连续系统振动(a)-杆的纵向振动
振动力学与结构动力学-(第一章).
摩擦力： Fd cdx2sgxn
c d ：阻力系数
在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量，再乘2：
Ecdx2sgxndx2
T/4
c T/4 d
x3dt
8 3
cd02
A2
等效粘性阻尼系数：
ce
8
3
cd0
A
24
四、结构阻尼
由于材料为非完全弹性，在变形过程中材料的内摩擦所引起 的阻尼称为结构阻尼
特征：应力－应变曲线存在滞回曲线
6
第一章 概 论
§1-1 动荷载及其分类 - 从广义上讲，如果表征一种运动的物理量作时而增大时而减
小的反复变化，就可以称这种运动为振动。 - 如果变化的物理量是一些机械量或力学量，例如物体的位移
、速度、加速度、应力及应变等，这种振动便称为机械振动 。 - 各种物理现象，诸如声、光、热等都包含振动
7
– 知识要点：结构被动控制、主动控制的基本概念。常用主动 控制方法的原理。结构主动控制在机械、土木结构工程中应 用简介。
– 重点难点：理解各种控制方法的原理及其具体实现。 – 教学方法：课堂讲授与引导讨论相结合。
主要参考书： • 刘延柱.振动力学.北京：高等教育出版社,1998 • 倪振华. 振动力学. 西安：西安交通大学出版社，1989 • 张准、汪凤泉. 振动分析.南京：东南大学出版社，1991 • 陈予恕.非线性振动. 天津：天津科技出版社，1983 • 龙驭球等编著.《结构力学》下册. 北京：高等教育出版 社，1994
– 教学方法：课堂讲授与引导讨论相结合
• 第六章 结构反应谱与地震荷载计算（8学 时）
– 知识要点：结构反应谱、单自由度和多自由度地震 荷载计算公式、规范中地震荷载计算公式。
第十二次课第四章连续体的振动
第四章连续体的振动§4.2 杆的纵向振动例：有一根 x =0 端为自由、x =l 端处为固定的杆，固定端承受支撑运动 td t u g ωsin )(=d 为振动的幅值试求杆的稳态响应。
l x 0)(t u g §4.2 杆的纵向振动解： l x 0t d t u g ωsin )(=方程建立 dx u dx x u u u g ∂-∂+)(22xu Sdx ∂∂ρdx x F F ∂∂+F 微段分析应变： xu u dx u dx x u u u g g ∂-∂=-∂-∂+=)(])([ε内力： xu u ES ES F g ∂-∂==)(ε达朗贝尔原理： F dx F F u Sdx -∂+=∂)(2ρ),(t x u 杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移 22)(u u ES u S g -∂=∂ρl x 0td t u g ωsin )(=令： 代入方程： 2222)(x u u ES t u S g ∂-∂=∂∂ρg u u u -=*g u u u +=*即： **''g Su ESu Su ρρ-=-2sin Sd tρωω=-设解为： ∑∞==1*)()(i i i t q x u φ)(x i φ为归一化的正则模态 ,...5,3,1,2cos 2)(==i x li l x i πφ代入方程，得： tSd ESq q S i i i i i ωωρφφρsin )(2,...5,3,1''=-∑∞=l x0t d t u g ωsin )(=2222)(x u u ES t u S g ∂-∂=∂∂ρgu u u -=*∑∞==1*)()(i i i t q x u φ,...5,3,1,2cos 2)(==i x l i l x i πφtSd ESq q S i i i i i ωωρφφρsin )(2,...5,3,1''=-∑∞= )(x j φ用 乘上式，并沿杆长积分：⎰∑⎰⎰=-∞=lj i l j i i l j i idx t Sd dx ES q dx S q 0210''0sin )(φωωρφφφφρ 利用正交性： t d i l l q q i i i i ωωπωsin )1(2222/)1(2--=+l x 0td t u g ωsin )(=2222)(x u u ES t u S g ∂-∂=∂∂ρg u u u -=*∑∞==1*)()(i i i t q x u φ,...5,3,1,2cos 2)(==i x li l x i πφt d i l l q q i i i i ωωπωsin )1(2222/)1(2--=+ 模态稳态解： t d i l l q i i i i ωπηωωsin )1(222/)1(22--=2)/(11i i ωωη-=t lx i d i E l u i i i ωπηπωρsin 2cos )1(16,...5,3,132/)1(322*∑∞=--=l x 0td t u g ωsin )(=2222)(x u u ES t u S g ∂-∂=∂∂ρg u u u -=*2)/(11i i ωωη-=t lx i d i E l u i i i ωπηπωρsin 2cos )1(16,...5,3,132/)1(322*∑∞=--=t d l x i i E l u u u i i i gωπηπωρsin 2cos )1(161 ,...5,3,12/)1(3322*⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=∑∞=-小结1. 建立动力学方程2. 根据边界条件求解固有频率和模态3. 变量分离4. 代入动力学方程，并利用正交性条件得到模态空间方程5. 物理空间初始条件转到模态空间6. 模态空间方程求解7. 返回物理空间，得解)()(),(1t q x t x u i i i φ∞=∑=)(2t Q q q j j j j =+ω )(,x i i φω)0(),0(j j q q )(t q j )()(),(1t q x t x u i i i φ∞=∑=物理空间问题 模态空间问题 )()(),(1t q x t x u i i i φ∞=∑=模态叠加法§4.3圆轴的扭转振动取圆轴的轴心线作为x 轴，图示轴任一 x 截面处的转角表示为θ(x ,t ) 。
振动力学—连续系统
弦的横向振动
y(x,t)为弦上坐标为x处的横截面 在t时刻的横向位移l。
取微元，分析受力，如图
杆的纵向振动
假定：细长等截面杆, 振动时横截面仍保持为平面，横截 面上的质点只作沿杆件纵向的振动，横向变形忽略不计。 则同一横截面上各点在x方向作相等的位移。 参数：杆长l，截面积S，材料密度，弹性模量E
EI d 4Y d 2T a 2 , 4 Y IV , 2 T ，则上式为： 令 m dx dt IV T 2 Y a Y T
Y IV T a 2 Y T
2
梁的弯曲振动
方程
T 2T 0
Y
( 4)
2
a
2
Y 0
T Aei (t )
各态遍历过程
相关函数
自相关函数性质
1 偶函数
Rx ( ) Rx ( )
2 周期随机过程的自相关函数仍是周期函数 X (t ) X (t ) Rx ( ) Rx ( T ) 3 4
2 Rx (0) x
2 2 x x Rx ( ) Rx (0)
T(t ) 2T (t ) 0
X ( x)
2
a
2 0
X ( x) 0
杆的纵向振动
解为 时间域，初值问题 空间域，边值问题 固支边条件
T (t ) Aei (t )
X ( x) C1 sin
a0
x C2 cos
a0
x
x=0时，u(0,t)=X(0)· T(x)=0，即X(0)=0 x=l时，u(l,t)=X(0)· T(l)=0，即X(l)=0
x=H(0) f
力学专业研究生面试
1. 各力学课程之间的区别和联系,重点的理论力学\材料力学\结构力学重点内容要清楚.理论力学：理论力学是研究物体的机械运动的。
它主要研究的是质点，质点系，刚体，并且以牛顿定律为主导思想来研究物体。
质点和刚体都是理想化的模型，没有变形，真实世界中不可能存在，适用于研究宏观低速的物质世界。
它主要分为三大部分，静力学（研究物体在保持平衡时应该满足的条件），运动学（从几何方面研究物体的运动，包括轨迹、速度、加速度和运动方程）和动力学（研究物体的受到的力与运动之间的关系）。
材料力学：研究构件在荷载作用下是否满足强度、刚度和稳定性。
材料力学主要研究的对象是构件，构件是可以变形的。
材料力学主要是从理论力学的静力学发展而来，因为刚体是不会变形的，所以在理论力学中是不可能解释变形体的问题的，但实际上物体没有不发生形变的，材料力学就是研究物体在发生形变以后的一些问题。
理论力学无法解答超静定问题，但是在材料力学中可以根据变形协调方程或者一些边界约束条件可以解答超静定问题。
而且材料力学在解释实际生活中的问题时时把问题工程化。
材料力学的假设：1，连续性假设；2均匀性假设；3各项同性假设。
拉、压、剪、扭、弯（纯弯和恒力弯曲）强度理论：最大拉应力强度理论最大伸长线应变理论最大切应力理论畸变能密度理论莫尔强度理论组合变形（拉弯，弯扭）压杆稳定莫尔积分结构力学：研究工程结构受力和传力的规律，以及如何进行结构优化的学科。
在材料力学的基础上面发展起来的，一些基本的工具和思想都是差不多的。
在结构力学里面有一些更先进的解决问题的方法，例如力法、位移法、矩阵位移法（划行划列法，主1付0法，付大值法）、力矩分配法（逐渐趋近的方法接近真实值）。
结构力学里面还包括结构动力学力法：变形协调方程，以多余的未知力为基本未知量位移法：平衡方程，以某些结点位移和转角为基本未知量力矩分配法：以位移法为基础，无限趋近的方式逐渐逼近真实解矩阵位移法：位移法和计算机想结合的产物。
复习-连续系统的振动
t
0 F ( ) sin[i (t )]d
u(x,t) Φi (x)Φi (x1)
i 1
i
t
0 F( )sin[i (t )]d
10
二、 梁的弯曲振动
1. 运动微分方程
2 x2
EI (x)
2u(x,t)
x2
A(x)
2u( x, t ) t 2
f
( x, t )
2. 均匀梁自由振动方程
的解耦方程
qi i2qi
l
0 f (x, y)Φidx
1
qi i
l
t
0 Φi 0 f (x, ) sin[i (t )]d dx
u(x,t) Φi
i1 i
l
0 Φi
t
0 f (x, )sin[i (t )]d dx
9
（2）集中荷载 设在x＝x1处受集中力F(t)
q(t) Φi (x1)
dFi
dx
dx
0
l
0Fi AFidx Mi
l
0Fi
d dx
EA
dFi
dx
dx
i2 M i
6
8.初始条件的响应求解步骤 （1）根据边界条件求解固有频率和固有振型。 （2）对振型函数标准化（正则化）
l
0Fi AFidx Mi 1
（3）将初始条件变换到标准坐标
l
q0i 0 AΦiu(x, 0)dx
12
（3）自由端：弯矩和剪力为0，即
2u( x, t ) x2
0,
3u( x, t ) x3
0
（x=0或l）
（4）集中质量
（5）弹簧
利用截面法研究微单元体的平衡。
连续系统的振动课件
连续系统振动仿真实例
弦振动仿真
建立弦的有限元模型，通过求解特征值和特征向量，得到弦的自振频率和振型，分析弦的振动特性。
梁弯曲振动仿真
建立梁的有限元模型，考虑剪切变形和转动惯量的影响，计算梁的自振频率和振型，揭示梁的弯曲振动规律。
拓扑优化
通过改变结构拓扑形态来优化振动特性，如减少 质量、提高刚度等。
形状优化
优化结构件的形状以降低振动幅度，例如改变梁 截面形状、板厚度分布等。
参数优化
针对特定连续系统，通过调整参数（如阻尼系数、 刚度分布等）实现振动性能的优化。
06
实验与测量技术
振动测量原理及设备
01
振动测量原理
02
振动测量设备
基于牛顿第二定律与连续系统的振 动特性，推导连续系统的偏微分方 程。
偏微分方程的形式
详细解释偏微分方程中各项的物理 意义，如惯性项、阻尼项和弹性项。
波动方程的推导与解析
01
02
03
波动方程的推导
从偏微分方程出发，通过 引入波动假设，推导连续 系统的波动方程。
波动方程的解析解
利用数学方法求解波动方 程，得到通解，并分析通 解的物理意义。
03
连续系统振动的应用实例
弦的振动与音乐乐器
振动弦上的波传播
当弦受到激励振动时，振动以波 的形式在弦上传播，形成驻波或 行波。这种波传播的现象是音乐
乐器发音的基础。
乐器中的弦振动
许多乐器如吉他、小提琴、钢琴 等都利用弦的振动发声。不同乐 器的音色和音调可以通过调整弦 的张力、长度、直径等参数来实
《结构动力学》-第八章-连续系统振动及精确解
A BC 0
简支梁第r阶固有频率和振型分别为
r r L
2
EI
r ( x) D sin r x
[例2] 悬臂梁情况 ( x) A ch x B sh x C cos x D sin x
3 y (0) 0 (0) 0 ( L) 0 ( L) 0 ( EI 3 Q 0) x
n
C
L
3
2 2 ,
,
扭转振动固有频率：
ni
C (2i 1) (2i 1) L 2 2L G
i 1,2
一阶固有频率：
n1
2L G
1.5708
1 G L
一阶振型函数为：
1 ( x) A1 sin
2L
x
任意阶振型i的响应为：
i ( x, t ) i ( x)qi (t ) Ai sin
总响应：
ni
C
xDi sin ni t Ei cos ni t
( x, t ) i ( x, t ) Ai sin
i 1 i 1
ni
C
xDi sin ni t Ei cos ni t
类似波动方程，有
d 2q ＋ 2 q＝0 dt 2 d 4 2 2 0 4 dx a
令 ( x) Ae x
4
代入得
a
2
a2
0 2
a
1
2
a
3 i
a
4 i
a
连续系统
2
(4.3.9)
( y ) C1 sin t C2 cos y a a
(4.3.10)
其中， C1 与 C2 是待定系数，它们由轴的边界条件决定。常见的扭转振动时轴的边界条件 为： 自由端：
y 0 时，GJ (0, t ) GJ (0)T (t ) 0 ，即 (0) 0 y l 时，GJ (l , t ) GJ (l )T (t ) 0 ， 即 (l ) 0
3
但是在工程中有实际意义的，只有有限个低阶频率。
X i ( x) Ai sin
前三阶主振型如图 4.2-3(a)所示。
(2i 1) x 2l
(i 1, 2,3,)
(1) (2) (3)
f (1) f (2) f (3)
(a)
图 4.2-3
(b)
如果 k ，该边界相当于固定边界，频率方程为
(4.3.8)
关于（4.3.6）式，只有某些典型的轴，如 I ( y ) / GJ ( y ) 可按某种函数形式表达时，才可 假定 1/ a I ( y ) / GJ ( y ) ， 则 （4.3.6） 能找到精确解答。 对于均匀轴，I ( y ) 与 GJ ( y ) 是常数，
2
式可改写成：
( y ) ( y ) 0 a
( y, t ) ( y, t ) I ( y )
（4.3.2）
( y, t ) 代表扭转角加速度。 其中， I ( y ) 代表单位长度的梁对扭转轴的转动惯量；
将（4.3.2）式代入（4.3. 1b ）式中，并引用扭角与力矩 M 的关系式，得到扭转自由振 动的微分方程：
2 [GJ ( y ) ] I ( y ) 2 0 y y t
结构动力学 连续弹性体的振动(与“坐标”有关文档共69张)
aa
aa
U ' 0 0 A' A' 0
a
U ' l B' sin l 0
aa
B
'
不恒为零，所以
sin
a
l
0
第13页，共69页。
sin l 0 l n , n 0,1, 2...
a
a
n
n
l
a
代入振型函数为
Un x
Bn'
cos n
a
x
Bn'
cos
n
l
x
对应的第 n 阶主振动为
(2)固支点
固支点处转角、位移均被锁住，为零
y x,t 0
y x,t 0
x
x 0或
第23页，共69页。
（3）自由端 力与力矩均为零
M
EI
2 y x2
0
x 0,
Q
M x
EI
3 y x3
0
x 0,
（4）梁端有弹性支承
弹性梁端剪力等于弹性恢复力, 弹性恢复力与
位移正向相反，右端截面的剪力也与位移正向相反,
3 y EI x3 0
第25页，共69页。
（5）梁端有集中质量力 梁端弯矩为零
2Y ,t
EI 2x2 0 梁端剪力等于惯性力，右端剪力与惯性力均与位移
正向相反，所以二者同号
EI
3 y x3
,t
M
2 y t 2
,t
对位移或转角施加的约束 称为几何边界条件。
对剪力和弯矩施加的约束 称为力边界条件。
2 y t 2
q( x, t )
第20页，共69页。
连续系统的振动 振动力学课件
(l )q(t )
C1
sin
l
a
2 q(t )
q(t) A cos(t )
q(t) A2 sin(t ) 2q(t)
2u t 2
(l)q(t)
C1 sin
l
a
2 q(t )
代入
EA u(l,t) W x g
2u(l, t 2
t
)
ku(l
,
t
)
0
2
EA cos l q t W 2 sin l q t k sin l q t 0
u(x, 0) u(x) u(x, 0) u(x) 确定
2.两端自由
特征：两自由端轴向力为零
即 FN (0,t) 0 FN (l,t) 0
EA u(0,t) 0, x
EA u(l,t) 0, x
'(0)qt 0
'(l)qt 0
' (0) 0
' (l) 0
2.两端自由
' (x)
W gkl 2
Eg
EA kl
W
lA
tan
a
l
EA
a
W 2 k
g
EA ( l)
lk a
Wa2 gkl 2
a
l
2
1
l
a
( l)2
a
1
讨论：（1）
W 0 右端只有弹簧k，
频率方程
tan l (l )
a
a
tanu u作图法得出
（2） W 0 k 0 即自由端情形
频率方程 cos l 0
2. 弹性弦横向振动
微段分析
以变形前弦的方向为 x轴，
机械振动第4章连续系统2-2.ppt
以梁的横向振动为例，对两个不同特征值问题的解为：
d2 dx2
EI
(x)
d
2 Yi dx
(
2
x)
i2 m
(
x)
Y
i
(x)
0 x L
d2 dx2
EI
(x)
d
2
Yj
(x)
d x 2
2j m ( x) Y
j
(x)
0 x L
对第一个式子两边分别乘以Yj(x)
L
0
Yj
(x)
d2 dx2
EI
W2 (M n w Qn w M n s w d s
n
s
第4章 连续系统 4. 6 薄板的横向振动 振动微分方程
利用哈密尔顿原理
t（2 V t1
U）d t
t2 t1
W
d
t
0
得
：
t2 t1
h 2
w t
2
d
x
d
y
1 2
D
2 w x 2
2
2 w y 2
第4章 连续系统 4. 6 薄板的横向振动 圆板振动
方程的通解为
Rn (r) An J n ( r) Bn Yn ( r) C n I n ( r) Dn K n ( r)
由r = 0处的位移和转角为有限值，得B = 0， D= 0, 则有：
Rn (r) An J n ( r) C n I n ( r)
u T M u I
当质量矩阵为对角矩阵时，可写成：
n
u s i m su s j 0
i j
s 1
其中，m s为x= x s 处的质量，而u s i和u s j 分别为第i阶和第j阶主振型中 质量m s的位移。
杆的纵向振动
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1 杆的纵向振动
1.1等直杆的纵向振动
实际的振动系统，都具有连续分布的质量与弹性，因此， 称之为弹性体系统。 同时符合理想弹性体的基本假设，即均匀、各向同性服从 虎克定律。 由于确定弹性体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因 此弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时间 和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程，但是在
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1 杆的纵向振动
1.2固有频率和主振型
2 2u 2 u a 2 t x2
解可以用x的函数U(x)与t的谐函数的乘积表示，即
u( x, t ) U ( x)( A cos pt B sin pt )
即为杆的主振动的一般形式。
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1 杆的纵向振动
1.2固有频率和主振型
p12 2 Al l 2 M a
Ml
对于基频情况，有 p EA 1 其中
EA 是不计杆本身质量时杆的抗压刚度，以上结果与不 l
计杆本身质量而将其看成是单自由度系统所得的结果相同。
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1 杆的纵向振动
1.3主振型的正交性
这里只讨论简单边界条件的杆的主振型的正交性。 因为不涉及主振型的具体形式，所以不对杆作任何设定。即杆的 质量密度、横截面积等都可以是x的函数。因此可写出杆的纵向 振动微分方程式为 2u u
U ( x) C cos px px D sin a a
1. 杆两端固定的情况 边界条件为
U (0) 0 , U (l ) 0
sin
C0 , D sin p l0 a
p l0 a
即两端固定杆的频率方程。由此解出固有频率为
ia π pi l (i 1,2, )
振动理论10连续体系统
连续体系●系统具有连续分布的质量和弹性●物体内材料均匀，各向同性，弹性极限内服从胡克定律●弹性体具有无限多的自由度⏹需要无限多的坐标指定弹性体中任一点的位置●弹性体自由振动可以看成主振型或者正则振型的叠加●对于正则振型的振动，每个颗粒都做简谐振动⏹其频率是相应频率方程的根⏹各颗粒同时经过各自的平衡位置⏹如果物体的运动起始时的弹性曲线精确与每个主振型一致，物体将仅作主振动⏹爆炸或者外力的突然移除导致的弹性曲线，通常与主振动不一致，因而会激起所有振型的振动●在很多情况下，可以通过适当的初始条件激起某个特定的主振型●对于连续质量分布的系统的受迫振动，通过振型叠加法，可以使其转变为有限自由度的系统进行分析●常常把约束作为结构的附加支承来处理⏹会改变系统的主振型●用于表征系统变形的振型不需要一定是正交的●存在使用非正交函数的系统合成⏹例如在进行颤振计算时，为了避免质量变化引起正交振型改变时导致气动力的重新计算，可采用非正交振型，在每次计算中，保持振型不变，而重新计算非对角形式的广义质量矩阵弦的振动●一个柔软的弦，单位长度的质量为，在拉力作用下被张紧●假定其横向挠度很小，挠度引起的张力变化也很小，可以忽略不计●考虑单元长度为的一段弦的受力●挠度和斜率均很小●向的运动方程为●弦的斜率⏹波的扩展速度●一般解可以表示成如下的形式⏹和为任意函数●不管函数的类型如何，对变量微分将得到●如果做变量代换●注意到●简化后●积分两次⏹分量波以速度沿着轴方向移动⏹分量表示波以速度沿着轴方向移动⏹看成是波扩展的速度.●这一方法称为行波法10分离变量法●假定解具有分离变量的形式●代入微分方程后可得●方程左边各项与无关，方程右边各项与无关，因此两边必须是常数●令这个常数为, 得到两个常微分方程●其通解为⏹其中的待定常数, , , 由边界条件和初始条件确定●例题两端固定的张紧的弦，长度为 边界条件为●由●由为波长; 为振动频率的每个值代表一个主振动模态 固有频率为●振型为如下的正弦函数●由任意方式激起的更一般情况的自由振动, 解包括多个振动模态, 位移方程可以写为●应用初始条件and, 可以计算出和●如果把弦拉成任意形状后释放，初始条件可以表示为●每个方程都乘以并从到积分, 方程右边各项除外均为零。
多自由度振动系统的数值方法
一、杆的纵向振动
x
dx
杆单位体积质量为 ，杆长为l ,截面积为A， 应变
( x) ，纵向张力为 P ( x)
ε ( x) u
P( x) AEε AE u x x
，则
在 x dx 截面处张力为
2 P u P dx EA( u dx) 2 x x x
Y '' (l ) 0
C3 C1
C4 C2
(chl cos l )C1 (shl sin l )C2 0
(shl sin l )C1 (chl cos l )C2 0
精品课件！
精品课件！
特征方程
cos l chl 1
2 2u 2 u VP 2 2 t z
(1)
u u(C1cosωn t C2 sinωn t)
VP－桩身材料的[纵波]波速(m/s) C1、C2由桩顶桩端的边界条件（见下）确定： 摩擦桩：
u | z 0 0, u | z l 0 z
端承桩：
u u | z 0 0, | z l 0 z z
• 试验设备
手锤、黄油 传感器、导线 基桩低应变分析仪、显示器
试验方法
黄油、传感器、手锤、获得波形（时域）曲线。
资料整理
直接由显示器得波形（时域）曲线（或其积分－ 频 域曲线），只要分析该曲线即可，无需进一步整理。
二. 弦振动
若横波在张紧的弦线上沿 x轴正方向传播， 我们取 AB ds 的微分段加以讨论（见图）。 设弦线的线密度（即单位长质量）为 ，则 此微分段弦线的质量为 ds 。在A、B处受到 T2 ，其方向为沿 左右邻段的张力分别为 T1 、 2 角。 弦线的切线方向与x轴交成 1 、
03-2 杆的纵向振动与轴的扭转振动ppt课件
★例如，附加质量M等于杆的质量时，有
1
0.866 L
E
精确解时，系数为 0.86，误差仅为0.7。
因此，只要杆的质量不大于附加质量，由简化公式计算的基频能 够满足工程实际应用的要求。
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
★如果杆的质量相对附加质量很小，AL/M<<1， 1亦
为小值，可近似地取tg11，因此特征方程可以简化为
AL
M
L
a
tg
L
a
1tg 1
12
12
AL
M
因 =L/a a E
由此计算得基频
1
a L
AL
M
EA LM
k M
式中k=EA/L为杆本身的抗拉刚度，M为附加质量。
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
例-1 求如图所示的上端固定、下端有一附 加质量M的等直杆作纵向振动的固有频率和 振型函数。
解：上端固定的边界条件为
u0,t 0 或 U0 0
下端具有附加质量M，在振动时产生对杆端的惯性力。 取质块为研究对象，杆对质块的作用力方向向上，下端 点的边界条件为
EA uL, t
x
M
2uL, t
t 2
边界条件为
U 0 0
dU x
dx
0
xL
U
x
C
sin
a
x
D
cos
a
x
dU
dx
机械振动6连续系统的振动2杆的纵向振动概论
f (x,t) dx L
dx
u u dx
x
x
u f (x,t)dx
N
N N dx
x
微段应变：
(u
u x
dx)
u
u
dx
x
Adx
2u t 2
横截面上的内力： N(x,t) A(x)E A(x)E u
x
由牛顿定理：
Adx
2u t 2
(N
N x
dx)
N
f
( x, t )dx
N dx f (x,t)dx
第六章 连续系统的振动 6.2 杆的纵向振动
讨论直杆的纵向振动
0
f (x,t) L
假定振动过程中各横截面仍保持为平面 忽略由纵向振动引起的横向变形
杆参数： 杆长 L， 截面积 A(x)
材料密度(x) 弹性模量 E
f (x,t) 杆上分布的纵向作用力
杆各处x的纵向位移为 u(x,t)
x
2
微段分析
0
上式同样略去系数C.
7
(2) 杆两端自由 自由端的应力必须为零，由应力应变关系，两端应变为零：
u(0,t) u(L,t) 0
x
x
dU (0) dU (L) 0
dx
dx
U (x) C sin x D cos x
a
a
dU C cos x D sin x
dx a
a
a
C 0, D sin L 0
的固有频率和固有振型。
O
解：上端固定，其边界条件：
L EA
u(0,t) 0, U (0) 0,
下端附质量M，在振动时产生对杆端的惯性力
M
连续系统振动-杆的纵向振动PPT课件
达朗贝尔原理：
2019年10月15日
Sdx
2u t 2
(F
F x
dx) F
p(x,t)dx
7
p( x, t )
0 x dx l
连续系统的振动 / 一维波动方程
x
u(x,t)
杆上距原点 x 处截面
在时刻 t 的纵向位移
横截面上的内力： F ES ES u
x
达朗贝尔原理：
a02
2u x 2
1
S
p(x,t)
（2）弦的横向振动 （3）轴的扭转振动
2y t 2
a02
2y x 2
1
p(x,t)
2
t 2
a02
2
x2
1
Ip
p( x, t )
虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微 分方程是类同的，都属于一维波动方程
2019年10月15日 12
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
• 固有频率和模态函数
p( x, t ) x
0
以等直杆的纵向振动为对象
l
2u t 2
a02
2u x 2
1
S
p(x,t)
a0 E /
2u t 2
a02
2u x 2
自由振动
假设杆的各点作同步运动： u(x,t) (x)q(t)
圆截面杆的扭转振动强迫振动方程 等直杆，抗扭转刚度 GIp 为常数
I
p
dx
2
t 2
2019年2t210月 1a5日02
2
x2
振动力学考题集[]
![振动力学考题集[]](https://img.taocdn.com/s3/m/2c2ccd19680203d8cf2f245e.png)
1、四个振动系统中,自由度为无限大的就是( )。
A、单摆;B、质量-弹簧;C、匀质弹性杆;D、无质量弹性梁;2、两个分别为c1、c2的阻尼原件,并连后其等效阻尼就是( )。
A、c1+c2;B、c1c2/(c1+c2);C、c1-c2;D、c2-c1;3、( )的振动系统存在为0的固有频率。
A、有未约束自由度;B、自由度大于0;C、自由度大于1;D、自由度无限多;4、多自由度振动系统中,质量矩阵元素的量纲应该就是( )。
A、相同的,且都就是质量;B、相同的,且都就是转动惯量;C、相同的,且都就是密度;D、可以就是不同的;5、等幅简谐激励的单自由度弹簧-小阻尼-质量振动系统,激励频率( )固有频率时,稳态位移响应幅值最大。
A、等于;B、稍大于;C、稍小于 ;D、为0;6、自由度为n的振动系统,且没有重合的固有频率,其固有频率的数目(A )。
A、为n;B、为1;C、大于n;D、小于n;7、无阻尼振动系统两个不同的振型u(r)与u(s),u(r)T Mu(s)的值一定( )。
A、大于0;B、等于0;C、小于0;D、不能确定;8、无阻尼振动系统的某振型u(r),u(r)T Ku(r)的值一定( )。
A、大于0;B、等于0;C、小于0;D、不能确定;9、如果简谐激励力作用在无约束振动系统的某集中质量上,当激励频率为无限大时,该集中质量的稳态位移响应一定( )。
A、大于0;B、等于0;C、为无穷大;D、为一常数值;10、相邻固有频率之间的间隔呈近似无限等差数列的振动系统就是( )。
A、杆的纵向振动;B、弦的横向振动;C、一般无限多自由度系统;D、梁的横向振动;11、两个刚度分别为k1、k2串连的弹簧,其等效刚度就是( )。
A、k1+k2;B、k1k2/(k1+k2);C、k1-k2;D、k2-k1;12、 无阻尼振动系统两个不同的振型u (r )与u (s ),u (r )T Ku (s )的值一定( )。
A 、 大于0;B 、 等于0;C 、 小于0;D 、 不能确定;13、 无阻尼振动系统的某振型u (r ),u (r )T Mu (r )的值一定( )。
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2015年1月24 日 并考虑到： 《振动力学》
2 y 达朗贝尔 Adx 2 t 惯性力
y x
2 2 y 1 2 y a p ( x, t ) 弦的横向强迫振动方程 0 2 2 t x
a0 弹性横波的纵向传播速度
9
连续系统的振动 / 一维波动方程
( l ) 0 l cos 0 a0
u (l , t ) 0 x
频率方程
零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移 x x 2015年1月24日 u ( x , t ) ( x ) q (t ) ( x ) c1 sin c2 cos 《振动力学》 a0 a0
2015年1月24日 《振动力学》
( x) (t ) q 2 a0 （常数） q(t ) ( x)
13
连续系统的振动 / 杆的纵向振动 记： 2
(t ) q 2 ( x) a0 q(t ) ( x)
''
q (t ) 2 q (t ) 0 2 ( x) ( a ) ( x) 0 0
i 1
2015年1月24日 《振动力学》 15
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
几种常见边界条件下的固有频率和模态函数
（1）两端固定 特征：两端位移为零 边界条件： u(0, t ) (0)q(t ) 0
0 l
x
u(l , t ) (l )q(t ) 0
q(t )
不能恒为零
u ( x , t ) ( x ) q (t ) 19
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
0 l
x
0 l
x
(0) 0
( l ) 0
边界条件
(l ) 0
( 0 ) 0
l cos 0 a0
i a i , i 1,3,5,... 2 l
频率方程
l cos 0 a0
0 l
x
2 2u 1 2 u a0 p ( x, t ) a0 E / 2 2 S t x 2 2u u 2 a0 自由振动 2 2 t x
假设杆的各点作同步运动： u( x, t ) ( x)q(t ) q(t) ：运动规律的时间函数
( x) ：杆上距原点 x 处的截面的纵向振动振幅
杆长 l 材料密度 截面积 S 弹性模量 E
x
p( x, t )：单位长度杆上分布的纵向作用力
假定振动过程中各横截面仍保持为平面 忽略由纵向振动引起的横向变形
2015年1月24日 《振动力学》 6
连续系统的振动 / 一维波动方程
dx
微段分析
p( x, t )
0
u
x x
dx
u dx x
u p( x, t )dx
(0) 0
由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去 x x ( x ) c1 sin c2 cos 2015年1月24日 a0 a0 《振动力学》
sin 0 频率方程 c2 0 a0 i a 0 (i 0,1,2, ) 无穷多个 固有频率： i l i x 模态函数： i ( x ) ci sin (i 0,1, 2, ) l
（3）振动为微振
2015年1月24日 《振动力学》
4
连续系统的振动 / 一维波动方程
一维波动方程
• 动力学方程
• 固有频率和模态函数
• 主振型的正交性
• 杆的纵向强迫振动
2015年1月24日 《振动力学》
5
连续系统的振动 / 一维波动方程
• 动力学方程
（1）杆的纵向振动
p( x, t )
0 l
等截面细直杆的纵向振动
2 t
2
2 a0
2
1 p ( x, t ) 2 Ip x
虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微 分方程是类同的，都属于一维波动方程
2015年1月24日 《振动力学》 12
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
• 固有频率和模态函数
以等直杆的纵向振动为对象
p( x, t )
由频率方程确定的固有频率 i 有无穷多个
2015年1月24日 《振动力学》
（下面讲述）
14
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
2 2u 2 u a0 2 t x 2 q(t ) a sin(t )
u( x, t ) ( x)q(t )
( x) c1 sin
(l ) 0
c1 0
( 0 ) 0 l cos 0 a0
u (0, t ) ES 0 x
频率方程
i a , i 1,3,5,... 固有频率： i 2 l i 模态函数： i ( x ) ci sin( x ), i 1,3,5,... 2l x x (日 x ) c1 sin c2 cos 2015年1月 24 a0 a0 《振动力学》
p( x, t )
0
x
dx
微段 dx 受力
x
pdx
T
T T dx x
圆截面杆的扭转振动强迫振动方程 等直杆，抗扭转刚度 GIp 为常数
2 2 1 2 a0 2 p ( x, t ) 2 年 t 1月24日 x I p 2015
2 I p dx 2 t
a0
（3）轴的扭转振动 细长圆截面等直杆在分布 扭矩作用下作扭转振动
截面的极惯性矩 Ip 杆参数： 材料密度
p( x, t )
0
x
dx
x
切变模量 G
微段 dx 受力
pdx
T
p( x, t ) ：单位长度杆上分布的外力偶矩
T T dx x
假定振动过程中各横截面仍保持为平面
( x, t ) ：杆上距离原点 x 处的截面在时
(l ) 0 l
16
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
（2）两端自由
特征：自由端的轴向力为零 边界条件 ： ES
u (0, t ) 0 x ( 0 ) 0
0 l
x
ES
c1 0
i a 0 固有频率： i (i 0,1,2, ) l i x 模态函数： i ( x ) ci cos (i 0,1, 2, ) l 频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同
F
弦两端固定，以张力 F 拉紧
在分布力作用下作横向振动
dx
x
微段受力情况
dx
F
振动中认为张力不变
微振 sin
F
：单位长度弦质量
p( x, t ) ：单位长度弦上分布的作用力
建立坐标系 xoy
pdx
dx x
y( x, t ) ：弦上 x 处横截面 t 时刻的横向位移
2 y dx) F p( x, t )dx 达朗贝尔原理： Adx 2 F ( t x
《振动力学》
7
连续系统的振动 / 一维波动方程
p( x, t )
0
x x
dx
l
F ES ES u x
u( x, t ) 杆上距原点 x 处截面 在时刻 t 的纵向位移
横截面上的内力： 达朗贝尔原理：
2u F Sdx 2 ( F dx) F p( x, t )dx x t 2u u S 2 ( ES ) p ( x, t ) x x t
i a i , i 1,3,5,... 2 l
固有频率
i i ( x ) ci sin( x ), i 1,3,5,... 模态函数 2l
2015年1月24日 《振动力学》
i i ( x ) ci sin( x ), i 1,3,5,... 2l
2015年1月24日 《振动力学》 2
教学内容
• 一维波动方程
• 梁的弯曲振动
• 集中质量法
• 假设模态法
• 模态综合法（1） • 有限元法
2015年1月24日 《振动力学》
• 模态综合法（2）
3
假 设:
（1）本章讨论的连续体都假定为线性弹性 体，即在弹性范围内服从虎克定律 （2）材料均匀连续；各向同性
x x ( x ) c1 sin c2 cos 《振动力学》 a0 a0
2015年1月24日
u ( x , t ) ( x ) q (t )
18
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
左端自由，右端固定
特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零
0Байду номын сангаасl
x
边界条件 ：
u(l , t ) 0
杆的纵向强迫振动方程 等直杆ES 为常数
a24 2015年1月 日 0
《振动力学》
2 2u 1 2 u a p ( x, t ) 0 2 2 S t x
E/
弹性纵波沿杆的纵向传播速度
8
连续系统的振动 / 一维波动方程
（2）弦的横向振动
弦的定义: 很细长
y F
o x
y( x, t ) p( x, t )
F
l
F
F dx x
u( x, t ) ：杆上距原点 x 处截面 t 时刻的纵向位移
微段应变：
(u
u dx) u u x x dx
2u Sdx 2 x
达朗贝尔 惯性力
横截面上内力： F ES ES
u x
2u F 达朗贝尔原理： Sdx 2 ( F dx) F p( x, t )dx x t 2015年1月24日