圆：垂径定理与圆周角定理

圆

考点一:与圆有关的概念

1.连接圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的2倍。

注意：直径是弦，但弦不一定是直径。

AB”，读作2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“⌒”表示，以A、B为短点的弧记作“⌒

“圆弧AB”或“弧AB”。

圆的任意一条直径的两个短点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

3.圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。

同心圆的圆心相同，等圆的半径相等。

在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧。

注意：1）同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个圆的关系，等圆是指能够重合，圆心不同的两个圆。2）等弧必须是同圆或等圆中的弧，因为只有在同圆或等圆中，两条弧才可能互相重合，长度相等的弧，不一定是等弧。

4.顶点在圆心的角叫做圆心角。

从圆心到弦的距离叫做弦心距。

注意：在圆中一条弦所对的弧有两条。

典型例题

例题1.下列语句中不正确的有（）。

①直径是弦；②弧是半圆；

③经过圆内一定点可以作无数条弦；④长度相等的弧是等弧。

A．①③④ B. ②③ C. ②④ D. ①④

考点二: 垂径定理及其推论（重点）

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

注意: 定理中的“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径，深圳可以是过圆心的直线或线段；该定理也可以理解为：若一条直线具有两条性质：①过圆心；②垂直于一条弦，则此直线具有另外三条性质：①平分此弦；②平分此弦所对的优弧；③平分此弦所对的劣弧.

推论：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

(4 ) 圆的两条平行弦所夹的弧相等

在下列五个条件中:① CD是直径,② CD⊥AB,③ AM=BM,④AC=BC,⑤AD=BD.只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.

例题2.如图，圆O的弦AB＝8 ㎝，DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，

求半径OC的长。

例题3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面

2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为

长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？

考点三:圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系

在同圆或等圆中，相等圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条陷或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组,量都分别相等。一等全等

注意：不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则不成立；

结合图形深刻理解定理中“所对应”这一词的含义。

例题4.如图，O是∠CAE平分线上的一点，以点O为圆心的圆和∠CAE的两边分别交于点B、C和D、E，连结BD、CE.

求证:(1)BC=DE (2)AC=AE (3)DB∥CE

【课堂练习】

1.圆既是轴对称图形,又是_________对称图形,它的对称轴是_______, 对称中心是____.

2.已知⊙O 的半径为R,弦AB 的长也是R,则∠AOB 的度数是_________.

3. 圆的一条弦把圆分为5: 1 两部分, 如果圆的半径是2cm, 则这条弦的长是_____cm.

4.如图,在半径为2cm 的⊙O 中有长为

的弦AB,则弦AB 所对的圆心角的度数为( ) A.60° B.90° C.120° D.150°

5.如图,⊙O 的直径为10cm,弦AB 为8cm,P 是弦AB 上一点,若OP 的长为整数, 则满足条件的点P 有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

6.如图,A 是半径为5的⊙O 内一点,且OA=3,过点A 且长小于8的弦有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条

B

A

O

B

P

A

O

（第4题图） （第5题图） （第6题图）

7.已知AB 、CD 为⊙O 的弦,且AB ⊥CD ，AB 将CD 分成3cm 和7cm 两部分，求：圆心O 到弦AB 的距离

8.已知：AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，CE ⊥CD 交AB 于E DF ⊥CD 交AB 于F 求证：AE ＝BF

9.已知:如图,在⊙O 中,弦AB 的长是半径OA

倍,C 为AB 的中点,AB 、OC 相交于点M.试判断四边形OACB 的形状,并说明理由.

M

C

B

A

O

10. 半径为5cm 的⊙O 中,两条平行弦的长度分别为6cm 和8cm.则这两条弦的距离为多少?

11.点A 是半圆上的三等分点,B 是的中点,P 是直径MN 上一动点.⊙O 的半径为1,问P 在直线MN 上什么位置时,AP+BP 的值最小?并求出AP+BP 的最小值.

N

M

B

P

A

O

圆周角和圆心角的关系

一．考点归纳

考点一

圆周角的定义：顶点在圆上，两边分别与圆还有另外两个交点的角，叫做圆周角。

1 判断图中的角是不是圆周角：

2 判断下列命题是否正确？

⑴圆周角的顶点一定在圆上。（）

⑵顶点在圆上的角是圆周角。（）

⑶圆周角的两边都和圆相交。（）

⑷两边都和圆相交的角是圆周角。（）

考点二

圆周角定理（重点）：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。同弧所对的圆周角和圆心角的三种关系：

①圆心在角的一边上；

②圆心在角的内部；

③圆心在角的外部。因此本定理的证明要分为三种情况。

3验证推理圆周角定理：

推理过程：