气体动理论-2
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v2
x
v1 v2 v1
xf (v )dv f (v )dv
xf (v )dv
v2 v1
20
（1）最可几速率和平均速率的物理意义各 是什么？有人认为最可几速率就是速 率分布中的最大速率值，对吗？ 物理意义 如果把整个速率范围分成 ★ 最可几速率： 许多相等的小区间的话,则最可几速率 所在的区间内的分子数占总分子数的百 分比最大。
如 t ， 等； 还应该进 v
2
一步弄清分子按速率和按 能量等的分布情况。
麦克斯韦
整体上看，气体的速率分布是有统计规律性的。
6
描写分子的速率分布可以有两种方式： 一种是像前面那样用分立数据描写： v1， v2 … vi … N1，N2 … Ni …
Ni
0
vi
这种描写既繁琐，又不能很好地体现统计 的规律性。 7
第二章
气体动理论
（Kinetic Theory of Gases）
1
上节内容回顾
一. 热平衡态： 二 热平衡定律（热力学第零定律） “分别与第三个系统处于同一热平衡态的两 个系统必然也处于热平衡。” 处于同一热平衡态下的热力学系统 三 温度： 所具有的共同的宏观性质。 四 . 温标（temperature scales） 五. 理想气体的物态方程的另一种形式 m p nkT pV RT M
10
二 . 麦克斯韦速率分布函数 1859年麦克斯韦（Maxwell）导出了理气在 分子速率分布函数为： 无外场的平衡态（T）下，
m 3 / 2 mv 2 / 2 kT 2 f (v ) 4 ( ) e v 2π kT
f(v) T，m 一定
d Nv f (v ) d v N
m — 气体分子的质量
f(v) T，m 一定
d f (v ) 由 dv
v v P
0 ，有：
vp
2kT m
2 RT T M
就单位速率区间来比较， vp 0 v 处在最概然速率 v p 附近 的分子数占总分子数的百分比最大。 13
vp
vp 当分子质量 m 一定时，T f (v p ) f(v)
2
一 . 理想气体的微观假设 1.关于每个分子的力学性 2.关于大量分子的统计假设（对平衡态） 质 二. 理想气体压强公式的推导
2 p n t 3
— 气体压强公式
三 方均根速率
v
2
3kT 3 RT m M
3
温度的统计意义：
T是大量分子热运动平均平动动能的量度。 四 . 能量均分定理 分子热运动的每一 在温度为T 的平衡态下， 1 个自由度所对应的平均动能都等于 kT 2 i 分子平均能量 kT 2
（3）分子的平均速率
36
（1）画出速率分布曲线
f (v)
C ,(0 v v0 ) f (v ) 0,(v v0 )
C
O
（2）常数C
v0
0
v
0
f (v )dv 1
（归一化条件）
v0
0
Cdv v 0dv 1
1 C v0
37
（3）分子的平均速率
v vf (v )dv vCdv 0
21
★ 平均速率：所有分子速率的平均值
★ 认为最可几速率就是速率分布中的最大
速率值，对吗？ 不对
22
（2）一个分子具有最可几速率的几率是多
少？ 等于零
dN f (v)dv N dN 0 dv 0 N
★一个分子具有任何定值速率的几率等于零
23
（3）麦克斯韦速率分布曲线如图所示，图中 A、B两部分面积相等，这说明什么？
N v0 2 ——不对！ 上式分母上的N应为 0 Nf (v ) d v
v0 2 v 0
f (v ) d v 对否？
v
v0 2 v 0 v0 2 0
f (v ) d v f (v ) d v
a v0 4 ( ) 4 2 a v0 3 3( 2 )
3 v0 v 8
8m 2kT f (v p ) π kT m
1/ 2
e
1
T1
m 一定
左图表明： 温度越高， 速率大的分子数比例越大，
v 气体分子的热运动越激烈。
T2 >T1 0
vp1 vp2
14
2.平均速率（average speed）
N iv i 分立： 平均速率 v Ni
③ 分布在 v1 ~ v2 速率区间内的分子的
平均速率 ④ 多次观察某一分子的速率，发现速率 大于 v0 的几率
32
① 速率大于 v0 的分子数
Nv0 ~ dN N f (v )dv v v
0
0
② 速率大于 v0 的那些分子的平均速率
vv0 ~
vdN dN
另一种是用连续的分布函数来描述：
设：dNv 为速率v v +dv 区间内的分子数，
d N 为总分子数，则： N v N d v ，
即
d Nv dv N
由于dNv / N 是速率v 附近dv 区间的分子数与 总分子数之比，所以它应与v 的大小有关， 可以
d Nv 写成： f (v ) d v ，即 N
所有分子平动动能总和 分子总数
0
m 2 v dN 2 N
★ 物理意义： 一个分子的平均平动动能
29
③
v2
v1
v2 m m 2 2 v Nf (v )dv v dN v1 2 2
★ 物理意义： v1 ~ v2速率区间内所有分 子的平动动能之和
练习： 说明
v2
v1
m 2 v f (v)dv 的物理意义 2
连续：vi v，Ni dNv=N f (v)dv，
v
8kT 8 RT 对麦氏速率分布经计算得：v πm πM
任意函数(v)对全体分 v (v ) f (v ) d v 子按速率分布的平均值： 0
15
N v d Nv 0 N d Nv 0
30
m 2 v1 2 v dN v2 m 2 v f (v)dv v1 2 N v ★ 物理意义： 1 ~ v2速率区间内所有分子 的平动动能对平均平动 动能
v2
的贡献。
31
（5）用总分子数 N ，气体分子速率
v 和速
率分布函数 f (v ) 表示下列各量 ① 速率大于 v0 的分子数
② 速率大于 v0 的那些分子的平均速率
大于 v0 的几率
观察到速率大于 v0的次数 速率大于v0 的几率 总观察次数
N V0 ~ N
v0
dN
N
f (v)dv
v0
35
例1
有N个分子，其速率分布函数为 C , (0 v v0 ) f (v ) （ N，v0 已知） 0, (v v0 )
求：（1）画出速率分布曲线； （2）常数C；
v0 v0
vNf (v )dv
Nf (v )dv
v0 v0
vf (v )dv f (v )dv
33
③ 分布在
v1 ~ v2 速率区间内的分子
v2
的平均速率
vv ~ v
1 2
v1 v2 v1
vf (v )dv f (v )dv
34
④ 多次观察某一分子的速率，发现速率
4
本章目录
§2.1 理想气体的压强
§2.2 温度的统计意义 §2.3 能量均分定理 §2.4 麦克斯韦速率分布律 △§2.5 麦克斯韦速率分布的实验验证 *§2.6 玻耳兹曼分布 △§2.7 真实气体等温线 *§2.8 范德瓦耳斯方程 §2.9 气体分子的平均自由程 *§2.10 输运过程
5
一 . 速率分布函数 要深入研究气体的性质， 不能光是研究一些平均值，
其次： 化简表达式 最后：清楚 dN 、 、 代表什么，并且将 N dv 表达式用（物理）语言描述出来。
27
①
vp
f (v)dv
vP
vp
f (v ) dv
N vP ~ dN dv Ndv N
v ★ 物理意义： p ~ 速率区间内的分子数占 总 分子数的百分比
28
②
m 2 0 2 v f (v)dv m m 2 2 dN v f (v)dv v 0 2 0 2 N
17
3. 方均根速率（root-mean-square speed） （麦） 3kT 2 2 v v f (v ) d v m 0 3kT 3 RT 2 v （与前同） m M 8 2 vp : v : v 2 : : 3 1.41 : 1.60 : 1.73 π 2 —— 讨论分子平均平动动能时用 v
N v 0
d Nv N
v 0
f (v ) d v
例 设某气体的速率分布函数
f (v )
为 f (v )
av 2，0 v v 0 ) ( 0 ， (v v 0 )
0 v0 v
求： （1）常量 a 和 v0 的关系 （2）平均速率 v
v0 （3）速率在 0 之间分子的平均速率 v 2 解： （1）归一化条件 0 f (v ) d v 1 3 a 3 1 3 v0 v0 f (v ) d v 0 av 2 d v av 0 0 3 16
则 （2）设总分子数为N，
v
f (v ) d v N a 4 1 3 4 3 v0 2 0 v av d v v 0 ( 3 )v 0 v 0 4 v0 4 4
v0 2 v 0
v 0
Nf (v ) d v
v 0
（3） v
Nf (v ) d v
v p —— 讨论分子的速率分布时用
v
—— 讨论分子碰撞问题时用
18
4. 利用麦克斯韦速率分布函数计 算微观量的平均值 ①
物理量
0 ~ 整个速率范围（全体分子）的某一
x 的平均值
0
x xf (v )dv
v vf (v )dv
0
8 RT
19
②
理量 x 平均值
v1 ~ v2 速率范围内（部分分子）的某一物
或：
0 ~ v0速率区间内的分子数 v0 ~ 速率区间内的分子数
25
（4）说明下列各式的物理意义
①
②
vp
f (v)dv
m 2 v f (v)dv 2
0
③
v2
v1
m 2 v Nf (v )dv 2
26
说明某一个含有麦克斯韦速率分布函数 f (v ) 的物理意义：
dN 首先： f (v ) Ndv
f (v )
dN dS f (v )dv N
B
A
0
v0
v0
v
N 0~ v0 0
SA
0
f (v )dv
dN
N
N 0~v0 N
24
S B f (v )dv v
0
N v0 ~
dN
NLeabharlann Baidu
N v0 ~ N
★说明：0 ~ v0速率区间内的分子数占 总分
子数的百分比 v0 ~ 速率区间内 的分子数占总分子数的百分比
0
f (v ) d v 1
这称为速率分布函数 的归一化条件。
对于速率分布函数我们还可以用概率的概念 来理解：
9
各个分子的速率不同，可以看成是一个分子 具有不同速率的概率不同；
dNv /N就是一个分子的速率在v附近dv区间内 的概率； 对于一个分子来说， f (v) 就是分子处于速 率v 附近单位速率区间的概率，也可以叫做 分子速率分布的概率密度。 那么归一化条件的概率意义就是一个分子具 有无论什么速率的概率，这个确定发生的事件， 概率当然等于1了。
v0 0
v0 2
38
例2
一个分子的平均动能和平均平动动能 有何不同？
d Nv f (v ) N dv
8
f (v ) 称速率分布函数 （function of distribution of speeds）
d Nv 由定义式 f (v ) 可看出 f (v)的意义是： N dv
“ 在速率v 附近， 单位速率区间内的分子数 占总分子数的比例。” d Nv 因为 d N v N ， 即 N 1 v 0 v 0 所以
归一化条件 f v dv 1
0
在左图上的几何意义为：
11
0
v v +dv
v 曲线下面的总面积等于1。
麦克斯韦速率分布是大量分子的统计规律性。 碰撞使得个别分子的速率变化是随机的，概率 的原则使得大量分子通过频繁碰撞达到 v 很小 和v 很大的概率都必然很小。
12
三. 三种统计速率 1.最概然（可几）速率（most probable speed） 如图示， 相应于速率分布函数 f(v)的极大值 的速率v p 称为最概然速率。
x
v1 v2 v1
xf (v )dv f (v )dv
xf (v )dv
v2 v1
20
（1）最可几速率和平均速率的物理意义各 是什么？有人认为最可几速率就是速 率分布中的最大速率值，对吗？ 物理意义 如果把整个速率范围分成 ★ 最可几速率： 许多相等的小区间的话,则最可几速率 所在的区间内的分子数占总分子数的百 分比最大。
如 t ， 等； 还应该进 v
2
一步弄清分子按速率和按 能量等的分布情况。
麦克斯韦
整体上看，气体的速率分布是有统计规律性的。
6
描写分子的速率分布可以有两种方式： 一种是像前面那样用分立数据描写： v1， v2 … vi … N1，N2 … Ni …
Ni
0
vi
这种描写既繁琐，又不能很好地体现统计 的规律性。 7
第二章
气体动理论
（Kinetic Theory of Gases）
1
上节内容回顾
一. 热平衡态： 二 热平衡定律（热力学第零定律） “分别与第三个系统处于同一热平衡态的两 个系统必然也处于热平衡。” 处于同一热平衡态下的热力学系统 三 温度： 所具有的共同的宏观性质。 四 . 温标（temperature scales） 五. 理想气体的物态方程的另一种形式 m p nkT pV RT M
10
二 . 麦克斯韦速率分布函数 1859年麦克斯韦（Maxwell）导出了理气在 分子速率分布函数为： 无外场的平衡态（T）下，
m 3 / 2 mv 2 / 2 kT 2 f (v ) 4 ( ) e v 2π kT
f(v) T，m 一定
d Nv f (v ) d v N
m — 气体分子的质量
f(v) T，m 一定
d f (v ) 由 dv
v v P
0 ，有：
vp
2kT m
2 RT T M
就单位速率区间来比较， vp 0 v 处在最概然速率 v p 附近 的分子数占总分子数的百分比最大。 13
vp
vp 当分子质量 m 一定时，T f (v p ) f(v)
2
一 . 理想气体的微观假设 1.关于每个分子的力学性 2.关于大量分子的统计假设（对平衡态） 质 二. 理想气体压强公式的推导
2 p n t 3
— 气体压强公式
三 方均根速率
v
2
3kT 3 RT m M
3
温度的统计意义：
T是大量分子热运动平均平动动能的量度。 四 . 能量均分定理 分子热运动的每一 在温度为T 的平衡态下， 1 个自由度所对应的平均动能都等于 kT 2 i 分子平均能量 kT 2
（3）分子的平均速率
36
（1）画出速率分布曲线
f (v)
C ,(0 v v0 ) f (v ) 0,(v v0 )
C
O
（2）常数C
v0
0
v
0
f (v )dv 1
（归一化条件）
v0
0
Cdv v 0dv 1
1 C v0
37
（3）分子的平均速率
v vf (v )dv vCdv 0
21
★ 平均速率：所有分子速率的平均值
★ 认为最可几速率就是速率分布中的最大
速率值，对吗？ 不对
22
（2）一个分子具有最可几速率的几率是多
少？ 等于零
dN f (v)dv N dN 0 dv 0 N
★一个分子具有任何定值速率的几率等于零
23
（3）麦克斯韦速率分布曲线如图所示，图中 A、B两部分面积相等，这说明什么？
N v0 2 ——不对！ 上式分母上的N应为 0 Nf (v ) d v
v0 2 v 0
f (v ) d v 对否？
v
v0 2 v 0 v0 2 0
f (v ) d v f (v ) d v
a v0 4 ( ) 4 2 a v0 3 3( 2 )
3 v0 v 8
8m 2kT f (v p ) π kT m
1/ 2
e
1
T1
m 一定
左图表明： 温度越高， 速率大的分子数比例越大，
v 气体分子的热运动越激烈。
T2 >T1 0
vp1 vp2
14
2.平均速率（average speed）
N iv i 分立： 平均速率 v Ni
③ 分布在 v1 ~ v2 速率区间内的分子的
平均速率 ④ 多次观察某一分子的速率，发现速率 大于 v0 的几率
32
① 速率大于 v0 的分子数
Nv0 ~ dN N f (v )dv v v
0
0
② 速率大于 v0 的那些分子的平均速率
vv0 ~
vdN dN
另一种是用连续的分布函数来描述：
设：dNv 为速率v v +dv 区间内的分子数，
d N 为总分子数，则： N v N d v ，
即
d Nv dv N
由于dNv / N 是速率v 附近dv 区间的分子数与 总分子数之比，所以它应与v 的大小有关， 可以
d Nv 写成： f (v ) d v ，即 N
所有分子平动动能总和 分子总数
0
m 2 v dN 2 N
★ 物理意义： 一个分子的平均平动动能
29
③
v2
v1
v2 m m 2 2 v Nf (v )dv v dN v1 2 2
★ 物理意义： v1 ~ v2速率区间内所有分 子的平动动能之和
练习： 说明
v2
v1
m 2 v f (v)dv 的物理意义 2
连续：vi v，Ni dNv=N f (v)dv，
v
8kT 8 RT 对麦氏速率分布经计算得：v πm πM
任意函数(v)对全体分 v (v ) f (v ) d v 子按速率分布的平均值： 0
15
N v d Nv 0 N d Nv 0
30
m 2 v1 2 v dN v2 m 2 v f (v)dv v1 2 N v ★ 物理意义： 1 ~ v2速率区间内所有分子 的平动动能对平均平动 动能
v2
的贡献。
31
（5）用总分子数 N ，气体分子速率
v 和速
率分布函数 f (v ) 表示下列各量 ① 速率大于 v0 的分子数
② 速率大于 v0 的那些分子的平均速率
大于 v0 的几率
观察到速率大于 v0的次数 速率大于v0 的几率 总观察次数
N V0 ~ N
v0
dN
N
f (v)dv
v0
35
例1
有N个分子，其速率分布函数为 C , (0 v v0 ) f (v ) （ N，v0 已知） 0, (v v0 )
求：（1）画出速率分布曲线； （2）常数C；
v0 v0
vNf (v )dv
Nf (v )dv
v0 v0
vf (v )dv f (v )dv
33
③ 分布在
v1 ~ v2 速率区间内的分子
v2
的平均速率
vv ~ v
1 2
v1 v2 v1
vf (v )dv f (v )dv
34
④ 多次观察某一分子的速率，发现速率
4
本章目录
§2.1 理想气体的压强
§2.2 温度的统计意义 §2.3 能量均分定理 §2.4 麦克斯韦速率分布律 △§2.5 麦克斯韦速率分布的实验验证 *§2.6 玻耳兹曼分布 △§2.7 真实气体等温线 *§2.8 范德瓦耳斯方程 §2.9 气体分子的平均自由程 *§2.10 输运过程
5
一 . 速率分布函数 要深入研究气体的性质， 不能光是研究一些平均值，
其次： 化简表达式 最后：清楚 dN 、 、 代表什么，并且将 N dv 表达式用（物理）语言描述出来。
27
①
vp
f (v)dv
vP
vp
f (v ) dv
N vP ~ dN dv Ndv N
v ★ 物理意义： p ~ 速率区间内的分子数占 总 分子数的百分比
28
②
m 2 0 2 v f (v)dv m m 2 2 dN v f (v)dv v 0 2 0 2 N
17
3. 方均根速率（root-mean-square speed） （麦） 3kT 2 2 v v f (v ) d v m 0 3kT 3 RT 2 v （与前同） m M 8 2 vp : v : v 2 : : 3 1.41 : 1.60 : 1.73 π 2 —— 讨论分子平均平动动能时用 v
N v 0
d Nv N
v 0
f (v ) d v
例 设某气体的速率分布函数
f (v )
为 f (v )
av 2，0 v v 0 ) ( 0 ， (v v 0 )
0 v0 v
求： （1）常量 a 和 v0 的关系 （2）平均速率 v
v0 （3）速率在 0 之间分子的平均速率 v 2 解： （1）归一化条件 0 f (v ) d v 1 3 a 3 1 3 v0 v0 f (v ) d v 0 av 2 d v av 0 0 3 16
则 （2）设总分子数为N，
v
f (v ) d v N a 4 1 3 4 3 v0 2 0 v av d v v 0 ( 3 )v 0 v 0 4 v0 4 4
v0 2 v 0
v 0
Nf (v ) d v
v 0
（3） v
Nf (v ) d v
v p —— 讨论分子的速率分布时用
v
—— 讨论分子碰撞问题时用
18
4. 利用麦克斯韦速率分布函数计 算微观量的平均值 ①
物理量
0 ~ 整个速率范围（全体分子）的某一
x 的平均值
0
x xf (v )dv
v vf (v )dv
0
8 RT
19
②
理量 x 平均值
v1 ~ v2 速率范围内（部分分子）的某一物
或：
0 ~ v0速率区间内的分子数 v0 ~ 速率区间内的分子数
25
（4）说明下列各式的物理意义
①
②
vp
f (v)dv
m 2 v f (v)dv 2
0
③
v2
v1
m 2 v Nf (v )dv 2
26
说明某一个含有麦克斯韦速率分布函数 f (v ) 的物理意义：
dN 首先： f (v ) Ndv
f (v )
dN dS f (v )dv N
B
A
0
v0
v0
v
N 0~ v0 0
SA
0
f (v )dv
dN
N
N 0~v0 N
24
S B f (v )dv v
0
N v0 ~
dN
NLeabharlann Baidu
N v0 ~ N
★说明：0 ~ v0速率区间内的分子数占 总分
子数的百分比 v0 ~ 速率区间内 的分子数占总分子数的百分比
0
f (v ) d v 1
这称为速率分布函数 的归一化条件。
对于速率分布函数我们还可以用概率的概念 来理解：
9
各个分子的速率不同，可以看成是一个分子 具有不同速率的概率不同；
dNv /N就是一个分子的速率在v附近dv区间内 的概率； 对于一个分子来说， f (v) 就是分子处于速 率v 附近单位速率区间的概率，也可以叫做 分子速率分布的概率密度。 那么归一化条件的概率意义就是一个分子具 有无论什么速率的概率，这个确定发生的事件， 概率当然等于1了。
v0 0
v0 2
38
例2
一个分子的平均动能和平均平动动能 有何不同？
d Nv f (v ) N dv
8
f (v ) 称速率分布函数 （function of distribution of speeds）
d Nv 由定义式 f (v ) 可看出 f (v)的意义是： N dv
“ 在速率v 附近， 单位速率区间内的分子数 占总分子数的比例。” d Nv 因为 d N v N ， 即 N 1 v 0 v 0 所以
归一化条件 f v dv 1
0
在左图上的几何意义为：
11
0
v v +dv
v 曲线下面的总面积等于1。
麦克斯韦速率分布是大量分子的统计规律性。 碰撞使得个别分子的速率变化是随机的，概率 的原则使得大量分子通过频繁碰撞达到 v 很小 和v 很大的概率都必然很小。
12
三. 三种统计速率 1.最概然（可几）速率（most probable speed） 如图示， 相应于速率分布函数 f(v)的极大值 的速率v p 称为最概然速率。