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四川省2021版高考数学模拟试卷(理科)(5月份)C卷

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2021年高考数学试卷(新高考Ⅱ卷)(解析卷)

2021年高考数学试卷(新高考Ⅱ卷)(解析卷)

2021年全国统一高考数学试卷（新高考全国Ⅱ卷）使用省份：海南､辽宁､重庆一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法可化简2i13i--，从而可求对应的点的位置.【详解】()()2i 13i 2i 55i 1i13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22æöç÷èø，该点在第一象限，故选：A2. 设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B =I ð（ ）A. {3} B. {1,6} C. {5,6} D. {1,3}【答案】B 【解析】【分析】根据交集、补集的定义可求()U A B Çð.【详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B Ç=ð，故选：B.3. 抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ）A. 1B. 2C. D. 4【答案】B 【解析】【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值..【详解】抛物线的焦点坐标为,02p æöç÷èø，其到直线10x y -+=的距离：d 解得：2p =(6p =-舍去).故选：B.4.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为a ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r p a =-（单位：2km），则S 占地球表面积的百分比约为（ ）A. 26% B. 34% C. 42% D. 50%【答案】C 【解析】【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得，S 占地球表面积的百分比约为：226400164003600002(1.cos )1cos 44242%22r r p a ap ---+==»=.故选：C .5. 正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）A. 20+B. C.563【答案】D 【解析】【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高h ==下底面面积116S =，上底面面积24S =，所以该棱台的体积((121116433V h S S =+=++=.故选：D.6. 某物理量的测量结果服从正态分布()210,N s，下列结论中不正确的是（ ）A. s 越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B. s 越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C. s 越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D. s 越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【答案】D 【解析】【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A ，2s 为数据的方差，所以s 越小，数据在10m =附近越集中，所以测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B 正确；对于C ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；对于D ，因为该物理量一次测量结果落在()9.9,10.0的概率与落在()10.2,10.3的概率不同，所以一次测量结果落在()9.9,10.2的概率与落在()10,10.3的概率不同，故D 错误.故选：D .7. 已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（ ）A. c b a << B. b a c<< C. a c b<< D. a b c<<【答案】C 【解析】【分析】对数函数的单调性可比较a 、b 与c 的大小关系，由此可得出结论.【详解】55881log 2log log log 32a b =<==<=，即a c b <<.故选：C.8. 已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ）A. 102f æö-=ç÷èøB. ()10f -=C. ()20f =D. ()40f =【答案】B 【解析】【分析】推导出函数()f x 是以4为周期的周期函数，由已知条件得出()10f =，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-，因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+，所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+，故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==，故()()110f f -=-=，其它三个选项未知.故选：B.二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x L 的离散程度的是（ ）A. 样本12,,,n x x x L 的标准差B. 样本12,,,n x x x L 的中位数C. 样本12,,,n x x x L 的极差D. 样本12,,,n x x x L 的平均数【答案】AC 【解析】【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.10.如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足MN OP ^的是（ ）A. B.C. D.【答案】BC 【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC 的正误，平移直线MN 构造所考虑的线线角后可判断AD 的正误.【详解】设正方体的棱长为2，对于A ，如图（1）所示，连接AC ，则//MN AC ，故POC Ð（或其补角）为异面直线,OP MN 所成的角，直角三角形OPC ，OC =1CP =，故tan POC Ð==在故MN OP ^不成立，故A 错误.对于B ，如图（2）所示，取NT 的中点为Q ，连接PQ ，OQ ，则OQ NT ^，PQ MN ^，由正方体SBCM NADT -可得SN ^平面ANDT ，而OQ Ì平面ANDT ，故SN OQ ^，而SN MN N =I ，故OQ ^平面SNTM ，又MN Ì平面SNTM ，OQ MN ^，而OQ PQ Q =I ，所以MN ^平面OPQ ，而PO Ì平面OPQ ，故MN OP ^，故B 正确.对于C ，如图（3），连接BD ，则//BD MN ，由B 的判断可得OP BD ^，故OP MN ^，故C 正确.对于D ，如图（4），取AD 的中点Q ，AB 的中点K ，连接,,,,AC PQ OQ PK OK ，则//AC MN ，因为DP PC =，故//PQ AC ，故//PQ MN ，所以QPO Ð或其补角为异面直线,PO MN 所成的角，因为正方体的棱长为2，故12PQ AC ==，OQ ===PO ===，222QO PQ OP <+，故QPO Ð不是直角，故,PO MN 不垂直，故D 错误.故选：BC.11. 已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（ ）A. 若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B. 若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C. 若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D. 若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD 【解析】【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心()0,0C 到直线l 的距离d =，若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以d =则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以d =则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以d =则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以d =l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.12.设正整数010112222k k k k n a a a a --=×+×++×+×L ，其中{}0,1i a Î，记()01k n a a a w =+++L ．则（）A. ()()2n n w w =B. ()()231n n w w +=+C. ()()8543n n w w +=+D. ()21nnw -=【答案】ACD 【解析】【分析】利用()n w 的定义可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误.【详解】对于A 选项，()01k n a a a w =+++L ，12101122222k k k k n a a a a +-=×+×++×+×L ，所以，()()012k n a a a n w w =+++=L ，A 选项正确；对于B 选项，取2n =，012237121212n +==×+×+×，()73w \=，而0120212=×+×，则()21w =，即()()721w w ¹+，B 选项错误；对于C 选项，3430234301018522251212222k k k k n a a a a a a +++=×+×++×+=×+×+×+×++×L L ，所以，()01852k n a a a w +=++++L ，2320123201014322231212222k k k k n a a a a a a +++=×+×++×+=×+×+×+×++×L L ，所以，()01432k n a a a w +=++++L ，因此，()()8543n n w w +=+，C 选项正确；对于D 选项，01121222n n --=+++L ，故()21nn w -=，D 选项正确.故选：ACD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________【答案】y =【解析】【分析】由双曲线离心率公式可得223b a=，再由渐近线方程即可得解.【详解】因为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，所以2e ===，所以223b a =，所以该双曲线的渐近线方程为by x a=±=.故答案为：y =.【点睛】本题考查了双曲线离心率的应用及渐近线的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x _______．①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x Î+¥时，()0f x ¢>；③()¢f x 是奇函数．【答案】()4f x x =（答案不唯一，()()2*nxN f n x =Î均满足）【解析】【分析】根据幂函数的性质可得所求的()f x .【详解】取()4f x x =，则()()()()44421121122x f x f x x x x f x x ===，满足①，()34f x x ¢=，0x >时有()0f x ¢>，满足②，()34f x x ¢=的定义域为R ，又()()34f x x f x ¢¢-=-=-，故()f x ¢是奇函数，满足③.故答案为：()4f x x =（答案不唯一，()()2*nxN f n x =Î均满足）15. 已知向量0a b c ++=r r r r ，1a =r ，2b c ==r r ，a b b c c a ×+×+×=r r r r r r_______．【答案】92-【解析】【分析】由已知可得()20a b c++=r r r，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得()()()22222920a b c a b c a b b c c a a b b c c a ++=+++×+×+×=+×+×+×=r r rr r r r r r r r r r r r r r r，因此，92a b b c c a ×+×+×=-r r r r r r .故答案为：92-.16.已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______．【答案】()0,1【解析】【分析】结合导数的几何意义可得120x x +=，结合直线方程及两点间距离公式可得A M =，B N =.【详解】由题意，()1011,0,xx x e x f x e e x <=ì---³ï=íïî，则()0,,0xx x f x e e x ì-ï=<>í¢ïî，所以点()11,1x A x e -和点()22,1x B x e -，12,x x AM BN k e k e =-=,所以12121,0x x e e x x -×=-+=，所以()()111111,0:,11x x x x e e x x e AM e y M x -+=---+，所以AM ==()10,1x e =Î=故答案：()0,1【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件120x x +=，消去一个变量后，运算即可得解.四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17. 记n S 是公差不为0等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求使n n S a >成立的n 的最小值．【答案】(1)26n a n =-；(2)7.【解析】【分析】(1)由题意首先求得3a 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则：3335,0a a a =\=，设等差数列的公差为d ，从而有：()()22433a a a d a d d =-+=-，()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-++-=-，从而：22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =，数列的通项公式为：()3326n a a n d n =+-=-.(2)由数列的通项公式可得：1264a =-=-，则：()()214262n n n S n n n -=´-+´=-，.为的则不等式n n S a >即：2526n n n ->-，整理可得：()()160n n -->，解得：1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.18. 在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC V 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC V 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【答案】（12）存在，且2a =.【解析】【分析】（1）由正弦定理可得出23c a =，结合已知条件求出a 的值，进一步可求得b 、c 的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sin B ，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C 为钝角，由cos 0C <结合三角形三边关系可求得整数a 的值.【详解】（1）因为2sin 3sin C A =，则()2223c a a =+=，则4a =，故5b =，6c =，2221cos 28a b c C ab +-==，所以，C 为锐角，则sin C ==，因此，11sin 4522ABC S ab C ==´´=△（2）显然c b a >>，若ABC V 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===<++，解得13a -<<，则0<<3a ，由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，a Z ÎQ ，故2a =.19. 在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若2,3AD QD QA QC ====．（1）证明：平面QAD ^平面ABCD ；（2）求二面角B QD A --的平面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）23.【解析】【分析】（1）取AD 的中点为O ，连接,QO CO ，可证QO ^平面ABCD ，从而得到面QAD ^面ABCD .（2）在平面ABCD 内，过O 作//OT CD ，交BC 于T ，则OT AD ^，建如图所示的空间坐标系，求出平面QAD 、平面BQD 的法向量后可求二面角的余弦值.【详解】（1）取AD 的中点为O ，连接,QO CO .因为QA QD =，OA OD =，则QO ^AD ，而2,AD QA ==2QO ==.在正方形ABCD 中，因为2AD =，故1DO =，故CO =因为3QC =，故222QC QO OC =+，故QOC V 为直角三角形且QO OC ^，因为OC AD O =I ，故QO ^平面ABCD ，因为QO Ì平面QAD ，故平面QAD ^平面ABCD .（2）在平面ABCD 内，过O 作//OT CD ，交BC 于T ，则OT AD ^，结合（1）中的QO ^平面ABCD ，故可建如图所示的空间坐标系.则()()()0,1,0,0,0,2,2,1,0D Q B -，故()()2,1,2,2,2,0BQ BD =-=-uuu r uuu r .设平面QBD 的法向量(),,n x y z =r ，则00n BQ n BD ì×=í×=îuuu v v uuu v v 即220220x y z x y -++=ìí-+=î，取1x =，则11,2y z ==，故11,1,2n æö=ç÷èør .而平面QAD 的法向量为()1,0,0m =u r ，故12cos ,3312m n ==´u r r .二面角B QD A --的平面角为锐角，故其余弦值为23.20. 已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由离心率公式可得a =2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN =充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k =+，联立直线与椭圆方程结合弦=1k =±，即可得解.【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =且c e a ==，所以a =又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y--=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1，解得1k =±，联立(2213y x x y ì=±ïíï+=î可得2430x -+=，所以121234x x x x +=×=，所以MN ==所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+ìïí+=ïî可得()222136330k x kbx b +++-=，所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-×=++，===化简得()22310k-=，所以1k=±，所以kb=ìïí=ïî或kb=ìïí=ïî，所以直线:MN y x=或y x=-，所以直线MN过点F，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，N，F三点共线的充要条件是||MN=【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重. 21.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)iP X i p i===．（1）已知01230.4,0.3,0.2,0.1p p p p====，求()E X；（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：230123p p x p x p x x+++=的一个最小正实根，求证：当()1E X£时，1p=，当()1E X>时，1p<；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）利用公式计算可得()E X.（2）利用导数讨论函数的单调性，结合()10f=及极值点的范围可得()f x的最小正零点.（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.【详解】（1）()00.410.320.230.11E X=´+´+´+´=.（2）设()()3232101f x p x p x p x p=++-+，因为32101p p p p +++=，故()()32322030f x p x p x p p p x p =+-+++，若()1E X £，则123231p p p ++£，故2302p p p +£.()()23220332f x p x p x p p p ¢=+-++，因为()()20300f p p p ¢=-++<，()230120f p p p ¢=+-£，故()f x ¢有两个不同零点12,x x ，且1201x x <<£，且()()12,,x x x Î-¥È+¥时，()0f x ¢>；()12,x x x Î时，()0f x ¢<；故()f x 在()1,x -¥，()2,x +¥上为增函数，在()12,x x 上为减函数，若21x =，因为()f x 在()2,x +¥为增函数且()10f =，而当()20,x x Î时，因为()f x 在()12,x x 上为减函数，故()()()210f x f x f >==，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，若21>x ，因为()10f =且在()20,x 上为减函数，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，综上，若()1E X £，则1p =.若()1E X >，则123231p p p ++>，故2302p p p +>.此时()()20300f p p p ¢=-++<，()230120f p p p ¢=+->，故()f x ¢有两个不同零点34,x x ，且3401x x <<<，且()()34,,x x x Î-¥+¥U 时，()0f x ¢>；()34,x x x Î时，()0f x ¢<；故()f x 在()3,x -¥，()4,x +¥上为增函数，在()34,x x 上为减函数，而()10f =，故()40f x <，又()000f p =>，故()f x 在()40,x 存在一个零点p ，且1p <.所以p 为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，此时1p <，故当()1E X >时，1p <.（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.22. 已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 有一个零点①21,222e a b a <£>；②10,22a b a <<£．【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.【详解】(1)由函数的解析式可得：()()'2x f x x e a =-，当0a £时，若(),0x Î-¥，则()()'0,f x f x <单调递减，若()0,x Î+¥，则()()'0,f x f x >单调递增；当102a <<时，若()(),ln 2x a Î-¥，则()()'0,f x f x >单调递增，若()()ln 2,0x a Î，则()()'0,f x f x <单调递减，若()0,x Î+¥，则()()'0,f x f x >单调递增；当12a =时，()()'0,f x f x ³在R 上单调递增；当12a >时，若(),0x Î-¥，则()()'0,f x f x >单调递增，若()()0,ln 2x a Î，则()()'0,f x f x <单调递减，若()()ln 2,x a Î+¥，则()()'0,f x f x >单调递增；(2)若选择条件①：由于2122e a <…，故212a e <£，则()21,010b af b >>=->，而()()210b f b b e ab b --=----<，而函数在区间(),0-¥上单调递增，故函数在区间(),0-¥上有一个零点.()()()()2ln 22ln 21ln 2f a a a a a b=--+éùéùëûëû()()22ln 21ln 22a a a a a>--+éùéùëûëû()()22ln 2ln 2a a a a =-éùëû()()ln 22ln 2a a a =-éùëû，由于2122e a <…，212a e <£，故()()ln 22ln 20a a a -³éùëû，结合函数的单调性可知函数在区间()0,¥+上没有零点.综上可得，题中的结论成立.若选择条件②：由于102a <<，故21a <，则()01210fb a =-£-<，当0b ³时，24,42e a ><，()2240f e a b =-+>，而函数在区间()0,¥+上单调递增，故函数在区间()0,¥+上有一个零点.当0b <时，构造函数()1x H x e x =--，则()1xH x e ¢=-，当(),0x Î-¥时，()()0,H x H x ¢<单调递减，当()0,x Î+¥时，()()0,H x H x ¢>单调递增，注意到()00H =，故()0H x ³恒成立，从而有：1x e x ³+，此时：()()()()22111x f x x e ax b x x ax b =---³-+-+()()211a x b =-+-，当x ()()2110a x b -+->，取01x =+，则()00f x >，即：()00,10f f ö<+>÷÷ø，而函数在区间()0,¥+上单调递增，故函数在区间()0,¥+上有一个零点.()()()()2ln 22ln 21ln 2f a a a a a b =--+éùéùëûëû()()22ln21ln22a a a a a £--+éùéùëûëû()()22ln2ln2a a a a=-éùëû()()ln22ln2a a a=-éùëû，由于12a<<，021a<<，故()()ln22ln20a a a-<éùëû，结合函数的单调性可知函数在区间(),0-¥上没有零点.综上可得，题中的结论成立.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。

完整word版四川省高考数学试卷理科答案与解析

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2021年四川省高考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔5分〕〔2021?四川〕〔1+x〕7的展开式中x2的系数是〔〕A．42B．35C．28D ．21考点：二项式定理．专题：计算题．分析：由题设，二项式〔1+x〕7，根据二项式定理知，x2项是展开式的第三项，由此得展开式中x2的系数是，计算出答案即可得出正确选项解答：解：由题意，二项式〔1+x〕7的展开式通项是Tr+1=xr故展开式中x2的系数是=21应选D点评：此题考查二项式定理的通项，熟练掌握二项式的性质是解题的关键2．〔5分〕〔2021?四川〕复数=〔〕A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：由题意，可先对分子中的完全平方式展开，整理后即可求出代数式的值，选出正确选项解答：解：由题意得，应选B点评：此题考查复合代数形式的混合运算，解题的关键是根据复数的运算规那么化简分子3．〔5分〕〔2021?四川〕函数在x=3处的极限是〔〕A．不存在B．等于6 C．等于3 D．等于0考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：对每一段分别求出其极限值，通过结论即可得到答案．1解答：解：∵=x+3；∴f〔x〕=〔〕=6；而f〔x〕=[ln〔x﹣2〕]=0．即左右都有极限，但极限值不相等．故函数在x=3处的极限不存在．应选：A．点评：此题主要考察函数的极限及其运算．分段函数在分界点处极限存在的条件是：两段的极限都存在，且相等．4．〔5分〕〔2021?四川〕如图，正方形ABCD的边长为 1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED那么sin∠CED=〔〕A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的图像与性质．分析：法一：用余弦定理在三角形CED中直接求角的余弦，再由同角三角关系求正弦；法二：在三角形CED中用正弦定理直接求正弦．解答：解：法一：利用余弦定理在△CED中，根据图形可求得ED=，CE=，由余弦定理得cos∠CED=，∴sin∠CED==．应选B．法二：在△CED中，根据图形可求得ED=，CE=，∠CDE=135°，由正弦定理得，即．应选B．2点评：此题综合考查了正弦定理和余弦定理，属于根底题，题后要注意总结做题的规律．5．〔5分〕〔2021?四川〕函数 y=a x﹣〔a ＞0，a ≠1〕的图象可能是〔〕A ．B ．C ．D ．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用． 分析：讨论a 与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可． 解答：解：函数y=a x ﹣ 〔a ＞0，a ≠1〕的图象可以看成把函数 y=a x的图象向下平移 个单位得到的． 当a ＞1时，函数 y=a x ﹣ 在R 上是增函数，且图象过点〔﹣ 1，0〕，故排除 A ，B ．B 当1＞a ＞0时，函数 y=a x﹣ 在R 上是减函数，且图象过点〔﹣ 1，0〕，故排除 C ，应选D ．点评：此题主要考查了指数函数的图象变换，指数函数的单调性和特殊点，表达了分类讨论的数学思想，属于根底题．6．〔5分〕〔2021?四川〕以下命题正确的选项是〔 〕．假设两条直线和同一个平面所成的角相等，那么这两条直线平行．假设一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，那么这两个平面平行C ．假设一条直线平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线平行D ．假设两个平面都垂直于第三个平面，那么这两个平面平行考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系． 专题：简易逻辑．分析：利用直线与平面所成的角的定义，可排除 A ；利用面面平行的位置关系与点到平面的 距离关系可排除 B ；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断 C 正确；利用面面垂 直的性质可排除 D ．解答：解：A 、假设两条直线和同一个平面所成的角相等，那么这两条直线平行、相交或异面，故A 错误；、假设一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，那么这两个平面平行或相交，故 错误；3C 、设平面α∩β=a ，l ∥α，l ∥β，由线面平行的性质定理，在平面 α内存在直线 b ∥l ， 在平面β内存在直线 c ∥l ，所以由平行公理知 b ∥c ，从而由线面平行的判定定理可证 明b ∥β，进而由线面平行的性质定理证明得 b ∥a ，从而l ∥a ，故C 正确；D ，假设两个平面都垂直于第三个平面，那么这两个平面平行或相交，排除 D ． 应选C ．点评：此题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属根底题．7．〔5分〕〔2021?四川〕设 、都是非零向量，以下四个条件中，使成立的充分条件是〔 〕A ．B ．C ．D ．且考点：充分条件． 专题：简易逻辑．分析：利用向量共线的充要条件，求等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件 解答： 解： ? ? 与 共线且同向? 且λ＞0，应选C ．点评：此题主要考查了向量共线的充要条件，命题的充分和必要性，属根底题．8．〔5分〕〔2021?四川〕抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O ，并且经过点M〔2，y 0〕．假设点M 到该抛物线焦点的距离为 3，那么|OM|=〔〕A ．B ．C ．4D ．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：关键点M 〔2，y 0〕到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点 M 的坐标，由此可求|OM|．y 2=2px 〔p ＞0〕解答：解：由题意，抛物线关于x 轴对称，开口向右，设方程为∵点M 〔2，y 0〕到该抛物线焦点的距离为3，2+=3 p=2 抛物线方程为y 2=4x M 〔2，y 0〕 ∴∴ |OM|=4应选B．点评：此题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程．9．〔5分〕〔2021?四川〕某公司生产甲、乙两种桶装产品．生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的方案中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产方案，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是〔〕A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元考点：简单线性规划．专题：应用题．分析：根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，根据题设条件得出线性约束条件以及目标函数求出利润的最大值即可．解答：解：设分别生产甲乙两种产品为x桶，y桶，利润为z元那么根据题意可得，z=300x+400y作出不等式组表示的平面区域，如下图作直线L：3x+4y=0，然后把直线向可行域平移，由可得x=y=4，此时z最大z=2800点评：此题考查用线性规划知识求利润的最大值，这是简单线性规划的一个重要运用，解题的关键是准确求出目标函数及约束条件10．〔5分〕〔2021?四川〕如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，那么A、P两点间的球面距离为〔〕5A ．B ．C ．D ．考点：反三角函数的运用；球面距离及相关计算． 专题：计算题．分析：由题意求出 AP 的距离，然后求出 ∠AOP ，即可求解 A 、P 两点间的球面距离．解答：解：半径为R 的半球O 的底面圆 O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，所以CD ⊥平面AOB ，因为∠BOP=60°，所以△OPB 为正三角形，P 到BO 的距离为PE= ，E 为BQ 的中点，AE== ，AP= =，AP 2=OP 2+OA 2﹣2OP?OAcos ∠AOP ，，cos ∠AOP=，∠AOP=arccos ，A 、P 两点间的球面距离为 ， 应选A ．点评：此题考查反三角函数的运用， 球面距离及相关计算，考查计算能力以及空间想象能力．11．〔5分〕〔2021?四川〕方程 ay=b 2x 2+c 中的a ，b ，c ∈{﹣3，﹣2，0，1，2，3}，且a ，b ， c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有〔 〕 A ．60条 B ．62条 C ．71条 D ．80条考点：排列、组合及简单计数问题． 专题：综合题；压轴题． 分析：方程变形得 ，假设表示抛物线，那么 a ≠0，b ≠0，所以分 b=﹣3，﹣2，1，2，6五种情况，利用列举法可解． 解答：解：方程变形得 ，假设表示抛物线，那么 a ≠0，b ≠0，所以分 b=﹣3，﹣2，1，2，3五种情况：1〕当b=﹣3时，a=﹣2，c=0，1，2，3或a=1，c=﹣2，0，2，3或a=2，c=﹣2，0， 1，3或a=3，c=﹣2，0，1，2；2〕当b=3时，a=﹣2，c=0，1，2，﹣3或a=1，c=﹣2，0，2，﹣3或a=2，c=﹣2， 0，1，﹣3或a=﹣3，c=﹣2，0，1，2； 以上两种情况下有 9条重复，故共有 16+7=23条； 3〕同理当b=﹣2或b=2时，共有16+7=23条；4〕当b=1时，a=﹣3，c=﹣2，0，2，3或a=﹣2，c=﹣3，0，2，3或a=2，c=﹣3，﹣2，0，3或a=3，c=﹣3，﹣2，0，2；共有16条． 综上，共有 23+23+16=62种 应选B ．点评：此题难度很大，假设采用排列组合公式计算，很容易无视重复的 9条抛物线．列举法是 解决排列、组合、概率等非常有效的方法．要能熟练运用12．〔5分〕〔2021?四川〕设函数 f 〔x 〕=2x ﹣cosx ，{a n }是公差为 的等差数列，f 〔a 1〕+f 〔a 2〕+ +f 〔a 5〕=5π，那么 =〔 〕A ．0B ．C ．D ．考数列与三角函数的综合． 点 ：专计算题；综合题；压轴题．题：分由f 〔x 〕=2x ﹣cosx ，又{a n}是公差为的等差数列，可求得125〕析f 〔a〕+f 〔a 〕++f 〔a：=10a ﹣cosa 〔1+ +〕，由题意可求得a=，从而可求得答案．333解解：∵f 〔x 〕=2x ﹣cosx ，答 ∴f 〔a 〕+f 〔a 〕++f 〔a 〕=2〔a+a++a 〕﹣〔cosa+cosa++cosa 〕，1 251 2 5 12 5：∵{a n }是公差为的等差数列，∴a 1+a 2+ +a 5=5a 3，由和差化积公式可得， cosa 1+cosa 2+ +cosa 5=〔cosa 1+cosa 5〕+〔cosa 2+cosa 4〕+cosa 3=[cos 〔a 3﹣ ×2〕+cos 〔a 3+ ×2〕]+[cos 〔a 3﹣〕+cos 〔a 3+ 〕]+cosa 37=2cos cos+2coscos+cosa3=2cosa3?+2cosa3?cos〔﹣〕+cosa3=cosa3〔1++〕，f〔a1〕+f〔a2〕++f〔a5〕=5π，∴10a33〕=5π，+cosa〔1++cosa3=0，10a3=5π，故a3=，∴2=π﹣〔﹣〕?=π2﹣．应选D．点此题考查数列与三角函数的综合，求得cosa3=0，继而求得a3=是关键，也是难点，考评：查分析，推理与计算能力，属于难题．二、填空题〔本大题共4个小题，每题4分，共16分．把答案填在答题纸的相应位置上．〕13．〔4分〕〔2021?四川〕设全集U={a，b，c，d}，集合A={a，b}，B={b，c，d}，那么〔?U A〕∪〔?B〕={a，c，d}．U考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由题意全集U={a，b，c，d}，集合A={a，b}，B={b，c，d}，可先求出两集合A，B 的补集，再由并的运算求出〔?U A〕∪〔?U B〕解答：解：集U={a，b，c，d}，集合A={a，b}，B={b，c，d}，所以?U A={c，d}，?U B={a}，所以〔?U A〕∪〔?U B〕={a，c，d}故答案为{a，c，d}点评：此题考查交、并、补集的混合计算，解题的关键是熟练掌握交、并、补集的计算规那么14．〔4分〕〔2021?四川〕如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，那么异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°．8考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线A1M与DN所成的角．解答：解：以D为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系．设棱长为2，那么D〔0，0，0〕，N〔0，2，1〕，M〔0，1，0〕，A1〔2，0，2〕，=〔0，2，1〕，=〔﹣2，1，﹣2〕?=0，所以⊥，即A1M⊥DN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°，故答案为：90°．点评：此题考查空间异面直线的夹角求解，采用了向量的方法．向量的方法能降低空间想象难度，但要注意有关点，向量坐标的准确．否那么容易由于计算失误而出错．15．〔4分〕〔2021?四川〕椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是3．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先画出图象，结合图象得到△FAB的周长最大时对应的直线所在位置．即可求出结论．解答：解：设椭圆的右焦点为E．如图：由椭圆的定义得：△FAB的周长：AB+AF+BF=AB+〔2a﹣AE〕+〔2a﹣BE〕=4a+AB9AE﹣BE；AE+BE≥AB；AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；此时△FAB的高为：EF=2．此时直线x=m=c=1；把x=1代入椭圆的方程得：y=±．AB=3．所以：△FAB的面积等于：S△FAB=×3×EF=×3×2=3．故答案为：3．点评：此题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．解决此题的关键在于利用定义求出周长的表达式．16．〔4分〕〔2021?四川〕记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，]=1，[﹣0.3]=﹣1．设a为正整数，数列{x n}满足x1=a，，现有以下命题：①当a=5时，数列{x n}的前3项依次为5，3，2；②对数列{x}都存在正整数k，当n≥k时总有x=x；n nk③当n≥1时，；④对某个正整数k，假设x k+1≥x k，那么．其中的真命题有①③④．〔写出所有真命题的编号〕考点：命题的真假判断与应用．专题：证明题；压轴题；新定义．分析：按照给出的定义对四个命题结合数列的知识逐一进行判断真假，①列举即可；②需10举反例；③可用数学归纳法加以证明；④可由归纳推理判断其正误．解答：解：①当a=5时，x1=5，，，∴①正确．②当a=8时，x1=8，∴此数列从第三项开始为3，2，3，2，3，2为摆动数列，故②错误；③当n=1时，x1=a，∵a﹣〔〕=＞0，∴x1=a＞成立，假设n=k时，，那么n=k+1时，，∵≥≥=〔当且仅当x k=时等号成立〕，∴＞，∴对任意正整数 n，当n≥1时，；③正确；④≥x k，由数列①②规律可知一定成立11故正确答案为①③④点评：此题主要考查了数列递推公式的应用，归纳推理和演绎推理的方法，直接证明和间接证明方法，数学归纳法的应用，难度较大，需有较强的推理和思维能力三、解答题〔本大题共6个小题，共74分．解容许写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．〕17．〔12分〕〔2021?四川〕某居民小区有两个相互独立的平安防范系统〔简称系统〕A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．〔Ⅰ〕假设在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；〔Ⅱ〕设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：〔Ⅰ〕求出“至少有一个系统不发生故障〞的对立事件的概率，利用至少有一个系统不发生故障的概率为，可求p的值；〔Ⅱ〕ξ的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．解答：解：〔Ⅰ〕设“至少有一个系统不发生故障〞为事件C，那么∴；〔Ⅱ〕ξ的可能取值为0，1，2，3P〔ξ=0〕=；P〔ξ=1〕=；P〔ξ=2〕==；P〔ξ=3〕=；∴ξ的分布列为ξ0123P数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=点评：此题考查概率知识的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．18．〔12分〕〔2021?四川〕函数f〔x〕=6cos 2sinωx﹣3〔ω＞0〕在一个周期内的图象如下图，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．〔Ⅰ〕求ω的值及函数f〔x〕的值域；12〔Ⅱ〕假设f 〔x 0〕=0 ∈〔﹣ 0〕的值．，且x 〕，求f 〔x+1考点：由y=Asin 〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式；三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题；综合题．分析：〔Ⅰ〕将f 〔x 〕化简为f 〔x 〕=2 sin 〔ωx+〕，利用正弦函数的周期公式与性质可求ω的值及函数f 〔x 〕的值域；〔Ⅱ〕由，知x 0+∈〔﹣， 〕，由，可求得即sin 〔 x 0+ 〕=，利用两角和的正弦公式即可求得f 〔x 0+1〕． 解答：解：〔Ⅰ〕由可得，f 〔x 〕=3cos ωx+ sin ωx=2sin 〔ωx+〕，又正三角形 ABC 的高为2 ，从而BC=4，∴函数f 〔x 〕的周期T=4×2=8，即 =8，ω= ，∴函数f 〔x 〕的值域为[﹣2 ，2]．〔Ⅱ〕∵f 〔x 0〕= ，由〔Ⅰ〕有f 〔x 0〕=2 sin 〔 x 0+〕= ，即sin 〔x 0+〕=，由，知x 0+ ∈〔﹣，〕，∴cos 〔 x 0+ 〕==．∴f 〔x +1〕=2sin 〔x++〕=2sin[〔 x+〕+]=2[sin 〔x+〕cos+cos 〔 x 0+ 〕sin ]=2 〔 ×+× 〕．点评：此题考查由y=Asin 〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式，着重考查三角函数的化简求值与正弦函数的性质，考查分析转化与运算能力，属于中档题．1319．〔12分〕〔2021?四川〕如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．〔Ⅰ〕求直线PC与平面ABC所成角的大小；〔Ⅱ〕求二面角B﹣AP﹣C的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角；用空间向量求直线与平面的夹角．分析：解法一〔Ⅰ〕设AB中点为D，AD中点为O，连接OC，OP，CD．可以证出∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角．不妨设PA=2，那么OD=1，OP=，AB=4．在RT△OCP中求解．〔Ⅱ〕以O为原点，建立空间直角坐标系，利用平面APC的一个法向量与面ABP的一个法向量求解．解法二〔Ⅰ〕设AB中点为D，连接CD．以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用与平面ABC的一个法向量夹角求解．〔Ⅱ〕分别求出平面APC，平面ABP的一个法向量，利用两法向量夹角求解．解答：解法一〔Ⅰ〕设AB中点为D，AD中点为O，连接OC，OP，CD．因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB，因为∠APB=90°，∠PAB=60°，所以△PAD为等边三角形，所以PO⊥AD，又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AD．PO⊥平面ABC，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角不妨设PA=2，那么OD=1，OP=，AB=4．所以CD=2，OC===在RT△OCP中，tan∠OCP===．故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan．〔Ⅱ〕过D作DE⊥AP于E，连接CE．由，可得CD⊥平面PAB．根据三垂线定理知，CE⊥PA．所以∠CED为二面角B﹣AP﹣C的平面角．由〔Ⅰ〕知，DE=，在RT△CDE中，tan∠CED===2，故二面角B﹣AP﹣C的大小为arctan2．解法二：〔Ⅰ〕设AB中点为D，连接CD．因为O在AB上，且O为P在平面ABC内的射影，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AB，且PO⊥CD．因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB，设E为AC中点，那么EO∥CD，从而OE⊥PO，OE⊥AB．14如图，以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设PA=2，由可得，AB=4，OA=OD=1，OP=，CD=2，所以O〔0，0，0〕，A〔﹣1，0，0〕，C〔1，2，0〕，P〔0，0，〕，所以=〔﹣1，﹣2，〕=〔0，0，〕为平面ABC的一个法向量．设α为直线PC与平面ABC所成的角，那么sinα===．故直线PC与平面ABC所成的角大小为arcsin〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，=〔1，0，〕，=〔2，2，0〕．设平面APC的一个法向量为=〔x，y，z〕，那么由得出即，取x=﹣，那么y=1，z=1，所以=〔﹣，1，1〕．设二面角B﹣AP﹣C的平面角为β，易知β为锐角．而面ABP的一个法向量为=〔0，1，0〕，那么cosβ===．故二面角B﹣AP﹣C的大小为arccos．15点评：此题考查线面关系，直线与平面所成的角、二面角等根底知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题能力．20．〔12分〕〔2021?四川〕数列{a}的前n项和为S，且aa=S+S对一切正整数n都n n2n2n成立．〔Ⅰ〕求a1，a2的值；〔Ⅱ〕设a1＞0，数列{lg}的前n项和为T n，当n为何值时，T n最大？并求出T n的最大值．考点：数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．专题：计算题．分析：〔Ⅰ〕由题意，n=2时，由可得，a221222≠0，〔a﹣a〕=a，分类讨论：由a=0，及a分别可求a1，a2〔Ⅱ〕由a1＞0，令，可知==，结合数列的单调性可求和的最大项解答：解：〔Ⅰ〕当n=1时，a2a1=S2+S1=2a1+a2①当n=2时，得②②﹣①得，a2〔a2﹣a1〕=a2③假设a2=0，那么由①知a1=0，假设a2≠0，那么a2﹣a1=1④①④联立可得或综上可得，a1=0，a2=0或或〔Ⅱ〕当a1＞0，由〔Ⅰ〕可得当n≥2时，，∴∴〔n≥2〕∴=令16由〔Ⅰ〕可知= ={b n }是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2b 1＞b 2＞＞b 7=当n ≥8时，∴数列的前7项和最大， = =7﹣点评：此题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力．21．〔12分〕〔2021?四川〕如图，动点M 到两定点A 〔﹣1，0〕、B 〔2，0〕构成△MAB ，且∠MBA=2∠MAB ，设动点M 的轨迹为C ．〔Ⅰ〕求轨迹C 的方程；〔Ⅱ〕设直线y=﹣2x+m 与y 轴交于点 P ，与轨迹C 相交于点Q 、R ，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题． 专题：综合题；压轴题．分析：〔Ⅰ〕设出点M 〔x ，y 〕，分类讨论，根据∠MBA=2∠MAB ，利用正切函数公式，建立方程化简即可得到点 M 的轨迹方程；〔Ⅱ〕直线y=﹣2x+m 与3x 2﹣y 2﹣3=0〔x ＞1〕联立，消元可得x 2﹣4mx+m 2+3=0①， 利用①有两根且均在〔1，+∞〕内可知，m ＞1，m ≠2设Q ，R 的坐标，求出x R ，x Q ，利用 ，即可确定的取值范围．解答：解：〔Ⅰ〕设M 的坐标为〔x ，y 〕，显然有x ＞0，且y ≠0当∠MBA=90°时，点M 的坐标为〔2，±3〕当∠MBA ≠90°时，x ≠2，由∠MBA=2∠MAB 有tan ∠MBA=，化简可得3x 2﹣y 2﹣3=0而点〔2，±3〕在曲线3x 2﹣y 2﹣3=0上17综上可知，轨迹 C 的方程为 3x 2﹣y 2﹣3=0〔x ＞1〕；〔Ⅱ〕直线y=﹣2x+m 与3x 2﹣y 2﹣3=0〔x ＞1〕联立，消元可得x 2﹣4mx+m 2+3=0①∴①有两根且均在〔1，+∞〕内设f 〔x 〕=x 2﹣4mx+m 2+3，∴ ，∴m ＞1，m ≠2设Q ，R 的坐标分别为〔 x Q ，y Q 〕，〔x R ，y R 〕， ∵|PQ|＜|PR|，∴x R =2m+ ，x Q =2m ﹣ ，∴= =m ＞1，且m ≠2∴，且∴，且∴的取值范围是〔 1，7〕∪〔7，7+4〕点评：此题以角的关系为载体，考查直线、双曲线、轨迹方程的求解，考查思维能力，运算能力，考查思维的严谨性，解题的关键是确定参数的范围．22．〔14分〕〔2021?四川〕 a 为正实数，n 为自然数，抛物线 与x 轴正半 轴相交于点 A ，设f 〔n 〕为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距． 〔Ⅰ〕用a 和n 表示f 〔n 〕；〔Ⅱ〕求对所有 n 都有成立的a 的最小值；〔Ⅲ〕当0＜a ＜1时，比拟与 的大小，并说明理由．考圆锥曲线的综合；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中点：的应用． 专 综合题；压轴题． 题：18分析：〔Ⅰ〕根据抛物线与x 轴正半轴相交于点A ，可得A 〔 〕，进一步可求抛物线在点A 处的切线方程，从而可得f 〔n 〕；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知f 〔n 〕=a n，那么成立的充要条件是a n ≥2n 3+1，即n3n4 nn3知，a ≥2n+1对所有n 成立，当a= ，n ≥3时，a ＞ =〔1+3〕＞2n+1，当n=0，1，2时，，由此可得a 的最小值；〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕知f 〔k 〕=a k，证明当0＜x ＜1时，，即可证明：．解答：解：〔Ⅰ〕∵抛物线 与x 轴正半轴相交于点A ，∴A 〔 〕对求导得y ′=﹣2x∴抛物线在点A 处的切线方程为，∴∵f 〔n 〕为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距，∴f 〔n 〕=a n；n成立的充要条件是n3〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知f 〔n 〕=a ，那么a ≥2n+1即知，a n ≥2n 3+1对所有n 成立，特别的，取n=2得到a ≥当a=，n ≥3时，a n ＞4n=〔1+3〕n≥1+=1+2n 3+＞2n 3+1当n=0，1，2时，∴a= 时，对所有n 都有 成立∴a 的最小值为 ；〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕知〔fk 〕=a k，下面证明：首先证明：当 0＜x ＜1时，19设函数g 〔x 〕= x 〔x 2﹣x 〕+1，0＜x ＜1，那么g ′〔x 〕= x 〔x ﹣〕当0＜x ＜ 时，g ′〔x 〕＜0；当时，g ′〔x 〕＞0故函数g 〔x 〕在区间〔0，1〕上的最小值 g 〔x 〕min =g 〔 〕=0∴当0＜x ＜1时，g 〔x 〕≥0，∴由0＜a ＜1知0＜a k＜1，因此 ，从而=≥ =＞=点此题考查圆锥曲线的综合，考查不等式的证明，考查导数的几何意义，综合性强，属评：于中档题．20。

2021年全国甲卷高考理科数学试卷真题及答案详解(精校版)

2021年全国甲卷高考理科数学试卷真题及答案详解(精校版)

2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学甲卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N = （）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤2．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A ．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B ．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3．已知2(1)32i z i -=+，则z =（）A ．312i--B ．312i-+C ．32i-+D ．32i--4．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（ 1.259≈）A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.65．已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）AB C D 6．在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E ，F ，G ．该正方体截去三棱锥A EFG -后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A ．B ．C ．D ．7．等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45A C B ∠'''=︒，60A B C ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''- 1.732≈）（）A ．346B ．373C ．446D ．4739．若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（）A B C D 10．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A ．0.3B ．0.5C ．0.6D ．0.811．已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（）A ．212B ．12C ．4D ．412．设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．94-B ．32-C ．74D ．52二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________．14．已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥，则k =________．15．已知12,F F 为椭圆C ：221164x y +=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．16．已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________．三、解答题：共70分．解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818．已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}n a 是等差数列：②数列{}n S 是等差数列；③213a a =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．19．已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?20．抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．21．已知0a >且1a ≠，函数()(0)ax x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=．（1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为()1,0，M 为C 上的动点，点P 满足AP =，写出Р的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像；（2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围．1．B【分析】根据交集定义运算即可【详解】因为1{|04},{|5}3M x x N x x=<<=≤≤，所以1|43M N x x⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭,故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.2．C【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%+==,故A正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%+⨯==,故B正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%++⨯==>,故D正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.02⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯(万元)，超过6.5万元，故C错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于⨯频率组距组距.3．B 【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅.故选：B.4．C 【分析】根据,L V 关系，当 4.9L =时，求出lg V ，再用指数表示V ，即可求解.【详解】由5lg L V =+，当 4.9L =时，lg 0.1V =-，则10.110110100.81.259V --===≈≈.故选：C.5．A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos 60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即e =.故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立,a c 间的等量关系是求解的关键.6．D 【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，所以其侧视图为故选：D7．B 【分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．8．B 【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得''A B ，进而得到答案．【详解】过C 作'CH BB ⊥，过B 作'BD AA ⊥，故()''''''100100AA CC AA BB BH AA BB AD -=--=-+=+，由题，易知ADB △为等腰直角三角形，所以AD DB =．所以''100''100AA CC DB A B -=+=+．因为15BCH ∠=︒，所以100''tan15CH C B ==︒在'''A B C 中，由正弦定理得：''''100100sin 45sin 75tan15cos15sin15A B C B ===︒︒︒︒︒，而sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 304︒=︒-︒=︒︒-︒︒=，所以1004''1)273A B ⨯=≈，所以''''100373AA CC A B -=+≈．故选：B ．【点睛】本题关键点在于如何正确将''AA CC -的长度通过作辅助线的方式转化为''100A B +．9．A 【分析】由二倍角公式可得2sin 22sin cos tan 2cos 212sin αααααα==-，再结合已知可求得1sin 4α=，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】cos tan 22sin ααα=- 2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，cos 4α∴=，sin tan cos 15ααα∴==.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin α.10．C 【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：01011,01101,01110,10101,10110,11010，共6种方法，故2个0不相邻的概率为6=0.610，故选：C.11．A 【分析】由题可得ABC 为等腰直角三角形，得出ABC 外接圆的半径，则可求得O 到平面ABC 的距离，进而求得体积.【详解】,1AC BC AC BC ⊥==，ABC ∴ 为等腰直角三角形，AB ∴=则ABC ，又球的半径为1，设O 到平面ABC 的距离为d ，则2d ==，所以11111332O ABC ABC V S d -=⋅=⨯⨯⨯ 故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.12．D 【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D ．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．13．520x y -+=【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当1x =-时，3y =-，故点在曲线上．求导得：()()()()222221522x x y x x +--==++'，所以1|5x y =-='．故切线方程为520x y -+=．故答案为：520x y -+=．14．103-.【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值【详解】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯= ，解得103k =-,故答案为：103-.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=.15．8【分析】根据已知可得12PF PF ⊥，设12||,||PF m PF n ==，利用勾股定理结合8m n +=，求出mn ，四边形12PFQF 面积等于mn ，即可求解.【详解】因为,P Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQ F F =，所以四边形12PFQF 为矩形，设12||,||PF m PF n ==，则228,48m n m n +=+=，所以22264()2482m n m mn n mn =+=++=+，8mn =，即四边形12PFQF 面积等于8.故答案为：8.16．2【分析】先根据图象求出函数()f x 的解析式，再求出7(),()43f f π4π-的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知313341234T πππ=-=，即2T ππω==，所以2ω=；由五点法可得232ππϕ⨯+=，即6πϕ=-；所以()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为7()2cos 143f π11π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，()2cos 032f 4π5π⎛⎫== ⎪⎝⎭；所以由74(()())(()())043f x f f x f ππ--->可得()1f x >或()0f x <；因为()12cos 22cos 1626f πππ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，即cos 206x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，解得,36k x k k π5ππ+<<π+∈Z ，令0k =，可得536x <<ππ，可得x 的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，又(2)2cos 406f π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，符合题意，可得x 的最小正整数为2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解ω，根据特殊点求解ϕ.17．（1）75%；60%；（2）能.【分析】根据给出公式计算即可【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为15075%200=,乙机床生产的产品中的一级品的频率为12060%200=.（2）()22400150801205040010 6.63527013020020039K ⨯-⨯==>>⨯⨯⨯,故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.18．证明过程见解析【分析】,n na S的关系求出na，利用{}n a是等差数列可证213a a=；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.an b=+，结合,n na S的关系求出na，根据213a a=可求b，然后可证{}n a是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.【详解】选①②作条件证明③：[方法一]：待定系数法+n a与n S关系式(0)an b a=+>，则()2nS an b=+，当1n=时，()211a S a b==+；当2n≥时，()()221n n na S S anb an a b-=-=+--+()22a an a b=-+；因为{}n a也是等差数列，所以()()222a b a a a b+=-+，解得0b=；所以()221naa n=-，21a a=，故22133a a a==.[方法二]：待定系数法设等差数列{}n a的公差为d，等差数列的公差为1d，1(1)n d=-，将1(1)2nn nS na d-=+1(1)n d-，化简得())2222211111222d dn a n d n d n d⎛⎫+-=+-+⎪⎝⎭对于n+∀∈N恒成立．则有21211112,240,d da d dd⎧=⎪⎪-=-⎨-=，解得112d d a==．所以213a a=．选①③作条件证明②：因为213a a =，{}n a 是等差数列，所以公差2112d a a a =-=，所以()21112n n n S na d n a -=+==，)1n +-=所以是等差数列.选②③作条件证明①：[方法一]：定义法(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b-=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43a b =-；当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ≥时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a 为等差数列；当43a b =-4=3an b an a =+-03a =-<不合题意，舍去.综上可知{}n a 为等差数列.[方法二]【最优解】：求解通项公式因为213a a ===也为等差数列，所以公差1d =()11n d =+-=21n S n a =，当2n ≥时，()()221111121n n n a S S n a n a n a -=-=--=-，当1n =时，满足上式，故{}n a 的通项公式为()121n a n a =-，所以()1123n a n a -=-，112n n a a a --=，符合题意.【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，(0)an b a =+>，平方后得到n S 的关系式，利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到{}n a 的通项公式，进而得到213a a =，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出{}n a 与{}n S 的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系1d =12d a =，进而得到213a a =；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出n S时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n(0)an b a =+>，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a等差数列即前两项的差1d =11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出{}n a 的通项公式，进而证明出结论.19．（1）证明见解析；（2）112B D =【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；【详解】（1）[方法一]：几何法因为1111,//BF AB AB AB ⊥，所以BF AB ⊥．又因为1AB BB ⊥，1BF BB B ⋂=，所以AB ⊥平面11BCC B ．又因为2AB BC ==，构造正方体1111ABCG A B C G -，如图所示，过E 作AB 的平行线分别与AG BC ，交于其中点,M N ，连接11,AM BN ，因为E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，所以N 是BC 的中点，易证1Rt Rt BCF B BN ≅ ，则1CBF BBN ∠=∠．又因为1190BBN BNB ∠+∠=︒，所以1190CBF BNB BF BN ∠+∠=︒⊥，．又因为111111,BF AB BN AB B ⊥= ，所以BF ⊥平面11A MNB ．又因为ED ⊂平面11A MNB ，所以BF DE ⊥．[方法二]【最优解】：向量法因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，1BB ∴⊥底面ABC ，1B B AB ∴⊥11//A B AB ，11BF A B ⊥，BF AB ∴⊥，又1BB BF B ⋂=，AB ∴⊥平面11BCC B ．所以1,,BA BC BB 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以1,,BA BC BB 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图．()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,B A C ∴()()()1110,0,2,2,0,2,0,2,2B A C ，()()1,1,0,0,2,1E F ．由题设(),0,2D a （02a ≤≤）．因为()()0,2,1,1,1,2BF DE a ==--，所以()()0121120BF DE a ⋅=⨯-+⨯+⨯-=，所以BF DE ⊥．[方法三]：因为11BF A B ⊥，11//A B AB ，所以BF AB ⊥，故110BF A B ⋅= ，0BF AB ⋅=，所以()11BF ED BF EB BB B D ⋅=⋅++ ()11=BF B D BF EB BB ⋅+⋅+ 1BF EB BF BB =⋅+⋅ 11122BF BA BC BF BB ⎛⎫=--+⋅ ⎪⎝⎭11122BF BA BF BC BF BB =-⋅-⋅+⋅ 112BF BC BF BB =-⋅+⋅111cos cos 2BF BC FBC BF BB FBB =-⋅∠+⋅∠1=2202-⨯⨯，所以BF ED ⊥．（2）[方法一]【最优解】：向量法设平面DFE 的法向量为(),,m x y z =，因为()()1,1,1,1,1,2EF DE a =-=--，所以00m EF m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即()0120x y z a x y z -++=⎧⎨-+-=⎩．令2z a =-，则()3,1,2m a a =+-因为平面11BCC B 的法向量为()2,0,0BA =，设平面11BCC B 与平面DEF 的二面角的平面角为θ，则cos m BA m BA θ⋅=⋅==当12a =时，2224a a -+取最小值为272，此时cos θ3=．所以()minsin 3θ=，此时112B D =．[方法二]：几何法如图所示，延长EF 交11A C 的延长线于点S ，联结DS 交11B C 于点T ，则平面DFE 平面11B BCC FT =．作1BH FT ⊥，垂足为H ，因为1DB ⊥平面11BB C C ，联结DH ，则1D H B ∠为平面11BB C C 与平面DFE 所成二面角的平面角．设1,B D t =[0,2],t ∈1B T s =，过1C 作111//CG AB 交DS 于点G ．由111113C S C G SA A D ==得11(2)3C G t =-．又1111B D BT C G C T=，即12(2)3t s s t =--，所以31t s t =+．又111B H BT C F FT =，即11B H =，所以1B H =所以DH ==则11sin B D DHB DH∠===所以，当12t =时，()1min sin DHB ∠[方法三]：投影法如图，联结1,FB FN ，DEF 在平面11BB C C 的投影为1BN F ，记面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的平面角为θ，则1cos B NF DEFS S θ=．设1(02)BD t t =≤≤，在1Rt DB F中，DF ==在Rt ECF中，EF =D 作1B N 的平行线交EN 于点Q ．在Rt DEQ △中，DE ==在DEF 中，由余弦定理得222cos 2DF EF DE DFE DF EF+-∠=⋅=，sin DFE ∠1sin 2DFE S DF EF DFE =⋅∠ =13,2B NFS = 1cos B NF DFES S θ==，sin θ，当12t =，即112B D =，面11BB C C与面DFE 【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面DFE 在面11BB C C 上的投影三角形的面积与DFE △面积之比即为面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维．20．（1）抛物线2:C y x =，M 方程为22(2)1x y -+=；（2）相切，理由见解析【分析】（1）根据已知抛物线与1x =相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出,P Q 坐标，由OP OQ ⊥，即可求出p ；由圆M 与直线1x =相切，求出半径，即可得出结论；（2）方法一：先考虑12A A 斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若121323,,A A A A A A 斜率存在，由123,,A A A 三点在抛物线上，将直线121223,,A A A A A A 斜率分别用纵坐标表示，再由1212,A A A A 与圆M 相切，得出2323,y y y y +⋅与1y 的关系，最后求出M 点到直线23A A 的距离，即可得出结论.【详解】（1）依题意设抛物线200:2(0),(1,),(1,)C y px p P y Q y =>-，20,1120,21OP OQ OP OQ y p p ⊥∴⋅=-=-=∴= ，所以抛物线C 的方程为2y x =，()2,0,M M 与1x =相切，所以半径为1，所以M 的方程为22(2)1x y -+=；（2）[方法一]：设111222333(),(,),(,)A x y A x y A x y 若12A A 斜率不存在，则12A A 方程为1x =或3x =，若12A A 方程为1x =，根据对称性不妨设1(1,1)A ，则过1A 与圆M 相切的另一条直线方程为1y =，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在3A ，不合题意；若12A A 方程为3x =，根据对称性不妨设12(3,A A则过1A 与圆M 相切的直线13A A为3)3y x =-，又13133131310A A y y k y x x y y -====-+，330,(0,0)x A =，此时直线1323,A A A A 关于x 轴对称，所以直线23A A 与圆M 相切；若直线121323,,A A A A A A 斜率均存在，则121323121323111,A A A A A A k k k y y y y y y ===+++，所以直线12A A 方程为()11121y y x x y y -=-+，整理得1212()0x y y y y y -++=，同理直线13A A 的方程为1313()0x y y y y y -++=，直线23A A 的方程为2323()0x y y y y y -++=，12A A 与圆M相切，1=整理得22212121(1)230y y y y y -++-=，13A A 与圆M 相切，同理22213131(1)230y y y y y -++-=所以23,y y 为方程222111(1)230y y y y y -++-=的两根，2112323221123,11y y y y y y y y -+=-⋅=--，M 到直线23A A的距离为：2123|2|1y y -+=22121111y y +===+，所以直线23A A 与圆M 相切；综上若直线1213,A A A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切.[方法二]【最优解】：设()()()222111113333322222,,,,,,,,A x y y x A x y y x A x y y x ===．当12x x =时，同解法1．当12x x ≠时，直线12A A 的方程为()211121y y y y x x x x --=--，即121212y y x y y y y y =+++．由直线12A A 与M1=，化简得()121212130y y x x x +--+=，同理，由直线13A A 与M 相切得()131312130y y x x x +--+=．因为方程()1112130y y x x x +--+=同时经过点23,A A ，所以23A A 的直线方程为()1112130y y x x x +--+=，点M 到直线23A A1==．所以直线23A A 与M 相切．综上所述，若直线1213,A A A A 与M 相切，则直线23A A 与M 相切．【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用1213,A A A A 的对称性，抽象出2323,y y y y +⋅与1y 关系，把23,y y 的关系转化为用1y 表示，法二是利用相切等条件得到23A A 的直线方程为()1112130y y x x x +--+=，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路21．（1）20,ln2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减；（2）()()1,,+∞ e e .【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；（2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点等价转化为方程ln ln x ax a =有两个不同的实数根，即曲线()y g x =与直线ln a y a=有两个交点，利用导函数研究()g x 的单调性，并结合()g x 的正负，零点和极限值分析()g x 的图象，进而得到ln 10a a e<<，发现这正好是()()0g a g e <<，然后根据()g x 的图象和单调性得到a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，()()()()22222ln 2222ln 2,242xx x x x x x x x x x f x f x ⋅-⋅-⋅===',令()'0f x =得2ln 2x =,当20ln 2x <<时，()0f x '>,当2ln 2x >时，()0f x '<,∴函数()f x 在20,ln2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减；（2）[方法一]【最优解】：分离参数()ln ln 1ln ln a x a x x x af x a x x a a x a x a==⇔=⇔=⇔=,设函数()ln x g x x =,则()21ln xg x x -'=,令()0g x '=，得x e =,在()0,e 内()0g x '>,()g x 单调递增；在(),e +∞上()0g x '<,()g x 单调递减；()()1max g x g e e∴==,又()10g =，当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于0，所以曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，即曲线()y g x =与直线ln ay a=有两个交点的充分必要条件是ln 10a a e<<,这即是()()0g a g e <<,所以a 的取值范围是()()1,,+∞ e e .[方法二]：构造差函数由()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点知()1f x =，即a x x a =在区间(0,)+∞内有两个解，取对数得方程ln ln a x x a =在区间(0,)+∞内有两个解．构造函数()ln ln ,(0,)g x a x x a x =-∈+∞，求导数得ln ()ln a a x a g x a x x'-=-=．当01a <<时，ln 0,(0,),ln 0,()0,()a x a x a g x g x '<∈+∞->>在区间(0,)+∞内单调递增，所以，()g x 在(0,)+∞内最多只有一个零点，不符合题意；当1a >时，ln 0a >，令()0g x '=得ln a x a =，当0,ln a x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当,ln a x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<；所以，函数()g x 的递增区间为0,ln a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间为,ln a a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭．由于1110e1,e 1e ln 0ln aaa a g a a ---⎛⎫<<<=--< ⎪⎝⎭，当x →+∞时，有ln ln a x x a <，即()0g x <，由函数()ln ln g x a x x a =-在(0,)+∞内有两个零点知ln 10ln ln a a g a a a ⎛⎫⎛⎫=->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以e ln a a >，即e ln 0a a ->．构造函数()eln h a a a =-，则e e ()1a h a a a'-=-=，所以()h a 的递减区间为(1,e)，递增区间为(e,)+∞，所以()(e)0h a h ≥=，当且仅当e a =时取等号，故()0>h a 的解为1a >且e a ≠．所以，实数a 的取值范围为(1,e)(e,)⋃+∞．[方法三]分离法：一曲一直曲线()y f x =与1y =有且仅有两个交点等价为1ax x a=在区间(0,)+∞内有两个不相同的解．因为a x x a =，所以两边取对数得ln ln a x x a =，即ln ln x ax a=，问题等价为()ln g x x =与ln ()x ap x a=有且仅有两个交点．①当01a <<时，ln 0,()ap x a<与()g x 只有一个交点，不符合题意．②当1a >时，取()ln g x x =上一点()()000011,ln ,(),,()x x g x g x g x xx ''==在点()00,ln x x 的切线方程为()0001ln y x x x x -=-，即0011ln y x x x =-+．当0011ln y x x x =-+与ln ()x ap x a =为同一直线时有00ln 1,ln 10,a ax x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩得0ln 1,e e.a a x ⎧=⎪⎨⎪=⎩直线ln ()x a p x a =的斜率满足：ln 1e0a a <<时，()ln g x x =与ln ()x ap x a =有且仅有两个交点．记2ln 1ln (),()a a h a h a a a'-==，令()0h a '=，有e a =．(1,e),()0,()a h a h a '∈>在区间(1,e)内单调递增；(e,),()0,()a h a h a '∈+∞<在区间(,)e +∞内单调递减；e a =时，()h a 最大值为1(e)eg =，所当1a >且e a ≠时有ln 1e0a a <<．综上所述，实数a 的取值范围为(1,e)(e,)⋃+∞．[方法四]：直接法()112ln (ln )()(0),()a a x x a a x x x x ax a a a x x a x a f x x f x a a a --'⋅-⋅-=>==．因为0x >，由()0f x '=得ln ax a=．当01a <<时，()f x 在区间(0,)+∞内单调递减，不满足题意；当1a >时，0ln aa >，由()0f x '>得0,()ln a x f x a <<在区间0,ln a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，由()0f x '<得,()ln ax f x a >在区间,ln a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递减．因为lim ()0x f x →+∞=，且0lim ()0x f x +→=，所以1ln a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即ln ln ln 1(ln )aaa a a a a a a a a a-⎛⎫ ⎪⎝⎭=>，即11ln ln (ln ),ln a a aaaaa aa -->>，两边取对数，得11ln ln(ln )ln a a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即ln 1ln(ln )a a ->．令ln a t =，则1ln t t ->，令()ln 1h x x x =-+，则1()1h x x'=-，所以()h x 在区间(0,1)内单调递增，在区间(1,)+∞内单调递减，所以()(1)0h x h ≤=，所以1ln t t -≥，则1ln t t ->的解为1t ≠，所以ln 1a ≠，即e a ≠．故实数a 的范围为(1,e)(e,)⋃+∞．]【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值.方法三：将问题取对，分成()ln g x x =与ln ()x ap x a=两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线斜率与一次函数的斜率比较得到结论．方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.22．（1）(222x y +=；（2）P 的轨迹1C的参数方程为32cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），C 与1C 没有公共点.【分析】（1）将曲线C的极坐标方程化为2cos ρθ=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得；（2）方法一：设(),P x y ，设),Mθθ，根据向量关系即可求得P 的轨迹1C 的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.【详解】（1）由曲线C的极坐标方程ρθ=可得2cos ρθ=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得22x y +=，即(222x y+=，即曲线C的直角坐标方程为(222x y-+=；（2）[方法一]【最优解】设(),P x y，设)MθθAP =，())()1,1,22cos x y θθθθ∴-=-=+-，则122cos 2sin x y θθ⎧-=+⎪⎨=⎪⎩32cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故P 的轨迹1C的参数方程为32cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）曲线C的圆心为)，曲线1C的圆心为()3-，半径为2，则圆心距为3-，32-- ，∴两圆内含，故曲线C 与1C 没有公共点.[方法二]：设点P 的直角坐标为(,)x y ，1(M x ，1)y ，因为(1,0)A ，所以(1,)AP x y =- ，1(1AM x =-，1)y ，由AP = ，即1111)x x y ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，解得11(1)122x x y y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1)1M x -+)y ，代入C的方程得221)1)2x y -++=，化简得点P的轨迹方程是22(34x y -++=，表示圆心为1(3C ，0)，半径为2的圆；化为参数方程是32cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，θ为参数；计算1|||(3|32CC ==-<所以圆C 与圆1C 内含，没有公共点．【整体点评】本题第二问考查利用相关点法求动点的轨迹方程问题，方法一：利用参数方程的方法，设出M 的参数坐标，再利用向量关系解出求解点P 的参数坐标，得到参数方程.方法二：利用代数方法，设出点P 的坐标，再利用向量关系将M 的坐标用点P 的坐标表示，代入曲线C 的直角坐标方程，得到点P 的轨迹方程，最后化为参数方程.23．（1）图像见解析；（2）112a ≥【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将()y f x =向左平移可满足同角，求得()y f x a =+过1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭时a 的值可求.【详解】（1）可得2,2()22,2x x f x x x x -<⎧=-=⎨-≥⎩，画出图像如下：34,231()232142,2214,2x g x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=+-<⎨⎪⎪≥⎪⎩，画出函数图像如下：（2）()|2|f x a x a +=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，()y f x a =+是()y f x =平移了a 个单位得到，则要使()()f x a g x +≥，需将()y f x =向左平移，即0a >，当()y f x a =+过1,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，1|2|42a +-=，解得112a =或52-（舍去），则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移112个单位，112a ∴≥.关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.。

2021年(理科数学)(乙卷)高考数学试卷真题+答案解析

2021年(理科数学)(乙卷)高考数学试卷真题+答案解析

2021年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设2()3()46z z z z i ++-=+，则(z = ) A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -2．（5分）已知集合{|21,}S s s n n Z ==+∈，{|41,}T t t n n Z ==+∈，则(S T = )A ．∅B ．SC ．TD ．Z3．（5分）已知命题:p x R ∃∈，sin 1x <；命题:q x R ∀∈，||1x e ，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨4．（5分）设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是( ) A ．(1)1f x --B ．(1)1f x -+C ．(1)1f x +-D ．(1)1f x ++5．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为( ) A ．2πB ．3π C ．4π D ．6π 6．（5分）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( ) A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种7．（5分）把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin()4y x π=-的图像，则()(f x = )A ．7sin()212x π-B ．sin()212x π+C ．7sin(2)12x π-D ．sin(2)12x π+8．（5分）在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为( ) A ．79B ．2332C ．932D ．299．（5分）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， EG 称为“表距”， GC 和EH 都称为“表目距”， GC 与EH 的差称为“表目距的差”，则海岛的高(AB = )A ．⨯+表高表距表目距的差表高B ．⨯-表高表距表目距的差表高C ．⨯+表高表距表目距的差表距D ．⨯-表高表距表目距的差表距10．（5分）设0a ≠，若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点，则( ) A ．a b <B ．a b >C ．2ab a <D ．2ab a >11．（5分）设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ，则C 的离心率的取值范围是( ) A ．2[B ．1[,1)2C ．2]D ．1(0,]212．（5分）设2 1.01a ln =， 1.02b ln =， 1.041c -，则( ) A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年全国新高考Ⅰ卷数学真题试卷(含答案及解析)

2021年全国新高考Ⅰ卷数学真题试卷(含答案及解析)
A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立
【答案】B
【解析】
【分析】根据独立事件概率关系逐一判断
【详解】 ，
故选：B
【点睛】判断事件 是否独立，先计算对应概率，再判断 是否成立
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
故选：AC
11.已知点 在圆 上，点 、 ，则（）
A.点 到直线 的距离小于
B.点 到直线 的距离大于
C.当 最小时，
D.当 最大时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】计算出圆心到直线 的距离，可得出点 到直线 的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当 最大或最小时， 与圆 相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分 期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
19.记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边 上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
20.如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点.
15.函数 的最小值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】由解析式知 定义域为 ，讨论 、 、 ，并结合导数研究的单调性，即可求 最小值.
【详解】A： 且 ，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为 ，则第二组的中位数为 ，显然不相同，错误；
C： ，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为 ，则第二组的极差为 ，故极差相同，正确；

2021年全国统一高考数学试卷(理科)(乙卷)-解析版

2021年全国统一高考数学试卷(理科)(乙卷)-解析版

2021年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 设2(z +z −)+3(z −z −)=4+6i ，则z =( )A. 1−2iB. 1+2iC. 1+iD. 1−i【答案】C【解析】解：设z =a +bi ，a ，b 是实数， 则z −=a −bi ，则由2(z +z −)+3(z −z −)=4+6i ， 得2×2a +3×2bi =4+6i ， 得4a +6bi =4+6i ， 得{4a =46b =6，得a =1，b =1， 即z =1+i ， 故选：C ．利用待定系数法设出z =a +bi ，a ，b 是实数，根据条件建立方程进行求解即可． 本题主要考查复数的基本运算，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键，是基础题．2. 已知集合S ={s|s =2n +1,n ∈Z}，T ={t|t =4n +1,n ∈Z}，则S ∩T =( )A. ⌀B. SC. TD. Z【答案】C 【解析】 【分析】本题考查集合的包含关系，以及交集运算，属于基础题．首先判断集合T 中任意元素都是集合S 的元素，从而得出集合T 是集合S 的子集，然后即可求它们的交集． 【解答】解：因为当n ∈Z 时，集合T 中任意元素t =4n +1=2·(2n )+1∈S 所以T ⫋S ，于是S ∩T =T ． 故选：C ．3.已知命题p：∃x∈R，sinx<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是()A. p∧qB. ￢p∧qC. p∧￢qD. ￢(p∨q)【答案】A【解析】解：对于命题p：∃x∈R，sinx<1，当x=0时，sinx=0<1，故命题p为真命题，￢p为假命题；对于命题q：∀x∈R，e|x|≥1，因为|x|≥0，又函数y=e x为单调递增函数，故e|x|≥e0=1，故命题q为真命题，￢q为假命题，所以p∧q为真命题，￢p∧q为假命题，p∧￢q为假命题，￢(p∨q)为假命题，故选：A．先分别判断命题p和命题q的真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进行判断，即可得到答案．本题考查了命题真假的判断，解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的判断方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．4.设函数f(x)=1−x1+x，则下列函数中为奇函数的是()A. f(x−1)−1B. f(x−1)+1C. f(x+1)−1D. f(x+1)+1【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定f(x)的对称中心，考查了逻辑推理能力，属于中档题．先根据函数f(x)的解析式，得到f(x)的对称中心，然后通过图象变换，使得变换后的函数图象的对称中心为(0,0)，从而得到答案．【解答】解：因为f(x)=1−x1+x=−(x+1)+21+x =−1+2x+1，所以函数f(x)的对称中心为(−1,−1)，所以将函数f(x)向右平移一个单位，向上平移一个单位，得到函数y=f(x−1)+1，该函数的对称中心为(0,0)，故函数y=f(x−1)+1为奇函数．故选：B．5.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为()A. π2B. π3C. π4D. π6【答案】D【解析】【分析】由AD1//BC1，得∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角)，由此利用余弦定理，求出直线PB与AD1所成的角．本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题．【解答】解：∵AD1//BC1，∴∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角)，设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则PB1=PC1=12√22+22=√2，BC1=√22+22=2√2，BP=√22+(√2)2=√6，∴cos∠PBC1=PB2+BC12−PC122×PB×BC1=6+8−22×√6×2√2=√32，∴∠PBC1=π6，∴直线PB与AD1所成的角为π6．故选：D．6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()A. 60种B. 120种C. 240种D. 480种【答案】C【解析】解：5名志愿者选2个1组，有C52种方法，然后4组进行全排列，有A44种，共有C52A44=240种，故选：C．5分先选2人一组，然后4组全排列即可．本题主要考查排列组合的应用，利用先分组后排列的方法是解决本题的关键，是基础题．7. 把函数y =f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y =sin(x −π4)的图像，则f(x)=( )A. sin(x 2−7π12)B. sin(x 2+π12)C. sin(2x −7π12)D. sin(2x +π12)【答案】B【解析】解：∵把函数y =f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变， 再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y =sin(x −π4)的图像， ∴把函数y =sin(x −π4)的图像，向左平移π3个单位长度， 得到y =sin(x +π3−π4)=sin(x +π12)的图像；再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变， 可得f(x)=sin(12x +π12)的图像． 故选：B ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图像变换规律，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图像变换规律，属基础题．8. 在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为( )A. 79B. 2332C. 932D. 29【答案】B【解析】解：由题意可得可行域：{0<x <11<y <2x +y >74，可得三角形的面积=12×34×34=932， 1−932=2332．故选：B ．由题意可得可行域：{0<x <11<y <2x +y >74，可得三角形的面积，结合几何概型即可得出结论．本题考查了线性规划知识、三角形的面积、几何概型、对立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB=()A. B.C. D.【答案】A【解析】解：DEAB =EHAH，FGBA=CGCA，故EHAH =CGCA，即EHAE+EH=CGAE+EG+GC，解得：AE=EH⋅EGCG−EH，AH=AE+EH，故：AB=DE⋅AHEH =DE(AE+EH)EH=DE⋅EGCG−EH+DE．故选：A．根据相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系即可得出．本题考查了相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x−a)2(x−b)的极大值点，则()A. a<bB. a>bC. ab<a2D. ab>a2【答案】D【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的极值、极值点，考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，属于较难题．根据a≠0，且x=a为函数f(x)=a(x−a)2(x−b)的极大值点，利用导数来判断a，b该满足的条件，为此需要判断函数在x=a左右的单调性，本题需要分a=b，a>0并且a<b，a>0，并且a>b，a<0，并且a<b，a<0，并且a>b共5种情况讨论，由此可以推出：a>0并且a<b或a<0并且a>b，然后可判断选项的正确性．【解答】解：因为a≠0，(Ⅰ)所以当a=b时，函数f(x)=a(x−a)3在(−∞,+∞)单调，无极值，不合条件；(Ⅱ)当a≠b时，因为f′(x)=3a(x−a)(x−a+2b3)，所以，①若a>0并且a<b时，a<a+2b3，由f′(x)>0，得：x<a或x>a+2b3，由f′(x)<0，得：a<x<a+2b3，所以这时f(x)在(−∞,a)上单调递增，在(a,a+2b3)上单调递减，x=a是函数f(x)的极大值点，符合条件；②若a>0，并且a>b时，a>a+2b3，由f′(x)>0，得：x<a+2b3或x>a，由f′(x)<0，得：a+2b3<x<a，所以这时f(x)在(a+2b3,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增，x=a是函数f(x)的极小值点，不符合条件；③若a<0，并且a<b时，a<a+2b3，由f′(x)>0，得：a<x<a+2b3，由f′(x)<0，得：x<a或x>a+2b3，这时f(x)在(−∞,a)上单调递减，在(a,a+2b3)上单调递增，x=a是函数f(x)的极小值点，不符合条件；④若a<0，并且a>b时，a>a+2b3，由f′(x)>0，得：a+2b3<x<a，由f′(x)<0，得：x<a+2b3或x>a，，所以这时f(x)在(a+2b3,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递增，x=a是函数f(x)的极大值点，符合条件；因此，若x=a为函数f(x)=a(x−a)2(x−b)的极大值点，则a，b必须满足条件：a>0并且a<b或a<0并且a>b．由此可见，A，B均错误；又总有ab−a2=a(b−a)>0成立，所以C错误，D正确．故选D．11.设B是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是()A. [√22,1) B. [12,1) C. (0,√22] D. (0,12]【答案】C【解析】【分析】本题重点考查椭圆的性质，属于一般题．设P(acosθ,bsinθ)(θ∈[0,2π)，求得a2b2⩽1+21−sinθ，利用正弦函数的性质求得a2b2≤2，进而可求离心率的范围．【解答】解：设P(acosθ,bsinθ)(θ∈[0,2π)由题意，得B(0,b)，则|PB|=√a2cos2θ+b2(sinθ−1)2≤2b∴a2cos2θ+b2(sinθ−1)2⩽4b2,当cosθ=0时,不等式成立；当cosθ≠0时,∴a2b2⩽3−sin2θ+2sinθcos2θ=−(sinθ−3)(sinθ+1)(1−sinθ)(1+sinθ)=3−sinθ1−sinθ=1+21−sinθ，而1+21−sinθ≥2，∴a2b2≤2，∴e=ca =√1−b2a2⩽√22，又0<e<1故椭圆离心率的取值范围是(0,√22]故选：C．12.设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=√1.04−1，则()A. a<b<cB. b<c<aC. b<a<cD. c<a<b 【答案】B【解析】解：∵a=2ln1.01=ln1.0201，b=ln1.02，∴a>b，令f(x)=2ln(1+x)−(√1+4 x−1)，0<x<1，令√1+4 x=t，则1<t<√5∴x= t2−14，∴g(t)=2ln(t2+34)−t+1=2ln(t2+3)−t+1−2ln4，∴g′(t)=4tt2+3−1=4t−t2−3t2+3=−(t−1)(t−3)t2+3>0，∴g(t)在(1,√5)上单调递增，∴g(t)>g(1)=2ln4−1+2ln4=0，∴f(x)>0，∴a>c，同理令ℎ(x)=ln(1+2x)−(√1+4 x−1)，再令√1+4 x=t，则1<t<√5∴x= t2−14，∴φ(t)=ln(t2+12)−t+1=ln(t2+1)−t+1−ln2，∴φ′(t)=2tt2+1−1=−(t−1)2t2+1<0，∴φ(t)在(1,√5)上单调递减，∴φ(t)<φ(1)=ln2−1+1−ln2=0，∴ℎ(x)<0，∴c>b，∴a>c>b．故选：B．构造函数f(x)=2ln(1+x)−(√1+4 x−1)，0<x<1，ℎ(x)=ln(1+2x)−(√1+4 x−1)，利用导数和函数的单调性即可判断．本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性和最值的关系，考查了转化思想，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知双曲线C：x2m−y2=1(m>0)的一条渐近线为√3x+my=0，则C的焦距为．【答案】4【解析】【分析】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的渐近线方程的分析，属于基础题．根据题意，由双曲线的性质可得√3=√m，解可得m的值，即可得双曲线的标准方程，据此计算c的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线C：x2m−y2=1(m>0)的一条渐近线为√3x+my=0，则有√3=√m，解可得m=3，则双曲线的方程为x23−y2=1，则c=√3+1=2，其焦距2c=4；故答案为：4．14.已知向量a⃗=(1,3)，b⃗ =(3,4)，若(a⃗−λb⃗ )⊥b⃗ ，则λ=______ ．【答案】35【解析】解：因为向量a⃗=(1,3)，b⃗ =(3,4)，则a⃗−λb⃗ =(1−3λ,3−4λ)，又(a⃗−λb⃗ )⊥b⃗ ，所以(a⃗−λb⃗ )⋅b⃗ =3(1−3λ)+4(3−4λ)=15−25λ=0，解得λ=35．故答案为：35．利用向量的坐标运算求得a⃗−λb⃗ =(1−3λ,3−4λ)，再由(a⃗−λb⃗ )⊥b⃗ ，可得(a⃗−λb⃗ )⋅b⃗ =0，即可求解λ的值．本题主要考查数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac，则b=______ ．【答案】2√2【解析】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac，∴12acsinB=√3⇒12ac×√32=√3⇒ac=4⇒a2+c2=12，又cosB=a2+c2−b22ac ⇒12=12−b28⇒b=2√2，(负值舍)故答案为：2√2．由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得．本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题．16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______ (写出符合要求的一组答案即可)．【答案】②⑤或③④【解析】解：观察正视图，推出正视图的长为2和高1，②③图形的高也为1，即可能为该三棱锥的侧视图，④⑤图形的长为2，即可能为该三棱锥的俯视图，当②为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为⑤，当③为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为④．故答案为：②⑤或③④．通过观察已知条件正视图，确定该正视图的长和高，结合长、高、以及侧视图视图中的实线、虚线来确定俯视图图形．该题考查了三棱锥的三视图，需要学生掌握三视图中各个图形边长的等量关系，以及对于三视图中特殊线条能够还原到原立体图形中，需要较强空间想象，属于中等题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x−和y−，样本方差分别记为s12和s22．(1)求x−，y−，s12，s22；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y−−x−≥2√s12+s2210，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．【答案】解：(1)由题中的数据可得，x−=110×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10，y−=110×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5=10.3,s12=110×[(9.8−10)2+(10.3−10)2+(10−10)2+(10.2−10)2+(9.9−10)2 +(9.8−10)2+(10−10)2+(10.1−10)2+(10.2−10)2+(9.7−10)2]=0.036；s22=110×[(10.1−10.3)2+(10.4−10.3)2+(10.1−10.3)2+(10.0−10.3)2+(10.1−10.3)2+(10.3−10.3)2+(10.6−10.3)2+(10.5−10.3)2+(10.4−10.3)2+(10.5−10.3)2]=0.04；(2)y−−x−=10.3−10=0.3，2√s12+s2210=2√0.036+0.0410=2√0.0076≈0.174，所以y−−x−>2√s12+s2210，故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．【解析】本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题．(1)利用平均数和方差的计算公式进行计算即可；(2)比较y−−x−与2√s12+s2210的大小，即可判断得到答案．18.如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC中点，且PB⊥AM．(1)求BC；(2)求二面角A−PM−B的正弦值．【答案】解：(1)连结BD ，因为PD ⊥底面ABCD ，且AM ⊂平面ABCD ，则AM ⊥PD ，又AM ⊥PB ，PB ∩PD =P ，PB ，PD ⊂平面PBD ，所以AM ⊥平面PBD ，又BD ⊂平面PBD ，则AM ⊥BD ， 所以∠ABD +∠DAM =90°，又∠DAM +∠MAB =90°， 则有∠ADB =∠MAB ，所以Rt △DAB∽Rt △ABM ， 则ADAB =BABM ，所以12BC 2=1，解得BC =√2；(2)因为DA ，DC ，DP 两两垂直，故以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示， 则A(√2,0,0),B(√2,1,0),M(√22,1,0)，P(0,0，1)，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,0,1)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,1,0),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,0,0),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,−1,1)，设平面AMP 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则有{n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−√2x +z =0−√22x +y =0， 令x =√2，则y =1，z =2，故n ⃗ =(√2,1,2)， 设平面BMP 的法向量为m⃗⃗⃗ =(p,q,r)， 则有{m ⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−√22p =0−√2p −q +r =0， 令q =1，则r =1，故m ⃗⃗⃗ =(0,1,1)， 所以|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=3√7×√2=3√1414， 设二面角A −PM −B 的平面角为α，则sinα=√1−cos 2α=√1−cos 2<n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=√1−(3√1414)2=√7014，所以二面角A −PM −B 的正弦值为√7014．【解析】(1)连结BD ，利用线面垂直的性质定理证明AM ⊥PD ，从而可以证明AM ⊥平面PBD ，得到AM ⊥BD ，证明Rt △DAB∽Rt △ABM ，即可得到BC 的长度；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可．本题考查了空间中线段长度求解以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．19. 记S n 为数列{a n }的前n 项和，b n 为数列{S n }的前n 项积，已知2S n+1b n=2．(1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．【答案】解：(1)证明：当n =1时，b 1=S 1， 由2b 1+1b 1=1，解得b 1=32，当n ≥2时，b nbn−1=S n ，代入2S n+1b n=2，消去S n ，可得2 b n−1b n+1b n=2，所以b b −b n−1=12，所以{b n }是以32为首项，12为公差的等差数列． (2)由题意，得a 1=S 1=b 1=32， 由(1)，可得b n =32+(n −1)×12=n+22，由2S n+1b n=2，可得S n =n+2n+1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1= n+2n+1−n+1n=−1n(n+1)，显然a 1不满足该式，所以a n ={32,n =1−1n(n+1),n ≥2．【解析】(1)由题意当n =1时，b 1=S 1，代入已知等式可得b 1的值，当n ≥2时，将b nb n−1=S n ，代入2S n+1b n=2，可得b b −b n−1=12，进一步得到数列{b n }是等差数列；(2)由a 1=S 1=b 1=32，可得b n =n+22，代入已知等式可得S n =n+2n+1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=−1n(n+1)，进一步得到数列{a n }的通项公式．本题考查了等差数列的概念，性质和通项公式，考查了方程思想，是基础题．20.己知函数f(x)=ln(a−x)，已知x=0是函数y=xf(x)的极值点．(1)求a；(2)设函数g(x)=x+f(x)xf(x).证明：g(x)<1．【答案】(1)解：由题意，f(x)的定义域为(−∞,a)，令g(x)=xf(x)，则g(x)=xln(a−x)，x∈(−∞,a)，则g′(x)=ln(a−x)+x⋅−1a−x =ln(a−x)+−xa−x，因为x=0是函数y=xf(x)的极值点，则有g′(x)=0，即lna=0，所以a=1，当a=1时，g′(x)=ln(1−x)+−x1−x =ln(1−x)+−11−x+1，且g′(0)=0，因为g′′(x)=−11−x+−1(1−x)2=x−2(1−x)2<0，则g′(x)在(−∞,1)上单调递减，所以当x∈(−∞,a)时，g′(x)>0，当x∈(0,1)时，g′(x)<0，所以a=1时，x=0时函数y=xf(x)的一个极大值．综上所述，a=1；(2)证明：由(1)可知，xf(x)=xln(1−x)，要证x+f(x)xf(x)<1，即需证明x+ln(1−x)xln(1−x)<1，因为当x∈(−∞,0)时，xln(1−x)<0，当x∈(0,1)时，xln(1−x)<0，所以需证明x+ln(1−x)>xln(1−x)，即x+(1−x)ln(1−x)>0，令ℎ(x)=x+(1−x)ln(1−x)，则ℎ′(x)=(1−x)⋅−11−x+1−ln(1−x)，所以ℎ′(0)=0，当x∈(−∞,0)时，ℎ′(x)<0，当x∈(0,1)时，ℎ′(x)>0，所以x=0为ℎ(x)的极小值点，所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，即x+ln(1−x)>xln(1−x)，故x+ln(1−x)xln(1−x)<1，所以x+f(x)xf(x)<1．【解析】(1)确定函数f(x)的定义域，令g(x)=xf(x)，由极值的定义得到g′(x)=0，求出a的值，然后进行证明，即可得到a的值；(2)将问题转化为证明x+ln(1−x)xln(1−x)<1，进一步转化为证明x+ln(1−x)>xln(1−x)，令ℎ(x)=x+(1−x)ln(1−x)，利用导数研究ℎ(x)的单调性，证明ℎ(x)>ℎ(0)，即可证明．本题考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的极值问题，利用导数证明不等式问题，此类问题经常构造函数，转化为证明函数的取值范围问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于难题．21.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4．(1)求p；(2)若点P在M上，PA，PB为C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．【答案】解：(1)点F(0,p2)到圆M上的点的距离的最小值为|FM|−1=p2+4−1=4，解得p=2；(2)由(1)知，抛物线的方程为x2=4y，即y=14x2，则y′=12x，设切点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则易得l PA：y=x12x−x124,l PB：y=x22x−x224，从而得到P(x1+x22,x1x24)，设l AB：y=kx+b，联立抛物线方程，消去y并整理可得x2−4kx−4b=0，∴Δ=16k2+16b>0，即k2+b>0，且x1+x2=4k，x1x2=−4b，∴P(2k,−b)，∵|AB|=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2⋅√16k2+16b，点P到直线AB的距离d=2√k2+1，∴S△PAB=12|AB|d=4(k2+b)32①，又点P(2k,−b)在圆M：x2+(y+4)2=1上，故k2=1−(b−4)24，代入①得，S△PAB=4(−b2+12b−154)32，而y p=−b∈[−5,−3]，∴当b=5时，(S△PAB)max=20√5．【解析】本题考查圆锥曲线的综合运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于拔高题．(1)由点F 到圆M 上的点最小值为4建立关于p 的方程，解出即可；(2)对y =14x 2求导，由导数的几何意义可得出直线PA 及PB 的方程，进而得到点P 的坐标，再将AB 的方程与抛物线方程联立，可得P(2k,−b)，|AB|以及点P 到直线AB 的距离，进而表示出△PAB 的面积，再求出其最小值即可．22. 在直角坐标系xOy 中，⊙C 的圆心为C(2,1)，半径为1．(1)写出⊙C 的一个参数方程；(2)过点F(4,1)作⊙C 的两条切线.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．【答案】解：(1)⊙C 的圆心为C(2,1)，半径为1， 则⊙C 的标准方程为(x −2)2+(y −1)2=1， ⊙C 的一个参数方程为{x =2+cosθy =1+sinθ(θ为参数)．(2)由题意可知两条切线方程斜率存在，设切线方程为y −1=k(x −4)，即kx −y −4k +1=0， 圆心C(2,1)到切线的距离d =√k 2+1=1，解得k =±√33，所以切线方程为y =±√33(x −4)+1，因为x =ρcosθ，y =ρsinθ，所以这两条切线的极坐标方程为ρsinθ=±√33(ρcosθ−4)+1．【解析】(1)求出⊙C 的标准方程，即可求得⊙C 的参数方程；(2)求出直角坐标系中的切线方程，再由x =ρcosθ，y =ρsinθ即可求解这两条切线的极坐标方程．本题主要考查圆的参数方程，普通方程与极坐标方程的转化，考查运算求解能力，属于基础题．23. 已知函数f(x)=|x −a|+|x +3|．(1)当a =1时，求不等式f(x)≥6的解集； (2)若f(x)>−a ，求a 的取值范围．【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=|x−1|+|x+3|={−2x−2,x≤−3 4,−3<x<12x+2,x≥1，∵f(x)≥6，∴{x≤−3−2x−2≥6或{−3<x<1 4≥6或{x≥12x+2≥6，∴x≤−4或x≥2，∴不等式的解集为(−∞,−4]∪[2,+∞)．(2)f(x)=|x−a|+|x+3|≥|x−a−x−3|=|a+3|，若f(x)>−a，则|a+3|>−a，两边平方可得a2+6a+9>a2，解得a>−32，即a的取值范围是(−32,+∞)．【解析】(1)将a=1代入f(x)中，根据f(x)≥6，利用零点分段法解不等式即可；(2)利用绝对值三角不等式可得f(x)≥|a+3|，然后根据f(x)>−a，得到|a+3|>−a，求出a的取值范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．。

2021届全国名校学术联盟新高考模拟试卷(一)数学(理科)

2021届全国名校学术联盟新高考模拟试卷(一)数学(理科)

2021届全国名校学术联盟新高考模拟试卷（一）数学（理）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1.设全集{}2|250,Q x x x x N =-≤∈，且P Q ⊆，则满足条件的集合P 的个数是（ ）A. 3B. 4C. 7D. 8 【答案】D【解析】 {}{}25|250,N |0,N 0,1,22Q x x x x x x x ⎧⎫=-≤∈=≤≤∈=⎨⎬⎩⎭ ，所以满足P Q ⊆ 的集合P 有328= 个，故选D.2.已知i 是虚数单位，复数512i i -的虚部为（ ） A. 1-B. 1C. i -D. i【答案】B【解析】因为()()()()512512*********i i i i i i i i i ++===-+--+ ，所以复数512i i-的虚部为1 ，故选B. 3.已知a ，b 都是实数，那么“lg lg a b >”是“a b >”的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】利用对数函数的单调性、不等式的性质即可判断出结论．【详解】,a b 都是实数，由“lg lg a b >”有a b >成立，反之不成立，例如2,0a b ==.所以“lg lg a b >”是“a b >”的充分不必要条件.故选：B 【点睛】本题考查了对数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4.淮南市正在创建全国文明城市，某校数学组办公室为了美化环境，购买了5盆月季花和4盆菊花，各盆大小均不一样，将其中4盆摆成一排，则至多有一盆菊花的摆法种数为（ ） A. 960 B. 1080C. 1560D. 3024 【答案】B【解析】【分析】分两类：第一类一盆菊花都没有，第二类只有一盆菊花，将两类种数分别算出相加即可. 【详解】解：一盆菊花都没有的摆法种数为45120A =，只有一盆菊花的摆法种数为134454960C C A =， 则至多有一盆菊花的摆法种数为1209601080+=， 故选：B.【点睛】本题考查分类加法原理，考查排列组合数的计算，是基础题. 5.数列{}1(252)2n n --的最大项所在的项数为（ ） A. 10B. 11C. 12D. 9【答案】B【解析】【分析】令1(252)2n n a n -=-，则n a 最大时有11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩，代入通项公式解出n ，即可求出最大项的项数.【详解】令1(252)2n n a n -=-，当2n ≥时，设n a 为最大项，则11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩即121(252)2(272)2,(252)2(232)2,n n n n n n n n ---⎧-≥-⎨-≥-⎩解得212322n ≤≤. 而*n N ∈，所以11n =，又1n =时，有122342a a =<=，所以数列{}1(252)2n n --的最大项所在的项数为11. 故选：B .【点睛】本题考查数列求最大项问题，考查学生的计算能力，属于基础题.6.函数()21ln 12f x x x =--的大致图象为（ ） A.B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由()()f x f x -=得到()f x 为偶函数，所以当0x >时，()21ln 12f x x x =--，求导讨论其单调性，分析其极值就可以得到答案. 【详解】因为()()()21ln 12f x x x f x -=----=， 所以()f x 为偶函数, 则当0x >时，()21ln 12f x x x =--. 此时211()x f x x x x='-=-， 当1x >时，()0f x '> 当01x <<时，()0f x '<.所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.在0x >上，当1x =时函数()f x 有最小值11(1)1122f =-=->-..由()f x 为偶函数，根据选项的图像C 符合.故选：C【点睛】本题考查根据函数表达式选择其图像的问题，这类问题主要是分析其定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性和一些特殊点即可,属于中档题.7.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．己知ABC ∆的顶点()4,0A ，()0,2B ，且AC BC =，则ABC ∆的欧拉线方程为（ ）A. 230x y -+=B. 230x y +-=C. 230x y --=D. 230x y --=【答案】D【解析】【分析】由于AC BC =，可得：ABC ∆的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上，求出线段AB 的垂直平分线，即可得出ABC ∆的欧拉线的方程．【详解】因为AC BC =，可得：ABC ∆的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上 ()4,0A ，()0,2B ，则,A B 的中点为(2,1)201042AB k -==--, 所以AB 的垂直平分线的方程为：12(2)y x -=-，即23y x =-.故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外心重心垂心性质，考查了对新知识的理解应用，属于中档题．8.已知双曲线22214x y b-=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（ ）A. 83+B. )41-C. 83+D. )22 【答案】A【解析】【分析】利用双曲线的定义以及三角形结合正弦定理，转化求解三角形的周长即可.【详解】双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+，由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+，据此可得：2||4BF =，又 ，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11|||BF AF所以8)m =+，解得：123m =， 所以1ABF ∆的周长为：11||||||AF BF AB ++=122(4)8162833m ++=+⨯=+ 故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．9.已知4x π=是函数()()sin f x x ωϕ=+（03ω<<，0ϕπ<<）的一个零点，将()f x 的图象向右平移12π个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则函数()f x 的单调递增区间是（ ） A. 32,2412k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ B. 544,12343k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ C. 52,2124k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D. 344,43123k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 【答案】D【解析】【分析】 通过条件可得4k πωϕπ+=，122k ππωϕπ-+=+，结合03ω<<，0ϕπ<<可求出,ωϕ，即可得35()sin 28f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令35222282k x k πππππ-+≤+≤+，求出x 的范围即为函数()f x 的单调递增区间.【详解】解：由已知sin 044f πωϕπ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得4k πωϕπ+=，k Z ∈， 又03ω<<，0ϕπ<<， 7044πωϕπ∴<+<，即704k ππ<<，k Z ∈， 1k ∴=，4πωϕπ∴+=①； 又sin sin 121212f x x x ϕπππωωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所得图象关于y 轴对称，sin 112πωϕ⎛⎫∴-+=± ⎪⎝⎭， 122k ππωϕπ∴-+=+，k Z ∈，将①代入消去ϕ得1242k ππωπωππ-+-=+，k Z ∈， 33,032k ωω∴=-<<， 0k ∴=时，32ω=， 58ϕπ∴=， 35()sin 28f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭， 令35222282k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈， 34443123k x k ππππ∴-+≤≤-+，k Z ∈， 故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图像和性质，考查计算能力和分析能力，是中档题.10.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是 （ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：依次还原几何体，可以得出A,B,C 中的三视图是同一个三棱锥，摆放的位置不同而已，而D 和它们表示的不是同一个三棱锥.考点：本小题主要考查几何体的三视图，考查学生的空间想象能力.点评：解决此类问题的关键在于根据三视图还原几何体.11.已知球O 的半径为2，A 、B 是球面上的两点，且23AB =，若点P 是球面上任意一点，则PA PB ⋅的取值范围是（ ） A. []1,3-B. []2,6-C. []0,1D. []0,3 【答案】B【解析】【分析】作出图形，取线段AB 的中点M ，利用向量的加法法则可得PA PM MA =+，PB PM MA =-，可得出2223PA PB PM MA PM ⋅=-=-，求出PM 的最大值和最小值，即可得出PA PB ⋅的取值范围.【详解】作出图形，取线段AB 的中点M ，连接OP 、OA 、OB 、OM 、PM ，可知OMAB ⊥， 由勾股定理可得221OM OA AM =-=，且有MB MA =-，由向量的加法法则可得PA PM MA =+，PB PM MB PM MA =+=-，()()222223PA PB PM MA PM MA PM MAPM MA PM ∴⋅=+-=-=-=-. PM PO OM =+，由向量的三角不等式可得PO OM PM PO OM -≤≤+，13PM ∴≤≤，所以，[]232,6PA PB PM ⋅=-∈-.因此，PA PB ⋅的取值范围是[]2,6-.故选：B.【点睛】本题考查向量数量积取值范围的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查数形结合思想以及计算能力，属于中等题.12.己知()()()ln 1ln 1f x ax x x x =++++与()2g x x =的图象有三个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B. 2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ( 【答案】C【解析】【分析】依题意，方程ln 1ln 111x x a x x ++⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭有三个不相等的实根，令ln 1()x t x x+=，利用导数研究函数()t x 的单调性及最值情况，再分类讨论得解.【详解】解：方程()()f x g x =即为()()2ln 1ln 1ax x x x x ++++=，则方程ln 1ln 111x x a x x ++⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭有三个不相等的实根， 令ln 1()x t x x +=得2(1)10t a t a +++-=①，且2ln ()x t x x -'=， ∴函数()t x 在(0,1)上单增，在(1,)+∞上单减，故max ()(1)1t x t ==，且t →+∞时，()0t x →，0t →时，()t x →-∞∴方程①的两个根12,t t 的情况是：（i ）若1212,(0,1),t t t t ∈≠，则()f x 与()g x 的图象有四个不同的公共点，不合题意；（ii ）若1(0,1)t ∈且21t =或20t =，则()f x 与()g x 的图象有三个不同的公共点，令1t =，则1(1)10a a +++-=，12a ∴=-，此时另一根为(320,1)-∉，舍去； 令0t =，则10a -=，1a ，此时另一根为12(0,)-∉，舍去；（iii ）若1(0,1)t ∈且20t <，则()f x 与()g x 的图象有三个不同的公共点，令2()(1)1h x t a t a =+++-，则(0)0(1)0h h <⎧⎨>⎩，解得112a -<<. 故选：C.【点睛】本题考查函数图像的交点与方程根的关系，考查分类讨论思想，旨在锻炼学生的推理论证能力，属于中档题.二、填空题（每题5分，满分20分）13.设x ，y 满足约束条件326020480x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值是________【答案】4-【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，可知需确定122z y x =-在y 轴截距的最大值，通过平移可得结果，从而确定所求最小值.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将2z x y =-化为：122z y x =- 可知z 的最小值即为122z y x =-在y 轴截距最大时z 的取值 由图像平移可知，当122z y x =-过点A 时，截距最大由20480x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得()0,2A min 0224z ∴=-⨯=-本题正确结果：4-【点睛】本题考查线性规划中的求解z ax by =+的最值类的问题，重点是通过平移确定取得最值的点. 14.已知等腰直角ABC 的斜边2BC =，沿斜边的高线AD 将ADC 折起，使二面角B AD C --的大小为3π，则四面体ABCD 的外接球的表面积为__________． 【答案】73π 【解析】 等腰直角ABC 翻折后,AD CD AD BD AD BDC CDB ⊥⊥∴⊥∴∠面 是二面角B AD C --的平面角，即3CDB π∠=，因此BDC 外接圆半径为11323sin 3π⋅= ，四面体ABCD 的外接球半径等于22317()(321)2R =+=，外接球的表面积为274.3R ππ= 点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 15.我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：①所有的奇数项满足2121n n a a -+<，所有的偶数项满足222n n a a +<；②任意相邻的两项21n a -，2n a 满足21n a -<2n a .根据上面的信息完成下面的问题：（i ）数列1,23456,,,,__________“有趣数列”（填“是”或者“不是”）；（ii ）若2(1)nn a n n=+-，则数列{}n a __________“有趣数列”（填“是”或者“不是”）.【答案】 (1). 是 (2). 是 【解析】 【分析】依据定义检验可得正确的结论.【详解】若数列为1,23456,,,,，则该数列为递增数列，满足“有趣数列”的定义， 故1,23456,,,,为“有趣数列”. 若2(1)nn a n n=+-，则21212221,212121n n a n a n n n -+=--=+--+， 222222,22222n n a n a n n n +=+=+++. 21212224220212141n n a a n n n -+-=--+=--<-+-，故2121n n a a -+<.()()222411222022212n n a a n n n n +-=-+=-+≤-+<++,故222n n a a +<.212222221210212212n n a a n n n n n n--=----=---<--，故21n a -<2n a . 综上，{}n a 为“有趣数列”. 故答案为：是，是.【点睛】本题以“有趣数列”为载体，考虑数列的单调性，注意根据定义检验即可，本题为中档题. 16.已知函数()sin f x x =.若存在1x ，2x ，…，m x 满足1206m x x x π≤<<<≤…，且()()12||f x f x -+()()()()()*231||||120,m m f x f x f x f x m m --++-=≥∈N …，则m 的最小值为________. 【答案】8 【解析】 【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意,(,1,2,3,,)i j x x i j m =…，都有()()max()i jf x f x f x -≤min ()2f x -=，要使m 取得最小值，尽可能多让(1,2,3,,)i x i m =…取得最高点和最低点，然后作图可得满足条件的最小m 值.【详解】∵sin y x =对任意,(,1,2,3,,)i j x x i j m =…，都有()()maxmin ()()2i jf x f x f x f x -≤-=，要使m 取得最小值，尽可能多让(1,2,3,,)i x i m =…取得最高点和最低点，考虑1206m x x x π≤<<<≤…，()()()()()()1223112m m f x f x f x f x f x f x --+-++-=…， 按下图取值即可满足条件，∴m 的最小值为8. 故答案为:8.【点睛】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意,(,1,2,3,,)i j x x i j m =…，都有()()maxmin ()()2i j f x f x f x f x -≤-=是解题的关键，属于难题.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC ，90A ∠=，BC 长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 引出两条成45°的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设BDE α∠=，试求花卉种植面积()S α的取值范围．【答案】12,14⎛ ⎝⎦【解析】 【分析】利用正弦定理得sin 3sin 4BE απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，3sin 4sin CF παα⎛⎫- ⎪⎝⎭=，求得BDE DCF S S ∆∆+，从而有()()ABC BDE DCF S S S S α∆∆∆=-+，再根据条件得,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα，从而求出答案．【详解】解：在△BDE 中，∠BED =34πα-，由正弦定理得13sin sin 4BE απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴sin 3sin 4BE απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭， 在△DCF 中，3,4FDC DFC παα∠=-∠=，由正弦定理得13sin sin 4CF παα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴3sin 4sin CF παα⎛⎫- ⎪⎝⎭=， 11sin sin 2424BDE DCF S S BE BD CF CD ππ∆∆∴+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯()4BF CF =+3sin sin 434sin sin 4πααπαα⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎪=+⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33sin cos cos sin sin 44334sin sin cos cos sin 44ππαααππααα⎫-⎪=+⎪ ⎪-⎝⎭4cos sin ααα⎫=++⎝2==1sin 2cos 222sin 2cos 21αααα-+=-+1112sin 2cos 21αα⎛⎫=+ ⎪-+⎝⎭11222sin 224πα=+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ， ()()ABC BDE DCF S S S S α∆∆∆∴=-+11222sin 224πα=-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ∴AEDF 为四边形区域，,42ππα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，32,444πππα⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭， 2sin 2,142πα⎛⎤⎛⎫∴-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，()12142S α∴<≤-， ∴花卉种植面积()S α取值范围是12,14⎛⎤- ⎥ ⎝⎦． 【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形面积问题，属于基础题．18.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1B A ⊥底面ABCD ，12BB BC AB ==，60ABC ∠=︒. （1）求证：1AB A D ⊥；（2）求二面角1A A D C --的余弦值.【答案】(1)见解析；（210【解析】 【分析】（1）连接11A C ，1C D ，AC ,通过勾股定理得到AB AC ⊥，再由条件推得1AB C D ⊥进而得到线面垂直，线线垂直；（2）建立坐标系，分别求得两个面的法向量，进而求得夹角的余弦值.【详解】(1)连接11A C ，1C D ，AC ，以为原几何体是平行六面体，故得到1111AA CC ACCA =∴是平行四边形，进而得到11AC AC ∥，因为2BC AB =且60ABC ∠=︒， 在三角形ABC 中由余弦定理得到边22222122AC AB BC AB BC BC AB =+-⨯⨯=-，222AB AC BC AB AC ∴+=∴⊥，进而得到11AB A C ⊥，又因为1B A ⊥底面ABCD ，1111,B A AB B ACD AB C D ∴⊥∴⊥1111AC C D C AB ⋂=∴⊥面11AC D .1AB A D ∴⊥.(2)根据题干，以及第一问可建立如图坐标系：设122BB BC AB ===，13AB =，()()1,0,0,0,0,0B A ，()()10,0,3,0,3,0B C 根据()1111,0,3A B AB A =⇒-，设面1AA D 的法向量为(),,n x y z =()()11,0,3,1,3,0AA AD BC =-==- ()303,1,130x z n x y ⎧-+=⎪⇒=⎨-+=⎪⎩设面1A CD 的法向量为(),,m x y z =()1,0,0AB DC ==，()11,3,3CA =--，()00,1,1330x m x y z =⎧⎪⇒=⎨--+=⎪⎩ 则两个半平面的夹角余弦值为：10cos .5||||n m n m θ⋅==⋅【点睛】这个题目考查了空间中直线和面的位置关系的应用，涉及线面垂直的性质的应用，以及线线垂直的证明，和二面角的求法，一般求二面角，可以利用几何方法，做出二面角，或者建立空间坐标系得到法向量进而求得二面角的大小.19.2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下：（1）求y 与x 的相关系数r 精确到0.01，并判断y 与x 的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：0.75r ≥时，可用线性回归方程模型拟合）；（2）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ，2A ，3A ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为12，45，35，第二次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为45，12，23．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，求X 的数学期望．附：（1）相关系数ni ix y nx yr -=∑（2）81347i ii x y==∑，8211308i i x ==∑，82193i i y ==∑【答案】（1）0.98;可用线性回归模型拟合．（2）65【解析】 【分析】（1）根据题目提供的数据求出,x y ，代入相关系数公式求出r ，根据r 的大小来确定结果；（2）求出药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率，发现它们相同，那么经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，X 服从二项分布235X B ⎛⎫⎪⎝⎭,，利用二项分布的期望公式求解即可. 【详解】解：（1）由题意可知2361021131518118x +++++++==，112 2.56 3.5 3.5 4.538y +++++++==，由公式0.983402121785r ==≈⨯，0.980.75r ≈>，∴y 与x 的关系可用线性回归模型拟合；（2）药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为1142255A P =⨯=，2412525A P =⨯=，3322535A P =⨯=，由题意，235XB ⎛⎫⎪⎝⎭, ， ()26355E X ∴=⨯=.【点睛】本题考查相关系数r 的求解，考查二项分布的期望，是中档题.20.给定椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O ，半径为22a b +的圆是椭圆C 的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为(20)F ，，其短轴上的一个端点到F 的距离为3.（1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12,l l 交“准圆”于点,M N . ①当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12,l l 的方程并证明12l l ⊥； ②求证：线段MN 的长为定值.【答案】（1）2213x y +=,224x y +=,（2）（ⅰ）22y x y x =+=-+，，（ⅱ）详见解析. 【解析】 【详解】（1）231c a b ==∴=，，，∴椭圆方程为2213x y +=，准圆方程为224x y +=．（2）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，， 设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+， 所以由222{13y kx x y ，，=++=得22(13)1290k x kx +++=.因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±，所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，． 121l l k k ⋅=-，12l l ∴⊥．（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在， 则1l ：3x =±，当1l ：3x =时，与准圆交于点(31)(31)-，，，，此时2l 为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直； 同理可证当1l ：3x =-时，直线12l l ，垂直 ②当12l l ，斜率存在时，设点00(,)P x y ，其中22004x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022(){13y t x x y x y =-++=，，得2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=.由0∆=化简整理得，因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=.设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=，所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直． 综合①②知：因为12l l ，经过点00()P x y ，，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直. 所以线段MN 为准圆224x y +=的直径，4MN ＝， 所以线段MN 的长为定值．考点：1、椭圆及其方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系. 21.已知函数()ln 1x x a f x x++=，在区间[]1,2有极值．（1）求a 的取值范围； （2）证明：()()sin 1a x f x x+>．【答案】（1）01a <<（2）见解析 【解析】 【分析】（1）()f x 在区间[]1,2有极值转化为()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，利用导数，分类讨论，研究()f x 在[1,2]上的单调性即可； （2）将证明()()sin 1a x f x x+>转化为证明ln sin 1x x a x >-.先证ln 1x x ax >-，然后再证1sin 1ax a x ->-，进而可得()()sin 1xf x a x >+.【详解】解：（1）由()1ln a f x x x +=+得()()()221110x a a f x x x x x -++'=-=>，当11a +≤即0a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在[1,2]上单调递增，无极值； 当12a +≥即1a ≥时，()0f x '≤，所以()f x [1,2]上单调递减，无极值；当112a <+<即01a <<，由()0f x '>得1x a >+；由()0f x '<得1x a <+，所以()f x 在[)1,1a +上单调递减，在(]1,2a +上单调递增，符合题意，01a ∴<<；（2）要证()()sin 1xf x a x >+成立，只需证ln 1sin x x a a x a ++>+成立，即证ln sin 1x x a x >-， 先证：ln 1x x ax >-.设()ln 1g x x x ax =-+，则()1ln ln 1g x x a x a '=+-=+-，所以()f x 在()10,a e-上单调递减，在()1,a e -+∞上单调递增，所以()()()1111111a a a a g x g ea eae e ----≥=--+=-，因为01a <<，所以110a e -->，则()0g x >，即ln 1x x ax >-①，再证：1sin 1ax a x ->-.设()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥.所以()h x 在()0,∞+上单调递增，则()()00h x h >=，即sin x x >.因为01a <<，所以1sin 1ax a x ->-②， 由①②可ln sin 1x x a x >-，所以()()sin 1xf x a x >+.【点睛】本题考查函数极值的存在性问题，考查函数不等式的证明，关键是要将问题进行转化，考查计算能力，是一道难度较大的题目.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知曲线C 的极坐标方程是24cos 6sin 12ρρθρθ=+-，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为12212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数）. （1）写出直线l 的一般方程与曲线C 的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；（2）将曲线C 向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D ，设曲线D 经过伸缩变换','2,x x y y =⎧⎨=⎩得到曲线E ，设曲线E 上任一点为(),M x y12y +的取值范围. 【答案】10y +-=；22(2)(3)1x y -+-=；直线l 和曲线C 相切. (2) [2,2]-. 【解析】【详解】（I ）直线l10y +-=， 曲线C 的直角坐标方程为22231x y .1=，所以直线l 和曲线C 相切. （II ）曲线D 为221x y +=.曲线D 经过伸缩变换',{'2,x x y y ==得到曲线E 的方程为2214y x +=， 则点M 的参数方程为,{2x cos y sin θθ==（θ为参数）， 所以133cos sin 2sin 23x y πθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，所以132x y +的取值范围为[]22-,.23.已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．【答案】(1) {x |x ≥4或x ≤1}；(2) [－3，0].【解析】试题分析：（1）解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于-2-x≤a≤2-x 在[1，2]上恒成立，由此求得求a 的取值范围试题解析：（1）当a ＝－3时，f （x ）＝25,2{1,2325,3x x x x x -+≤<<-≥当x≤2时，由f （x ）≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1；当2＜x ＜3时，f （x ）≥3无解；当x≥3时，由f （x ）≥3得2x －5≥3，解得x≥4.所以f （x ）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}． 6分（2）f （x ）≤|x －4||x －4|－|x －2|≥|x ＋a|.当x ∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a|（4－x ）－（2－x ）≥|x ＋a|－2－a≤x≤2－a ，由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，故满足条件的实数a 的取值范围为[－3，0]．考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数。

2021年高考数学试卷(上海)(春考)(解析卷)

2021年高考数学试卷(上海)(春考)(解析卷)

2021年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则10a =　21　．【思路分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解．【解析】：因为等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则101939221a a d =+=+´=．故答案为：21．2．已知13z i =-　．【解析】：z =Q 31i i -=则|||12|z i i -=+=．【归纳总结】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．3．已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为　4p ．【思路分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可．【解析】：圆柱的底面半径为1r =，高为2h =，所以圆柱的侧面积为22124S rh p p p ==´´=侧．故答案为：4p ．【归纳总结】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题．4．不等式2512x x +<-的解集为　(7,2)-　．【思路分析】由已知进行转化702x x +<-，进行可求．【解析】：252571100222x x x x xx +++<Þ-<Þ<---，解得，72x -<<．故答案为：(7,2)-．【归纳总结】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．5．直线2x=-10y -+=的夹角为　6p　．【思路分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．【解析】：Q 直线2x =-的斜率不存在，倾斜角为2p，10y -+=，倾斜角为3p，故直线2x =-10y -+=的夹角为236ppp-=故答案为：6p．【归纳总结】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题．6．若方程组111222a x b y c a x b y c +=ìí+=î无解，则1122a b a b =　0　．【思路分析】利用二元一次方程组的解的行列式表示进行分析即可得到答案．【解析】：对于方程组111222a xb yc a x b y c +=ìí+=î，有111111222222,,x y a b c b a c D D D a b c b a c ===，当0D ¹时，方程组的解为x y D x DD y Dì=ïïíï=ïî，根据题意，方程组111222a x b y c a x b y c +=ìí+=î无解，所以0D =，即11220a b D a b ==，故答案为：0．【归纳总结】本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法，这种方法可以使得方程组的解与对应系数之间的关系表示的更为清晰，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解行列式表示法中对应的公式．7．已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为　64　．【思路分析】由已知可得6n =，令1x =，即可求得系数和．【解析】：由题意，32nn C C >，且34n n C C >，所以6n =，所以令1x =，6(1)x +的系数和为6264=．故答案为：64．【归纳总结】本题主要考查二项式定理．考查二项式系数的性质，属于基础题．8．已知函数()3(0)31x x af x a =+>+的最小值为5，则a =　9　．【思路分析】利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”，该题只需将函数解析式变形成()31131x x af x =++-+，然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件．【解析】：()3311153131x xx x a a f x =+=++--=++…，所以9a =，经检验，32x =时等号成立．故答案为：9．【归纳总结】本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积为定值，属于基础题．9．在无穷等比数列{}n a 中，1lim()4n n a a ®¥-=，则2a 的取值范围是　(4-，0)(0È，4)　．【思路分析】由无穷等比数列的概念可得公比q 的取值范围，再由极限的运算知14a =，从而得解．【解析】：Q 无穷等比数列{}n a ，\公比(1q Î-，0)(0È，1)，\lim 0n n a ®¥=，\11lim()4n n a a a ®¥-==，214(4a a q q \==Î-，0)(0È，4)．故答案为：(4-，0)(0È，4)．【归纳总结】本题考查无穷等比数列的概念与性质，极限的运算，考查学生的运算求解能力，属于基础题．10．某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合　23种　.A 运动B 运动C 运动D 运动E 运动7点8-点8点9-点9点10-点10点11-点11点12-点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟【思路分析】由题意知至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB 、DB 、EB 的组合不符合题意，由此求出结果．【解析】：由题意知，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB 、DB 、EB 的组合不符合题意；所以满足条件的运动组合方式为：234555553101051323C C C C +++-=+++-=（种)．故答案为：23种．【归纳总结】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了统筹问题的思想应用问题，是基础题．11．已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左、右焦点为1F 、2F ，以O 为顶点，2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ，且1245PF F Ð=°，则抛物线的准线方程是　1x =【思路分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线1PF 的方程并与抛物线联立，求出点P 的坐标，由此可得212PF F F ^，进而可以求出1PF ，2PF 的长度，再由椭圆的定义即可求解．【解析】：设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则抛物线24y cx =，直线1:PF y x c =+，联立方程组24y cxy x c ì=í=+î，解得x c =，2y c =，所以点P 的坐标为(,2)c c ，所以2PF F F ^，又22112,PF F F c PF ===所以所以PF =，所以12(222PF PF c a +=+==，则1c =-，1x c =-=故答案为：1x =-．【归纳总结】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．12．已知0q >，存在实数j ，使得对任意*n N Î，cos()n q j +<q 的最小值是　25p　．【思路分析】在单位圆中分析可得3pq >，由2*N pqÎ，即2kpq =，*k N Î，即可求得q 的最小值．【解析】：在单位圆中分析，由题意可得n q j +的终边要落在图中阴影部分区域（其中)6AOx BOx pÐ=Ð=，所以3AOB pq >Ð=，因为对任意*n N Î都成立，所以2*N p q Î，即2kp q =，*k N Î，同时3pq >，所以q 的最小值为25p ．故答案为：25p ．【归纳总结】本题主要考查三角函数的最值，考查数形结合思想，属于中档题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．下列函数中，在定义域内存在反函数的是( )A ．2()f x x =B ．()sin f x x=C ．()2xf x =D ．()1f x =【思路分析】根据函数的定义以及映射的定义即可判断选项是否正确．【解析】：选项A ：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，A 错误，选项B ：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，B 错误，选项C ：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C 正确，选项D ：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，D 错误，故选：C ．【归纳总结】本题考查了函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的理解，属于基础题．14．已知集合{|1A x x =>-，}x R Î，2{|20B x x x =--…，}x R Î，则下列关系中，正确的是( )A ．A BÍB ．R R A BÍððC ．A B =ÆI D ．A B R=U 【思路分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可．【解析】：已知集合{|1A x x =>-，}x R Î，2{|20B x x x =--…，}x R Î，解得{|2B x x =…或1x -…，}x R Î，{|1R A x x =-…ð，}x R Î，{|12}R B x x =-<<ð；则A B R =U ，{|2}A B x x =I …，故选：D ．【归纳总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．15．已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是( )A ．()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称B ．()f x 为偶函数且关于直线1x =对称C ．()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称D ．()f x 为奇函数且关于直线1x =对称【思路分析】根据题意，依次判断选项：对于ABD ，举出反例可得三个选项错误，对于C ，利用反证法可得其正确．【解析】：根据题意，依次判断选项：对于A ，()cos 12xf x p =+，()f x 为偶函数，且关于点(1,1)对称，存在最大值，A 错误，对于B ，()cos()f x x p =，()f x 为偶函数且关于直线1x =对称，存在最大值，B 错误，对于C ，假设()f x 有最大值，设其最大值为M ，其最高点的坐标为(,)a M ，()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，则()f x 的图象存在最低点(,)a M --，又由()f x 的图象关于点(1,1)对称，则(,)a M --关于点(1,1)对称的点为(2,2)a M ++，与最大值为M 相矛盾，则此时()f x 无最大值，C 正确，对于D ，()sin 2xf x p =，()f x 为奇函数且关于直线1x =对称，D 错误，故选：C ．【归纳总结】本题考查了充分条件和反证法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．在ABC D 中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：①存在ABC D ，使得0AB CE ×=uuu r uuu r；②存在三角形ABC D ，使得//()CE CB CA +uuu r uuu r uuu r ；它们的成立情况是( )A ．①成立，②成立B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立【思路分析】设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，由向量数量的坐标运算即可判断①；F 为AB 中点，可得()2CB CA CF +=uuu r uuu r uuu r，由D 为BC 中点，可得CF 与AD 的交点即为重心G ，从而可判断②【解析】：不妨设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，①(12,2)AB x y =---uuu r ，(1,)CE x y =-uuu r，若0AB CE ×=uuu r uuu r，则2(12)(0x x y -+-=，即2(12)(1)2x x y -+-=，满足条件的(,)x y 存在，例如，满足上式，所以①成立；②F 为AB 中点，()2CB CA CF +=uuu r uuu r ，CF 与AD 的交点即为重心G ，因为G 为AD 的三等分点，E 为AD 中点，所以CE uuu r 与CG uuu r不共线，即②不成立．故选：B ．【归纳总结】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱锥P ABCD -，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB 中点，PE ^平面ABCD ．（1）若PAB D 为等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45°，求PC 与AD 所成角的大小．【思路分析】（1）由13ABCD V PE S =×正方形，代入相应数据，进行运算，即可；（2）由PE ^平面ABCD ，知45PFE Ð=°，进而有4PE FE ==，PB =//AD BC ，知PCB Ð或其补角即为所求，可证BC ^平面PAB ，从而有BC PB ^，最后在Rt PBC D 中，由tan PBPCB BCÐ=，得解．1）PAB D Q 为等边三角形，且E 为AB 中点，4AB =，PE \=，又PE ^平面ABCD ，\四棱锥P ABCD -的体积211433ABCD V PE S =×=´=正方形．（2）PE ^Q 平面ABCD ，PFE \Ð为PF 与平面ABCD 所成角为45°，即45PFE Ð=°，PEF \D 为等腰直角三角形，E Q ，F 分别为AB ，CD 的中点，PE \PB \==//AD BC Q ，PCB \Ð或其补角即为PC 与AD 所成角，PE ^Q 平面ABCD ，PE BC \^，又BC AB ^，PE AB E =I ，PE 、AB Ì平面PAB ，BC \^平面PAB ，BC PB \^在Rt PBC D 中，tan PB PCB BC Ð==故PC 与AD 所成角的大小为．【归纳总结】本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法，理解线面角的定义，以及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18．（14分）已知A 、B 、C 为ABC D 的三个内角，a 、b 、c 是其三条边，2a =，1cos 4C =-．（1）若sin 2sin A B =，求b 、c ；（2）若4cos(45A p -=，求c ．【思路分析】（1）由已知利用正弦定理即可求解b 的值；利用余弦定理即可求解c 的值．（2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得cos A ，sin A ，sin C 的值，进而根据正弦定理可得c 的值．【解析】：（1）因为sin 2sin A B =，可得2a b =，又2a =，可得1b =，由于1cos 4C ==-，可得c =（2）因为4)5A =，可得cos A +又22cos sin A +，可解得cos A =，sin A =sin A =cos A =因为cos sin C ，tan C =，若sin A =cos A =，可得tan 7A =，可得tan tan tan tan()0tan tan 1A C B A C A C +=-+==<-，可得B C 为钝角矛盾，舍去，所以sin A =2sin sin c A C=，可得c =．【归纳总结】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（14分）（1）团队在O 点西侧、东侧20千米处设有A 、B 两站点，测量距离发现一点P 满足||||20PA PB -=千米，可知P 在A 、B 为焦点的双曲线上，以O 点为原点，东侧为x 轴正半轴，北侧为y 轴正半轴，建立平面直角坐标系，P 在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P 点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C 、D 两站点，测量距离发现||||30QA QB -=千米，||||10QC QD -=千米，求||OQ （精确到1米）和Q 点位置（精确到1米，1)°【思路分析】（1）求出a ，c ，b 的值即可求得双曲线方程，求出直线OP 的方程，与双曲线方程联立，即可求得P 点坐标；（2）分别求出以A 、B 为焦点，以C ，D 为焦点的双曲线方程，联立即可求得点Q 的坐标，从而求得||OQ ，及Q 点位置．【解析】：（1）由题意可得10a =，20c =，所以2300b =，所以双曲线的标准方程为221100300x y -=，直线:OP y =，联立双曲线方程，可得x =，y =，即点P 的坐标为．（2）①||||30QA QB -=，则15a =，20c =，所以2175b =，双曲线方程为221225175x y -=；②||||10QC QD -=，则5a =，15c =，所以2200b =，所以双曲线方程为225y -两双曲线方程联立，得，所以||19OQ »米，Q 点位置北偏东66°．20．（16分）已知函数()f x x =-．（1）若1a =，求函数的定义域；（2）若0a ¹，若()f ax a =有2个不同实数根，求a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围．【思路分析】（1）把1a =代入函数解析式，由根式内部的代数式大于等于0求解绝对值的不等式得答案；（2）()f ax a ax a =Û=+，设0ax a t +=…，得2a t t =-，0t …，求得等式右边关于t 的函数的值域可得a 的取值范围；（3）分x a -…与x a <-两类变形，结合复合函数的单调性可得使得函数()f x 在定义域内具有单调性的a 的范围．【解析】：（1）当1a =时，()f x x =-，由|1|10x +-…，得|1|1x +…，解得2x -…或0x …．\函数的定义域为(-¥，2][0-U ，)+¥；（2）()f ax ax -，()f ax a ax a =Û+，设ax a t +=t 有两个不同实数根，整理得2a t t =-，0t …，211(24a t \=--+，0t …，当且仅当104a <…时，方程有2个不同实数根，又0a ¹，a \的取值范围是1(0,)4；（3）当x a -…时，211())24f x x x =-=-=--+，在1[4，)+¥上单调递减，此时需要满足14a -…，即14a -…，函数()f x 在[a -，)+¥上递减；当x a <-时，()f x x x ==，在(-¥，2]a -上递减，104a -<Q …，20a a \->->，即当14a -…时，函数()f x 在(,)a -¥-上递减．综上，当(a Î-¥，14-时，函数()f x 在定义域R 上连续，且单调递减．【归纳总结】本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调性的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．21．（18分）已知数列{}n a 满足0n a …，对任意2n …，n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项．（1）已知15a =，23a =，42a =，求3a 的所有可能取值；（2）已知1470a a a ===，2a 、5a 、8a 为正数，求证：2a 、5a 、8a 成等比数列，并求出公比q ；（3）已知数列中恰有3项为0，即0r s t a a a ===，2r s t <<<，且11a =，22a =，求111r s t a a a +++++的最大值．【思路分析】（1）根据n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项建立等式，然后将1a ，2a ，4a 的值代入即可；（2）根据递推关系求出5a 、8a ，然后根据等比数列的定义进行判定即可；（3）分别求出1r a +，1s a +，1t a +的通项公式，从而可求出各自的最大值，从而可求出所求．【解析】：（1）由题意，112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，2312a a a \=+解得31a =，3212a a a =+解得34a =，经检验，31a =，（2）证明：1470a a a ===Q ，322a a \=，或232a a =，经检验，232aa =；\32524a a a ==，或2512a a a =-=-（舍)，\254aa =；\52628a a a ==，或2654a a a =-=-（舍)，\268aa =；\628216a a a ==，或2868a a a =-=-（舍)，\2816aa =；综上，2a 、5a 、8a 成等比数列，公比为14；（3）由112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，可知2111n n n n a a a a +++-=-或21112n n n n a a a a +++-=--，由第（2）问可知，0r a =，则212r r a a --=，即121r r r a a a ----=-，0r a \=，则3111221111111()()1()(,*222222i r i i r r r r a a a a a a i N --+---==--=-×-××-=-×-Î，\11()4r max a +=，同理，2*1111111()1()(),22224j s r j j s r r a a a j N ---++=-×-××-=-×-×Î，\11()16s max a +=，同理，11()64t max a +=，111r s t a a a +++\++的最大值2164．【归纳总结】本题主要考查了数列的综合应用，等比数列的判定以及通项公式的求解，同时考查了学生计算能力，属于难题．。

五川省乐山市2021届新高考数学五月模拟试卷含解析

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五川省乐山市2021届新高考数学五月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-，则3m =是//a b 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A【解析】【分析】向量1a m =（，），32b m =-（，），//a b ，则32m m =-（），即2230m m --=，3m =或者-1，判断出即可．【详解】解：向量1a m =（，），32b m =-（,）， //a b ，则32m m =-（），即2230m m --=， 3m =或者-1，所以3m =是3m =或者1m =-的充分不必要条件，故选：A ．【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题.2．复数21i z i =-（i 为虚数单位），则z 等于（ ）A ．3B ．C ．2D【答案】D【解析】【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简z ，从而求得z ，然后直接利用复数模的公式求解.【详解】 ()()()()21211111i i i z i i i i i i +===+=-+--+，所以1z i =--，z =，故选：D.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目.3．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()1f x x =-+，函数()1x g x e --=（13x -≤≤），则函数()f x 与函数()g x 的图象的所有交点的横坐标之和为（ ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【解析】【分析】由函数的性质可得：()f x 的图像关于直线1x =对称且关于y 轴对称，函数()1x g x e --=（13x -≤≤）的图像也关于1x =对称，由函数图像的作法可知两个图像有四个交点，且两两关于直线1x =对称，则()f x 与()g x 的图像所有交点的横坐标之和为4得解.【详解】由偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，可得()f x 的图像关于直线1x =对称且关于y 轴对称，函数()1x g x e --=（13x -≤≤）的图像也关于1x =对称，函数()y f x =的图像与函数()1x g x e --=（13x -≤≤）的图像的位置关系如图所示，可知两个图像有四个交点，且两两关于直线1x =对称，则()f x 与()g x 的图像所有交点的横坐标之和为4.故选：B【点睛】本题主要考查了函数的性质，考查了数形结合的思想，掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题. 4．网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．1B ．43C ．3D ．4 【答案】A 【解析】【分析】 采用数形结合，根据三视图可知该几何体为三棱锥，然后根据锥体体积公式，可得结果.【详解】根据三视图可知：该几何体为三棱锥如图该几何体为三棱锥A BCD -，长度如上图所以111121,11222MBD DEC BCN S S S ∆∆∆==⨯⨯==⨯⨯= 所以3222BCD MBD DEC BCN S S S S ∆∆∆∆=⨯---= 所以113A BCD BCD V S AN -∆=⋅⋅= 故选：A【点睛】本题考查根据三视图求直观图的体积，熟悉常见图形的三视图：比如圆柱，圆锥，球，三棱锥等；对本题可以利用长方体，根据三视图删掉没有的点与线，属中档题.5．已知集合{|24}A x x =-<<，集合2560{|}B x x x =-->，则AB =A ．{|34}x x <<B ．{|4x x <或6}x >C ．{|21}x x -<<-D ．{|14}x x -<<【答案】C【解析】【分析】【详解】 由2560x x -->可得1)60()(x x -+>，解得1x <-或6x >，所以B ={|1x x <-或6}x >， 又{|24}A x x =-<<，所以{|21}A B x x ⋂=-<<-，故选C ．6．若2m ＞2n ＞1，则（ ）A ．11m n ＞B ．πm ﹣n ＞1C ．ln （m ﹣n ）＞0D ．1122log m log n ＞ 【答案】B【解析】【分析】 根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析.【详解】若2m ＞2n ＞1＝20，∴m ＞n ＞0，∴πm ﹣n ＞π0＝1，故B 正确；而当m 12=，n 14=时，检验可得，A 、C 、D 都不正确， 故选：B ．【点睛】此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系，需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.7．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是( )A ．11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+ B ．11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+ D ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅- 【答案】B【解析】【分析】 执行给定的程序框图，输入10n =，逐次循环，找到计算的规律，即可求解.【详解】由题意，执行给定的程序框图，输入10n =，可得：第1次循环：1,2S i ==；第2次循环：11,33S i =-=；第3次循环：111,435S i =-+=；第10次循环：11111,1135719S i =-+-+-=， 此时满足判定条件，输出结果111144(1)35719P S ==-+-+⋅⋅⋅-， 故选：B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8．()()()cos 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，()()sin g x A x ωϕ=--，若将()y f x =的图象向左平移()0a a >个单位长度后所得图象与()y g x =的图象重合，则a 可取的值的是（ ）A ．112πB ．512πC ．712πD ．11π12【答案】B【解析】【分析】根据图象求得函数()y f x =的解析式，即可得出函数()y g x =的解析式，然后求出变换后的函数解析式，结合题意可得出关于a 的等式，即可得出结果.【详解】由图象可得1A =，函数()y f x =的最小正周期为23471T πππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭=⨯，22T πω∴==， 777cos 2cos 112126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则()726k k Z πϕππ+=+∈，()26k k Z πϕπ∴=-+∈，取6πϕ=-， ()cos 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，则()2sin 2cos 263g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()cos 226g x f x a x a π⎛⎫∴=+=+- ⎪⎝⎭，22263a k πππ-=+，可得()512a k k Z ππ=+∈， 当0k =时，512a π=. 故选：B.【点睛】本题考查利用图象求函数解析式，同时也考查了利用函数图象变换求参数，考查计算能力，属于中等题. 9．51(1)x x -+展开项中的常数项为 A ．1B ．11C ．-19D ．51【答案】B【解析】【分析】展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况.【详解】展开式中的项为常数项，有3种情况：（1）5个括号都出1，即1T =；（2）两个括号出x ，两个括号出1()x-，一个括号出1，即2222531()130T C x C x =⋅⋅⋅-⋅=；（3）一个括号出x ，一个括号出1()x-，三个括号出1，即11541()120T C x C x =⋅⋅⋅-⋅=-； 所以展开项中的常数项为1302011T =+-=，故选B.【点睛】 本题考查二项式定理知识的生成过程，考查定理的本质，即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的.10．已知数列{}n a 的通项公式是221sin 2n n a n π+⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．0B ．55C ．66D ．78 【答案】D【解析】【分析】先分n 为奇数和偶数两种情况计算出21sin 2n π+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值，可进一步得到数列{}n a 的通项公式，然后代入12312a a a a +++⋅⋅⋅+转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.【详解】解：由题意得，当n 为奇数时，213sin sin sin sin 12222n n ππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当n 为偶数时，21sin sin sin 1222n n ππππ+⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以当n 为奇数时，2n a n =-；当n 为偶数时，2n a n =，所以12312a a a a +++⋅⋅⋅+22222212341112=-+-+-⋅⋅⋅-+222222(21)(43)(1211)=-+-+⋅⋅⋅+-(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)=+-++-+⋅⋅⋅++-12341112=++++⋅⋅⋅++121+122⨯=（） 78=故选：D【点睛】此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.11．设()11i a bi +=+，其中a ，b 是实数，则2a bi +=（ ）A ．1B ．2CD 【答案】D【解析】【分析】根据复数相等，可得,a b ，然后根据复数模的计算，可得结果.【详解】由题可知：()11i a bi +=+，即1a ai bi +=+，所以1,1a b ==则212a bi i +=+==故选：D【点睛】本题考查复数模的计算，考验计算，属基础题.12．关于函数22tan ()cos 21tan x f x x x=++，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D ．将函数2y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 【答案】B【解析】【分析】化简到()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据定义域排除ACD ，计算单调性知B 正确，得到答案. 【详解】22tan ()cos 2sin 2cos 221tan 4x f x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪+⎝⎭，故函数的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，故A 错误； 当3,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,224x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，函数单调递增，故B 正确； 当4πx =-，关于8x π=的对称的直线为2x π=不在定义域内，故C 错误. 平移得到的函数定义域为R ，故不可能为()y f x =，D 错误.故选：B .【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省成都市2021届高三高考一诊数学(理科)试卷 含解析

四川省成都市2021届高三高考一诊数学(理科)试卷 含解析

2021年四川省成都市高三高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣2，﹣1，0，1}C．{0，1}D．{﹣1，0}2．已知i是虚数单位，设z＝，则复数+2对应的点位于复平面（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．抛物线y＝2x2的焦点坐标为（）A．（1，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）4．已知a＝log0.22，b＝0.32，c＝20.3，则（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n6．若tan（α+）＝﹣3，则sin2α＝（）A．B．1C．2D．﹣7．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝4x﹣2C．y＝2x D．y＝﹣4x+28．已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（）A．y＝sin（2x+）B．y＝sin（2x+）C．y＝sin（4x+）D．y＝sin（4x+）9．下列命题中的真命题有（）A．已知a，b实数，则“”是“log3a＞log3b”的充分而不必要条件B．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p：∃x0≤0，使得（x0+1）e x≤1C．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α．“m∥β”是“α∥β”的充要条件D．“∃x0∈R，＞x02”的否定为“∀x∈R，2x≤x2”10．如图为某几何体的三视图，已知正视图为一正方形和其内切圆组成，圆半径为1，则该几何体表面积为（）A．16﹣2πB．16+πC．16﹣πD．16+2π11．自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了．造化钟神秀，阴阳割昏晓．荡胸生曾云，决毗入归鸟．会当凌绝顶，一览众山小．”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等．如图为某工程队将A到D修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示（A，B，C，D在同一水平面内），则A，D间的距离为（）A．km B．km C．km D．km12．已知双曲线＝1，O为坐标原点，P，Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ，则△POQ 面积的最小值为（）A．20B．15C．30D．25二、填空题（共3小题）.13．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），•（2﹣）＝0，则k等于．14．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为．7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．15．的展开式中x2y2项的系数是三、解答题（共1小题，满分0分）16．函数f（x）＝e x﹣1﹣e﹣x+1+a sinπx（x∈R，a＞0）存在唯一的零点，则实数a的取值范围是．三、解答题17．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1，a3的等差中项为10，a2＝8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和S n．18．为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在[2，3），[3，4），[4，5），…，[8，9），[9，10）（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）．（Ⅰ）由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5，6）的概率；（Ⅱ）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2，3）和[8，9）的人中任选3人，求其中在[8，9）的人数X的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝，AB＝AD＝CD＝2，PD＝PB＝，PD⊥BC．（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；（2）在线段PC上存在点M，使得，求平面ABM与平面PBD所成锐二面角的大小．20．已知F1，F2分别为椭圆C1：＝1（a＞b＞0），且焦距是2，离心率是．（1）求椭圆C1的方程；（2）不平行于坐标轴的直线与圆x2+（y+1）2＝1相切，且交椭圆C1于A，B，若椭圆C1上一点P满足，求实数λ2的取值范围．21．已知函数f（x）＝2x3+3（1+m）x2+6mx（x∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（1）＝5，函数g（x）＝a（lnx+1）﹣≤0在（1，+∞）上恒成立，求整数a的最大值．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）已知P（2，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．[选修4-5，不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|．（1）若f（2）＞a+1，求a的取值范围；（2）若对∀a∈（0，+∞），f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣2，﹣1，0，1}C．{0，1}D．{﹣1，0}解：A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝Z，∴A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：A．2．已知i是虚数单位，设z＝，则复数+2对应的点位于复平面（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵z＝＝，∴，则+2对应点为（2，1），在第一象限．故选：A．3．抛物线y＝2x2的焦点坐标为（）A．（1，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）解：整理抛物线方程得x2＝y∴焦点在y轴，p＝∴焦点坐标为（0，）故选：D．4．已知a＝log0.22，b＝0.32，c＝20.3，则（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a 解：∵a＝log0.22＜log0.21＜0，∴a＜0，b＝0.32＝0.09，∵c＝20.3＞20＝1，∴c＞1，∴c＞b＞a，故选：C．5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A 错误；B、α，β垂直于同一个平面γ，故α，β可能相交，可能平行，故B错误；C、α，β平行于同一条直线m，故α，β可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．故选：D．6．若tan（α+）＝﹣3，则sin2α＝（）A．B．1C．2D．﹣解：由tan（α+）＝﹣3，得＝﹣3，解得tanα＝2，所以sin2α＝＝＝＝．故选：A．7．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝4x﹣2C．y＝2x D．y＝﹣4x+2解：函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，可得a＝1，所以函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，f（1）＝2；曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线的斜率为：4，则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程为：y﹣2＝4（x﹣1）．即y＝4x﹣2．故选：B．8．已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（）A．y＝sin（2x+）B．y＝sin（2x+）C．y＝sin（4x+）D．y＝sin（4x+）解：由函数的图象可得A＝1，＝＝﹣，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2×+φ＝π，求得φ＝，故有函数y＝sin（2x+），故选：B．9．下列命题中的真命题有（）A．已知a，b实数，则“”是“log3a＞log3b”的充分而不必要条件B．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p：∃x0≤0，使得（x0+1）e x≤1C．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α．“m∥β”是“α∥β”的充要条件D．“∃x0∈R，＞x02”的否定为“∀x∈R，2x≤x2”解：对于A：已知a，b实数，则“”是“log3a＞log3b”的必要不充分条件，故A错误；对于B：已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p：∃x0＞0，使得（x0+1），故B错误；对于C：设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α．“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件，故C错误；对于D：“∃x0∈R，＞x02”的否定为“∀x∈R，2x≤x2”，故D正确．故选：D．10．如图为某几何体的三视图，已知正视图为一正方形和其内切圆组成，圆半径为1，则该几何体表面积为（）A．16﹣2πB．16+πC．16﹣πD．16+2π解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个长为2，宽为2，高为1的长方体，挖去一个半径为1的半球．故几何体的表面积为S＝4×2×1+2×2+4﹣π•12+2•π•12＝16+π．故选：B．11．自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了．造化钟神秀，阴阳割昏晓．荡胸生曾云，决毗入归鸟．会当凌绝顶，一览众山小．”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等．如图为某工程队将A到D修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示（A，B，C，D在同一水平面内），则A，D间的距离为（）A．km B．km C．km D．km 解：如图所示，连接BD，在△BCD中，∵BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD＝9+25﹣2×3×5×（﹣）＝49，∴BD＝7，又∵，即，解得：sin∠DBC＝，∵∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC，∴cos∠ABD＝cos（90°﹣∠DBC）＝sin∠DBC＝，在△ABD中，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos∠ABD＝16+49﹣2×4×7×＝65﹣12，即A，D间的距离为km，故选：A．12．已知双曲线＝1，O为坐标原点，P，Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ，则△POQ 面积的最小值为（）A．20B．15C．30D．25解：设直线OP的方程为y＝kx，k＞0，且P在第一象限内，代入双曲线＝1，可得P（，k），由OP⊥OQ，可将上面中的k换为﹣，可得Q（k，﹣），所以△POQ面积S＝|OP|•|OQ|＝•••＝10（1+k2）≥10（1+k2）•＝20，当且仅当5﹣4k2＝5k2﹣4，即k＝1时，上式取得等号，所以△POQ面积的最小值为20．故选：A．二、填空题13．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），•（2﹣）＝0，则k等于12．解：∵＝（2，1），＝（﹣1，k），∴2﹣＝2（2，1）﹣（﹣1，k）＝（5，2﹣k），又∵•（2﹣）＝0，∴2×5+1×（2﹣k）＝0，解得k＝12故答案为：1214．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为01．7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01；其中第二个和第四个都是02，重复，舍去；可知对应的数值为08，02，14，07，01，04；则第5个个体的编号为01．故答案为：01．15．的展开式中x2y2项的系数是420解：∵表示8个因式（1+2x﹣）的乘积，要得到含x2y2的项，需其中有2个因式取2x，2个因式取﹣，其余的因式都取1．故展开式中x2y2项的系数为•22•••＝420，故答案为：420．三、解答题（共1小题，满分0分）16．函数f（x）＝e x﹣1﹣e﹣x+1+a sinπx（x∈R，a＞0）存在唯一的零点，则实数a的取值范围是（0，]．解：函数f（x）＝e x﹣1﹣e﹣x+1+a sinπx（x∈R，a＞0）存在唯一的零点，等价于函数φ（x）＝a sinπx与函数g（x）＝e1﹣x﹣e x﹣1只有唯一一个交点，∵φ（1）＝0，g（1）＝0，∴函数φ（x）＝a sinπx与函数g（x）＝e1﹣x﹣e x﹣1唯一交点为（1，0），又∵g′（x）＝﹣e1﹣x﹣e x﹣1，且e1﹣x＞0，e x﹣1＞0，∴g′（x）＝﹣e1﹣x﹣e x﹣1在R上恒小于零，即g（x）＝e1﹣x﹣e x﹣1在R上为单调递减函数，又∵φ（x）＝a sinπx（a＞0）是最小正周期为2，最大值为a的正弦函数，∴可得函数φ（x）＝a sinπx与函数g（x）＝e1﹣x﹣e x﹣1的大致图象如图：∴要使函数φ（x）＝a sinπx与函数g（x）＝e1﹣x﹣e x﹣1只有唯一一个交点，则φ′（1）≥g′（1），∵φ′（1）＝πa cosπ＝﹣πa，g′（1）＝﹣e1﹣1﹣e1﹣1＝﹣2，∴﹣πa≥﹣2，解得a≤，又∵a＞0，∴实数a的范围为（0，]．故答案为：（0，]．三、解答题17．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1，a3的等差中项为10，a2＝8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和S n．解：（Ⅰ）由题意可得：，∴2q2﹣5q+2＝0，∵q＞1，∴，∴数列{a n}的通项公式为．（Ⅱ），∴，＝，上述两式相减可得∴＝．18．为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在[2，3），[3，4），[4，5），…，[8，9），[9，10）（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）．（Ⅰ）由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5，6）的概率；（Ⅱ）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2，3）和[8，9）的人中任选3人，求其中在[8，9）的人数X的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）解：（Ⅰ）因为（0.05+0.1+0.18+a+0.32+0.1+0.03+0.02）×1＝1，所以a＝0.2．因为0.2×1×100＝20，所以该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6）的学生有20人．所以从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6）的概率为．（Ⅱ）由图中数据可知，该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[2，3）和[8，9）的人分别为5人和3人．所以X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝．所以X的分布列为：X0123P所以数学期望E（X）＝．（Ⅲ）样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在[5，6）．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝，AB＝AD＝CD＝2，PD＝PB＝，PD⊥BC．（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；（2）在线段PC上存在点M，使得，求平面ABM与平面PBD所成锐二面角的大小．【解答】（1）证明：因为四边形ABCD是直角梯形，且AB∥DC，∠ADC＝，AB＝AD ＝2，所以BD＝，又CD＝4，∠BDC＝45°，由余弦定理可得，BC＝，所以CD2＝BD2+BC2，故BC⊥BD，又因为BC⊥PD，PD∩BD＝D，PD，BD⊂平面PBD，所以BC⊥平面PBD，又因为BC⊂平面PBC，所以平面PBD⊥平面PBC；（2）设E为BD的中点，连结PE，因为PB＝PD＝，所以PE⊥BD，PE＝2，由（1）可得平面ABCD⊥平面PBD，平面ABCD∩平面PBD＝BD，所以PE⊥平面ABCD，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，4，0），D（2，0，0），P（1，1，2），因为，所以，所以，平面PBD的一个法向量为，设平面ABM的法向量为，因为，，则有，即，令x＝1，则y＝0，z＝﹣1，故，所以，故平面ABM与平面PBD所成锐二面角的大小为．20．已知F1，F2分别为椭圆C1：＝1（a＞b＞0），且焦距是2，离心率是．（1）求椭圆C1的方程；（2）不平行于坐标轴的直线与圆x2+（y+1）2＝1相切，且交椭圆C1于A，B，若椭圆C1上一点P满足，求实数λ2的取值范围．解：（1）由已知可得2c＝2，且，所以a＝2，c＝1，则b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆C1的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），由，则x1+x2＝λx0，y1+y2＝λy0，且…①又因为直线y＝k（x+t），（kt≠0）与圆相切，所以，即k＝）…②联立方程，消去y整理可得：（4+3k2）x2+6k2tx+3k2t2﹣12＝0，所以x，所以y，所以P（﹣），代入①得，②代入③得，t≠±1，t≠0，因为（），（）2++1≠3，所以λ2∈（0，．21．已知函数f（x）＝2x3+3（1+m）x2+6mx（x∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（1）＝5，函数g（x）＝a（lnx+1）﹣≤0在（1，+∞）上恒成立，求整数a的最大值．解：（1）f′（x）＝6x2+6（1+m）x+6m＝6（x+1）（x+m），①当m＝1时，f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增；②当m＞1时，﹣m＜﹣1，令f'（x）＝0⇒x＝﹣m，或x＝﹣1，则有f′（x）＞0⇒x＜﹣m或x＞﹣1，此时函数f（x）为单调递增；f′（x）＜0⇒﹣m＜x ＜﹣1，此时函数f（x）单调递减；③当m＜1时，﹣m＞﹣1，f'（x）＝0⇒x＝﹣m，或x＝﹣1，则有f′（x）＞0⇒x＜﹣1或x＞﹣m，此时函数f（x）为单调递增；f′（x）＜0⇒﹣1＜x ＜﹣m，此时函数f（x）单调递减；综上，m＝1时，f（x）在R上单调递增；m＞1时，f（x）在（﹣∞，﹣m）和（﹣1，+∞）上单调递增，在（﹣m，﹣1）上单调递减；m＜1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）和（﹣m，+∞）上单调递增，在（﹣1，﹣m）上单调递减．（2）由f（1）＝2+3（1+m）+6m＝5得，m＝0，所以f（x）＝2x3+3x2，又因为当x∈（1，+∞）时，lnx+1＞0，所以g（x）＝a（lnx+1）﹣≤0在（1，+∞）上恒成立，即在（1，+∞）上恒成立，此时，令h（x）＝（x∈（1，+∞）），则有a≤h（x）min，∵＝，令F（x）＝2lnx﹣（x＞1），则有F'（x）＝＞0，即得F（x）在（1，+∞）上单调递增，又因为F（2）＝2ln2﹣＜0，F（e）＝2﹣＞0，故可得h'（x）＝0在（1，+∞）上有且只有一个实根x0，且2＜x0＜e，此时，所以当1＜x＜x0时，h'（x）＜0，此时函数h（x）单调递减，当x＞x0时，h'（x）＞0，此时函数h（x）单调递增，因此可得h（x）min＝h（x0）＝＝2x0＜2e．从而可得a＜2x0＜2e，所以：当a＝5时，不等式g（x）≤0不恒成立；当a＝4时，不等式g（x）≤0恒成立；故有实数a的最大值为4．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）已知P（2，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．解：（1）由（t为参数），消去参数t，可得直线l的普通方程为x+y﹣3＝0，由，即，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为；（2）将直线l的参数方程化为，代入代入曲线C的直角坐标方程，得，＞0，＜0，∴＝＝＝．[选修4-5，不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|．（1）若f（2）＞a+1，求a的取值范围；（2）若对∀a∈（0，+∞），f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|，又f（2）＞a+1，可得|2+|+|2﹣a|＞a+1，等价为或或或，解得a≤﹣或﹣＜a＜0或0＜a＜或a∈∅，则a的取值范围为（﹣∞，0）∪（0，）；（2）对∀a∈（0，+∞），f（x）≥m恒成立，可得m≤f（x）min，由f（x）＝|x+|+|x﹣a|≥|x++a﹣x|＝|a+|＝a+≥2，当且仅当﹣1≤x≤1时，上式取得等号，则m≤2，即m的取值范围是（﹣∞，2]．。

四川省射洪市2021届高三下学期5月高考考前模拟测试数学理科试题 Word版含答案【KS5U 高考】

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绝密★启用前【考试时间 5月17日15:00—17:00】射洪市2021年普通高考模拟测试数 学（理工农医类）满分150分。

考试时间120分钟。

考生作答时，须将答案答在答题卡．．．上，在本试题卷或草稿纸上答题无效。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合{}2,1,0,1A =--，()(){}210B x x x =-+≤，则AB = A.{}0,1B.{}1,0,1-C.1,0,1,2D.{}1,0- 2.当132<<m 时，复数)2()3(i i m +-+在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且352a =，99S =，则7a = A.12 B.1 C.12- D.2 4.如图是某统计部门网站发布的《某市2020年2～12月国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格指数（CPI ）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第n 个月与去年第n 个月相比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期相比）2020年居民消费价格月度涨跌幅度下列说法错误的是①2020年9月CPI 环比上升0.5%，同比上涨2.1%②2020年9月CP 1环比上升0.2%，同比无变化③2020年3月CPI 环比下降1.1%，同比上涨0.2%④2020年3月CPI 环比下降0.2%，同比上涨1.7%A.①③B.①④C.②④D.②③5.设βα,是两个不同平面，n m ,是两条不同直线，下列说法正确的是A.若,,//m n m n αβ⊥⊥，则//αβB.若,,m m n αβα⊥⊥⊥，则//n βC.若//,,//m n m n αβ⊥，则αβ⊥D.若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则//m n 6.已知函数()2sin cos 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法错误的是 A.函数()f x 的最小正周期为π B.12x π=-是函数()f x 图象的一条对称轴C.函数()f x 的图象关于点03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，中心对称 D.将函数()22cos sin g x x x =-的图象向右平移512π个单位后得到函数()f x 的图象 7.已知函数()y f x =的图像如右图所示，则此函数可能是 A.2e e ()||2x xf x x x --=+- B.2e e ()||2x x f x x x --=+- C.3||11||()e e x x x x f x --+=- D.3||11||()e e x x x x f x ---=- 8.若,A B 是双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：上关于原点对称的两点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记,PA PB 的斜率分别为12,k k ，且1214k k =，则双曲线C 的离心率为 5B.23C.2D.59.皮埃尔•德•费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学作出了重大贡献，其中在1636年发现了：若p 是质数，且p a ,互质，那么a 的)1(-p 次方除以p 的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理．依此定理，若在数集}8,6,5,3,2{中任取两个数，其中一个作为p ，另一个作为a ，则所取两个数符合费马小定理的概率为 A.53 B.209 C.52 D.21 10.已知,a b 是不共线向量，设2,2,3,3OA a b OB a b OC a b OD a b =+=+=-=-,若△OAB 的面积为3，则△OCD 的面积为A.8B.6C.5D.411.定义函数]][[)(x x x f =，其中][x 表示不超过x 的最大整数，例如：1]3.1[=，2]5.1[-=-，2]2[=.当))(,0[*N n n x ∈∈时，)(x f 的值域为n A .记集合n A 中元素的个数为n a ,则∑=-2020211i i a 的值为 A.20214040 B.20212019 C.20202019 D.10102019 12.已知函数()12f x x a x=+-，若存在相异的实数()12,,0x x ∈-∞，使得()()12f x f x =成立,则实数a 的取值范围为),2.(),22.()2,.()22,.(+∞+∞--∞--∞D C B A第Ⅱ 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.等比数列{}n a 公比为2，321=+a a ，则=+32a a ▲ .14.622⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式的常数项是 ▲ .（用数字作答） 15.已知函数)1(log )(22x x x f -+=，若对任意的正数b a ,，满足)13()(-+b f a f 0=则ba 13+的最小值为 ▲ . 16.我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童ABCD EFGH -有外接球，且43,4,26,62AB AD EH EF ====，点E 到平面ABCD 距离为4，则该刍童外接球的表面积为 ▲ ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（12分）记ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知)cos cos (3cos 2B c C b A a +=．（1）求角A 的大小；（2）若32=b ，BC 边上的高为3，求c 的值．▲18.（12分）如图所示，已知长方形ABCD 中，222AB AD ==，M 为DC 的中点，将ADM ∆沿AM 折起，使得AD BM ⊥．（1）求证：平面ADM ⊥平面ABCM ；（2）若E 点满足BD BE 32=， 求二面角D AM E --的大小？▲19.（12分）在创建“全国文明城市”过程中，我市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：组别 [30，40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]频数 2 13 21 25 24 11 4（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分(),198Z N μ，μ近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表），①求μ的值；②利用该正态分布，求()74.588.5P z <≤；▲（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； 赠送话费的金额（单位：元） 2050 概率 43 41 现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列与数学期望．参考数据与公式：14198≈．若),(~2σμN X ，则6826.0)(=+≤<-σμσμX P ，9544.0)22(=+≤<-σμσμX P ，9974.0)33(=+≤<-σμσμX P .▲20.（12分）已知抛物线)0(2:2>=p px y C ，点F 为抛物线的焦点，抛物线内部一点)1,1(E ，抛物线上任意一点P 满足||||PE PF +的最小值为 2.直线m x y l +=31:与抛物线C 交于B A ,两点，OAB ∆的内切圆圆心恰是)1,1(E .（1）求抛物线的方程； l21.（12分）已知函数.,0,)(ln 1)(,ln 1)(R m x x xx x g x m x x x f m ∈>-+=--=其中 （1）若函数)(x f 无极值，求m 的取值范围；（2）当)(I m 取中的最大值时，求函数)(x g 的最小值；（3）若不等式.)11(*的取值范围恒成立，求实数对任意的a N n e a n ∈≤+-请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题。

2021年全国统一高考数学试卷(理科)答案及解析

2021年全国统一高考数学试卷(理科)答案及解析

y2 b2
1(a
b
0) 的上顶点，若 C
上的任意一点
P 都满足，
PB 2b ，则 C 的离心率的取值范围是（ ）
2 A.[ ,1)
2
B.[ 1 ,1) 2
C. (0, 2 ] 2
D. (0, 1 ] 2
答案：
C
解析：
由题意，点 B(0,b) ，设 P(x0, y0 ) ，则
x02 a2
y02 b2
，所以 z 1 i . 2.已知集合 S {s | s 2n 1,n Z} ， T {t | t 4n 1, n Z} ，则 S T ( ) A. B. S
C. T D. Z
答案： C 解析：
s 2n 1， n Z ； 当 n 2k ， k Z 时， S {s | s 4k 1, k Z} ；当 n 2k 1， k Z 时，
m AM
2 x y 0 .令 x 2
2 ，的 m (
2,1, 2) .设平面 PMB 的一个法向量为
n (x, y, z) ，
则
n
CB
2x 0
.令 y 1， 的 n (0,1,1) .所 以
n PB 2x y z 0
cosm, n
m n
3
3 14 ，所以二面角 A PMN B 的正弦值为
表目距的差 C. 表高 表距 表距
表目距的差 D. 表高 表距 表距
表目距的差
答案：
A
解析：
连接 DF 交 AB 于 M ，则 AB AM BM .
记 BDM
， BFM
，则
MB tan
MB tan
MF
MD
DF
.
而 tan FG ， tan ED .所以

2021年四川省泸州市泸县五中高考数学一诊试卷(理科)(解析版)

2021年四川省泸州市泸县五中高考数学一诊试卷(理科)(解析版)

2021年四川省泸州市泸县五中高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|y＝log2（x﹣2）}，B＝{x|x2≥9}，则A∩（∁R B）＝（）A．[2，3）B．（2，3）C．（3，+∞）D．（2，+∞）2．已知命题p：∀x≥0，e x≥1或sin x≤1，则￢p为（）A．∃x＜0，e x＜1且sin x＞1B．∃x＜0，e x≥1或sin x≤1C．∃x≥0，e x＜1或sin x＞1D．∃x≥0，e x＜1且sin x＞13．已知α是第二象限角，，则cos（π+α）＝（）A．B．C．D．4．我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积公式”为S ＝．若a2sin C＝24sin A，a（sin C﹣sin B）（c+b）＝（27﹣a2）sin A，则用“三斜求积公式”求得的S＝（）A．B．C．D．5．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．6．角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点P（4，y），且sinθ＝﹣，则tanθ＝（）A．﹣B．C．﹣D．7．已知函数f（x）＝3x﹣（）x，则f（x）（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数8．某品牌牛奶的保质期y（单位：天）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y＝a kx+b（a ＞0，a≠1），该品牌牛奶在0℃的保质期为270天，在8℃的保质期为180天，则该品牌牛奶在24℃的保质期是（）A．60天B．70天C．80天D．90天9．若0＜a＜b＜1，x＝a b，y＝b a，z＝b b，则x、y、z的大小关系为（）A．x＜z＜y B．y＜x＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x10．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，BA＝BC，∠ABC＝90°，PA＝2，若三棱锥P ﹣ABC的体积为6，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．18πB．24πC．36πD．40π11．若对于任意的0＜x1＜x2＜a，都有，则a的最大值为（）A．2e B．e C．1D．12．已知函数f（x）满足当x≤0时，2f（x﹣2）＝f（x），且当x∈（﹣2，0]时，f（x）＝|x+1|﹣1；当x＞0时，f（x）＝log a x（a＞0，且a≠1）．若函数f（x）的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是（）A．（625，+∞）B．（4，64）C．（9，625）D．（9，64）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)

2021年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)

2021 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（理）一、选择题1.设2(z +z) + 3(z -z) = 4 + 6i ，则z =( ）A.1 - 2iB.1 + 2iC.1 +iD.1 -i答案：C解析：设z =a +bi ，则 z =a -bi ，2(z +z) + 3(z -z) = 4a + 6bi = 4 + 6i ，所以 a = 1 ，b = 1，所以 z = 1 +i .2.已知集合S = {s | s = 2n +1, n ∈Z} ，T = {t | t = 4n +1,n ∈Z}，则S T =()A. ∅B. SC. TD. Z答案：C解析：s = 2n +1，n ∈Z ；当n = 2k ，k ∈Z 时，S = {s | s = 4k +1, k ∈Z} ；当n = 2k +1，k ∈Z 时，T =TS = {s | s = 4k + 3, k ∈Z}.所以T Ü S ，S.故选 C.3.已知命题p : ∃x ∈R ﹐sin x < 1 ；命题q : ∀x ∈R,e|x| ≥1 ，则下列命题中为真命题的是（）A.p ∧qB.⌝p ∧qC.p ∧⌝qD.⌝( p ∨q)答案：A解析：根据正弦函数的值域sin x ∈[-1,1] ，故∃x ∈R ，sin x < 1 ，p 为真命题，而函数 y =y =e|x|为偶函数，且x ≥ 0 时，y =e|x| ≥1，故∀x ∈R ，y =e|x| ≥1恒成立.，则q 也为真命题，所以p ∧q 为真，选 A.4.设函数f ( x) =1-x，则下列函数中为奇函数的是（）1+xA.f ( x -1) -1B.f ( x -1) +1C.f ( x +1) -1D.f ( x +1) +1答案：B解析：1-x 2 2f (x) ==-1+1+x1+x ，f (x) 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到g(x) =为奇x函数.5.在正方体ABCD -A1B1C1D1中，P为B1D1 的中点，则直线PB 与AD1所成的角为（）A. π2 B. π3 C. π4 D. π65 4答案：D解析：如图， ∠PBC 1 为直线 PB 与 AD 1 所成角的平面角.易知∆A 1BC 1 为正三角形，又 P 为 A 1C 1 中点，所以∠PBC=π.166. 将5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑､冰球和冰壶4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到1 个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60 种B. 120 种C. 240 种D. 480 种 答案：C解析：所求分配方案数为C2A 4 = 240 .7. 把函数 y = f ( x ) 图像上所有点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再把所得曲 2线向右平移 π 个单位长度，得到函数 y = sin( x - π) 的图像，则 f ( x ) = （）3 4 A. sin( x - 7π )2 12 B. sin( x + π )2 12C. sin(2x - 7π)12 D. sin(2x +π) 12答案：B解析：逆向：y= sin(x -π左移ππ) −−−3→y=sin(x +) −横−坐−标变−为原−来的−2倍−→y = sin(1x +π) .4 12 2 12故选 B.8.在区间(0,1) 与(1, 2) 中各随机取1 个数，则两数之和大于7的概率为（）4A.79B.2332 C.932 D.29答案：B解析：由题意记x ∈ (0,1)，y ∈ (1, 2) ，题目即求x +y >7的概率，绘图如下所示. 4S 1⨯1-1AM ⋅AN 1-1⨯3⨯3故P =阴= 2 = 2 4 4 =23.S正ABCD1⨯1 1 329.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.如图，点E, H ,G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”. GC 与EH 的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB =（）A.表高⨯表距+表高表目距的差B.表高⨯表距-表高表目距的差C.表高⨯表距+表距表目距的差D.表高⨯表距-表距表目距的差答案：A解析：连接 DF 交 AB 于M ，则 AB =AM +BM .记∠BDM =α，∠BFM =β，则MBtan βMBtanα=MF -MD =DF .而tan β=FG，tanα=ED.所以GC EHMB-MB=MB(1-1) =MB ⋅(GC-EH) =MB ⋅GC -EH. tan β tanα tan β tanα FG ED ED故MB = ED ⋅DF =表高⨯表距，所以高AB =表高⨯表距+表高.GC -EH 表目距的差表目距的差-10.设a≠0 ，若x =a 为函数f(x)=a(x -a)2 (x -b)的极大值点，则A.a <bB.a >bC.ab <a2D.ab >a2答案：D解析：若a > 0 ，其图像如图（1），此时，0 <a <b ；若a < 0 ，时图像如图（2），此时，b <a < 0 . 综上， ab <a2.x2 +y2=>>11.设B 是椭圆C ：a2 b2 1(a b 0) 的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足，PB ≤ 2b ，则C 的离心率的取值范围是（）A.[2,1) 21[ ,1)2 B.2 1.04 C.(0, 2] 21 (0, ]2答案：C解析：x 2y2y 2由题意，点 B (0, b ) ，设 P (x , y ) ，则 0 + 0 = 1⇒ x 2 = a 2 (1- 0 ) ，故 0a 2b 22y 2b 2c 2 PB = x 2 + ( y - b )2 = a 2(1- 0) + y 2 - 2by + b 2 = - y 2 - 2by + a 2 + b 2 ，0 0y 0 ∈[-b ,b ] .b 2 0 0 b 3b 2 0c由题意，当 y = -b 时，PB 2最大，则- ≤ -b ，b 2 ≥ c 2 ，a 2 - c 2 ≥ c 2 ，c = ≤ ，c ∈(0, 0c 2a 22].212. 设a = 2 ln1.01，b = ln1.02 ，c = 1，则（）A. a < b < cB. b < c < aC. b < a < cD. c < a < b答案：B解析:设 f (x ) = ln(1+ x ) -+1，则b - c = f (0.02) ，易得f '(x ) =1 -1+ x当 x ≥ 0 时，1+ x =≥ ，故 f '(x ) ≤ 0 .所以 f (x ) 在[0, +∞) 上单调递减，所以 f (0.02) < f (0) = 0 ，故b < c .1+ 2x 2 1+ 2x = 1+ 2x - (1+ x ) (1+ x ) 1+ 2x(1+ x )2 1+ 2x D.1+ 4x 42 1+ 4x 1+ 4x - (1- x ) (1+ x ) 1+ 4x3y 再设 g (x ) = 2 l n(1+ x ) -+1，则a - c = g (0.01) ，易得g '(x ) =2 1+ x - = 2 ⋅.当0 ≤ x < 2 时， ≥ = 1+ x ，所以 g '(x ) 在[0.2) 上≥ 0 . 故 g (x ) 在[0.2) 上单调递增，所以 g (0.01) > g (0) = 0 ，故 a > c . 综上， a > c > b .二、填空题13. 已知双曲线 C ：x 2 - 2m= 1(m > 0) 的一条渐近线为 3x + my = 0 ， 则 C 的焦距为.答案：4解析：易知双曲线渐近线方程为 y = ± bx ，由题意得 a 2 = m ， b 2 = 1 ，且一条渐近线方程为 ay =- mx ，则有m = 0 （舍去）， m = 3 ，故焦距为 2c = 4 .14. 已知向量a = (1,3) ， b = (3, 4) ，若(a - λb ) ⊥ b ，则λ =.答案：3 5解析：由题意得(a - λb ) ⋅ b = 0 ，即15 - 25λ = 0 ，解得λ = 3.515. 记 ∆ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c，面积为a 2 + c 2 = 3ac ，则b =.， B = 60︒ ，答案：2解析：1+ 4x 1+ 2x + x 2 3 23 2 5 S= 1 ac sin B = 3ac = ，所以 ac = 4 ，∆ABC2 4由余弦定理， b 2 = a 2 + c 2 - ac = 3ac - ac = 2ac = 8 ，所以b = 2 .16. 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.答案：②⑤或③④解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面 PAC ⊥ 平面 ABC ，PA = PC =2 ，BA = BC =，AC = 2 ，俯视图为⑤.俯视图为③，如图（2）， PA ⊥ 平面 ABC ， PA = 1， AC = AB =5 ， BC = 2 ，俯视图为④.1三、解答题17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10 件产品，得到产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和 y ， 样本方差分别己为 s 2 和 S 2. 1 2（1）求x ， y ， s 2， s 2：12（ 2 ） 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 ( 如果y - x ≥ 2 ， 否则不认为有显著提高 ) 。

四川省2021年高考数学模拟试卷(理科)(5月份)C卷

四川省2021年高考数学模拟试卷(理科)(5月份)C卷

四川省2021年高考数学模拟试卷（理科）（5月份）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若集合，集合，则（）A . (0,+)B . (1,+)C .D .2. （2分）(2018·石嘴山模拟) 设复数，则（）A . 4B . 2C .D . 13. （2分）(2019·黄山模拟) 已知向，满足| |=2，| |= ，且⊥（ +2 ），则在方向上的投影为（）A . 1B . -C .D . -14. （2分）早上从起床到出门需要洗脸刷牙（5min）、刷水壶（2min）、烧水（8min）、泡面（3min）、吃饭（10min）、听广播（8min）几个步骤．从下列选项中选出最好的一种流程（）A . 1．洗脸刷牙、2．刷水壶、3．烧水、4．泡面、5．吃饭、6．听广播B . 1．刷水壶、2．烧水同时洗脸刷牙、3．泡面、4．吃饭、5．听广播C . 1．刷水壶、2．烧水同时洗脸刷牙、3．泡面、4．吃饭同时听广播D . 1．吃饭同时听广播、2．泡面、3．烧水同时洗脸刷牙、4．刷水壶5. （2分） (2017高一下·新乡期中) 已知函数，x∈[﹣π，0]，则f（x）的最大值为（）A .B .C . 1D . 26. （2分） (2018高二下·辽宁期末) 已知 , 则（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高三上·大庆期中) 执行如图所示的程序框图，输出的S是（）A . 10B . 15C . 20D . 358. （2分） (2020高一下·北京期中) 在△ 中，已知，，，则c＝（）A . 4B . 3C .D .9. （2分） (2016高三上·北京期中) 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）B .C . 4D .10. （2分） (2019高一下·广东期末) 已知正三棱锥，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若，，两两互相垂直，则球心到截面的距离为（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高二下·黑龙江开学考) 设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A .B . 5C .D .12. （2分） (2017高二上·清城期末) 为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A . 150B . 180D . 280二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2018高三上·哈尔滨期中) 设变量满足约束条件则的最大值为________．14. （2分） (2020高一上·台州期末) 已知，则 ________，________.15. （1分）已知函数，关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是________．16. （1分） (2020高二上·天津期中) 过直线上一点作圆：的两条切线的夹角为60°，则点的坐标为________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分） (2020高一下·江西期中) 在等差数列中，， .（1）求数列的通项公式；（2）设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求的前项和 .18. （10分） (2019高一下·南阳期中) 某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析,得出下表数据.x4578y2356相关公式：（1）请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 ;（2）试根据（1）求出的线性回归方程,预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数.19. （10分） (2016高三上·六合期中) 在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）设M为棱CC1的点，且满足BM⊥B1D，求证：平面AB1D⊥平面ABM．20. （5分）(2017·仁寿模拟) 已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）经过点（1，），离心率为，点A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当⊥ =0时，求△OPQ面积的最大值．21. （10分） (2019高三上·铁岭月考)（1）讨论函数的单调性，并证明当 >0时，（2）证明：当时，函数有最小值.设g（x）的最小值为，求函数的值域.22. （10分） (2019高二下·广东期中) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.23. （5分）(2017·黑龙江模拟) 已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2，；（Ⅱ）若a＞0，求证：f（ax）﹣af（x）≤f（a）．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。

四川省师范大学附属中学2021届高三下学期5月模拟考试数学(理)试卷

四川省师范大学附属中学2021届高三下学期5月模拟考试数学(理)试卷

四川省师范大学附属中学2021年高三下学期5月模拟考试数学（理）试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{|{|}M x y N x x a ===≤，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．02a ≤≤B ．0a ≤C ．2a ≤D ．2a ≤ 2．若1z i =-，则复数2z z +在复平面上对应的点的坐标为（）A ．(1,3)-B ．(3,1)-C ．(1,1)D ．(1,1)- 3．5(12)x -的展开式中含3x 的系数为（）A ．80-B ．80C ．10D ．10-4．4．运行下面的程序，如果输入的n 是6，那么输出的p 是（）A ．120B ．720C ．1440D ．50405．已知{}n a 为等比数列且满足623130,3a a a a -=-=，则数列{}n a 的前5项和5S =（） A ．15B ．31C ．40D ．121 6．已知3(0,),sin()sin()24410πππααα∈-+=-，则tan α=（）A ．12B ．2CD 7．已知函数()f x 的定义域为R 且满足()(),()(2)f x f x f x f x -=-=-，则5ln 6248(log 4log 8log 16)f e ++-=（）A ．1B ．1-C ．32D ．08．某锥体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A B C D ．32+ 9．已知点A B C 、、在球O 的表面上且π1,33A b c ===，，三棱锥O ABC -的体积为2，则球O 的表面积为（ ） A ．16πB ．32πC ．20πD ．5π 10．设函数()f x 的定义域为D ，若()f x 满足条件：存在[,]()a b D a b ⊆<，使()f x 在[,]a b 上的值域也是[,]a b ，则称为“优美函数”，若函数2()log (4)x f x t =+为“优美函数”，则t 的取值范围是（）A ．1(,)4+∞B ．(0,1)C ．1(0,)2D ．1(0,)4 11．在ABC ∆中,4,3A b cEF π=+=、为边BC 的三等分点，则AE AF ⋅的最小值为（）A B ．83 C ．269 D ．312．已知双曲线221221(0,0)x y C a b a b：-=>>，抛物线224C y x =：，1C 与2C 有公共的焦点F ，1C 与2C 在第一象限的公共点为M ，直线MF 的倾斜角为θ，且12cos 32a aθ-=-，则关于双曲线的离心率的说法正确的是（） A ．仅有两个不同的离心率12,e e 且12(1,2),(4,6)e e ∈∈B ．仅有两个不同的离心率12,e e 且12(2,3),(4,6)e e ∈∈C ．仅有一个离心率e 且(2,3)e ∈D ．仅有一个离心率e 且(3,4)e ∈二、填空题 13．已知3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为_______．14．已知x y 、满足20{0x y x y -≥-≤，则12z x y =-+的取值范围是__________． 15．已知圆22(3)(4)25C x y -+-=：，圆C 上的点到直线340(0)l x y m m ：++=<的最短距离为1，若点(,)N a b 在直线l 位于第一象限的部分，则11a b+的最小值为__________．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =且21320n n n n S S S a ++-++=（n *∈N ），记12111n nT S S S =+++（n *∈N ），若(6)n n T λ+≥对n *∈N 恒成立，则λ的最小值为__．三、解答题17．已知向量()())2sin ,sin cos ,,sin cos (0)x x x x x x λλλ=+=->a b ，函数()f x a b =⋅的最大值为2.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）在ABC 中，内角、、A B C 的对边分别为2,cos 2b a a b c A c-=、、，若()0f A m ->恒成立，求实数m 的取值范围.18．一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数:31(),f x x =2()5,xf x =3()2,f x =421(),21x x f x -=+5()sin(),2f x x π=+6()cos f x x x =.（Ⅰ）从中任意拿取2张卡片,其中至少有一张卡片上写着的函数为奇函数,在此条件下,求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数的分布列和数学期望.19．如图，在菱形ABCD 中，60,ABC AC ∠=与BD 相交于点O ，AE ⊥平面ABCD ，//,2CF AE AB AE ==．（I ）求证：BD ⊥平面ACFE ；（II ）当直线FO 与平面BDE 所成的角为45时，求二面角B EF D --的余弦角．20．已知椭圆221221(0)x y C a b a b +=>>：与椭圆22214x C y +=：有相同的离心率，且经过点(2,1)P -.（I ）求椭圆1C 的标准方程；（II ）设点Q 为椭圆2C 的下顶点，过点P 作两条直线分别交椭圆1C 于A B 、两点，若直线PQ 平分APB ∠，求证：直线AB 的斜率为定值，并且求出这个定值.21．已知函数2()ln x xbe f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为5(1)y e x e=-+（其中 2.71828e =是自然对数的底数）. （I ）求实数a b 、的值；（II ）求证：()1f x >.22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为{x =1+√2cosαy =−1+√2sinα（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为√2ρsin(θ+π4)=1.（I ）写出曲线C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；（II ）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求ΔOAB 的面积.23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()51()f x x x x R =+--∈.（I ）解关于c 的不等式()f x x ≤；（II ）证明：记函数()f x 的最大值为k ，若lg lg(2)lg(4)a b a b k +=++，试求ab 的最小值.参考答案1．C【解析】{}{}{}2|20|02,|,M x x x x x N x x a M N =-≥=≤≤=≤⊆ ，2a ∴≤ ，故选C. 2．A【解析】 因为1z i =-，()()221i 1i 1i 2i=13i z z ∴+=-++=--- , 复数2z z +在复平面上对应的点的坐标为()1,3- ,故选A.3．A【解析】 ()512x - 的展开式通项为()152r r r r T C x +=- ，令3r = ，3x 的系数为()35280r C -=- ，故选A.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r r r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.4．B【解析】试题分析：由题意：第一次循环：p=1，k=2；第二次循环：p=2，k=3；第三次循环：p=6，k=4；第四次循环：p=24，k=5；第五次循环：p=120，k=6；第六次循环：p=720，k=7；不满足条件，退出循环．故选B ．考点：此题考查循环结构点评：解决本题的关键是弄清循环次数 视频5．B【解析】因为{}n a 为等比数列且满足623130,3a a a a -=-=，51121130{3a q a q a q a -=∴-= ，可得515112{,312,12a S q =-===- ，数列{}n a 的前5项和531S =,故选B. 6．B【解析】()22222211cos sin cos sin 4422cos sin sin sin ππαααααααα-⎛⎫⎛⎫-+=-=⨯ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ 2211tan 321tan 10αα-=⨯=-+ ,因为tan 0α> ，得tan 2α= ，故选B. 7．D【解析】由()()f x f x -=- ，可得()00f = ，由()()2f x f x =- ，得()()()422f f f =-=- ，而()()200f f == ，所以()()400f f =-= ，()5ln 6222log 4log 8log 1640f e f ⎛⎫++-== ⎪⎝⎭，故选D. 8．A【解析】试题分析：由题意得，几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1，四个侧面都是直角梯形，其中三角形PBC 的高为PB ==，其侧面积为1111112112222PAB PBC PCD PAD S S S S S ∆∆∆∆=+++=⨯⨯⨯+⨯⨯=．考点：几何体的三视图及四棱锥的侧面积．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，根据给定的三视图可知原几何体为底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1，四个侧面都是直角梯形的四棱锥，即可求解该几何体的侧面积． 9．C【解析】1132ABC S ∆=⨯⨯=,由132V h == ，得h = ，由余弦定理得22211321372a =+-⨯⨯⨯= ，即a =，设ABC ∆ 外接圆半径为r ，由正2r r =⇒=，设球半径为R ，则222R 5h r =+= ，则球表面积为24R 20ππ= ，故选C.10．D【解析】因为函数()()2log 4x f x t =+ 是定义域R 上的单调增函数，由题意得，若函数为“优美函数”，则()f x x = 至少有两个不相等的实数，即()2log 4x t x += ，整理得()242,220x x x x t t +=∴-+= ，有两个实根，20x > ，令()220,0x t λλλλ=>∴-+= ，有两个不相等的正实根，140{0t t ∆=->∴> ，解得，104t <<，即10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选D. 11．C【解析】 ()22122125···333399AE AF AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()()22222251212126992969649b c c b bc b c bc b c +=++⨯=+-≥+-⨯= （b c = 时等号成立），即AB AC 的最小值为269, 故选C. 【易错点晴】本题主要考查平面向量的基本运算以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.12．C【解析】24y x = 的焦点为()1,0 ，∴ 双曲线交点为()1,0，即1c = ，设M 横坐标为0x ，则0000011,1,121p a x ex a x x a x a a++=-+=-=- ，001111112cos 1132111a x a a a x aa θ+----===++-+- ， 可化为2520a a -+= ，()22112510,2510g e e e a a ⎛⎫⨯-⨯+==-+= ⎪⎝⎭ ， ()()()()200,10,20,30,1,2510g g g g e e e >∴-+= 只有一个根在()2,3 内，故选C.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式，从而求出e 的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于e 的等式，最后解出e 的值.13．35【解析】从3 名男生中任取2 人“捆”在一起记作,(A A 共有22326C A = 种不同排法），剩下一名男生记作B ，将,A B 插入到3 名女生全排列后所成的4 个空中的2个空中，故有22233243432C A A A = 种，3位男生和3位女生共6 位同学站成一排，有66720A =种，3∴ 位男生中有且只有2 位男生相邻的概率为432=72035 ，故答案为35. 14．11[,]162-【解析】由2{x y x y -≥-≤ 表示的区域为y x = 与2y x 围成的曲边形，平移直线12y x z =+ ，当直线过()1,1 点z 时最大值为12，当直线与2yx 相切时，z 最小，由2{12y x y x z==+ ，得2102x x z -+= ，由0∆= 得，116z =- ，12x y ∴-+ 的取值范围是11,162⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ ，故答案为11,162⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.15．755+ 【解析】0m < ，所以由圆C 上的点到直线C51=，可得55,3455m a b =-∴+=，11113414375555a b b a a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+=+⨯=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（43b a a b = 时等号成立） ，即11a b +，故答案为16．16【详解】()21211322n n n n n n n n n S S S a S S S S a +++++-++=---+ 2120n n n a a a ++=-+= , 即 {}211,n n n n n a a a a a +++-=-∴ 为首项为1 ，公差为211-= 的等差数列，()()1111,2n n n n a n n S +=+-⨯==，()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，11111221 (223)11n n T n n n ⎛⎫=-+-++-=⎪++⎝⎭ ，由()6n n T λ+≥ 得()()226167n n n n n λ≥=++++ ，因为2n = 或3n = 时，267n n ++ 有最大值16 ，16λ∴≥ ，即λ 的最小值为16，故答案为16.【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭1k=；③()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；④()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 17．（1）5[]()36k k k Z ππππ++∈，.（2）1m ≤- 【解析】试题分析：（1）运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式及两角差的正弦公式，化简得到()2sin 26f x x πλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，运用正弦函数的最值可得1λ=，运用正弦函数的减区间即可得到所求区间；（2）结合余弦定理可得1cos 2C =，求出C ，得到A 的范围，由正弦函数的单调性求出()f A 的范围即可.试题解析：（1）函数()•23sin cos f x a b x x λ==+()sin cos x xλ+ ()sin cos x x -()22sin cossin cos x x x x λ=+-)cos2x x λ=-12sin2cos222x x λ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2sin 26x πλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()f x 的最大值为2，所以解得1λ=.则()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由3222262k x k πππππ+≤-≤+， 可得：3522223k x k ππππ+≤≤+，536k x k ππππ+≤≤+， 所得函数()f x 的单调减区间为()536k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，. （2）由2222cos 22b a b c d A c bc-+-==，可得22222b ab b c a -=+-，即222b a c ab +-=. 解得1cos 2C =，即3C π=. 因为203A π<<，所以72666A πππ-<-<，1sin 2126A π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，因为()2sin 206f A m A m π⎛⎫-=--> ⎪⎝⎭恒成立，则2sin 26A m π⎛⎫-> ⎪⎝⎭恒成立，即1m ≤-.18．（Ⅰ）14P =； (Ⅱ)ξ的分布列为【解析】试题分析：（Ⅰ）由于()31f x x =为奇函数，()25xf x =为偶函数，()32f x =为偶函数，()42121x xf x -=+为奇函数，()5sin()2f x x π=+为偶函数，()6cos f x x x =为奇函数 ，可得：所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数;得到基本事件总数、满足条件的基本事件个数. (Ⅱ)可取1，2，3，4．计算概率：，，可得的分布列，进一步得试题解析：（Ⅰ）()31f x x =为奇函数，()25xf x =为偶函数，()32f x =为偶函数，()42121x xf x -=+为奇函数，()5sin()2f x x π=+为偶函数，()6cos f x x x =为奇函数 3分 所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数;故基本事件总数为112333C C C +满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，故满足条件的基本事件个数为23C故所求概率为2311233314C P C C C ==+6分 (Ⅱ)可取1，2，3，4．，；9分故的分布列为12分考点：1.函数的奇偶性；2.古典概型；3.随机变量的分布列与数学期望.19．（I）见解析；（II）14．【解析】试题分析：（I）根据ABCD是菱形可得BD AC⊥，根据线面垂直的性质可得BD AE⊥，从而根据线面垂直的判定定理可得结论；（II）以OA为x轴，以OB为y轴，以OM为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面DEF与平面BEF的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（I）BD⊥平面ACFE{BD AC ABCDBD AE AE ABCD⊥⇐⇐⊥⇐⊥菱形平面；（II）取EF的中点为M，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OM为z轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()() ,0,,1,0,,1,0,20,23,0,1,3,2B D F h E DB DE-⇒==，设平面BDE的法向量()11,,0n x y z DB n=⇒⋅=和()11102,0,1cos 32DE n n n OF h ⋅=⇒=⇒⋅==⇒= ()()()1,0,3,1,3,2,1,F BE BF ⇒-=-=-，设平面BEF 的法向量()22,,0n x y z BE n =⇒⋅=和()()()2203,5,23,1,3,2,1,BF n n DE DF ⋅=⇒=---==-，设平面DEF 的法向量()33,,0n x y z DE n =⇒⋅=和()3332103,5,3cos 4DF n n n n ⋅=⇒=-⇒⋅=⇒二面角B EF D --的余弦值为14． 【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定与性质及利用空间向量求二面角的大小，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．（I ）221182x y C +=：；（II ）12-． 【解析】试题分析：（I ）根据题意列出关于a 、b 、c 的方程组，结合性质222a b c =+ ，222c a b =+ ，求出a 、b 、c ，即可得结果；（II ）y kx m =+与()22222114848082x y k x kmx m +=⇒+++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则根据韦达定理及过两点直线的斜率公式可得()2214410m k k k ++++=恒成立12k ⇒=-⇒直线AB 的斜率为定值12-．试题解析：（I ）椭圆221182x y C +=：；（II ）由直线PQ 平分APB ∠和()()0,1,2,1.00PQ PA PB Q P k k k --⇒=⇒+=，而由直线:ABy kx m =+与()22222114848082x y k x kmx m +=⇒+++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222848,1414km m x x x x k k -+=-=++，由12112111100222PA PB y y kx m k k x x x +++++=⇒+=⇒+--- ()()()()2212122102124102144102kx m kx x m k x x m m k k k x ++=⇒++-+-+=⇒++++=-恒成立12k ⇒=-⇒直线AB 的斜率为定值12-． 【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程方程、圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21．（I ）1a =；5b =.（II ）见解析. 【解析】试题分析：（I ）由()()1{'1bf e f e== 可得结果；（II ）要证明()1f x >，即证明2ln 5x x x e xe --+>，而函数ln y x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单减，在1,e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上单增，同时函数x xy e=在()0,1上单增，在()1,∞上单减，因此只须证明21ln 52xx x e x xe --⎫+>+≥⎪⎭在()0,1上恒成立即可.试题解析：（I ）；（II ）要证明()1f x >，即证明2ln 5x x x e xe --+>，而函数ln y x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单减，在1,e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上单增，同时函数x x y e =在()0,1上单增，在()1,∞上单减（此处证明略），因此只须证明21ln 52xx x ex xe --⎫+>+≥⎪⎭在()0,1上恒成立． 首先证明()21ln 502g x x x ex -⎫=++>⎪⎭，因()()001ln 0ln g x x g x x =+⇒=⇒''=1-()22000000011(01)ln 51522x g x x x e x x e x --⎫⎫⎫<<⇒=++=++=⎪⎪⎪⎭⎭⎭()()00250x g x g x e -⇒≥>； 然后证明()102xh x xex -⎫=-+≤⎪⎭，因()()120(01)x x x h x h x x e e --=⇒='<'<<'⇒ ()h x ' 在()0,1上单减，且()102h h x ⎛⎫=⎪⎭'⇒⎝在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单减，()102h x h ⎛⎫⇒≤= ⎪⎝⎭．综上可知，()1f x >成立．22．（I ）ρ=2√2cos(θ+π4)， x +y −1=0．（II ）√32．【解析】试题分析：（1）利用平方法可得到曲线C 的普通方程，在根据ρ2=x 2+y 2,ρcosθ=x,ρsinθ=y 得曲线C 的极坐标方程和直线l 的极坐标方程；（2）根据弦长公式及点到直线的距离公式，即可求ΔOAB 的面积.试题解析：（I ）曲线C 的标准方程为(x −1)2+(y +1)2=2⇒x 2+y 2−2x +2y =0⇒ρ=2cosθ−2sinθ⇒ρ=2√2cos(θ+π4)，直线l 的极坐标方程√2ρsin(θ+π4)=1⇒ρ(sinθ+cosθ)=1⇒x +y −1=0．（II ）圆C 的圆心到直线l 的距离为√22⇒|AB|=√6且d O−l =√22⇒S ΔOAB =√32．23．（I ）{|646}x x x 或-≤≤-≥；（II ）9. 【解析】试题分析：（1）分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果；（2）根据函数的单调性可求得6k =，原等式变形为246ab a b =++，然后利用基本不等式求实数ab 的最小值.试题解析：（I ）由5x ≤-和()()5165x x x x -++-≤⇒-≤≤-由51x -<<和()()51x x x ++-≤⇒54x -<≤-，由1x ≥和()()516x x x x +--≤⇒≥，因此{|646}x x x -≤≤-≥或；（II ）易知6k =（证明略），()()lg lg 2lg 424626a b a b k ab a b ab +=++⇒=++⇒≥⇒)3031039ab ab -≥⇒≥⇒≥⇒≥．。

四川省2021届高三数学五月高考押题卷试题（一）理 新人教A版(1)

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四川省2021届高三数学五月高考押题卷试题（一）理 新人教A 版两部份．本试卷总分值为150分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试终止后，交回答题纸．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合}0)4)(1({＞--=x x x A ，}1log {2＜x x B =，那么集合=⋂B A C R )( A ．}41{≤≤x x B ．}20{＜＜x x C ．}21{＜x x ≤ D ．}42{≤x x ＜ 2．在复平面内，复数z 和(2－i )i 2表示的点关于虚轴对称，那么复数z ＝ A ．1+2iB ．－1+2iC ．－1－2iD ．1－2i3．以下说法错误的选项是A ．数据1,2,3,4,5的平均数、众数、中位数都是3B ．假设命题q p ∧为真命，那么q p ∨为真C ．假设01,:2＞+-∈∀x x R x p ，那么01,:020≤+-∈∃⌝x x R x p o D ．“若3πα=，那么3tan =α”的否命题是“3πα=，那么3tan ≠α”4．以下说法错误的选项是A ．假设直线a //平面α，直线b //平面α，那么a 不必然平行于bB ．假设平面α不垂直于平面β，那么α内必然不存在直线垂直于βC ．假设平面α垂直于平面γ，平面β垂直于平面γ，α∩β=l ，那么l 必然垂直于平面γD ．假设平面α⊥平面β，那么α内必然不存在直线平行于β5．执行右图的程序框图，那么输出的S 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．函数f (x )＝sin(wx ＋ϕ)(w ＞0，ϕ＜π2)的最小正周期是π，假设将该函数的图像向右平移π6个单位后取得的图像关于直线x ＝π2对称，那么函数f (x )的解析式为 A ．f (x )＝sin(2x ＋π3) B ．f (x )＝sin(2x －π3)C ．f (x )＝sin(2x ＋π6)D ．f (x )＝sin(2x －π6) 7．某赛事的主办方打算将排球、篮球、乒乓球3个项目的竞赛安排在4个不同的体育馆举 办，每一个项目的竞赛只能安排在一个体育馆进行，那么在同一个体育馆竞赛的项目不超过 2个的安排方案共有几种 A ．60B ．42C ．36D ．248．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右核心别离为F 1、F 2，假设点B(0,2b)在以F 1、F 2为直径的圆的外部，那么该双曲线的离心率的取值范围为A ．),352(+∞ B ．)352,1( C ．),332(+∞ D ．)332,1( 9．已知圆O ：x 2＋y 2＝4上有三个不同的点P 、A 、B ，且知足OA OB x AP 21-=(其中x ＞0)， 那么实数x 的取值范围是 A ．(0，1)B ．[1，3]C ．[12，32]D ．[32，52]10．已知概念在R 上的函数f (x )知足⎪⎩⎪⎨⎧-∈-∈+=)0,1[,1)1,0[,1)(22x x x x x f 且f (x+2)＝f (x )，函数g (x )的表达式为g (x )＝x +3x+2，那么方程f (x )＝g (x )在区间[-5，1]上的所有实数根之和为A ．－5B ．－6C ．－7D ．－8第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分． 11．6)22(xx+的展开式的中间项是 ▲ ．12．设变量x 、y 知足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+002062x y x y x ，那么目标函数y x z -=2的最大值为 ▲ ．13．以下图中的网格是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，那么该多面体的全面积为 ▲ ． 14．设F 为抛物线x y 42=的核心，A 是抛物线上一点，B 是圆C ：0146622=++++y x y x 上任意一点，设点A 到y 轴的距离为m ，那么AB m +的最小值为 ▲ ．15．已知点集M ＝{(x ，y )｜y =f (x )}，假设对任意点P 1(x 1，y 1)∈M ，存在点P 2(x 2，y 2)∈M ，使得021=•OP OP 第14题图成立，那么称集合M 是“幸福点集”.给出以下四个集合：①M ＝{(x ，y )｜y ＝1x)}； ②M ＝{(x ，y )｜y ＝1+cos2x )}；③M ＝{(x ，y )｜y ＝ln x )}； ④M ＝{(x ，y )｜y ＝1-x e－2)}.其中是“幸福点集”的序号是 ▲ (填出所有知足条件的集合序号)三、解答题：本大题共6小题共75分．解许诺写出必要的文字说明、证明进程或演算步骤． 16.（本小题总分值12分）成都石室中学校团委进行了一次关于“消防平安”的社会实践活动，组织部份学生干部在两个大型小区随机抽取了50名居民进行问卷调查，调查终止后，团委会对调查结果进行了统计，并将其中“是不是明白灭火器利用方式（明白或不明白）”的调查结果统计如下表：（Ⅰ）求上表中的m 的值，假设从年龄在[20,30)的居民中随机选取2人，求这2人中至少有1人明白灭火器利用方式的概率；（Ⅱ）在被调查的居民中，假设从假设从年龄在[10，20)，[20，30)的居民中各随机抽取2人参加消防知识讲座，记选取的4人中不明白灭火器利用方式的人数为ξ，求随机变量ξ的散布列和数学期望． 17.（本小题总分值12分） 设x ∈R ，函数f (x )＝cos x (23sin x －cos x )＋cos 2(π2－x )．（Ⅰ）求函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间；（Ⅱ）设锐角△ABC 的内角A 、B 、C 所对边别离为a 、b 、c ，且a 2＋c 2－b 2c＝a 2＋b 2－c 22a －c，求f (A )的取值范围．18.（本小题总分值12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=2，a n ＋1＝2S n ＋2． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）假设数列{b n }的各项均为正数，且b n 是n a n 与na n ＋2的等比中项，求b n 的前n 项和为T n ；假设对任意*∈N n ，都有2log m n T ＞，求实数m 的取值范围． 19.（本小题总分值12分）如图，在四边形ABCD 中，AB//CD ，∠AB D=30°，AB ＝2CD ＝2AD ＝2DE ＝2，DE ⊥平面ABCD ，EF //BD ，且BD ＝2EF ． （Ⅰ）求证：平面ADE ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）假设二面角C-BF-D 的大小为60°，求CF 与平面ABCD 所成角的正弦值． 20.（本小题总分值13分）已知定圆M ：16)1(22=++y x ，动圆N 过点)0,1(D ，且和圆M 相切，记动圆的圆心N 的轨迹为C ．（Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程；（Ⅱ）已知圆O ：322=+y x 在y 轴右边部份上有一点P ，过点P 作该圆的切线l ：m kx y +=，且直线l 交曲线C 于A 、B 两点，求△ABD 的周长．21.（本小题总分值14分）函数f (x )＝ae x ＋b ，g (x )＝ax 2－2x －2(其中a ，b ∈R ，a ≠0)，设函数F (x )＝f (x )·g (x )． （Ⅰ）若函数f (x )在x =0处的切线方程为y ＝x+1，解关于x 的不等式F (x )＞0； （Ⅱ）当a ＞0，b ＝0时，求函数F (cos 2x )的最小值；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，是不是存在区间[m ，n ](m ＞2)，使得函数F(x)在[m ，n ]上的值域是[m 2，n2]？，试着说明你的理由．编码：ZG3633【建议考试时刻：2021年5月中旬】 四川省高中2021届毕业班5月高考押题卷（一） 数学（理科）试题参考答案及评分标准 一、选择题：每题5分，总分值50分。

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四川省2021版高考数学模拟试卷（理科）（5月份）C卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题： (共12题；共24分)
1. （2分） (2019高二下·浙江期中) 已知全集，则（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） i 是虚数单位，若 z=(i+1)i，则|z|等于（）
A . 2
B .
C . 1
D .
3. （2分） (2019高二上·衡阳月考) 若（2-3x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6 ，则a1+a2+a3+…+a6等于（）
A . -1
B . 1
C . -64
D . -63
4. （2分）(2018·武邑模拟) 知，，，则，，的大小关系为（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该三棱柱的表面积为：（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）(2019·邵阳模拟) 执行如图所示的程序框图，若输入x的值为2，则输出的y值为（）
A . 2
B . 3
C . 4
D . 5
7. （2分） (2016高一下·华亭期中) 已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=（）
A . ﹣
B .
C . ﹣
D .
8. （2分） (2017高一下·衡水期末) 某公司为对本公司的160名员工的身体状况进行调查，先将员工随机编号为1，2，3，…，159，160，采用系统抽样的方法（等间距地抽取，每段抽取一个个体）将抽取的一个样本．已知抽取的员工中最小的两个编号为5，21，那么抽取的员工中，最大的编号应该是（）
A . 141
B . 142
C . 149
D . 150
9. （2分） (2019高二上·恩施期中) 已知函数，把函数的图象向左平移
个单位得函数的图象，则下面结论正确的是（）．
A . 函数是偶函数
B . 函数在区间上是减函数
C . 函数的最小正周期是
D . 函数的图象关于直线对称
10. （2分） (2017高二上·莆田月考) 已知点为椭圆上任意一点，则到直线
的距离的最小值为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）(2017·息县模拟) 已知抛物线y2=8x的焦点到双曲线E：﹣ =1（a＞0，b＞0）的渐近线的距离不大于，则双曲线E的离心率的取值范围是（）
A . （1， ]
B . （1，2]
C . [ ，+∞）
D . [2，+∞）
12. （2分） (2019高一上·旅顺口月考) 已知，，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围为（）．
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2015高二下·福州期中) 函数f（x）= 的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为________．
14. （1分） (2019高一上·吉林期中) 定义在R上的偶函数f(x)，在区间[0，+∞）上对于任意实数都有，若f(1)=2，则方程f(x)=8的解为________.
15. （1分）(2020高三上·宣化月考) 已知椭圆与双曲线
有相同的焦点，点是曲线与的一个公共点，分别是
和的离心率，若，则的最小值为________．
16. （1分） (2020高一下·滕州月考) 在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，则 ________.
三、解答题 (共7题；共80分)
17. （10分） (2015高一下·湖州期中) 已知等比数列{an}的首项a1= ，公比q满足q＞0且q≠1，又已知a1 ， 5a3 ， 9a5成等差数列；
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=log3 ，记Tn= ，是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N* ，均有Tn＞成立？若存在，求出m，若不存在，请说明理由．
18. （10分）有一道数学题，在半小时内，甲学生能解决它的概率是，乙学生能解决它的概率是，两个人试图独立地在半小时内解决它，记解决此题的人数为ξ：
（1）求ξ的期望；
（2）此题得到解决的概率．
19. （10分） (2019高二下·静安期末) 若二面角的平面角是直角，我们称平面垂直于平面
，记作 .
（1）如图，已知，，，且，求证：；
（2）如图，在长方形中，，，将长方形沿对角线翻折，使平面平面，求此时直线与平面所成角的大小.
20. （15分） (2020高一上·玉溪月考) 如图，已知二次函数的图象经过、
、三点.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点是该二次函数图象上的一点，且满足（是坐标原点），求点的坐标；
（3）点是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接分别交、轴于点、，若的面积分别为、，求的最大值.
21. （10分） (2015高三上·苏州期末) 己知函数f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a（a∈R），e为自然对数的底数．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）①若存在实数x，满足f（x）＜0，求实数a的取值范围：②若有且只有唯一整数x0 ，满足f（x0）＜0，求实数a的取值范围．
22. （10分）(2017·桂林模拟) 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直
线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求|PQ|的值．
23. （15分）已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，f（x）＞0．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若f（1）= ，试求f（x）在区间[﹣2，6]上的最值；
（3）是否存在m，使f（2log2x）2﹣4）+f（4m﹣2（log2x））＞0对于任意x∈[1，2]恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．
参考答案一、选择题： (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共7题；共80分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、20-1、
20-2、
20-3、21-1、
21-2、22-1、22-2、
23-1、23-2、
23-3、。

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