第三章 质点系的运动定理
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三 掌握质点系动能定理、功能原理和机械 能守恒定律，掌握运用动量和能量守恒定律分析 质点系力学问题的思想和方法． 四 掌握质点系的角动量定理；并能运用角动量守 恒定律解决问题。
§3—1 质心 质心运动定律
一 质心
1 质心的概念 质量的中心， 简称质心。 c c c c
c
板上C点的运动 c 轨迹是抛物线
x
0
二 质点系总动量
y
m2
rC
mi ri
i 1
n
r2
m ri i
rC
c
r1 m1
x
m
n
o
z
mrC mi ri
i 1
上式两边对时间 t 求一阶导数，得
n drC dri m mi dt dt i 1
mvC mi vi pi
i
F 0,
ex z
(4) 动量守恒定律是物理学最普遍、最基 本的定律之一．
例2：一静止的原子核衰变辐射出一个电子和一个中微子 后成为一个新的原子核．已知电子和中微子的运动方向互 相垂直，且电子动量为1.210-22 kg· s-1，中微子的动量 m· 为6.410-23 kg· s-1．问新的原子核的动量的值和方向如 m· pe (电子) 何？
对称的实物，质心位于其几何中心处；
2.不太大的实物，质心与重心相重合。
例1：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。 解：建立如图所示的坐标 系。组成系统的三个质点 的坐标分别为: （0，0）；（x1,y1)；（x2,0） 所以质心坐标为：
1 2
y
2
（x1，y1）
1
3
(x2,0) x
2
o (0,0)
Mgx mg ρxg L
绳作用于桌面的压力 F总=F+mg=3Mgx/L=3mg
三 质点系的动量守恒定律 ex t 质点系动 I F dt pi pi 0 量定理 t0 i exi ex 若质点系所受的合外力 F Fi 0
则系统的总动量不变
c
其余点的运动=随C点的平动+绕C点的转动 板的运动=板的平动+绕C点的转动
2 质心的位置
y
m2
由n个质点组成 的质点系，其质心 的位矢：
r2
m ri i c
rc
r1 m1
o
z
mi ri
i 1 n
x
m1r1 m2 r2 mi ri rC m1 m2 mi
解：仪器舱相对于地的速度为：
v1 v2 v1'
据动量守恒定律有：
y
s
v
y'
(m1 m2 )v m1v1 m2 v2 o
z
z'
m2
v 2 v1'
m1
s'
o'
x x'
m1 v2 v v' 2.17 10 3 m s 1 m1 m2
v1 3.17 10 m s
例3：一枚返回式火箭以u= 2.5103 m·-1 的速率相对惯性系S沿水平 s 方向飞行．空气阻力不计．现使火箭分离为两部分, 前方的仪器舱 m1=100 kg,后方的火箭容器m2=200 kg,仪器舱相对火箭容器的水平 速率为u1´=1.0103 m·-1．求仪器舱和火箭容器相对惯性系的速 s 度．
1
m 0 mx mx x x x 3m 3 m 0 my m 0 y y 3m 3
c
1
1
c
例2 求质量为m,半径为R的半圆形均匀薄板的质心。 y 解：该薄板的面密度 s 2m p R 2
建立如图所示的坐标系,任取一小 面元ds,其面积为: ds rdrdq
作用于系统的合外力的冲量等于系统 动量的增量——质点系动量定理
ex F F1 F2 FN
t2 ex t1 i 2i
分量表示 I i 注意
F dt m m
1i
i x,y,z
区分外力和内力 内力仅能改变系统内某个物体的 动量，但不能改变系统的总动量.
解 由动量守恒定律有：
pe pν pN 0 pN ( pe pν ) p p e ν
2 e 2 12 ν
α
pν(中微子)
q
pN
pN ( p p ) 1.36 10 22 kg m s 1
图中 arctan(pe / pν ) 61.9o 而 q 180 o 61.9o 118 .1o
' m1 x1 m2 x2 m1 x1' m2 x2
m1 x1 m2 x2 xC m1 m2
m2 ( x2 x ) m1 ( x x1 )
' 2 ' 1
' ' x 由图可知： 2 x2 d , x1 x1 l d
代入上式得：
d m1l /(m1 m2 ) 0.8m
3
1
§3—3 质点系的动能定理和机械能守恒 一 质点系的动能定理
对第 i 个质点，有
m1
ex Fi
Wi Wi Eki Eki 0
ex in
in m i m2 Fi
外力功 内力功
对质点系，有
W
i
ex
i
Wi Eki Eki 0 Ek Ek 0
in i i
m
对质量离散分布的物系：
xC
m x
i 1
n
i i
m m 对质量连续分布的物体： 1 1 xC xdm yC ydm m m
yC
m y
i 1 i
n
i
zC
m z
i 1
n
i i
m
1 zC zdm m
注 1.质心的坐标值与坐标系的选取有关，但质心相对 意： 于质点系的位置不变。比如，质量分布均匀、形状
F1
F21 F12
m1
F2
m2
Fi
n i 1
ex Fi
n i 1
ex maC F
作用在系统上的合外力等于系统的总质量乘以质 心的加速度——质心运动定律
例3：如图所示，水平桌面上铺一张纸，纸上放一个球， 球的质量为M，将纸向右拉时，会有摩擦力 F作用于球 上，求：t 秒后球相对桌面移动多少距离？ 解：
m1 x1 m2 x2 xC m1 m2 m1 x1 m2 x2 人移动到船右端时，船的质心坐标 xC ’, 此时系统质心坐标为 为图中Cb m1 m2
m1 x1 m2 x2 xC m1 m2
因系统在水平方向不 受力的作用，又因系 统原来质心静止，所 以在人走动过程中系 统质心位置始终不变. 即xc=xcˊ,所以有：
F Ma c
y
F ac M
匀加速运动
o
F
x
t秒后球沿拉动纸的方向相 对于桌面移动的距离
1 1F x at t 2 2M
2 c c
2
例4：一质量m1=50kg的人站在一条质量m2=200kg,长度 l=4m的船的船头上。开始时船静止，试求当人走到船尾 时船移动的距离。（水阻力不计） 解：建立坐标系,图中 Cb 表示人移动前船的 质心位置，此时船和 人组成的系统的质心 坐标为：
ex
质点系动能定理 W
W Ek E k 0
in
i
注意
内力可以改变质点系的动能
二 一对内力的功
系统内任意二质点1、2 间内力作的功
z
dr1
1
r1 r2 O
int F12 F int dr 21 2
2
W F dr 2 F dr1
int
int 21
int 12
y
F dr 2 F dr1 F d(r 2 r 1 )
i
时,可近似地认为系统总动量守恒．
ex ex ex (3) 若 F Fi 0，但满足 Fx 0
有 px
m v
i
i
ix
Cx
i
F
F
ex x
ex y
wk.baidu.com
0,
0,
i
px mi vix Cx
i
p y mi viy C y
pz mi viz Cz
在质心系中质点系总动量为：p mi i m c 0
i
质心系又称为零动量参考系。
二 质点系的动量定理 对两质点分别应用质 点动量定理：
质点系
m2 m1 ( F1 F12 )dt m1v1 m1v10 t1 t2 t1 (F2 F21)dt m2 v2 m2 v20 因内力 F12 F21 0， 故将两式相加后得： t2 ( F1 F2 )dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 )
第三章 质点系的运动定理
3-0 教学基本要求 3-1 质心和质心运动定理 3-2 质点系的动量定理和动量守恒
3-3 质点系动能定理和机械能守恒
3-4 质点系的角动量定理和角动量守恒
§3—0 基本教学要求
一 理解质点系概念，掌握求质心的方法， 熟练掌握质心运动定理。 二 掌握质点系的动量定理，明确质点系的 动量守恒条件。
dm 质量为： sds s rdrd q
坐标为：x r cos q 薄板的质心坐标为：
R
q
r x y
y r sin q
p
xc yc
xdm
R 0
0
r cos qs rdrd q m r sin qs rdrd q m
m ydm m
R 0
p
0 4R 3p
i 1 i 1
n
n
质点系的总动量等于质点系的质量与质心速 度的乘积。
三 质心运动定律
mvC mi vi pi
i 1 i 1 n n
质点系
上式对时间 t 求一阶导数，得 n d( pi ) n dpi dυC i 1 m dt dt i 1 dt
下次课将讲章节
§3-2 质点系的动量定理和动量守恒
§3-3质点系的动能定理和机械能守恒
§3-4质点系的角动量定理和角动量守恒
§ 3—2
质点系的动量定理和动量守恒
一 质点系的动量
p mi i mC
i
质点系总动量等于质点系总质量乘以质点系质心速度。 随质心C一起运动的参考系称为质心系。
i
——动量守恒定律
i
p mii mC C
所以质点系动量守恒定律也可表述为：质心速度不变 说明 (1)系统的总动量不变，但系统内任一物体的动量是可 变的。各物体动量对应于同一惯性系。
ex ex (2) 守恒条件是 F Fi 0
当
ex in F F
例1、一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下 端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落 在桌面上。试证明：在绳下落过程中，任意时刻绳作用 于桌面的压力等于已落到桌面上的绳重量的三倍。 证明：取如图坐标，设t时刻已有x长的柔绳落至桌面， 随后的dt时间内将有质量为rdx的柔绳以dx/dt的速率碰 到桌面而停止，动量增量为：
dx dp 0 rdx rvdx dt
此时桌面对柔绳的冲力为：
o
dp dx 2 F rv －rv dt dt M 2Mgx 2 gx L L
x
桌面对柔绳的冲力
2Mgx F L
柔绳对桌面的冲力 F＝－F =2Mgx/L 而已落到桌面上的柔绳重量为
t2
t1
n t2 ex n 多质点系： F dt F ex dt mi vi mi vi 0 t1 i t1 i i 1 i 1 t2
F1
F21 F12
F2
n n t2 ex I F dt mi vi mi vi 0 p p0 t1 i 1 i 1
int 21
int 21
int 21
x
一对内力的功
F d r 21
1 一对内力的功与参考系无关，只与两质点的相 结 对位移有关 论 2 一对内力的功等于其中一个质点所受的内力与 该质点相对于另一个质点的位移的标积
int 21
例1： 如图所示，一光滑的滑道，质量为M高度为h，放在一光滑
水平面上，滑道底部与水平面相切．质量为m的小物块自滑道 顶部由静止下滑，（1）求物块滑到地面时滑道的速度； （2） m 物块下滑的整个过程中，滑道对物块所作的功。 h 解:(1) 将物块和滑道看为一个系统，在物块下滑过程 M 光滑 中滑块和滑道之间的内力对系统所作的功为：
§3—1 质心 质心运动定律
一 质心
1 质心的概念 质量的中心， 简称质心。 c c c c
c
板上C点的运动 c 轨迹是抛物线
x
0
二 质点系总动量
y
m2
rC
mi ri
i 1
n
r2
m ri i
rC
c
r1 m1
x
m
n
o
z
mrC mi ri
i 1
上式两边对时间 t 求一阶导数，得
n drC dri m mi dt dt i 1
mvC mi vi pi
i
F 0,
ex z
(4) 动量守恒定律是物理学最普遍、最基 本的定律之一．
例2：一静止的原子核衰变辐射出一个电子和一个中微子 后成为一个新的原子核．已知电子和中微子的运动方向互 相垂直，且电子动量为1.210-22 kg· s-1，中微子的动量 m· 为6.410-23 kg· s-1．问新的原子核的动量的值和方向如 m· pe (电子) 何？
对称的实物，质心位于其几何中心处；
2.不太大的实物，质心与重心相重合。
例1：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。 解：建立如图所示的坐标 系。组成系统的三个质点 的坐标分别为: （0，0）；（x1,y1)；（x2,0） 所以质心坐标为：
1 2
y
2
（x1，y1）
1
3
(x2,0) x
2
o (0,0)
Mgx mg ρxg L
绳作用于桌面的压力 F总=F+mg=3Mgx/L=3mg
三 质点系的动量守恒定律 ex t 质点系动 I F dt pi pi 0 量定理 t0 i exi ex 若质点系所受的合外力 F Fi 0
则系统的总动量不变
c
其余点的运动=随C点的平动+绕C点的转动 板的运动=板的平动+绕C点的转动
2 质心的位置
y
m2
由n个质点组成 的质点系，其质心 的位矢：
r2
m ri i c
rc
r1 m1
o
z
mi ri
i 1 n
x
m1r1 m2 r2 mi ri rC m1 m2 mi
解：仪器舱相对于地的速度为：
v1 v2 v1'
据动量守恒定律有：
y
s
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y'
(m1 m2 )v m1v1 m2 v2 o
z
z'
m2
v 2 v1'
m1
s'
o'
x x'
m1 v2 v v' 2.17 10 3 m s 1 m1 m2
v1 3.17 10 m s
例3：一枚返回式火箭以u= 2.5103 m·-1 的速率相对惯性系S沿水平 s 方向飞行．空气阻力不计．现使火箭分离为两部分, 前方的仪器舱 m1=100 kg,后方的火箭容器m2=200 kg,仪器舱相对火箭容器的水平 速率为u1´=1.0103 m·-1．求仪器舱和火箭容器相对惯性系的速 s 度．
1
m 0 mx mx x x x 3m 3 m 0 my m 0 y y 3m 3
c
1
1
c
例2 求质量为m,半径为R的半圆形均匀薄板的质心。 y 解：该薄板的面密度 s 2m p R 2
建立如图所示的坐标系,任取一小 面元ds,其面积为: ds rdrdq
作用于系统的合外力的冲量等于系统 动量的增量——质点系动量定理
ex F F1 F2 FN
t2 ex t1 i 2i
分量表示 I i 注意
F dt m m
1i
i x,y,z
区分外力和内力 内力仅能改变系统内某个物体的 动量，但不能改变系统的总动量.
解 由动量守恒定律有：
pe pν pN 0 pN ( pe pν ) p p e ν
2 e 2 12 ν
α
pν(中微子)
q
pN
pN ( p p ) 1.36 10 22 kg m s 1
图中 arctan(pe / pν ) 61.9o 而 q 180 o 61.9o 118 .1o
' m1 x1 m2 x2 m1 x1' m2 x2
m1 x1 m2 x2 xC m1 m2
m2 ( x2 x ) m1 ( x x1 )
' 2 ' 1
' ' x 由图可知： 2 x2 d , x1 x1 l d
代入上式得：
d m1l /(m1 m2 ) 0.8m
3
1
§3—3 质点系的动能定理和机械能守恒 一 质点系的动能定理
对第 i 个质点，有
m1
ex Fi
Wi Wi Eki Eki 0
ex in
in m i m2 Fi
外力功 内力功
对质点系，有
W
i
ex
i
Wi Eki Eki 0 Ek Ek 0
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m
对质量离散分布的物系：
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m x
i 1
n
i i
m m 对质量连续分布的物体： 1 1 xC xdm yC ydm m m
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i 1 i
n
i
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i 1
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1 zC zdm m
注 1.质心的坐标值与坐标系的选取有关，但质心相对 意： 于质点系的位置不变。比如，质量分布均匀、形状
F1
F21 F12
m1
F2
m2
Fi
n i 1
ex Fi
n i 1
ex maC F
作用在系统上的合外力等于系统的总质量乘以质 心的加速度——质心运动定律
例3：如图所示，水平桌面上铺一张纸，纸上放一个球， 球的质量为M，将纸向右拉时，会有摩擦力 F作用于球 上，求：t 秒后球相对桌面移动多少距离？ 解：
m1 x1 m2 x2 xC m1 m2 m1 x1 m2 x2 人移动到船右端时，船的质心坐标 xC ’, 此时系统质心坐标为 为图中Cb m1 m2
m1 x1 m2 x2 xC m1 m2
因系统在水平方向不 受力的作用，又因系 统原来质心静止，所 以在人走动过程中系 统质心位置始终不变. 即xc=xcˊ,所以有：
F Ma c
y
F ac M
匀加速运动
o
F
x
t秒后球沿拉动纸的方向相 对于桌面移动的距离
1 1F x at t 2 2M
2 c c
2
例4：一质量m1=50kg的人站在一条质量m2=200kg,长度 l=4m的船的船头上。开始时船静止，试求当人走到船尾 时船移动的距离。（水阻力不计） 解：建立坐标系,图中 Cb 表示人移动前船的 质心位置，此时船和 人组成的系统的质心 坐标为：
ex
质点系动能定理 W
W Ek E k 0
in
i
注意
内力可以改变质点系的动能
二 一对内力的功
系统内任意二质点1、2 间内力作的功
z
dr1
1
r1 r2 O
int F12 F int dr 21 2
2
W F dr 2 F dr1
int
int 21
int 12
y
F dr 2 F dr1 F d(r 2 r 1 )
i
时,可近似地认为系统总动量守恒．
ex ex ex (3) 若 F Fi 0，但满足 Fx 0
有 px
m v
i
i
ix
Cx
i
F
F
ex x
ex y
wk.baidu.com
0,
0,
i
px mi vix Cx
i
p y mi viy C y
pz mi viz Cz
在质心系中质点系总动量为：p mi i m c 0
i
质心系又称为零动量参考系。
二 质点系的动量定理 对两质点分别应用质 点动量定理：
质点系
m2 m1 ( F1 F12 )dt m1v1 m1v10 t1 t2 t1 (F2 F21)dt m2 v2 m2 v20 因内力 F12 F21 0， 故将两式相加后得： t2 ( F1 F2 )dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 )
第三章 质点系的运动定理
3-0 教学基本要求 3-1 质心和质心运动定理 3-2 质点系的动量定理和动量守恒
3-3 质点系动能定理和机械能守恒
3-4 质点系的角动量定理和角动量守恒
§3—0 基本教学要求
一 理解质点系概念，掌握求质心的方法， 熟练掌握质心运动定理。 二 掌握质点系的动量定理，明确质点系的 动量守恒条件。
dm 质量为： sds s rdrd q
坐标为：x r cos q 薄板的质心坐标为：
R
q
r x y
y r sin q
p
xc yc
xdm
R 0
0
r cos qs rdrd q m r sin qs rdrd q m
m ydm m
R 0
p
0 4R 3p
i 1 i 1
n
n
质点系的总动量等于质点系的质量与质心速 度的乘积。
三 质心运动定律
mvC mi vi pi
i 1 i 1 n n
质点系
上式对时间 t 求一阶导数，得 n d( pi ) n dpi dυC i 1 m dt dt i 1 dt
下次课将讲章节
§3-2 质点系的动量定理和动量守恒
§3-3质点系的动能定理和机械能守恒
§3-4质点系的角动量定理和角动量守恒
§ 3—2
质点系的动量定理和动量守恒
一 质点系的动量
p mi i mC
i
质点系总动量等于质点系总质量乘以质点系质心速度。 随质心C一起运动的参考系称为质心系。
i
——动量守恒定律
i
p mii mC C
所以质点系动量守恒定律也可表述为：质心速度不变 说明 (1)系统的总动量不变，但系统内任一物体的动量是可 变的。各物体动量对应于同一惯性系。
ex ex (2) 守恒条件是 F Fi 0
当
ex in F F
例1、一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下 端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落 在桌面上。试证明：在绳下落过程中，任意时刻绳作用 于桌面的压力等于已落到桌面上的绳重量的三倍。 证明：取如图坐标，设t时刻已有x长的柔绳落至桌面， 随后的dt时间内将有质量为rdx的柔绳以dx/dt的速率碰 到桌面而停止，动量增量为：
dx dp 0 rdx rvdx dt
此时桌面对柔绳的冲力为：
o
dp dx 2 F rv －rv dt dt M 2Mgx 2 gx L L
x
桌面对柔绳的冲力
2Mgx F L
柔绳对桌面的冲力 F＝－F =2Mgx/L 而已落到桌面上的柔绳重量为
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t1
n t2 ex n 多质点系： F dt F ex dt mi vi mi vi 0 t1 i t1 i i 1 i 1 t2
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int 21
int 21
int 21
x
一对内力的功
F d r 21
1 一对内力的功与参考系无关，只与两质点的相 结 对位移有关 论 2 一对内力的功等于其中一个质点所受的内力与 该质点相对于另一个质点的位移的标积
int 21
例1： 如图所示，一光滑的滑道，质量为M高度为h，放在一光滑
水平面上，滑道底部与水平面相切．质量为m的小物块自滑道 顶部由静止下滑，（1）求物块滑到地面时滑道的速度； （2） m 物块下滑的整个过程中，滑道对物块所作的功。 h 解:(1) 将物块和滑道看为一个系统，在物块下滑过程 M 光滑 中滑块和滑道之间的内力对系统所作的功为：