2002年高考数学试题(江苏卷)及答案

A 2002年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学
第I 卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）函数x
x
x f cos 2sin )(=的最小正周期是（ ）。

A.
2
π
B. π
C. π2
D. π4 （2）圆1)1(2
2=+-y x 的圆心到直线x y 3
3
=
的距离是（ ）。

A.
2
1
B. 23
C. 1
D. 3
（3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（ ）
A. }10|{<≤x x
B. }10|{-≠<x x x 且
C. }11|{<<-x x
D. }11|{-≠<x x x 且 （4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为（ ）
A. )45,()2,4(ππππ⋃
B. ),4(ππ
C. )45,4(ππ
D. )2
3
,45(),4(ππππ⋃
（5）设集合},2
1
4|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==，则（ ）
A. N M =
B. N M ⊂
C. N M ⊃
D. φ=N M
（6）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（ ）。

A.
43 B. 54 C. 53 D. 5
3
- （7）函数b a x x x f ++=||)(是奇函数的充要条件是（ ）
A.ab=0
B. a+b=0
C. a=b
D. 02
2=+b a （8）已知10<<<<a y x ，则有（ ）。

A. 0)(log <xy a
B. 1)(log 0<<xy a
C. 2)(log 1<<xy a
D.2)(log >xy a
（9）函数1
1
1--=x y
A. 在（+∞-,1）内单调递增
B. 在（+∞-,1）内单调递减
C. 在（+∞,1）内单调递增
D. 在（+∞,1）内单调递减
（10） 极坐标方程θρcos =与1cos =θρ
（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2 A.8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种
（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“五十⋅”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到
“五十⋅”末，我国国内生产总值约为（ ）。

A. 115 000 亿元
B. 120 000亿元
C. 127 000亿元 Ｄ. 135 000亿元
第II 卷（非选择题共90分）
二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

图1 图2 图3
（13）椭圆552
2=+ky x 的一个焦点是（0，2），那么k= 。

（14）7
2
)2)(1(-+x x 的展开式中3
x 项的系数是 。

（15）已知)),2
(
(2cos sin ππ
ααα∈=，则=αtg 。

（16）已知函数,1)(22x x x f +=那么)21()2()1(f f f ++)4
1
()4()31()3(f f f f ++++= 。

三. 解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）
已知复数i z +=1，求实数a,b 使2
)2(2z a z b az +=+ （18）（本小题满分12分）
设}{n a 为等差数列，}{n b 为等比数列，34234211,,1a b b b a a b a ==+==，分别求出}{n a 及}{n b 的前10项的和10S 及10T 。

（19）（本小题满分 12分）
四棱锥ABCD P -的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD （I ）若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为
60，求这个四棱锥的体积；
（II ）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于
90。

（20）（本小题满分12分）
设A 、B 是双曲线12
2
2
=-y x 上的两点，点N （1，2）是线段AB 的中点。

（I ）求直线AB 的方程。

（II ）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？ （21）（本小题满分12分，附加题满分4分）
（I ）给出两块面积相同的正三角形纸片（如图1，图2）,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明。

（II ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。

（III ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分。

） 如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三
角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明。

（22）（本小题满分14分） 已知0>a ，函数2
)(bx ax x f -=
（I ）当b>0时，若对任意R x ∈都有1)(≤x f ，证明b a 2≤
（II ）当b>1时，证明：对任意]1,0[∈x ，1|)(|≤x f 的充要条件是b a b 21≤≤-； （III ）当10≤<b 时，讨论：对任意]1,0[∈x ，1|)(|≤x f 的充要条件。

P
2002年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案
说明：
一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一. 选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,满分60分。

（1）C （2）A （3）D （4）C （5）B （6）C （7）D （8）D （9）C （10）B （11）B （12）C
二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题4分，满分16 分。

（13）1 （14）1 008 （15）33-
（16）2
7 三. 解答题
（17）本小题主要考查复数的基础知识和基本运算技能。

满分12分。

解：因为i z +=1
2222(2)(2)(2)(2)44(2)(4)4(2)az bz a b a b i a z a a i a a a i ∴+=++-+=+-++=+++
因为b a ,都是实数，
所以由2
)2(2z a z b az +=+得⎩⎨⎧+=-+=+)
2(42422a b a a a b a 两式相加，整理得0862
=++a a
解得：4,221-=-=a a 对应得2,121=-=b b 所以，所求实数为2-=a ，1-=b 或2,4=-=b a
（18）本小题主要考查等差数列，等比数列基础知识，以及运算能力和推理能力。

满分12分。

解：因为}{n a 为等差数列，}{n b 为等比数列。

2
342342,2b b b a a a ==+∴ 已知342342,a b b b a a ==+ 2
3333,2b a a b ==∴ 得：2
332b b = 因为03≠b 4
1,2133==∴a b 由41,131=
=a a 知}{n a 的公差为83-=d 8
55
291010110-=⨯+=∴d a S
由2
1
,131==b b 知}{n b 的公比为2222-==q q 或 当22
=q 时，)22(32311)1(10110+=--=
q q b T 当2
2
-=q 时，)22(32311)1(10110-=--=
q q b T （19）本小题考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力，满分12分。

（I ）解：因为⊥PB 面ABCD 。

所以BA 是PA 在面ABCD 上的射影 又AB DA ⊥， 所以DA PA ⊥
∴∠PAB 是面PAD 与面ABCD 所成的二面角的平面角∴
60=∠PAB
而PB 是四棱锥ABCD P -的高，PB=AB a tg 360=
⨯
323
3331a a a V =⨯⨯=
∴锥 （II ）证：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为全等三角形。

作DP AE ⊥，垂足为E ，连结EC ，则CDE ADE ∆≅∆
90,=∠=∴CED CE AE
故CEA ∠是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角 设AC 与DB 相交于点O ，连结EO ，则AC EO ⊥ a AD AE OA a =<<=∴
2
2
在三角形AEC 中，
EC AE OA EC AE AEC ⨯⨯-+=∠2)2(cos 2220)
2)(2(2
<-+=AE
OA AE OA AE 所以，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90度。

（20）本小题主要考查直线、圆、双曲线和坐标法等基本知识，以及逻辑推理能力、运算能力和分析解决问题的能力。

满分12分。

解：（I ）依题意，可设直线AB 的方程为2)1(+-=x k y
代入12
2
2
=-y x ，整理得02)2()2(2)2(222=------k x k k x k （1） 记),(11y x A ，),(22y x B ，则21,x x 是方程(1)的两个不同的根
所以022
≠-k ，且2
212)2(2k k k x x --=+ 由N （1，2）是AB 的中点得：2
11)(21=+x x 2
2)2(k k k -=-∴
解得k=1，所以直线AB 的方程为1+=x y
（II ）将k=1代入方程(1)得0322
=--x x 解出3,121=-=x x
由1+=x y 得4,021==y y 即A 、B 的坐标分别为（-1，0）和（3，4） 由CD 垂直平分AB ，得直线CD 的方程为2)1(+--=x y 即x y -=3
代入双曲线方程，整理得：01162
=-+x x （2）
记),(33y x C ，D ),(44y x ，以及CD 的中点为M （00,y x ） 则43,x x 是方程（2）的两个根，所以11,64343-=-=+x x x x 从而3)(2
1
430-=+=
x x x ，6300=-=x y
||CD ==104]4)[(243243=-+=x x x x
102||2
1
||||==
=∴CD MD MC
又||||MB MA ===
= 即A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，所以A 、B 、C 、D 四点共圆。

（21）本小题主要考查空间想象能力、动手操作能力、探究能力和灵活运用所学知识解决现实问题的能力，满分12分，附加题4分。

解：（I ）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥。

如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的
4
1，有一组对角
为直角，余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底。

（II ）依上面剪拼的方法，有锥柱V V >
推理如下：
设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为4
3
，现在计算它们的高：
13
3026h h tg =
===
锥柱
1()3V V h h ∴-=-=锥柱锥柱024
3
22<-= 所以锥柱V V >
（III ）（附加题，满分4分）
如图3，分别连结三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形，以新作的三角形为直三棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼接成直三棱柱的上底、余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型。

注：考生如有其他的剪拼方法，可比照本标准评分。

图1 图2 图
3
（22）本小题主要考查二次函数、不等式等基础知识，以及逻辑推理能力、运算能力和灵活、综合应用数学知识解决问题的能力。

满分14分。

（I ）证：依设，对任意R x ∈，都有1)(≤x f
因为2224)2()(b
a b a x b x f +--= 14)2(2≤=∴b a b a f 因为0,0>>b a b a 2≤∴ （II ）证： 必要性：
对任意)(11|)(|],1,0[x f x f x ≤-⇒≤∈，据此可以推出)1(1f ≤- 即1-≥-b a 1-≥∴b a 对任意1)(1|)(|],1,0[≤⇒≤∈x f x f x 因为b>1，可以推出1)1
(
≤b f 即111
≤-⨯
b
a b a 2≤∴ b a b 21≤≤-∴
充分性：因为1,1-≥>b a b ，对任意]1,0[∈x ，可以推出：1)(2
2-≥-≥--≥-x x x x b bx ax
即12
-≥-bx ax
因为b a b 2,1≤>，对任意]1,0[∈x ，可以推出122
2
≤-≤-bx x b bx ax 即12
≤-bx ax
1)(1≤≤-∴x f
综上，当b>1时，对任意]1,0[∈x ，1|)(|≤x f 的充要条件是b a b 21≤≤-
（III ）解：因为10,0≤<>b a 时，对任意]1,0[∈x ：1)(2
-≥-≥-=b bx ax x f ，即1)(-≥x f ； 11)1(1)(≤-⇒≤⇒≤b a f x f 即1+≤b a
2
)1()(1bx x b x f b a -+≤⇒+≤1≤，即)(x f 1≤
所以，当10,0≤<>b a 时，对任意]1,0[∈x ，1|)(|≤x f 的充要条件是1+≤b a。