第1讲-柱坐标系和球坐标系讲解
柱坐标与球坐标
P (r ， q， z)
o
z
r
q
y Q
x
把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系， 有 序数组( ， ， z )叫做P的柱坐标， 记作P ( ， ， z) ， 其中 0 ， 0 2 ， － z .
柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐 标系与空间直角坐标系中的部分建立起来的.
空间的P的直角坐标( x ， y， z )与柱坐标( ， ， z) 之间的关系公式为： x cos y sin zz
一般地，建立空间直角坐标系Oxyz ， 设P是空间 任意一点，连接OP，记 OP ＝r，OP 与 Oz 轴正向 所夹的角为 ， 设P在Oxy平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最小正角 为 ， 这样P点的位置就可以用有序数组 ( r ， ， ) 表示，这样，空间点与有序数组( r ， ， )之间建立 z 了一种对应关系.
柱坐标与球坐标
1. 柱坐标系
思考： 如图，在圆形体育馆内，如何确定看台上某个座 位的位置？
一般地，建立空间直角坐标系O xyz ， 点P是空间 任意一点， 它在Oxy平面上的射影为Q ， 用( ， ) ( 0 ， 0 2 )表示点Q在平面Oxy上的极坐 标， 那么点P的位置可用有序数组( ， ， z )( z R ) 表示. 于是， 我们建立了空间的点与有序数组 ( ， ， z )之间的一种对应关系.
0
空间点P的直角坐标( x ， y， z )与柱坐标( r ， ， ) 之间的变换公式为： x r n cos y r sin sin z r cos
Z P
O Q
y
X
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-4第一讲-坐标系
3．点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球 坐标为(r，φ，θ)，则 空间直角坐标(x，y，z) x＝ y＝ z＝ x＝ y＝ z＝ 转换公式 ， ，
柱坐标(ρ，θ，z)
球坐标(r，φ，θ)
， ，
1.(ρ，θ，z) 空间的点 自我 校对 2.正向 标系 逆时针 球坐标 ρsinθ z
(3)在极坐标中，方程 ρ＝ρ0(ρ0 为不等于 0 的常数)表示圆心在 极点，半径为 ρ0 的圆，方程 θ＝θ0(θ0 为常数)表示与极轴成 θ0 角的 射线．而在空间的柱坐标系中，方程 ρ＝ρ0 表示中心轴为 z 轴，底 半径为 ρ0 的圆柱面， 它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的． 方 程 θ＝θ0 表示与 Oxz 坐标面成 θ0 角的半平面．方程 z＝z0 表示平行 于 Oxy 坐标面的平面． 常把上述的圆柱面、 半平面和平面称为柱坐 标系的三族坐标面．
π π 2，6，4，则点 M 的柱坐
)
π π 2，4， 6 B. 2，4， 6 π π 2，6，2 2 D. 2，6， 2
解析 因为点 M
的球坐标为2
π π π 2，6，4，即 r＝2 2，φ＝ ， 6
π θ＝ ，故点 M 的直角坐标为 4 π π x＝rsinφcosθ＝2 2sin cos ＝1， 6 4 π π y＝rsinφsinθ＝2 2sin sin ＝1， 6 4 π z＝rcosφ＝2 2cos ＝ 6. 6
2．球坐标系与球坐标
一般地，如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任 意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴________所夹的角为 φ. 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按________方向旋转到 OQ 时所转过的 ________ 为 θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组 ________表示．这样空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种 对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 ________(或空间极 坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做 P 的________，记作 P(r，φ，θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
数学课件：1.5 柱坐标系和球坐标系
������ = ������.
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
正解∵r= ������2 + ������2 + ������2 = 12 + 12 + ( 2)2 = 2,
z=rcos φ= 2, ∴ cos ������ = 22.
(2)(π,π,π).
解:设点的直角坐标为(x,y,z).
(1)∵(ρ,θ,z)=(2,0,-2), ������ = 2cos0 = 2,
12
2.球坐标系 (1)定义:设空间中一点 M 的直角坐标为(x,y,z),点 M 在 xOy 坐标
面上的投影点为 M0,连接 OM 和 OM0.如图所示,设 z 轴的正向与向量
������������的夹角为������, ������轴的正向与������������0的夹角为������, ������点到原点������的距离 为������, 则由三个数������, ������, ������构成的有序数组 ������, ������, ������ 称为空间中点������的球
A.
2
2,
π 6
,
3π 4
C.
2
2,
π 3
,
π 4
B.
2
2,
π 6
,
π 4
D.
2
2,
π 3
,
3π 4
解析:设 M 的球坐标为(r,θ,φ),
3 = ������sin������cos������, 则 1 = ������sin������sin������,
高考数学柱坐标系和球坐标系
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1.将下列各点的柱坐标化为直角坐标.
π 2 P2，6，1，Q4，3π，－3
解
x＝ρcos θ 直接代入互化公式y＝ρsin θ ， z＝z
可得 P 的直角坐标为( 3，1，1)，Q 点的直角 坐标为(－2，2 3，－3).
§3 柱坐标系和球坐标系
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1.柱坐标系
(1)定义：在平面极坐标系的基础上，通过极点O，再增加 一条与极坐标系所在平面垂直的z轴，这样就建立了柱坐 标系.设M(x，y，z)为空间一点，并设点M在xOy平面上的 投影点P的极坐标为(r，θ)，则这样的三个数r，θ，z构成 (r，θ，z)就叫作点M的柱坐标 的有序数组________ ______，这里规定r，θ， 0≤r＜＋∞，________ 0≤θ＜2π， －∞＜z＜＋∞ . z的变化范围为__________ 特别地，r＝常数，表示的是以z轴为轴的圆柱面；θ＝常 数，表示的是 过z轴的半平面 xOy平面平行的平面 .
；
φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z轴为轴的圆锥面；
(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间 的变换关系为
sin φ· cos θ， x＝r· sin φ· sin θ， y＝r· z＝rcos φ.
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【思维导图】
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【反思感悟】 写空间任一点的球半径，就是 求该点到点O的距离和方位角、高低角.两个角 可以和地球的经纬度相结合，要搞清它们的联
柱坐标和球坐标
柱坐标和球坐标柱坐标和球坐标是数学中常用的两种坐标系，它们在描述空间中点的位置时有各自的特点和应用。
本文将介绍柱坐标和球坐标的定义、表示方法以及它们之间的转换关系。
柱坐标柱坐标是三维空间中表示点位置的坐标系之一。
柱坐标通常使用径向距离r、极角 $\\theta$ 和高度z来描述一个点的位置。
在柱坐标系中，点 $(r, \\theta,z)$ 表示距离原点的长度为r，与x轴正向的夹角为 $\\theta$，高度为z的点。
柱坐标系下，点 $(r, \\theta, z)$ 与直角坐标系下的点(x,y,z)之间的关系可以用以下公式表示：$$ \\begin{aligned} x &= r \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y &= r \\cdot\\sin(\\theta) \\\\ z &= z \\end{aligned} $$球坐标球坐标是另一种用于表示三维空间中点位置的坐标系。
球坐标通常使用球径ρ、极角 $\\phi$ 和方位角 $\\theta$ 来描述点的位置。
在球坐标系中，点$(ρ, \\phi,\\theta)$ 表示距离原点的长度为ρ，与z轴正向的夹角为 $\\phi$，与x轴正向的夹角为 $\\theta$ 的点。
球坐标系下，点$(ρ, \\phi, \\theta)$ 与直角坐标系下的点(x,y,z)之间的关系可以用以下公式表示：$$ \\begin{aligned} x &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\cdot \\sin(\\theta) \\\\ z &= ρ \\cdot \\cos(\\phi)\\end{aligned} $$柱坐标和球坐标之间的转换要将柱坐标转换为球坐标，可以使用以下公式：$$ \\begin{aligned} ρ &= \\sqrt{r^2 + z^2} \\\\ \\phi &=\\arctan\\left(\\frac{r}{z}\\right) \\\\ \\theta &= \\theta \\end{aligned} $$ 类似地，要将球坐标转换为柱坐标，可以使用以下公式：$$ \\begin{ali gned} r &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\\\ z &= ρ \\cdot \\cos(\\phi) \\\\ \\theta &= \\theta \\end{aligned} $$应用和总结柱坐标和球坐标在不同的场景中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和计算机图形学领域。
柱坐标与球坐标系简介
柱坐标与球坐标系简介
在数学和物理学中，柱坐标和球坐标系是描述三维空间中点的两种常用坐标系。
它们为研究三维问题提供了方便的工具，可以使问题的表达和求解更加简洁。
柱坐标系
柱坐标系是一种用圆柱形式来描述三维空间中的点的坐标系。
在柱坐标系中，
一个点的位置由距离原点的长度、与正向x轴的夹角和z坐标组成。
通常用(r, θ, z)来表示一个点的坐标，其中r表示点到原点的距离，θ表示点在x-y平面上的极角，z表示点在z轴上的坐标。
柱坐标系在求解具有轴对称性的问题时特别有用，例如旋转体的体积和表面积
的计算等问题。
球坐标系
球坐标系是通过球坐标来描述三维空间中的点的坐标系。
在球坐标系中，一个
点的位置由距离原点的长度、与正向z轴的夹角和在x-y平面上的极角组成。
通常用(r, θ, φ)来表示一个点的坐标，其中r表示点到原点的距离，θ表示点在x-y平面上的极角，φ表示点在z轴上的极角。
球坐标系常常用于处理具有球对称性或球体几何的问题，例如电场和磁场的计
算等。
它也在计算机图形学和三维建模中被广泛应用。
无论是柱坐标系还是球坐标系，它们都是解决特定类型的问题时十分有效的工具。
通过灵活运用这两种坐标系，我们可以更好地理解和分析三维空间中的问题，为实际问题的求解提供更多的可能性和方法。
柱坐标和球坐标系给了我们描述空间中点位置的不同视角，为解决相关问题提
供了更多的数学工具。
通过学习和掌握这两种坐标系的原理和应用，我们可以在数学和物理领域中更加灵活地处理复杂的三维问题。
圆柱坐标系和球坐标系
圆柱坐标系和球坐标系球坐标系的定义：球坐标是三维坐标系的一种，用以确定三维空间中点、线、面以及体的位置，它以坐标原点为参考点，由方位角、仰角和距离构成。
假设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数r，θ，φ来确定，其中r为原点O与点P间的距离，r∈[0，+∞)θ为有向线段OP与z轴正向的夹角，θ∈[0，π]φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到OM所转过的角，φ∈[0，2π]这里M为点P在xOy面上的投影。
这样的三个数r，φ，θ叫做点P的球面坐标。
当r，θ或φ分别为常数时，可以表示如下特殊曲面：r = 常数，即以原点为心的球面；θ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；φ= 常数，即过z轴的半平面。
球坐标系与直角坐标系间的转换1).球坐标系(r，θ，φ)与直角坐标系(x，y，z)的转换关系:x= r sinθ cosφy= r sinθsinφz = r cosθ球坐标系下的微分关系在球坐标系中，沿基矢方向的三个线段元为：dl(r)=dr，dl(θ)=rdθ，dl(φ)=rsinθdφ球坐标的面元面积是：dS=dl(θ)* dl(φ)=r^2*sinθdθdφ体积元的体积为：dV=dl(r)*dl(θ)*dl(φ)=r^2*sinθdrdθdφ圆柱坐标系的定义：它是二维极坐标系往z-轴的延伸。
添加的第三个坐标专门用来表示P点离xy-平面的高低。
按照国际标准化组织建立的约定(ISO 31-11) ，径向距离、方位角、高度，分别标记为。
如图右，P 点的圆柱坐标是。
是P 点与z-轴的垂直距离。
是线OP 在xy-面的投影线与正x-轴之间的夹角。
与直角坐标的等值。
圆柱坐标系与直角坐标系间的转换1).圆柱坐标系(r，φ，z)与直角坐标系(x，y，z)的转换关系:x=r co sφy=r sinφz=z圆柱坐标系下的微分关系在球坐标系中，沿基矢方向的三个线段元为：dl(r)=dr，dl(φ)=rdφ，dl(z)= dz球坐标的面元面积是：dS=dl(θ)* dl(z)=r dφ dz体积元的体积为：dV=dl(r)*dl(φ)*dl(z)=r dr dφ dz。
人教版高中数学选修4-4(1.4)柱坐标系与球坐标系简介ppt课件
2019/7/8
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如图所示，点C1的(x，y，z)分别对应着CD，BC，CC1；点C1的(ρ，θ，z) 应着CA，∠BAC，CC1；点C1的(r，φ，θ)分别对应着AC1，∠A1AC1，∠BAC.
标为解 (12析，π6：， 点1C21)， 的点 空间 C1直的角球坐坐标标为为((612
,，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
解析：将 P，Q 两点球的坐标转化为直角坐标，得
点 P：x＝3sin
π 6cos
4π＝3 4 2，
y＝3sin
π 6sin
π4＝3 4 2，
z＝3cos π6＝3 2 3，
∴点 P 的直角坐标为3 4 2，3 4 2，3 2 3.
点 Q：x＝3sin
π 6cos
34π＝－3 4 2，
柱坐标系和球坐标系 课件
z＝5，
∴(1,1,5)为所求．
点(r，θ，z)是三维空间坐标系中的点的坐标，在平面 xOy
内实际为极坐标系，且 r≥0,0≤θ＜2π，在竖直方向上，z 为
任意实数．化点的柱坐标(r，θ，z)为直角坐标(x，y，z)，需
要运用公式yx＝＝rrscions θθ z＝z
转化为三角函数的求值与运算即得．
∴(－1，－1，－ 2)为所求．
首先要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角 φ，θ 的边与数轴 Oz，Ox 的关系，注意各自的限定范围，即 0≤φ≤π，0≤θ ＜2π.
化点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用
公式yx＝＝rrssiinn
φcos φsin
θ， θ，
z＝rcos φ
转化为三角函数的求值与1，建立空间直角坐标系 O－xyz.设 M(x，y， z)为空间一点，并设点 M 在 xOy 平面上的投影点 P 的极坐标 为(r，θ)，则这样的三个数 r，θ，z 构成的有序数组(r，θ，z) 就叫作点 M 的 柱坐标 ，这里规定 r，θ，z 的变化范围为 0≤r ＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z＜＋∞.
图 1－3－1
特别地， r＝常数，表示的是以 z 轴为轴的圆柱面； θ＝常数，表示的是过 z 轴的半平面； z＝常数，表示的是与 xOy 平面平行的平面．
2．球坐标系 设 M(x，y，z)为空间一点，点 M 可用这样三个有次序的 数 r，φ，θ 来确定，其中 r 为原点 O 到点 M 间的距离，φ 为
2．在空间的柱坐标系中，方程 r＝r0(r0 为不等于 0 的常 数)，θ＝θ0，z＝z0 分别表示什么图形？
【提示】 在空间的柱坐标系 中，方程 r＝r0 表示中心轴为 z 轴，底 半径为 r0 的圆柱面，它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的．方程 θ＝θ0 表示与 zOx 坐标面成 θ0 角的半平 面．方程 z＝z0 表示平行于 xOy 坐标面 的平面，如图所示．
柱坐标与球坐标系简介ppt课件
栏 目 链
(2)求点C的和点D的直角坐标、柱坐标以及球坐
接
标．
分析：利用点的直角坐标、柱坐标以及球坐标的转化公式，结合
图形运用方程求解．
解析：(1)点 C1 的直角坐标为(1，1，1)，设点 C1 的柱坐标为(ρ，
θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，其中 ρ≥0，r≥0，0≤φ≤π，0≤θ 栏
目
＜2π，
x2＋y2＋z2，
φ＝zr.
在
目 链 接
用三角函数值求角时，要结合图形确定角的取值范围再求值，若不是
特殊角，可以设定角，然后明确其余弦值或正切值，并标注角的取值
范围即可．
►变式训练
1．如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1的边长AB＝
6，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点A为坐标原
点，以射线AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴的正半
接
正解一：M
2，π4 ，1的直角坐标为：
π x＝ 2·cos 4 ＝1， y＝ 2·sinπ4 ＝1， z＝1，
∴M 关于原点 O 的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)，
ρ＝ x2＋y2＝ 2，
则 tan θ＝xy＝1，
z＝－1，
栏
目
∴M 关于原点 O 的对称点的柱坐标为
2，5π4 ，－1.
要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角 φ，θ的边与坐标轴 Oz，Ox 的关
系，注意各自的限定范围，即 0≤φ≤π，0≤θ＜2π，化点的球坐 栏
目
x＝rsin 标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式y＝rsin
φcos φsin
θ， θ，
链 接
z＝rcos φ
转化为三角函数的求值与运算即可．
高中数学第一讲四柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系课件新人教A版选修4-4
将直角坐标化为柱坐标
[例 1] 设点 A 的直角坐标为(1， 3，5)，求它的柱坐标． [思路点拨] 由公式求出 ρ，再由 tan θ＝xy求 θ.
已知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和 θ，尤其是θ，要注意求出tan θ后，还要根据点所在象限 确定θ的值(θ的范围是[0,2π))．
1．点A的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标．
四
柱坐标系与球坐标系简介
1．柱坐标系
柱坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系 Oxyz，设 P 是空间任意一点，它在 Oxy 平面上的射影为 Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，这时点 P 的位置可用有序数组 (ρ，θ，z) (z∈R)表示．这 样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系．把 建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点 P 的柱坐标，记作 P(ρ，θ，z) ，其中_ρ_≥__0_,_0_≤__θ_＜__2_π_，__z_∈__R_.
解：ρ2＝x2＋y2＝12＋12＝2，∴ρ＝ 2， 又tan θ＝1，x>0，y>0，点在第一象限．
∴θ＝π4，
∴点A的柱坐标为
பைடு நூலகம்
2，π4，1.
将点的柱坐标化为直角坐标
[例 2] 已知点 P 的柱坐标为4，π3，8，求它的直角坐标． [思路点拨] 直接利用公式求解．
已知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， z＝z
即可．
3．点N的柱坐标为2，π2，3，求它的直角坐标．
x＝ρcos θ， 解：由变换公式y＝ρsin θ， 得
z＝z， x＝ρcos θ＝2cosπ2＝0，y＝ρsin θ＝2·sinπ2＝2， 故点 N 的直角坐标为(0,2,3)．
2019版三维方案数学同步人教A版选修4-4 第一讲 四 柱坐标系与球坐标系简介
束
四
柱坐标系与球坐标系简介
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结
束
1．柱坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任意一 点，它在 Oxy 平面上的射影为 Q，用 (ρ， θ)(ρ≥0,0≤ θ＜ 2π) 表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标， 这时点 P 的位置可用有序 数组 (ρ，θ，z) (z∈ R)表示，这样，我们建立了空间的点与 有序数组(ρ， θ， z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关 系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点 P 的柱 坐标，记作 P(ρ，θ，z) ，其中
即 ρ2＝ 12＋( 3)2＝ 4，∴ ρ＝ 2. y tan θ＝ ＝ 3，又 x＞ 0， y＞ 0. x
π π ∴ θ＝ ，∴点 A 的柱坐标为2， ， 5. 3 3
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结
束
x＝ ρcos θ， (2)由变换公式y＝ ρsin θ， z＝ z π π 得 x＝ 4cos ＝ 2， y＝ 4sin ＝ 2 3， z＝ 8. 3 3 ∴点 P 的直角坐标为(2,2 3， 8)．
结
束
柱坐标与直角坐标的互相转化
[例 1] (1)设点 A 的直角坐标为(1， 3，5)，求它的柱坐标．
π 的柱坐标为4， ，8，求它的直角坐标． 3
(2)已知点 P
[思路点拨]
直接利用变换公式求解．
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束
[ 解]
x＝ ρcos θ， 2 2 2 y ＝ ρ sin θ ，得 ρ ＝ x ＋ y ， (1)由变换公式 z＝ z，
柱坐标和球坐标公式
柱坐标和球坐标公式
在数学和物理学中，柱坐标和球坐标是表示空间中点的两种常用坐标系。
这两种坐标系是笛卡尔坐标系的重要扩展，能够更好地描述三维空间中的点的位置。
柱坐标
柱坐标是三维空间中的一种坐标系，通常用来描述点相对于原点的位置。
在柱坐标系中，一个点的位置由径向(r)、极角(θ)和高度(z)三个坐标值来确定。
柱坐标系和笛卡尔坐标系之间的转换关系如下： - x = r * cos(θ) - y = r * sin(θ) - z = z
其中，r表示点到z轴的距离，θ表示点在xy平面内的极角，z表示点在z轴上的高度。
球坐标
球坐标是另一种常用的三维空间坐标系，用来描述点相对于原点的位置。
球坐标系由径向(r)、极角(θ)和方位角(φ)三个坐标值来确定一个点的位置。
球坐标系和笛卡尔坐标系之间的转换关系如下： - x = r * sin(θ) * cos(φ) - y = r * sin(θ) * sin(φ) - z = r * cos(θ)
其中，r表示点到原点的距离，θ表示点到正z轴的倾角，φ表示点在xy平面上的旋转角度。
柱坐标和球坐标的应用
柱坐标和球坐标在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，利用柱坐标和球坐标可以更方便地描述和计算力、电场等的分布情况；在工程学中，柱坐标和球坐标可以简化对结构的分析和设计；在计算机图形学中，通过柱坐标和球坐标可以更加自然地进行三维建模和渲染。
总的来说，柱坐标和球坐标是解决三维空间中点位置描述问题的有力工具，它们为研究人员和工程师提供了更多的选择和便利。
通过深入理解柱坐标和球坐标的原理和转换关系，可以更好地应用它们解决实际问题。
球坐标系和柱坐标系
球坐标系和柱坐标系球坐标系和柱坐标系是空间解析几何中常用的坐标系，它们可以用来描述三维空间中的点的位置和方向。
本文将介绍球坐标系和柱坐标系的定义、坐标变换以及其在不同领域的应用。
一、球坐标系球坐标系是一种三维坐标系，用来描述三维空间中的点的位置。
它由径向距离r、极角θ和方位角φ来确定一个点的坐标。
径向距离r表示点到坐标原点的距离，极角θ表示点与正z轴的夹角，方位角φ表示点在x-y平面上投影与正x轴的夹角。
在球坐标系中，一个点的坐标可以表示为(r,θ,φ)。
坐标变换公式如下：```x = r * sinθ * cosφy = r * sinθ * sinφz = r * cosθ```球坐标系常见于物理学、天文学和计算机图形学等领域的问题求解。
物理学中常用球坐标系描述粒子在空间中的位置和动量，能够简化很多问题的求解过程。
在天文学中，球坐标系可以用来描述星体的位置和运动轨迹。
二、柱坐标系柱坐标系是另一种常见的三维坐标系，适用于平面内与柱面有关的问题。
柱坐标系由极径ρ、极角θ和高度z来确定一个点的坐标。
极径ρ表示点到z轴的距离，极角θ表示点在x-y平面上的投影与正x轴的夹角，高度z表示点在z轴上的坐标。
柱坐标系中，一个点的坐标可以表示为(ρ,θ,z)。
坐标变换公式如下：```x = ρ * cosθy = ρ * sinθz = z```柱坐标系常见于物理学、工程学和流体力学等领域的问题求解。
在工程学中，柱坐标系常用于描述圆柱形结构的变形和应力分布，能够更直观地理解和解决与柱面相关的工程问题。
在流体力学中，柱坐标系可以用来描述圆柱形容器中的流体流动规律。
综上所述，球坐标系和柱坐标系是在三维空间中描述点的位置和方向的常用坐标系。
它们各自具有独特的特点和应用场景，在不同领域的问题求解中发挥着重要作用。
熟练掌握球坐标系和柱坐标系的定义和坐标变换公式，对于解决相关问题具有重要意义。
球坐标系和柱坐标系的转换关系
球坐标系和柱坐标系的转换关系一、引言球坐标系和柱坐标系是数学中常用的坐标系之一，它们在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
球坐标系可以描述三维空间中的点的位置，由径向距离、极角和方位角三个参数确定；而柱坐标系则由径向距离、极角和高度三个参数确定。
本文将详细介绍球坐标系和柱坐标系之间的转换关系。
二、球坐标系和柱坐标系的定义球坐标系是通过一个点到原点的距离、与正半轴的夹角和与x轴的夹角来确定该点的位置。
其中，径向距离r表示点到原点的距离，极角θ表示点与正半轴的夹角，方位角φ表示点与x轴的夹角。
柱坐标系是通过一个点到原点的距离、与正半轴的夹角和该点在z 轴上的投影来确定该点的位置。
其中，径向距离ρ表示点到原点的距离，极角θ表示点与正半轴的夹角，高度z表示点在z轴上的投影。
三、球坐标系到柱坐标系的转换为了将球坐标系转换为柱坐标系，我们可以利用以下公式：1. 将球坐标系中的径向距离r转换为柱坐标系中的径向距离ρ：ρ = r * sin(θ)2. 将球坐标系中的极角θ转换为柱坐标系中的极角θ：θ = θ3. 将球坐标系中的方位角φ转换为柱坐标系中的高度z：z = r * cos(θ)四、柱坐标系到球坐标系的转换同样地，我们也可以将柱坐标系转换为球坐标系，具体的转换关系如下：1. 将柱坐标系中的径向距离ρ转换为球坐标系中的径向距离r：r = √(ρ^2 + z^2)2. 将柱坐标系中的极角θ转换为球坐标系中的极角θ：θ = θ3. 将柱坐标系中的高度z转换为球坐标系中的方位角φ：φ = arctan(z / ρ)五、总结球坐标系和柱坐标系是描述三维空间中点的位置的重要坐标系。
它们之间的转换关系可以通过一些简单的公式来实现。
在实际应用中，我们可以根据需要选择合适的坐标系进行计算和分析。
通过掌握球坐标系和柱坐标系之间的转换关系，我们可以更加灵活地处理三维空间中的问题，提高问题求解的效率和准确性。
六、参考文献[1] 高等数学. 第七版. 同济大学数学系编著. 高等教育出版社.[2] 高等代数与解析几何. 第五版. 同济大学数学系编著. 高等教育出版社.。
《球坐标柱坐标》课件
球坐标系定义
球坐标系是一种三维坐标系，用于描述空间中的点 球坐标系由三个参数组成：经度、纬度和高度 经度表示点在赤道平面上的投影与原点连线与赤道平面的夹角 纬度表示点在赤道平面上的投影与原点连线与赤道平面的夹角 高度表示点在垂直于赤道平面的方向上的距离 球坐标系广泛应用于天文学、地理学、物理学等领域
球坐标系中的点表示
球坐标系：由三个坐标轴组成，分别是径向、极向和方位角
径向坐标：表示点到原点的距离
极向坐标：表示点在垂直于原点的平面上的投影
方位角：表示点在垂直于原点的平面上的旋转角度
球坐标系中的点表示：由三个坐标值（径向、极向和方位角）组成， 可以唯一确定一个点在空间中的位置
球坐标系中的向量表示
在几何学中的应用
柱坐标：描述二维平面上的 点
球坐标：描述三维空间中的 点
应用实例：计算两点之间的 距离、角度等
应用实例：解决几何问题， 如求面积、体积等
在工程学中的应用
建筑设计：用于建筑结构设计 和空间布局
机械设计：用于机械零件设计 和装配
航空航天：用于飞行器设计和 导航
电子通信：用于天线设计和信 号传输
球坐标系：由三个坐标轴组成，分别是径向、极向和方位角
向量表示：在球坐标系中，向量可以用三个坐标轴上的分量来表示
分量表示：径向分量表示向量的长度，极向分量表示向量的方向，方位角分量表示向 量的旋转角度
向量运算：在球坐标系中，向量可以进行加法、减法、点积、叉积等运算
球坐标系中的曲线和曲面
球坐标系中的曲线：球面曲线、球 面螺旋线等
定义与意义
球坐标：以球心为原点，以半径为长度，以角度为方向的坐标系统
柱坐标：以原点为原点，以轴为长度，以角度为方向的坐标系统
柱坐标与球坐标系
(2)3，56π，53π.
解 ∵(r，φ，θ)＝3，56π，53π，
x＝rsin φcos θ＝3sin
5π 6 cos
53π＝34，
∴y＝rsin φsin θ＝3sin
5π 6 sin
53π＝－3 4 3，
z＝rcos φ＝3cos
56π＝－3
3 2.
∴34，－3
4
3，－3
2
3为所求.
解答
解 由变换公式y＝ρsin θ，
z＝z， 得 x＝4cos π3＝2，y＝4sin π3＝2 3，z＝8. ∴点 P 的直角坐标为感悟
(1)由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为 x＝ρcos θ，
(ρ，θ，z)，代入变换公式 y＝ρsin θ，求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.
答案
梳理
柱坐标系的概念 (1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一 点，它在平面Oxy上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0, 0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标.这时点P的位 置可用有序数组 (ρ，θ，z) (z∈R)表示，这样，我们建 立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种
z＝z， 利用tan θ＝ y ，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ
x 的取值.
(2)点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同.
跟踪训练1 (1)已知点M的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标； 解 ρ＝ x2＋y2＝ 02＋12＝1. ∵x＝0，y>0，∴θ＝π2. ∴点 M 的柱坐标为(1，π2，2).
2.柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中 的一部分建立起来的，空间任一点P的位置可以用有序数组(ρ，θ，z)表 示，(ρ，θ)是点P在Oxy平面上的射影Q的极坐标，z是P在空间直角坐标 系中的竖坐标.
1.4 柱坐标系与球坐标系
1.8
z
A
1.8
17
12
x 302 O
根据坐标思想，我们可以建立空间坐标系可 以用数组A(302，17 ，1.8)表示点A的准确位置。
12
定义：建立空间直角坐标系
Oxyz.设P是空间任意Leabharlann 点，在oxy平面的射影为Q，
z P(ρ,θ,Z)
用(ρ ,θ )表示点Q在 平面oxy上的极坐标，
点P的位置可用有序数
解：r x2 y2 z2＝2,
cosj z ＝ 2 且0 j ,j＝3
r2
4
tan y ＝1且0 2，(且y>0)＝3
x
4
所以，C点的球坐标为 (2, 3 , 3 )
44
小结：
数轴
平面直角坐标系
坐标系是 联系形与数的
1、坐标系
平面极坐标系 桥梁,利用坐标
r —半径
— －纬度
2
—经度
z
P(r, j ,)
j
r o
θQ x
2、球坐标系
设P是空间任意一点， 在oxy平面的射影为Q，
z
P (r, j,θ)
连接OP，记| OP |=r，
jr
OP与Oz轴正向所
o
夹的角为 j .
θ
y
Ox轴按逆时针方向
x
Q
旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.
这样点 P 的位置就可以用有序数组(r,j ,θ)表示.
34.已)，知O求点Q它N的的直球O角P坐坐标co标为s(.(2，x34j，)
o θ
r sin
j
Q
y
2
x OQ cos r sin j cos
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究
业
系，空间点的坐标都是三个数值的有序数组.
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
点的柱坐标与直角坐标互化
课
当
前
堂
自 主
(1)设点 M 的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标
双 基
导
达
学 系中的坐标．
标
(2)设点 N 的柱坐标为(π，π，π)，求它的直角坐标．
课
【思路探究】 (1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱
课 堂 互 动
∴|P1P2|＝
0＋322－ 262＋
3－12＝
30－ 2
10 .
课 时
探
作
究
业
柱坐标及球坐标问题可以统一化为直角坐标问题来解
决．
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
在球坐标系中，求两点 P(3，π6，4π)，Q(3，π6，34π)的距离．
课
【解】 将 P、Q 两点球坐标转化为直角坐标．设点 P 当
2．球坐标系
课
当
前
堂
自
双
主
基
导
达
学
标
图 1－4－2
课
堂 互
建立如图 1－4－2 所示的空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空 课
动
时
探 究
间任意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的
作 业
角为 φ.
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转
菜单
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1．由直角坐标化为球坐标时，我们可以选设点 M 的球
课 前
x＝rsin φcos θ，
当 堂
自
双
主 导 学
坐标为(r，φ，θ)，再利用变换公式y＝rsin φsin θ， z＝rcos φ.
求出 r， 基 达 标
θ，φ.
课 堂 互 动
2．利用 r2＝x2＋y2＋z2，tan θ＝xy，cos φ＝zr.特别注意由
前
堂
自 主
的直角坐标为(x，y，z)，
双 基
导
达
学
x＝3sin
基 达
学
标
【自主解答】 (1)设 M 的柱坐标为(ρ，θ，z)，
1＝ρcos θ，
课 堂 互 动 探
则由1＝ρsin θ，
z＝1，
解之得，ρ＝ 2，θ＝π4.
课 时 作
究
业
因此，点 M 的柱坐标为( 2，4π，1)．
菜单
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(2)设 N 的直角坐标为(x，y，z)，
课
堂 互
空间点 P(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换公式为 课
动
时
探
x＝rsin φcos θ，
究
作 业
y＝rsin φsin θ，
z＝rcos φ
.
菜单
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课
1．要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什 当
前
堂
自 么限制？
双
主
基
导
达
学
【提示】 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一 标
基 达
学
标
(1)由于 ρ＝ x2＋y2＝ 12＋12＝ 2.
课 堂
又 tan θ＝yx＝1，
互
课
动 探 究
∴θ＝π4.
时 作 业
因此点 C 的柱坐标为( 2，π4，0)．
菜单
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课 前
(2)由 r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋12＋0＝ 2.
当 堂
自
双
主 导 学
∴cos φ＝rz＝0，
课 时
探 究
直角坐标求球坐标时，应首先看明白点所在的象限，准确取
作 业
值，才能无误．
菜单
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若本例中条件不变，求点 C 的柱坐标和球坐标．
【解】 易知 C 的直角坐标为(1,1,0)．
课
当
前
设点 C 的柱坐标为(ρ，θ，0)，球坐标为(r，φ，θ)，其中 堂
自
双
主 导
0≤φ≤π，0≤θ<2π.
个是距离．
课
2．在柱坐标系中，方程 ρ＝1 表示空间中的什么曲面？
堂
互 动
在球坐标系中，方程 r＝1 分别表示空间中的什么曲面？
课 时
探 究
【提示】
ρ＝1 表示以 z 轴为中心，以 1 为半径的圆柱
作 业
面；球坐标系中，方程 r＝1 表示球心在原点的单位球面．
菜单
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3．空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系的联系和区别
课 堂
故所求点的直角坐标为(1,1,5)．
互
课
动
时
探
作
究
业
菜单
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将点的球坐标化为直角坐标
课
已知点 M 的球坐标为(2，34π，34π)，求它的直角 当
前
堂
自 主
坐标．
双 基
导
达
学
【思路探究】 球坐标 x―＝―r―sin―φ―co―sz＝θ―，r―cyo―＝s ―φrs―in―φ― sin―θ→， 标
课
当
前
堂
自 主
x＝ρcos θ， x＝πcos π，
双 基
导 学
则由y＝ρsin θ， 得y＝πsin π，
达 标
z＝z，
z＝π，
课 堂 互
x＝－π， ∴y＝0， 因此，点 N 的直角坐标为(－π，0，π)． 课
动 探
z＝π.
究
时 作 业
菜单
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3，
(1)y＝ρsin θ＝2sin56π＝1，
z＝3，
课 时 作 业
因此所求点的直角坐标为(－ 3，1,3)．
菜单
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课 前 自 主 导 学
x＝ρcos θ＝
2cosπ4＝1，
(2)y＝ρsin θ＝ 2sin4π＝1，
当 堂 双 基 达 标
z＝5.
动
时
探 究
其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π)．
作 业
菜单
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3．空间直角坐标与柱坐标的转化
空间点 P(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为
课 前 自 主
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ，
当 堂 双 基
导 学
z＝z
.
达 标
4．空间直角坐标与球坐标的关系
课 前
M 的直角坐标．
当 堂
自
【解】 设 M 的直角坐标为(x，y，z)．
双
主
基
导
达
学
x＝rsin
φcos
θ＝3sin56πcos53π＝34，
标
课 堂 互 动 探 究
则y＝rsin
φsin
θ＝3sin56πsin53π＝－34
3，
z＝rcos
φ＝3cos56π＝－3
2
3 .
课 时 作 业
课
直角坐标
堂
互
课
动
时
探
作
究
业
菜单
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【自主解答】 设点的直角坐标为(x，y，z)．
课
当
前
堂
自 主 导 学
x＝2sin34πcos34π＝2× 22×－ 22＝－1，
双 基 达 标
则y＝2sin34πsin34π＝2× 22× 22＝1，
课 堂 互
z＝2cos34π＝2×－ 22＝－ 2.
∴点 M 的直角坐标为(34，－343，－323)．
菜单
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空间点的直角坐标化为球坐标
已知长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，底面正方形
课 前
ABCD 的边长为 1，棱 AA1 的长为 2，如图 1－4－3 所示，
当 堂
自
双
主 导
建立空间直角坐标系 Axyz，Ax 为极轴，求点 C1 的直角坐标
基 达 标
∴φ＝π2.
课
堂 互 动
故点 C 的球坐标为( 2，π2，π4)．
探
课 时 作
究
业
菜单
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柱坐标系、球坐标系的应用
课
已知点 P1 的球坐标是 P1(2 3，3π，π4)，P2 的柱 当
前
堂
自 主 导
坐标是 P2( 6，π6，1)，求|P1P2|.
双 基 达
学
标
【思路探究】 可把两点坐标均化为空间直角坐标，再
课
当
前
堂
自
双
主
基
导
达
学
标
图 1－4－1
课
如图 1－4－1 所示，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空
堂
互 动
课
间 任 意 一 点 ． 它 在 Oxy 平 面 上 的 射 影 为 Q ， 用 (ρ ， 时
探
作
究
业
θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，这时点 P
的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．
互
课
动 探 究
∴P1 的直角坐标为(322，322， 3)．