an与Sn的关系

≥
2
例2.(2014•湖南)已知数列{an}的前
n
项和
Sn=
n2+n 2
,n
∈
N
*．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)设 bn= 2an+ ( -1)nan,求数列{bn}的前 2n 项和．
【解答】:(Ⅰ)当 n = 1 时,a1= s1= 1,
当
n
≥
2
时,an=
Sn-
Sn-1=
n2+n 2
-
∵ an> 0(n ∈ N *), ∴ Sn> 0．∴ Sn= n2+ n．
∴当 n ≥ 2 时,an= Sn- Sn-1= (n2+ n) - [(n - 1)2+ (n - 1)] = 2n,
又∵ a1= 2 = 2 × 1, ∴ an= 2n(n ∈ N *)．
(3)由(2)可知 1 = 1,
即
an an-1
=
λ λ-1
,(n
≥
2),
∴{an}是等比数列,公比
q
=
λ λ-1
,
当
n
=
1
时,S1
=
1
+
λa1=
a1,即
a1=
1 1-λ
,∴
an=
1 1-λ
∙
λ λ-1
n-1
.
(2)若
S5=
31 32
,则若
S5=
1
+
λ
1 1-λ
∙
λ λ-1
4
= 3321 ,
即
λ 1-λ
5
=
31 32
∵ a1= 3 满足上式
∴ an= 4n - 1n ∈ N+
2).Sn= 2n2+ n + 1
【解答】:n = 1, a1= S1= 4
n ≥ 2, an= Sn- Sn-1= 2n2+ n + 1 - 2n - 1 2+ n - 1 + 1 = 4n - 1
∵ a1= 4 不满足上式
∴
an
=
4, n = 1 4n - 1, n
+
n
-
2．
∴数列{bn}的前 2n 项和为 22n+1+ n - 2．
例3.(2014•广东)设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn满足 Sn2- (n2+ n - 3)Sn- 3(n2+ n) = 0, n ∈ N *．
(1)求 a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明:对一切正整数
an(an+ 1)
<
1 2 ∙(2 + 1)
+
1 2
(31
-
1 5
+
1 5
-
1 7
+
…
+2n1-1
-
1 2n + 1
)
=
1 3
-
1 2
∙
1 2n + 1
<
1 3
所以,对一切正整数
n,有
1 a1(a1+ 1)
+
1 a2(a2+ 1)
+
…
+1 an(an+ 1)
<
1 ． 3
2.已知 f an,Sn,n = 0 求 an 的通项公式
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)设数列
1 an
的前 n 项和为 Tn,求 Tn．
【解答】：(Ⅰ)由已知:n ≥ 2 时:SSnn-=1=2a2na-n-a1-1 a1
∴ an= 2an- 2an-1,即 an= 2an-1,从而 a2= 2a1,a3= 2a2= 4a1．
又因为 a1,a2+ 1, a3成等差数列,即 a1+ a3= 2(a2+ 1)
an an-1
=
-
1 4
∴数列{an}是首项为
a1=
-
1 4
，公比为
q
=
-
1 4
的等比数列，∴
an
=
-41
n
(n ∈ N *).
注:一般的:Sn+ λan= m,则 an 为等比数列
例5.(2015•四川)设数列{an}(n = 1, 2, 3…)的前 n 项和 Sn,满足 Sn= 2an- a1,且 a1,a2+ 1, a3成等差数 列．
n,有
1 a1(a1+ 1)
+
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 a2(a2+ 1)
+
…
+1 an(an+ 1)
<
1 3
．
【解答】:(1)令 n = 1 得:S12- ( -1)S1- 3 × 2 = 0,即 S12+ S1- 6 = 0．
∴(S1+ 3)(S1- 2) = 0．∵ S1> 0, ∴ S1= 2,即 a1= 2．
(2)由 Sn2- (n2+ n - 3)Sn- 3(n2+ n) = 0 得:(Sn+ 3)[Sn- (n2+ n)] = 0．
an(an+ 1) 2n(2n + 1)
∀
n
∈
N
*,1 an(an+ 1)
=
1 2n(2n + 1)
<
1 (2n - 1)(2n + 1)
=
21 (2n1-1
-
2n1+1 ),
当
n
=
1
时,显然有
1 a1(a1+ 1)
=
1 6
<
1 3
；
当 n ≥ 2 时,1 + 1 + … +1
a1(a1+ 1) a2(a2+ 1)
an与 Sn的关系
1.已知 Sn= f(n)求 an 的通项公式
例1.已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 Sn满足以下关系式,求数列 an 的通项公式:
1).Sn= 2n2+ n
【解答】:n = 1, a1= S1= 3
n ≥ 2, an= Sn- Sn-1= 2n2+ n - 2n - 1 2+ n - 1 = 4n - 1
(n-1)2+(n-1) 2
=
n,
∴数列{an}的通项公式是 an= n．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn= 2n+ ( -1)nn,记数列{bn}的前 2n 项和为 T2n,则
T2n= (21+ 22+ … +22n) + ( -1 + 2 - 3 + 4 - … +2n)
=
2(1-22n) 1-2
+
n
=
22n+1
所以 a1+ 4a1= 2(2a1+ 1),解得：a1= 2．
所以,数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列．故 an= 2n．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
1 an
=
1 2n
,
所以
Tn
=
1 2
+
1 4
+
1 8
+
…
+21n
=
21(1-21n)
1
-
1 2
=
1
-
1 2n
．
例6.(2016•新课标Ⅲ)已知数列{an}的前 n 项和 Sn= 1 + λan,其中 λ ≠ 0．
例4.(2009•四川)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，对任意的正整数 n，都有 an= 5Sn+ 1 成立.求数列{an}
的通项公式.
【解答】：当
n
=
1
时，a1=
5S1
+
1，∴
a1=
-
1 4
n
≥
2
由
an= 5Sn+ 1 an-1= 5Sn-1+
1
∴
an-
an-1=
5an,∴
4an=
-
an-1即
(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式；
(2)若
S5=
31 32
,求
λ．
【解答】:(1)∵ Sn= 1 + λan,λ ≠ 0．∴ an≠ 0．
当 n ≥ 2 时,an= Sn- Sn-1= 1 + λan- 1 - λan-1= λan- λan-1,
即(λ - 1)an= λan-1,∵ λ ≠ 0, an≠ 0．∴ λ - 1 ≠ 0．即 λ ≠ 1,