ARMA模型介绍
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• MA（q）模型的识别。若序列的自相关函数在q以后截尾 ，而且偏自相关系数是拖尾的，则此序列是移动平均MA （q）序列。
• ARMA（p,q）模型的识别。若序列的自相关函数和偏自 相关系数都是拖尾的，则此序列是自回归移动平均ARMA （p,q）序列。至于模型中p和q的识别，则要从低阶开始 逐步试探，直到定出合适的模型为止。
• 根据AR自（相p关）函的数自的相特征关，函可数见（AARC（）p）和序偏列相的关自函相数关（
函数是非截尾序列，称为拖尾序列。因此，自相P关A函C） 数拖尾是AR（ p ）序列的一个特征。
• 根据偏自相关函数的特征，当k>p时，PACkk =0，也 就是在p以后截尾。
模型的识别
• AR（p）模型的识别。若序列的偏自相关函数在p以后截 尾，而且自相关系数是拖尾的，则此序列是自回归AR（p ）序列。
• 如果一个时间序列有一个单位根，那么在回归模型中
可以Yt仅包Y括t1Y。1Yt1 ... p1Yt p1 ut
• 一般形式的MA(q)模型可以表示为
MA(q)模型
• •
上MA述(q模)Y模型t 型为也uqt阶不移存1动u在t平非1 均平模稳2u型问t2题。
qut q
• 如前果期时 值间 的序 线列 性函Yt是数自它，的回即当可归期表移和示动前为期：平的均随模机误型差(A项R以M及A)
时间序列模型在上世纪80年代中期后得到快 速发展。
• 时间序列模型的特点 • AR、MA和ARMA模型的形式 • AR、MA和ARMA模型的识别 • AR、MA和ARMA模型的估计
本章主要内容
时间序列分析模Baidu Nhomakorabea的特点
• 时间序列分析通常并不需要建立在经济理论所体 现的经济关系基础之上，而是“让数据自己说话 ”。Yt可由其自身的滞后值以及随机误差项来解 释，因此时间序列分析模型又称乏理论（atheoretic)模型。
– Quick → Estimate equation – 在窗口中输入因变量，自变量为AR(p)和MA(q)，以
ARMA(1,2)为例：
GDP c AR(1) MA(1) MA(2)
– 参考AC或PAC确定滞后期 – 根据回归结果选择适合的估计结果
• A格R，M更A模多型的估是计考对虑参模数型t的检整验体其拟显合著模效性果型水。平结要果求的并不分严析
考一虑个AARRIIMMAA((pp,,dd,,qq))模模型型代表一个I(d)变量A经R过IMd次A差模分型
后所做的AR(p)和MA(q)模型。
– 两者结合的模型（ARMA）
• 习惯上用AR(p)、MA(q)或ARMA(p,q)来表示对应的滞 后时期。
• AR(p)模型是回归模型的一种形式，其一般形式为：
AR(p)模型
• 另一种表达方式是用差分形式：
– 这种Yt模型1设Yt定1 形 式2可Yt以2 减 .少.. 多 重p共Yt线p性 ut
• 调整可决系数、AIC和SC准则都是模型选择的重要标 准。
• 赤，池n是信观息测准值则数：目A，ICk=是-2被L/n估+计2k的/nA，参IC其数准中个则L数是。和对AS数ICC似准准然则则值
要求其取值越小越好。
• 施瓦茨准则：SC=-2L/n-klnn/n，使用时也要求SC值 越小越好。
• •
AR、MA和ARMA模型的估计
• 经过模型识别，确定了时间序列模型的结构和阶 数后，需要对模型进行估计。
• 上述模型的估计方法较多，大体上分为三类：最 小二乘法、矩估计和利用自相关系数的直接估计 。
• 在同的EV步IE骤W：S软件中利估用计AERVMIEA模W型S使估用计与AORLMS方A法模相型
• 根据自相关函数，当k>q时，yt 与y t-k 不相关，这种现 象称为截尾，因此，当kM>qA时（，q）自的相自关相函关数函为数零（是AMCA） （q）的一个特征。也就是说，可以根据自相关系数是 否从某一点开始一直为零来判断MA（q）模型的阶。
• MA（q）的偏自相关系数随着滞后期的增加，呈现指 数衰减，趋向于零，这称为偏自相关系数的拖尾性。
时间序列模型-ARMA模型
ARMA模型是一类常用的随机时间序列分 析模型，由博克斯(Box)和詹金斯(Jenkins)创立 ，也称B-J方法。
其基本思想是：某些时间序列是依赖于时 间的一族时间变量，构成该时序的的单个序列 值虽然具有不确定性，但整个序列的变化确有 一定的规律性，可以用相应的数学模型近似描 述。通过对该数学模型的分析和研究，能够更 本质地认识时间序列的结构和特征，达到最小 方差意义下的的最优预测。
• Y则At R称M该1AY（序t1p列,q为）2Y（t2p,q.）.. 阶自pY回t p归移ut动平1u均t1模型。记q为utq
随机时间序列分析模型的识别
• 对于AR、MA、ARMA模型，在进行参数估计之 前，需要进行模型的识别。识别的基本任务是找 出ARMA（p,q）、AR（p）、MA（q）模型的阶 。识别的方法是利用时间序列样本的自相关函数 和偏自相关函数。
• 从方法学角度看，时间序列分析主要基于统计学 ，而不是经济学；
• 时间序列模型通常适用于做短期预测，即统计序 列过去的变化模式尚未发生根本变化的期间；
• 长期预测则需要建立在经济行为基础之上。
– 自回归模型（AR）：反映经A济R变、量M的当A前和值A与R其M过去A值模的型
关系
– 移动平均模型（MA）：反映经济变量当前值与当前及过去 误差项的关系
• ARMA（p,q）模型的识别。若序列的自相关函数和偏自 相关系数都是拖尾的，则此序列是自回归移动平均ARMA （p,q）序列。至于模型中p和q的识别，则要从低阶开始 逐步试探，直到定出合适的模型为止。
• 根据AR自（相p关）函的数自的相特征关，函可数见（AARC（）p）和序偏列相的关自函相数关（
函数是非截尾序列，称为拖尾序列。因此，自相P关A函C） 数拖尾是AR（ p ）序列的一个特征。
• 根据偏自相关函数的特征，当k>p时，PACkk =0，也 就是在p以后截尾。
模型的识别
• AR（p）模型的识别。若序列的偏自相关函数在p以后截 尾，而且自相关系数是拖尾的，则此序列是自回归AR（p ）序列。
• 如果一个时间序列有一个单位根，那么在回归模型中
可以Yt仅包Y括t1Y。1Yt1 ... p1Yt p1 ut
• 一般形式的MA(q)模型可以表示为
MA(q)模型
• •
上MA述(q模)Y模型t 型为也uqt阶不移存1动u在t平非1 均平模稳2u型问t2题。
qut q
• 如前果期时 值间 的序 线列 性函Yt是数自它，的回即当可归期表移和示动前为期：平的均随模机误型差(A项R以M及A)
时间序列模型在上世纪80年代中期后得到快 速发展。
• 时间序列模型的特点 • AR、MA和ARMA模型的形式 • AR、MA和ARMA模型的识别 • AR、MA和ARMA模型的估计
本章主要内容
时间序列分析模Baidu Nhomakorabea的特点
• 时间序列分析通常并不需要建立在经济理论所体 现的经济关系基础之上，而是“让数据自己说话 ”。Yt可由其自身的滞后值以及随机误差项来解 释，因此时间序列分析模型又称乏理论（atheoretic)模型。
– Quick → Estimate equation – 在窗口中输入因变量，自变量为AR(p)和MA(q)，以
ARMA(1,2)为例：
GDP c AR(1) MA(1) MA(2)
– 参考AC或PAC确定滞后期 – 根据回归结果选择适合的估计结果
• A格R，M更A模多型的估是计考对虑参模数型t的检整验体其拟显合著模效性果型水。平结要果求的并不分严析
考一虑个AARRIIMMAA((pp,,dd,,qq))模模型型代表一个I(d)变量A经R过IMd次A差模分型
后所做的AR(p)和MA(q)模型。
– 两者结合的模型（ARMA）
• 习惯上用AR(p)、MA(q)或ARMA(p,q)来表示对应的滞 后时期。
• AR(p)模型是回归模型的一种形式，其一般形式为：
AR(p)模型
• 另一种表达方式是用差分形式：
– 这种Yt模型1设Yt定1 形 式2可Yt以2 减 .少.. 多 重p共Yt线p性 ut
• 调整可决系数、AIC和SC准则都是模型选择的重要标 准。
• 赤，池n是信观息测准值则数：目A，ICk=是-2被L/n估+计2k的/nA，参IC其数准中个则L数是。和对AS数ICC似准准然则则值
要求其取值越小越好。
• 施瓦茨准则：SC=-2L/n-klnn/n，使用时也要求SC值 越小越好。
• •
AR、MA和ARMA模型的估计
• 经过模型识别，确定了时间序列模型的结构和阶 数后，需要对模型进行估计。
• 上述模型的估计方法较多，大体上分为三类：最 小二乘法、矩估计和利用自相关系数的直接估计 。
• 在同的EV步IE骤W：S软件中利估用计AERVMIEA模W型S使估用计与AORLMS方A法模相型
• 根据自相关函数，当k>q时，yt 与y t-k 不相关，这种现 象称为截尾，因此，当kM>qA时（，q）自的相自关相函关数函为数零（是AMCA） （q）的一个特征。也就是说，可以根据自相关系数是 否从某一点开始一直为零来判断MA（q）模型的阶。
• MA（q）的偏自相关系数随着滞后期的增加，呈现指 数衰减，趋向于零，这称为偏自相关系数的拖尾性。
时间序列模型-ARMA模型
ARMA模型是一类常用的随机时间序列分 析模型，由博克斯(Box)和詹金斯(Jenkins)创立 ，也称B-J方法。
其基本思想是：某些时间序列是依赖于时 间的一族时间变量，构成该时序的的单个序列 值虽然具有不确定性，但整个序列的变化确有 一定的规律性，可以用相应的数学模型近似描 述。通过对该数学模型的分析和研究，能够更 本质地认识时间序列的结构和特征，达到最小 方差意义下的的最优预测。
• Y则At R称M该1AY（序t1p列,q为）2Y（t2p,q.）.. 阶自pY回t p归移ut动平1u均t1模型。记q为utq
随机时间序列分析模型的识别
• 对于AR、MA、ARMA模型，在进行参数估计之 前，需要进行模型的识别。识别的基本任务是找 出ARMA（p,q）、AR（p）、MA（q）模型的阶 。识别的方法是利用时间序列样本的自相关函数 和偏自相关函数。
• 从方法学角度看，时间序列分析主要基于统计学 ，而不是经济学；
• 时间序列模型通常适用于做短期预测，即统计序 列过去的变化模式尚未发生根本变化的期间；
• 长期预测则需要建立在经济行为基础之上。
– 自回归模型（AR）：反映经A济R变、量M的当A前和值A与R其M过去A值模的型
关系
– 移动平均模型（MA）：反映经济变量当前值与当前及过去 误差项的关系