高考抛物线专题做题技巧与方法总结

高考抛物线专题做题技巧与方法总结

知识点梳理：

1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ()：

2.抛物线的焦半径、焦点弦

①的焦半径;的焦半径；

②过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.

③ AB为抛物线的焦点弦，则，，=

3. 的参数方程为（为参数），的参数方程为（为参数）.

重难点突破

重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质

难点: 与焦点有关的计算与论证

重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质

1.要有用定义的意识

问题1：抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( ) A. B. C. D. 0

点拨：抛物线的标准方程为，准线方程为,由定义知，点M到准线的距离为1，

所以点M的纵坐标是

2.求标准方程要注意焦点位置和开口方向

问题2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有

点拨：抛物线的类型一共有4种，经过第一象限的抛物线有2种，故满足条件的抛物线有2条

3.研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路”

问题3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切

点拨：设为抛物线的焦点弦，F为抛物线的焦点，点分别是点在准线上的射影，弦的中点为M，则，点M到准线的距离为，以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切

3、典型例题讲解：

考点1 抛物线的定义

题型利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换[例1 ]已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为

解题思路：将点P到焦点的距离转化为点P到准线的距离

[解析]过点P作准线的垂线交准线于点R，由抛物线的定义知，，当P点为抛物线与垂线的交点时，取得最小值，最小值为点Q到准线的距离 ,因准线方程为

x=-1,故最小值为3

总结：灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关

练习：

1.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、、成等差数列，则有（）A． B．

C． D.

［解析］C 由抛物线定义，即：．

2. 已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,

M点坐标是 ( )

A. B. C. D.

[解析] 设M到准线的距离为,则，当最小时，M点坐标是，选C

考点2 抛物线的标准方程

题型:求抛物线的标准方程

[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上

解题思路：以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.

[解析] (1)设所求的抛物线的方程为或,

∵过点(-3,2) ∴

∴

∴抛物线方程为或,

前者的准线方程是后者的准线方程为

(2)令得，令得，

∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,

∴，此时抛物线方程;焦点为(0,-2)时

∴，此时抛物线方程.

∴所求抛物线方程为或,对应的准线方程分别是.

总结：对开口方向要特别小心，考虑问题要全面

练习：

3.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值

[解析]

4. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上；

②焦点在x轴上；

③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；

④抛物线的通径的长为5；

⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.

能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）

[解析] 用排除法，由抛物线方程y2=10x可排除①③④，从而②⑤满足条件. 5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且，求此抛物线的方程

[解析] 设点是点在准线上的射影，则，由勾股定理知，点A的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或

考点3 抛物线的几何性质

题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证

[例3 ]设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为

__________.

解题思路：由特殊入手，先探求定点位置

［解析］设直线OA方程为,由解出A点坐标为

解出B点坐标为，直线AB方程为,令得，直线AB必过的定点

总结：（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2）B点坐标可由A点坐标用换k而得。

练习：

6. 若直线经过抛物线的焦点，则实数

[解析]-1

7.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射

影为,则

( )

A. B. C. D.

[解析]C

基础巩固训练：

1.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等

于，则这样的直线（）

A.有且仅有一条

B.有且仅有两条条或2条 D.不存在

[解析]C ，而通径的长为4．

2.在平面直角坐标系中，若抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为（）

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

[解析] B 利用抛物线的定义，点P到准线的距离为5，故点P的纵坐标为4．3.两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且则抛物线的焦点坐标为( )

A． B． C． D．

[解析] D.

4. 如果，，…，是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，，…，，F是抛物线的焦点，若成等差数列且，则=（）．

A．5 B．6 C． 7 D．9

[解析]B 根据抛物线的定义，可知（，2，……，n），成等差数列且,,=6 5、抛物线准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AB⊥l，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于（）

A． B．C． D．

[解析] C. 过A作x轴的垂线交x轴于点H，设，则，

四边形ABEF的面积=

6、设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为．

[解析].

过A 作轴于D，令，则即，解得．

综合提高训练

7.在抛物线上求一点，使该点到直线的距离为最短，求该点的坐标

[解析]解法1：设抛物线上的点，

点到直线的距离，

当且仅当时取等号，故所求的点为