数学思想在解题中的应用(上)

数学思想在解题中的应用（上）

目录

前言

第一章高中数学常用的思想方法

一、数形结合思想

1、知识点概述

2、解题方法指导

3、数形结合思想方法的应用

4、数形结合思想在函数中的应用

二、函数与方程思想

1、函数的思想

2、方程的思想

3、函数方程思想的应用

三、化归与转化思想

1、等于不等的相互转化

2、正与反的相互转化

3、特殊与一般的相互转化

4、简单与复杂的相互转化

前言

美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，我们总想用旧的题型去套，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解和融会贯通时，才能提出新看法，巧解法。高考试题特别注重对数学思想方法的考察，特别是突出考察能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识的用数学思想方法去分析问题去解决问题，提高能力，形成数学素养，使自己具有数学头脑和眼光。

高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考察：

1、常用数学方法;配方法，换元法，待定系数法，参数法，消去法，数学归纳法等

2、常用数学逻辑方法：分析法，综合法，反证法，归纳法，演绎法等

3、常用数学思维方法：观察与分析，概括与抽象，分析与综合，特殊与一般，类比等

4、常用数学思想：数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想，有限与无限思想，必然与或然

思想，分类讨论思想等

数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的低位和层次。数学知识使数学内容，可以用文字，符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的衰退，将来可能忘记。而数学思想是一种数学意识，只能够领会和应用，属于思想的范畴，用以对数学问题的认识，处理和解决。掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子。即使数学知识忘了，数学思想方法还是记得，对你还是起作用。

数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的模型，具有模式化和可操作性的特征。可以选用作为解题的基本手段。

可以说，知识是基础，方法是手段。思想是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学知识方法的认识和应用。数学素质的综合能力的体现就是应用。

为帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍了高考中常用的基本思想方法，配方法，换元法，待定系数法，归纳法，参数法，数形结合思想，分类讨论思想，化归与转化思想，特殊与一般思想，有限与无限思想，或然与必然思想，函数与方程思想。末位整合了高考中的热点问题。

第一章数形结合的思想方法

一、知识要点概述

数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

二、解题方法指导

1．转换数与形的三条途径：

①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。

②转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。

③构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。

2．运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：

①“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。

②“由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。

③“数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，

分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。

三、数形结合的思想方法的应用

(一)解析几何中的数形结合

解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、解决问题的目的.

1. 与斜率有关的问题

【例1】已知：有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别为P（-1，1），Q（2，2）.若直线l∶x+my+m=0与有向线段PQ延长相交，求实数m的取值范围.

解：直线l的方程x+my+m=0可化为点斜式：y+1=-（x-0），易知

直线l过定点M（0，-1），且斜率为-.

∵ l与PQ的延长线相交，由数形结合可得：当过M且与PQ平行时，直线l的斜率趋近于最小；当过点M、Q时，直线l的斜率趋近于最大.

【点评】含有一个变量的直线方程可化为点斜式或化为经过两直线交点的直线系方程.本题是化为点斜式方程后，可看出交点M（0，-1）和斜率-.此类题目一般结合图形可

判断出斜率的取值范围.

2. 与距离有关的问题

【例2】求：y=（cosθ-cosα+3）2+（sinθ-sinα-2）2的最大（小）值.

【分析】可看成求两动点P（cosθ，sinθ）与Q（cosα-3，sinα+2）之间距离的最值问题.

解：两动点的轨迹方程为：x2+y2=1和（x+3）2+（y-2）2=1，转化为求两曲线上两点之间距离的最值问题.如图：

3. 与截距有关的问题

【例3】若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，求k的取

值范围.