利用函数性质判定方程解的存在(北师大版)

理由.
y
y
2
2
f1(x) 1
1
O 1 2x
y 2
f3(x) 1
O 1 2x
O 1 2x f2(x)
y 2
1
f4(x)
O 12 x
4
例1 判断方程x2-x-6=0解的存在. 解 考察函数f(x)=x2-x-6,其图像为抛物线
f(0)<0, f(4)>0,
f(-4)=14 A
f(-4)>0
图像为连续曲线
第四章函数的应用
函数与方程（一）
利用函数性质 判定方程解的存在
1
判断下列方程或不的 等实 式数解的情况
2x10
前三个方程与对应的函数
x2 x60 x2 x60
f (x) 2x 1, g(x) x2 x 6 h(x) x2 x 6图像与横轴即 x轴的交点的关系如何？
2
零点 ：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的 实数x叫做函数y=f(x)的零点(zero point).
函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点. 即方程f(x)=0至少有一个实根.
函数f(x)零点的存在性判定定理 方程f(x)=0的根的存在性判定定理
思考1.至少有一个意味着？
思考2.该定理中要求函数图象是连续曲线，为什么？
6
例2 已知函数f(x)=3x-x2在区间[-1,0]是否有
零点?为什么?
解1 考虑函数f(x)=4x3+x-15,有 f(1)=-10<0 f(2)=19>0
函数f(x)=4x3+x-15图像是连续曲线, 所以函数f(x)在区间[1,2]内有零点. 即方程4x3+x-15=0在区间[1,2]内有实数解. 解2
8
例3 判定方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,
把函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标称 为该函数的零点(zero point)
方程f(x)=0实数根
函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标
函数y=f(x)的零点
3
练习1 .课本116页练习1
1.观察下面的四个函数图像,指出在区间
(-∞,0)内,方程fi(x)=0(i=1,2,3,4)哪个有解?说明
f(x1)=0 f(x2)=0 方程x2-x-6=0(-4,0)、
(0,4)内各有一解 函数f(x)=x2-x-6,(-4,0)、 (0,4)内各有一个零点
-4
f(0)=-6
y 14
f(4)=6
6
C
x2 x1
O
4x
-6 B
5
连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 连续曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，
思考3:已学过的基本初等函数零点的存在情况
如何？
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且一个大于5,一个小于2.
y
解1:函数f(x)=(x-2)(x-5)-1 f(5)=-1, f(2)=-1
解2：g(x)=(x-2)(x-5) f(x)=g(x)-1
O x1 2
-1
5 x2
x
解3：g(x)=(x-2)(x-5) (x-2)(x-5)=0 g(x)=0 (x-2)(x-5)=1 g(x)=1
方法二：数形结合：方程是否有实根转化为 两个函数y1与y2图象是否有交点
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课后思考题
思考1:如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象 是连续不断的一条曲线，那么当 f(a)·f(b)>0时，函数y=f(x)在区间（a，b） 内一定没有零点吗？
思考2:若函数y=f(x)在区间[a,b]上图象连续且 有零点，是否一定有f(a)·f(b)<0？
分析：看函数图象在区间[-1,0]与x轴是否有交点。
解法 1： 因为f(-1)=3-1-(-1)2=
2 3
<0
f(0)=30-(0)2=1 >0
函数f(x)=3x-x2的图像是连续曲线,所以
f(x)在区间[-1,0]内有零点,即f(x)=0在区间[-
1,0]内有实数解.
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7
练习2.课本116页
2.判定方程4x3+x-15=0在[1,2]内实数解的 存在性,并说明理由.
解4：原方程等价于x2-7x+9=0,
两个根分别为 713 713
x1 2 2,x2 2 5,
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练习3.课本116页
3.指出下列方程存在实数解,并给出一个实数
解的存在区间:
1 x10 ;
x
2lg xx0.
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课堂小结
1 函数零点的概念
2 函数在某个区间上存在零点的判断方法：
方法一：判定定理：如果函数y=f(x)在[a,b]上图象 是连续曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在 区间(a,b)内至少有一个零点，即方程f(x)=0在区间 (a,b)内至少有一个实根.