·(a －λb )＝0，即a 2－λ2b 2＝0，则a 2＝λ2b 2.∴λ2＝a 2b 2＝(32＋32)2(12＋(－12))2＝182＝9.∴λ＝±3.6．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．答案 7＋1解析解法一：设D (x ，y )，则由|CD →|＝1，得(x －3)2＋y 2＝1，从而可设x ＝3＋cos α，y ＝sin α，α∈R .而OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)，则|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2＝ (2＋cos α)2＋(3＋sin α)2＝ 8＋4cos α＋23sin α＝ 8＋27sin (α＋φ)，其中sin φ＝27，cos φ＝37.显然当sin(α＋φ)＝1时，|OA →＋OB →＋OD →|有最大值8＋27＝7＋1.解法二：OA →＋OB →＋OD →＝OA →＋OB →＋OC →＋CD →，设a ＝OA →＋OB →＋OC →＝(2，3)，则|a |＝7，从而OA →＋OB →＋OD →＝a ＋CD →，则|OA →＋OB →＋OD →|＝|a ＋CD →|≤|a |＋|CD →|＝7＋1，当a 与CD →同向时，|OA →＋OB →＋OD →|有最大值7＋1.7. 如图所示，在△ABC 中，点M 是AB 的中点，且AN →＝12NC →，BN 与CM 相交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用基底a ，b 表示向量AE →＝________.答案 25a ＋15b解析易得AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线知，存在实数m ，满足AE →＝mAN →＋(1－m )AB →＝13m b ＋(1－m )a .由C ，E ，M 三点共线知存在实数n ，满足AE →＝nAM →＋(1－n )AC →＝12n a ＋(1－n )b .所以13m b ＋(1－m )a ＝12n a ＋(1－n )b .由于a ，b 为基底，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝12n ，13m ＝1－n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝45.所以AE →＝25a ＋15b .微型专题以向量坐标运算为载体的创新问题创新考向以向量的坐标运算为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点，综合考查向量与函数等知识，考查学生的应变能力与创新能力．创新例题在平面直角坐标系中，若O 为坐标原点，则A ，B ，C 三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数λ，使得OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →成立，此时称实数λ为“向量OC →最新OA →和OB →的终点共线分解系数”．若已知P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3→与向量a ＝(1，－1)共线，则“向量OP 3→最新OP 1→和OP 2→的终点共线分解系数”为( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1答案 D解析设OP 3→＝(x ，y )，则由OP 3→∥a 知x ＋y ＝0，于是OP 3→＝(x ，－x )，设OP 3→＝λOP 1→＋(1－λ)OP 2→，则有(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即⎩⎨⎧4λ－1＝x3－2λ＝－x.于是4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选D.创新练习1. 将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星是以原点O 为中心，其中x ，y 分别为原点O 到两个顶点的向量，若将原点O 到正六角星12个顶点的向量，都写成a x ＋b y 的形式，则a ＋b 的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 D解析如图，写出6个顶点的向量如下．(1)∵OA →＝x ，∴(a ，b )＝(1,0)；(2)∵OB →＝OF →＋FB →＝y ＋3x ，∴(a ，b )＝(3,1)；(3)∵OC →＝OF →＋FC →＝y ＋2x ，∴(a ，b )＝(1,2)；(4)∵OD →＝OF →＋FE →＋ED →＝y ＋x ＋OC →＝y ＋x ＋(y ＋2x )，∴(a ，b )＝(3,2)；(5)∵OE →＝OF →＋FE →＝y ＋x ，∴(a ，b )＝(1,1)；(6)∵OF →＝y ，∴(a ，b )＝(0,1)．∴a ＋b 的最大值为3＋2＝5.2．已知点A (1，－1)，B (4,0)，C (2,2)．平面区域D 由所有满足 AP →＝λAB →＋μAC →(1<λ≤a,1<μ≤b )的点P (x ，y )组成．若区域D 的面积为8，则a ＋b 的最小值为( )A.32 B ．2C ．4D ．8答案 C解析如图所示，延长AB 到点N ，延长AC 到点M ，使得|AN |＝a |AB |，|AM |＝b |AC |，作CH ∥AN ，BF ∥AM ，NG ∥AM ，MG ∥AN ，则四边形ABEC ，ANGM ，EHGF 均为平行四边形．由题意知点P (x ，y )组成的区域D 为图中的四边形EFGH 及其内部．因为AB →＝(3,1)，AC→＝(1,3)，BC →＝(－2，2)，所以|AB →|＝10，|AC →|＝10，|BC →|＝22，所以cos ∠CAB ＝AC →·AB →|AC →||AB →|＝610×10＝35，sin ∠CAB ＝45，所以四边形EFGH 的面积S ＝(a －1)×10×(b －1)×10×45＝8，所以(a －1)(b －1)＝1，即1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选C.创新指导1．准确转化：解决向量创新问题，一定要读懂题目的本质含义，紧抓题目所给条件进行恰当地转化．2．方法选取：对向量的创新问题，准确转化后，要观察题目特点，合理选取解题的办法，如函数的最值求法，线性规划的可行域，新型概念的融合等.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标．[错解][错因分析]此题极易出现思维定势，认为平行四边形只有一种情形，在解题思路中出现漏解．实际上，题目条件中只给出平行四边形的三个顶点，并没有规定顺序，可能有三种情形．[正解]如图所示，设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，D(x，y)．①若四边形ABCD 1为平行四边形，则AD 1→＝BC →，而AD 1→＝(x ＋1，y )，BC →＝(－2，－5)．由AD 1→＝BC →，得⎩⎨⎧ x ＋1＝－2，y ＝－5.∴⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－5.∴D 1(－3，－5)．②若四边形ACD 2B 为平行四边形，则AB →＝CD 2→.而AB →＝(4,0)，CD 2→＝(x －1，y ＋5)．∴⎩⎨⎧x －1＝4，y ＋5＝0.∴⎩⎨⎧x ＝5，y ＝－5.∴D 2(5，－5)．③若四边形ACBD 3为平行四边形，则AD 3→＝CB →.而AD 3→＝(x ＋1，y )，CB →＝(2,5)，∴⎩⎨⎧x ＋1＝2，y ＝5，∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝5.∴D 3(1,5)．综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(－3，－5)或(5，－5)或(1,5)．[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：50分钟基础组1.[2021·衡水二中预测]已知非零向量a ，b ，则“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析若a ＋b ＝0，即a ＝－b ，则a ∥b ；若a ∥b ，不一定有a ＋b ＝0.2．[2021·衡水二中猜题]已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及其所在平面内一点P 满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则( )A ．P 在△ABC 内B ．P 在△ABC 外 C ．P 在直线AB 上D ．P 是AC 边的一个三等分点答案 D解析由已知，得P A →＋PC →＝AB →＋BP →＝AP →，即PC →＝2AP →，∴|PC →|＝2|AP →|，∴P 为AC 边的一个三等分点．故选D.3．[2021·冀州中学周测]如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，则AF →＝( )A.12a ＋14b B.14a ＋12b C.12a －14b D.14a －12b答案 A解析 AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →，则AF →＝12AE →＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋12AD →＝12a ＋14b . 4．[2021·枣强中学周测]设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32 B ．－53 C.53 D.32答案 A解析因为c ＝(1＋k,2＋k )，b ·c ＝0，所以1＋k ＋2＋k ＝0，解得k ＝－32，故选A.5．[2021·冀州中学预测]设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( )A ．2B ．－2C ．±2D ．0答案 B解析由向量a ，b 方向相反，得a ＝λb (λ<0)，∴(x,1)＝λ(4，x )＝(4λ，λx )，由此得⎩⎨⎧x ＝4λ，1＝λx ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，x ＝2(舍去)，则x 的值是－2.6．[2021·武邑中学模拟]已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23 B.43 C.12 D.13答案 A解析 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →共线，所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.7. [2021·枣强中学一轮检测]如图，已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在线段AB 上，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则mn ＝( )A.13 B ．3C.33D. 3答案 B解析由|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0可得∠AOB ＝90°，|AB →|＝2，所以∠OAC ＝60°，又∠AOC ＝30°，故∠OCA ＝90°，则AC →＝14AB→＝14(OB →－OA →)，OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋14(OB →－OA →)＝34OA →＋14OB →，故m＝34，n ＝14，mn ＝3，选B.8. [2021·衡水中学周测]O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案 B解析如图所示，易知AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，因AB →|AB →|与AC →|AC →|是单位向量，故点P 在∠BAC 的平分线上，所以点P 的轨迹通过△ABC 的内心，选B.9．[2021·冀州中学月考]已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．答案－2解析如图所示，由AP →＝λPD →且P A →＋BP →＋CP →＝0，则P 为以AB 、AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP →＝－2PD →，则λ＝－2.10. [2021·衡水中学月考]△ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设向量m ＝(3c －b ，a －b )，n ＝(3a ＋3b ，c )，m ∥n ，则cos A ＝________.答案 16解析 ∵m ∥n ，∴(3c －b )·c ＝(a －b )(3a ＋3b )，即bc ＝3(b 2＋c 2－a 2)，∴b 2＋c 2－a 2bc＝13，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝16.11．[2021·武邑中学周测]已知点O (0,0)、A (1,2)、B (4,5)及OP →＝OA→＋tAB →，试问：(1)t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？P 在第三象限？ (2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．解 (1)∵AB →＝(3,3)，∴OP →＝(1,2)＋(3t,3t )＝(3t ＋1,3t ＋2)，若点P 在x 轴上，则3t ＋2＝0，解得t ＝－23；若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，解得t ＝－13；若点P 在第三象限，则⎩⎨⎧1＋3t <0，2＋3t <0.解得t <－23.(2)不能，若四边形OABP 成为平行四边形，则OP →＝AB →，∴⎩⎨⎧1＋3t ＝3，2＋3t ＝3.∵该方程组无解，∴四边形OABP 不能成为平行四边形．12．[2021·枣强中学猜题]在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若P A →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．解 (1)解法一：∵P A →＋PB →＋PC →＝0，P A →＋PB →＋PC →＝(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x ，6－3y )，∴⎩⎨⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得x ＝2，y ＝2，即OP →＝(2,2)，故|OP →|＝2 2.解法二：∵P A →＋PB →＋PC →＝0，则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0，∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2,2)，∴|OP →|＝2 2.(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →，∴(x ，y )＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎨⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，。

《平面向量的概念及线性运算复习课》教学设计

教学环节师生活动设计意图（一）数据与表现反馈教师活动：展示学生四基自测的答题情况（统计表）.学生活动：反馈情况.四基自测立足于基础知识测试，难度不太高，综合性不强.通过这些问题对学生前面的学习效果作一反馈；通过反馈情况，了解学生学习平面向量的难点.（二）知识整体把握教师活动：1.展示学生在调查问卷中画出的《平面向量》一章的“知识框图”.2.PPT展示老师画的“思维导图”，并通过两个小视频对本节课的难点（平面向量基本定理）再次进行了讲解.3.PPT展示平面向量的一个“主线”由向量的线性运算到向量的坐标表示经历的认知过程.学生活动1：三名学生代表说说自己画的结构框图.学生活动2：结合老师的“思维导图”说说自己理解的一条“主线”.让学生自己动手构建知识框图，了解学生对向量的研究内容、研究方法的掌握情况.通过学生间的讨论互评，查找漏洞.通过教师展示的“思维导图”，让学生体会，知识整体把握及理清知识间关系的重要性.通过学生对“主线”的理解，引导学生感受题目不会做背后的原因，其实是向量本身的知识没有掌握，对知识的整体把握不够，知识间的联系不清楚.教师活动：结合向量的主线展开对这节课考点的分析：类型一向量共线的应用例1(1)如图所示，在（三）考点任务分析△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，则m＋n的值为()A．1 B. 2 C．3 C. 4(2)[2021·河南、河北重点高中段考]已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(2m＋n)∥(m－2n)，则λ＝()A．－1B．0C．1D．2 D．类型二平面向量基本定理的应用[例2](1)(2021·南昌模拟)如图所示，平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23.若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．1.总结类型一，类型二的解题方法及步鄹2.教师进行汇总归纳，向量的难点在于其平面向量基本定理的应用：学生活动：通过类型一总结利用例1的分析及相关题组训练，说出利用向量共线（平行）的充要条件及相关结论解题的一般思路和方法；通过前面对向量“主线”的整体把握，及对例二（2）题目做出答案的小组谈解题过程，引导学生能够说出“看待平面向量基本定理表示向量问题应该是多角度的”.师生共同评价、整理意见，完成对向量的诊断与分析，并尝试给出一些对策.通过尝试找出突破平面向量基本定理应用之“难”的一些对策，从而实现对向量内容的“整体把握”.(2)已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是()(2)[2021·江苏南通调研]在△ABC中，点P是AB上一点，且＝，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则实数t的值为________．板书设计《平面向量的概念及线性运算》复习课一、思维导图课后反思：本节课是针对高三一轮复习，学生已对《平面向量》的相关知识点有一定的掌握，而且具备了一定的探究问题、分析问题和解决问题的能力但缺乏对《平面向量》的整体把握和研究平面向量的一个“主线”，学生往往就事论事，只是一味地考虑解题情况.所以本节课先从整体把握来研究平面向量的一条“主线”，然后从主线出发引出高考的考点，但是由于是线上教学，有的环节实施起来有一定的难度，所以和学生互动环节有点少，小结的过程应是知识反馈的过程，由学生小结来检测对本节课的主线理解。