正方形的性质与判定ppt课件
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正方形的性质与判定ppt课件
A
D
P
B
C
巩固训练
3. 如图，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓 库P和Q分别位于AD和DC上，且PD= QC．证明两条直路BP=AQ且 BP⊥AQ．
巩固训练
4.在一个正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小 路将花坛分成大小、形状完全相同的四部分（不考虑道路的宽 度）．你有几种方法？（至少说出三种）
如图所示即为所求（答案不唯一）.
BD 相交于点 O.
求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
A
D
O
B
C
任务二
正方形的性质
定理 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
韦恩图：
四边形 平行四边形
菱形 正方形 矩形
巩固训练
根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”.
性质\图形
平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等 边
四边相等
√
√√ √
√√
角
四个角都是直角
对角线相互平分
√
对 角
对角线相互垂直
线
对角线相等
每条对角线平分一组对角
√
√
√√ √
√√
√
√
√√
巩固训练
例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 边延长线 上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由.
A
D
E
B
CF
小结
正方形 的性质
定义 性质
3.正方形的性质与判定第1课时正方形的性质PPT课件(北师大版)
第一章
特殊平行四边形 3．正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
第1课时 正方形的性质
1 …知…识…回…顾…. 2 …新…知…导…航…. 3 …轻…松…过…招….
第1课时 正方形的性质
知识回顾
正方是轴对称图形，它有 4 条对称轴，即经 过对边中点的直线或两对角线所在直线：正方形又 是中心对称图形，两对角线交点是它的对称中心 （也是对边中点的直线的交点）。 .
第1课时 正方形的性质
新知导航
变式训练
1.已知正方形ABCD的对角线相交于点O. （1）若周长为8，则对角线长为 2 2 ， 面积为 4 ； （2）图中共有 8 个等腰直角三角形．
第1课时 正方形的性质
新知导航
2.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A，C 作l的垂线，垂足分别为E，F，若 AE＝1，CF＝3.求AB的长．
第1课时 正方形的性质
轻松过招
3．如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为 BC延长线上一点，且CE＝CF. （1）求证：△BCE≌△DCF；
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°
CE＝CF
在△BCE和△DCF中， ∠BCE＝∠DCF ，
∴△BCE≌△DCF.
解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBF＋∠FBA＝90°，AB＝BC， ∵CF⊥BE，∴∠CBF＋∠BCF＝90°， ∴∠BCF＝∠ABE， ∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC， ∴△ABE≌△BCF(AAS)，∴AE＝BF＝1，BE＝CF＝3， ∴AB＝ AE2＋BE2 ＝ 1＋9 ＝ 10 .
第1课ห้องสมุดไป่ตู้ 正方形的性质
轻松过招
正方形的性质与判定ppt课件
①有一组邻边相等的矩形是正方形 ②对角线互相垂直的矩形是正方形 ③有一个角是直角的菱形是正方形 ④对角线互相垂直的矩形是正方形
归纳总结
2. 四边形的中点四边形与原四边形的对角线有关
(1)当对角线不相等不垂直时，中点四边形是平行四边形 (2)当对角线相等时，中点四边形是菱形 (3)当对角线垂直时，中点四边形是矩形 (4)当对角线垂直且相等时，中点四边形是正方形
D
结论1 有一组邻边相等的矩形是正方形
几何语言： ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AB四=B边C形ABCD是正方形
O
B
C
结论2 对角线互相垂直的矩形是正方形
几何语言： ∵ 四边形ABCD是矩形，AC⊥BD ∴ 四边形ABCD是正方形
探究一：正方形的判定
D
问题2：满足怎样条件的菱形是正方形？ A
结论3 有一个角是直角的菱形是正方形
第一章 特殊平行四边形
1.3.2 正方形的性质与判定 第二课时
温故知新
菱形
平行四边形
① 有一组邻边相等 ②对角线互相垂直
矩形
①有一个角是直角 ②对角线相等
探索新知
如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开， 怎样剪才能剪出一个正方形？
探究一：正方形的判定
A
问题1：满足怎样条件的矩形是正方形？
B
E
C
基础练习
3. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是
A(－2，0)，B(0，－2)，C(2，0)，D(0，2).
求证：四边形ABCD是正方形.
y D(0，2)
A(－2，0)
C(2，0) x
B(0，－2)
能力提升
1. 在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是 正方形，还需添加一组条件. 下面给出了五组条件： ①AB=AD，且AC=BD；②AB⊥AD，且AC⊥BD； ③AB⊥AD，且AB=AD；④AB=BD，且AB⊥BD； ⑤OB=OC，且OB⊥OC. 其中符合条件的有
《正方形的性质及判定》PPT课件4
是正方形吗?为什么?
A
HD
E
G
BF
C
8、 如图，分别以△ABC的边AB,AC为一边向外 画正方形AEDB和正方形ACFG，连接CE,BG.求证： BG=CE.
证明：∵四边形ABDE是正方形
∴AE=AB，∠EAB=90°
∵四边形ABCFG是正方形
∴AG=AC，∠GAC=90°
∴∠EAB=∠GAC=90°.
矩形
菱形
正方形
对边平行且相等
√
四边都相等
√
√
√
√
√
四个角都是直角
对角线互相平分
√
对角线互相垂直
√
√
√√
√
√
√
___对__角_线__相__等__________________√________________√__________
2.正方形的性质： 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、 菱形.所以它具有这些图形的所有性质.
第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
18.2.3 正方形
一、复习导入
正方形
平行四边形
旧知回顾
矩形
一个角是直角 一组邻边相等
正方形
菱形
二、探究新知
1.正方形的概念： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四 边形叫做正方形.
根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”
平行四边 形
四条边相等，对边平行
四个角是直角
对角线相等并且互相垂直平分，每一条 对角线平分一组对角.
正方形是轴对称图形，有四条对称轴.
3、正方形的判定
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四 边形叫做正方形.
18.2.3正方形的性质与判定课件
小结
性质 图形 平行四 矩形 边形 菱形 正方形
对边平行且相等 四条边都相等 对角相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直 对角线相等 每条对角线平分 一组对角
√
√ √
√ √ √ √
√
√ √ √
√ √
√ √ √ √ √ √ √ √
√
正方形、矩形、菱形、平行四边形、四边形五者之间有什么关 系？
Ａ Ｅ Ｂ
Ｈ
Ｄ Ｇ
Ｆ
Ｃ
2.已知:如图,△ABC中.∠ABC=90°,BD是角 平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F. 试说明：四边形DEBF是正方形.
解:∵ DF⊥BC,DE⊥AB, ∴ ∠DEB= ∠DFB=90°, 又∵ ∠ABC=90°, ∴四边形DEBF是矩形
A
E
B
D F C
∵ BD平分∠ABC, DF⊥BC , DE⊥AB, ∴ DE= DF ∴四边形DEBF是正方形
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ C ） A.对角线互相垂直 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线平分一组对角 2.已知正方形的一条边长为2cm,则这个正方形的周长 2 8cm 4 cm 为 ,对角线长为 2 2cm ,面积为 . 3.已知正方形的一条对角线长为4cm,则它的边长 2 为 2 2cm ， 面积为 8cm 。 4.已知正方形ABCD中,对角线AC=10cm,P 为AB上任意一点,PE⊥AC,PF⊥BD,E、F为 垂足,则PE+PF=5cm 。
已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别在 AB 、BC 、CD 、DA上,且AE=BF=CG=DH,试判 断四边形EFGH是正方形吗?为什么?
证明：∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ ∠ABC=∠BCD=90°； AB=AD=DC=BC （正方形的四条边都相等，四个角都是直角） 又∵ AE=BF=CG=DH ∴AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF 即BE=AH=DG=CF ∴ △AEH≌△BFE≌△CGF ≌△DHG．
正方形的判定ppt课件
2. 选做题： 课本25页习题1.8第4题.
3.放飞题： 画一张思维导图，呈现本章节知识点
第一章《特殊的平行四边形》
1.3.2 正方形的判定
温故知新
1.菱形、矩形的判定
菱形
平行四边形
矩形
温故知新
2.正方形的定义及性质
正方形 有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做
一个角是直角 平行四边形 且一组邻边相等
正方形
正方形的性质
边
正方形的对边平行且相等
角 正方形的四个角都是直角
正方形的两条对角线互相垂直平分且相等,
正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间的关系：
(1)
平行四边形
矩 形
正 方 形
菱 形
(3)
有一组邻边相等且有一个角是直角
(4)
(2)
如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.
证明：∵BF∥CE，CF∥BE ∴四边形BECF是平行四边形
通过本节课的学习，你觉得正方形主要有哪些判定途径呢？
判定正方形的两条主要途径：
(1)
+
一组邻边相等
或对角线互相垂
直
先判定矩形
菱形条件
正方形
(2)
+ 一个直角 或对角线相等
先判定菱形
矩形条件
正方形
【佳作欣赏】
【佳作欣赏】
【佳作欣赏】
【学习巩固】
1. 必做题： 课本25页习题1.8第1、2、3题.
问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？
菱形
一个角是直角 正方 或对角线相等 形
正方形的判定方法：
3.放飞题： 画一张思维导图，呈现本章节知识点
第一章《特殊的平行四边形》
1.3.2 正方形的判定
温故知新
1.菱形、矩形的判定
菱形
平行四边形
矩形
温故知新
2.正方形的定义及性质
正方形 有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做
一个角是直角 平行四边形 且一组邻边相等
正方形
正方形的性质
边
正方形的对边平行且相等
角 正方形的四个角都是直角
正方形的两条对角线互相垂直平分且相等,
正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间的关系：
(1)
平行四边形
矩 形
正 方 形
菱 形
(3)
有一组邻边相等且有一个角是直角
(4)
(2)
如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.
证明：∵BF∥CE，CF∥BE ∴四边形BECF是平行四边形
通过本节课的学习，你觉得正方形主要有哪些判定途径呢？
判定正方形的两条主要途径：
(1)
+
一组邻边相等
或对角线互相垂
直
先判定矩形
菱形条件
正方形
(2)
+ 一个直角 或对角线相等
先判定菱形
矩形条件
正方形
【佳作欣赏】
【佳作欣赏】
【佳作欣赏】
【学习巩固】
1. 必做题： 课本25页习题1.8第1、2、3题.
问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？
菱形
一个角是直角 正方 或对角线相等 形
正方形的判定方法：
3.正方形的性质与判定第2课时 正方形的判定PPT课件(北师大版)
证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90° ∴∠CFD＝∠DEC＝∠FCE＝90° ∴四边形CFDE是矩形 又∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DE⊥BC ∴DF＝DE，∴矩形CFD松过招
第二招
3．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，D、E、F分 别是BC、AB、AC边上的中点． 求证：四边形AEDF是正方形．
第2课时 正方形的判定
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知识点3：四边相等且有1个角是直角 【例3】已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是∠ACB 的平分线，CD的垂直平分线分别交AC，CD，BC于点E，O，F. 求证：四边形CEDF是正方形．
证明：∵CD的垂直平分线分别交AC，CD， BC于点E，O，F，∴EC＝ED，FC＝FD， ∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°，又CD⊥EF ∴△CEF为等腰直角三角形，∴CE＝CF ∴ED＝EC＝CF＝FD，∴四边形CEDF为菱形， ∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF为正方形．
证明：如图，过点D作DN⊥AB于点N， ∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠C＝∠DEC＝∠DFC＝90°，∴四边形CFDE是矩形， ∵∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于 点F，DN⊥AB于点N， ∴DE＝DN，DN＝DF，∴DF＝DE， ∴矩形CFDE是正方形．
证明：∵D，E，F分别是BC，
AB，AC的中点．∴AE∥DF，DE∥AF
∵∠BAC＝90°，∴四边形AEDF是矩形
∵D，E，F分别是BC，AB，AC的中点
∴DE＝12
AC，DF＝
1 2
AB
又AB＝AC，∴DE＝DF.∴矩形AEDF是正方形．
第2课时 正方形的判定
第二招
3．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，D、E、F分 别是BC、AB、AC边上的中点． 求证：四边形AEDF是正方形．
第2课时 正方形的判定
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知识点3：四边相等且有1个角是直角 【例3】已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是∠ACB 的平分线，CD的垂直平分线分别交AC，CD，BC于点E，O，F. 求证：四边形CEDF是正方形．
证明：∵CD的垂直平分线分别交AC，CD， BC于点E，O，F，∴EC＝ED，FC＝FD， ∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°，又CD⊥EF ∴△CEF为等腰直角三角形，∴CE＝CF ∴ED＝EC＝CF＝FD，∴四边形CEDF为菱形， ∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF为正方形．
证明：如图，过点D作DN⊥AB于点N， ∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠C＝∠DEC＝∠DFC＝90°，∴四边形CFDE是矩形， ∵∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于 点F，DN⊥AB于点N， ∴DE＝DN，DN＝DF，∴DF＝DE， ∴矩形CFDE是正方形．
证明：∵D，E，F分别是BC，
AB，AC的中点．∴AE∥DF，DE∥AF
∵∠BAC＝90°，∴四边形AEDF是矩形
∵D，E，F分别是BC，AB，AC的中点
∴DE＝12
AC，DF＝
1 2
AB
又AB＝AC，∴DE＝DF.∴矩形AEDF是正方形．
第2课时 正方形的判定
正方形的性质与判定课件
1、要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是
有一个角是直角
（填上一个条件即可）
探究释疑
发现：
正方形
矩 形
邻边 相等
一组邻边相等的矩形 叫正方形
菱 形
一个角是直角
正方形
发现：
一个角为直角的菱形叫 正方形
∟
正方形定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
讨论总结:正方形有那些性质?
知识点一：
Байду номын сангаас
对边平行且相等 四条边都相等 对角相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直 对角线相等 每条对角线平分 一组对角
√
√ √
√ √ √ √
√
√ √ √
√ √
√ √ √ √ √ √ √ √
√
知识拓展:与同学讨论后填写下表：
几种特殊四边形的性质
边
角
对 角 线
对称性
平 行 对边平行 对角相等， 对角线互相平分 中心对称图形 四边形 且相等 邻角互补 矩 形 菱 形 对边平行 四个角 且相等 都是直角
∟
图 形 语 言
A
∟
A
C
B
C
对角线互相垂直 平分且相等，每 条对角线平分一 组对角
∵四边形ABCD是正 方形 ∴AC⊥BD,AC=BD, OA=OB=OC=OD
轴 对 称 图 形 中 心 对 称 图 形
∟
二、 例1、如图，正方形ABCD中， 正 方 （1）一条对角线把它分成 2 个全等的三 问：这些三角形是什么三角形？ 形 角形。 （2）两条对角线把 的 它分成 4 个全等的 A B 性 等腰直角 三角形。 质 （3）对角线AC与正 O 的 方形的一边所成的角 应 45 为 度。 D C 用
正方形的性质与判定-ppt课件
∵AF＝5，∴在 Rt△ABF 中，BF＝ AF2－AB2＝
52－42＝3.∵点 F 为 BC 的中点，∴BC＝2BF＝6.
∴在 Rt△BCE 中，CE＝ BC2＋BE2＝ 62＋22＝2 10.
感悟新知
(2)若AF=CE，求证：四边形ABCD 是正方形.
知3－练
证明：在 Rt△ABF 中，AF2＝AB2＋BF2，
∴四边形ACED 是正方形(正方形的定义).
感悟新知
知3－练
3-1. 如图， 在矩形ABCD 中，点E，F 分别是AB，BC 的
中点，连接AF，CE.
感悟新知
知3－练
(1)若AE=2，AF=5，求CE 的长；
解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B＝90°.
∵点 E 为 AB 的中点，AE＝2，∴AB＝4，BE＝2.
数学表达式
∵在ABCD 中，AB=BC(或
AB=AD 或BC=CD 或
AD=CD)，且∠ A=90°(或
∠ B=90°或∠ C=90°或
∠ D=90°)，∴ ABCD 是
正方形
感悟新知
知1－讲
2. 图解
感悟新知
知1－讲
3. 四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形间的关系
感悟新知
知1－讲
特别提醒
2
四边形A2 024B2 024C2 024D2 024 的面
3
积为______ ．
22 022
课堂小结
正方形的性质与判定
性质
正
方
形
正方形的面积公式
一组邻边相等
特殊的矩形
对角线互相垂直
一个角是直角
判定
特殊的菱形
对角线相等
∴四边形 ABCD 是正方形．
52－42＝3.∵点 F 为 BC 的中点，∴BC＝2BF＝6.
∴在 Rt△BCE 中，CE＝ BC2＋BE2＝ 62＋22＝2 10.
感悟新知
(2)若AF=CE，求证：四边形ABCD 是正方形.
知3－练
证明：在 Rt△ABF 中，AF2＝AB2＋BF2，
∴四边形ACED 是正方形(正方形的定义).
感悟新知
知3－练
3-1. 如图， 在矩形ABCD 中，点E，F 分别是AB，BC 的
中点，连接AF，CE.
感悟新知
知3－练
(1)若AE=2，AF=5，求CE 的长；
解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B＝90°.
∵点 E 为 AB 的中点，AE＝2，∴AB＝4，BE＝2.
数学表达式
∵在ABCD 中，AB=BC(或
AB=AD 或BC=CD 或
AD=CD)，且∠ A=90°(或
∠ B=90°或∠ C=90°或
∠ D=90°)，∴ ABCD 是
正方形
感悟新知
知1－讲
2. 图解
感悟新知
知1－讲
3. 四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形间的关系
感悟新知
知1－讲
特别提醒
2
四边形A2 024B2 024C2 024D2 024 的面
3
积为______ ．
22 022
课堂小结
正方形的性质与判定
性质
正
方
形
正方形的面积公式
一组邻边相等
特殊的矩形
对角线互相垂直
一个角是直角
判定
特殊的菱形
对角线相等
∴四边形 ABCD 是正方形．
北师大九年级数学上册《正方形的性质与判定》课件
解：BE=DF,且BE⊥DF. 理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=DC,∠BCE=90° .
（正方形的四条边都相等，四个
角都是直角）. ∴∠DCF=180°-∠BCE
=180°-90°=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF， ∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF.
(2)延长BE交DE于点M，（如图1-19）. ∵△BCE≌△DCF. ∴∠CBE=∠CDF. 学科网 ∵∠DCF=90°. ∴∠CDF+∠F=90°. ∴∠CBE+∠F=90°. ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF.
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第一章 特殊平行四边形
§1.3 正方形的性质与判定
情境引入
正方形定义：有一组邻边相等并且有 一个角是直角的平行四边形叫做正方形 ．
正方形既是菱形又是矩形。
正方形性质1：正方形的四个角都是直 角，四条边都相等．
正方形性质2：正方形的两条对角线相 等并且互相垂直平分．
想一想： 正方形有几条对称轴
求证：∠AFE＝∠AEF．
★3．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边
三角形，求∠EAD与∠ECD的度数。
布置作业
必做题：课本 选做题：课本
P22 习题1.7 第1、2题。 P22 习题1.7 第3题。
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1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=DC,∠BCE=90° .
（正方形的四条边都相等，四个
角都是直角）. ∴∠DCF=180°-∠BCE
=180°-90°=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF， ∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF.
(2)延长BE交DE于点M，（如图1-19）. ∵△BCE≌△DCF. ∴∠CBE=∠CDF. 学科网 ∵∠DCF=90°. ∴∠CDF+∠F=90°. ∴∠CBE+∠F=90°. ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF.
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第一章 特殊平行四边形
§1.3 正方形的性质与判定
情境引入
正方形定义：有一组邻边相等并且有 一个角是直角的平行四边形叫做正方形 ．
正方形既是菱形又是矩形。
正方形性质1：正方形的四个角都是直 角，四条边都相等．
正方形性质2：正方形的两条对角线相 等并且互相垂直平分．
想一想： 正方形有几条对称轴
求证：∠AFE＝∠AEF．
★3．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边
三角形，求∠EAD与∠ECD的度数。
布置作业
必做题：课本 选做题：课本
P22 习题1.7 第1、2题。 P22 习题1.7 第3题。
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1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
正方形的性质与判定课件
正方形
菱形
正方形的判定方法：
1、一组邻边相等且有一个角是直角的平行 四边形是正方形
（对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形）
2、有一组邻边相等的矩形是正方形
3、有一个角是直角的菱形是正方形
巩固练习：判断下列命题是否正确，不是正 方形的补充什么条件能让它成为正方形？
四个角都相等的四边形是正方形； (×)
证明：∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ ∠ABC=∠BCD=90°；
AB=AD=DC=BC （正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
又∵ AE=BF=CG=DH ∴AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF 即BE=AH=DG=CF ∴ △AEH≌△BFE≌△CGF ≌△DHG．
∴ EH=EF=FG=GH ∴ 四边形EFGH是菱形
称 图 形
二、例1、如图，正方形ABCD中，
正 （1）一条对角线把它分成 2 个全等的三
方
形
角形。 问：这些三角形是什么三角形？
的A 性 质
（2）两条对角线把
B
它分成 4 个全等的
等腰直角 三角形。
的 应D 用
O
C
（3）对角线AC与正
方形的一边所成的角
为 45 度。
例2、如图，正方形ABCD中，
试说明：四边形DEBF是正方形.
解:∵ DF⊥BC,DE⊥AB,
A
∴ ∠DEB= ∠DFB=90°,
又∵ ∠ABC=90°,
∴四边形DEBF是矩形
ED BF C
∵ BD平分∠ABC, DF⊥BC , DE⊥AB, ∴ DE= DF
∴四边形DEBF是正方形
如图，在矩形ＡＢＣＤ中，四个 角的平分线相交于点Ｅ、Ｆ、Ｇ 、Ｈ，试说明四边形EFGH是正 方形。
正方形的性质与判定完整ppt课件
A B
D C
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
A
D
B
C
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
A
D
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
拓展讨论:
正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？
A
D
O
B
C
结论：
分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、 △ADC、 △ABD、 △BCD ； △AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA.
。
A
B
O
D
C
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
12.正已方知形正具方有形而的菱一形条不边一长定为具2c有m的,则性这质个是正（方形C）的
周长A为.对8角c线m,对互角相线垂长直为B.对2角,面线2积c互m为相平分. 4cm2
性质 图形 平行四
分类
边形
矩形 (所特有)
菱形 (所特有)
正方形
边 对边平行
且相等
四条边相等
对边平行且 四条边相等
角
对角相等
四个角都 是直角
四个角都 是直角
对角线互
对角线 相平分
对角线 相等
对角线互相 垂直，每条 对角线平分 一组对角
对角线相等且互 相垂直平分，每 条对角线平分一 组对角
D C
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
A
D
B
C
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
A
D
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
拓展讨论:
正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？
A
D
O
B
C
结论：
分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、 △ADC、 △ABD、 △BCD ； △AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA.
。
A
B
O
D
C
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
12.正已方知形正具方有形而的菱一形条不边一长定为具2c有m的,则性这质个是正（方形C）的
周长A为.对8角c线m,对互角相线垂长直为B.对2角,面线2积c互m为相平分. 4cm2
性质 图形 平行四
分类
边形
矩形 (所特有)
菱形 (所特有)
正方形
边 对边平行
且相等
四条边相等
对边平行且 四条边相等
角
对角相等
四个角都 是直角
四个角都 是直角
对角线互
对角线 相平分
对角线 相等
对角线互相 垂直，每条 对角线平分 一组对角
对角线相等且互 相垂直平分，每 条对角线平分一 组对角
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19
正方形、矩形、菱形、平行四边形四者之间有什么关系？
平行四边形
正
矩方 菱 形形 形
20
小结
性质
图形
对边平行且相等
四条边都相等 对角相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
每条对角线平分 一组对角
平行四 边形
矩形
√√
√√ √
√√
√
菱形 正方形
√√ √√ √√
√ √√
√√
√
√
√ 21
轴对称图形、 中心对称图形
正方形
对四都边条相平边等行，都四是个直角角
对角线互相垂直平 分且相等，每条对 角线平分一组对角
轴对称图形、 中心对称图形
22
知识拓展:与同学讨论后填写下表：
几种特殊四边形的性质
边
角
对角线
对称性
平行 四边形
对边平行 且相等
对角相等， 邻角互补
对角线互相平分
中心对称图形
对边平行 四个角 矩 形 且相等 都是直角
对角线相等 且互相平分
轴对称图形、 中心对称图形
菱
形
对 四 等边边平都行相，对邻角角相互等补，
对角线互相垂直 平分，每条对角 线平分一组对角
8
知识点一：
正方形的性质
9
性
边
角
质 对角线
对称性
图A
DA
∟
∟D A
D
形 语
O
轴
对
言B
CB
∟
∟
CB
C
称 图
文
对角线互相垂直 形
字 语
对边平行，
四条边都 相等
四个角 都是直角
平分且相等，每 条对角线平分一
中
言
组对角
心
对
符 号
∵四边形ABCD是 正方形
∵四边形ABCD是 正方形
∵四边形ABCD是正 方形
(2)延长BE交DE于点M，（如图1-19）. ∵△BCE≌△DCF. ∴∠CBE=∠CDF. ∵∠DCF=90°. ∴∠CDF+∠F=90°. ∴∠CBE+∠F=90°. ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF.
17
拓展讨论:
正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？
A
D
O
B
C
结论：
分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、 △ADC、 △ABD、 △BCD ； △AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA.
（2）两条对角线把
B
它分成 4 个全等的
等腰直角 三角形。
的 应D 用
O
C
（3）对角线AC与正
方形ABCD中，
正方形的面积为64平方厘米，则
正方形对角线AC=
。
8√2 cm
A
B
O
D
C
14
性质应用
例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD 上一点，F为BC边延长线上一点，且 CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说 明理由.
正方形
6
1、要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是 有一个角是直角 （填上一个条件即可）
7
探究小结
邻边 相等
发现：
矩形
正方形
一组邻边相等的矩形
叫正方形
菱 形 一个角是直角
正方形定义
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形叫正 方形
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
讨论总结:正方形有那些性质?
解析： 正方形有4条对称轴. 经验层面：可通过折叠. 分析层面：正方形具有矩形、菱形的 所有性质，所以必然具有矩形过每组 对边中点的对称轴和菱形过对角线的 对称轴.
12
二、例1、如图，正方形ABCD中，
正 （1）一条对角线把它分成 2 个全等的三
方
形
角形。 问：这些三角形是什么三角形？
的A 性 质
解：BE=DF,且BE⊥DF. 理由如下：
15
（1）∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC,∠BCE=90°（正方形的四 条边都相等，四个角都是直角）. ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°90°=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF.
16
语 言
∴AB∥CD AD∥BC,
AB=BC=CD=AD
∴∠A=∠B=∠C=∠ D=90°
∴AC⊥BD,AC=BD,O A=OB=OC=OD
称 图 形
10
于是我们得到了正方形的两条定理： 定理 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分
11
想一想： 正方形有几条对称轴
第一章 特殊平行四边形
第3节 正方形的性质与判定（一）
1
四边形
平行四边形
矩形 菱形
2
你觉得什么样的四 边形是正方形呢?
3
〃
探究（一）
矩形怎样变化后就成了正方形呢?
正方矩形 形
4
2、要使一个矩形成为正方形需 添加的条件是 有一组邻边相等 （填上一个条件即可）
5
探 究（二） 菱形怎样变化后就成了正方形呢?
正方形、矩形、菱形、平行四边形四者之间有什么关系？
平行四边形
正
矩方 菱 形形 形
20
小结
性质
图形
对边平行且相等
四条边都相等 对角相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
每条对角线平分 一组对角
平行四 边形
矩形
√√
√√ √
√√
√
菱形 正方形
√√ √√ √√
√ √√
√√
√
√
√ 21
轴对称图形、 中心对称图形
正方形
对四都边条相平边等行，都四是个直角角
对角线互相垂直平 分且相等，每条对 角线平分一组对角
轴对称图形、 中心对称图形
22
知识拓展:与同学讨论后填写下表：
几种特殊四边形的性质
边
角
对角线
对称性
平行 四边形
对边平行 且相等
对角相等， 邻角互补
对角线互相平分
中心对称图形
对边平行 四个角 矩 形 且相等 都是直角
对角线相等 且互相平分
轴对称图形、 中心对称图形
菱
形
对 四 等边边平都行相，对邻角角相互等补，
对角线互相垂直 平分，每条对角 线平分一组对角
8
知识点一：
正方形的性质
9
性
边
角
质 对角线
对称性
图A
DA
∟
∟D A
D
形 语
O
轴
对
言B
CB
∟
∟
CB
C
称 图
文
对角线互相垂直 形
字 语
对边平行，
四条边都 相等
四个角 都是直角
平分且相等，每 条对角线平分一
中
言
组对角
心
对
符 号
∵四边形ABCD是 正方形
∵四边形ABCD是 正方形
∵四边形ABCD是正 方形
(2)延长BE交DE于点M，（如图1-19）. ∵△BCE≌△DCF. ∴∠CBE=∠CDF. ∵∠DCF=90°. ∴∠CDF+∠F=90°. ∴∠CBE+∠F=90°. ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF.
17
拓展讨论:
正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？
A
D
O
B
C
结论：
分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、 △ADC、 △ABD、 △BCD ； △AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA.
（2）两条对角线把
B
它分成 4 个全等的
等腰直角 三角形。
的 应D 用
O
C
（3）对角线AC与正
方形ABCD中，
正方形的面积为64平方厘米，则
正方形对角线AC=
。
8√2 cm
A
B
O
D
C
14
性质应用
例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD 上一点，F为BC边延长线上一点，且 CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说 明理由.
正方形
6
1、要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是 有一个角是直角 （填上一个条件即可）
7
探究小结
邻边 相等
发现：
矩形
正方形
一组邻边相等的矩形
叫正方形
菱 形 一个角是直角
正方形定义
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形叫正 方形
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
讨论总结:正方形有那些性质?
解析： 正方形有4条对称轴. 经验层面：可通过折叠. 分析层面：正方形具有矩形、菱形的 所有性质，所以必然具有矩形过每组 对边中点的对称轴和菱形过对角线的 对称轴.
12
二、例1、如图，正方形ABCD中，
正 （1）一条对角线把它分成 2 个全等的三
方
形
角形。 问：这些三角形是什么三角形？
的A 性 质
解：BE=DF,且BE⊥DF. 理由如下：
15
（1）∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC,∠BCE=90°（正方形的四 条边都相等，四个角都是直角）. ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°90°=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF.
16
语 言
∴AB∥CD AD∥BC,
AB=BC=CD=AD
∴∠A=∠B=∠C=∠ D=90°
∴AC⊥BD,AC=BD,O A=OB=OC=OD
称 图 形
10
于是我们得到了正方形的两条定理： 定理 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分
11
想一想： 正方形有几条对称轴
第一章 特殊平行四边形
第3节 正方形的性质与判定（一）
1
四边形
平行四边形
矩形 菱形
2
你觉得什么样的四 边形是正方形呢?
3
〃
探究（一）
矩形怎样变化后就成了正方形呢?
正方矩形 形
4
2、要使一个矩形成为正方形需 添加的条件是 有一组邻边相等 （填上一个条件即可）
5
探 究（二） 菱形怎样变化后就成了正方形呢?