二重积分(习题)

第九章 二重积分

习题9-1

1、设⎰⎰+=

1

3221)(D d y x I σ, 其中}22,11|),{(1≤≤-≤≤-=y x y x D ;

又⎰⎰+=

2

322

2)(D d y x

I σ,

其中}20,10|),{(2≤≤≤≤=y x y x D ,

试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系.

解：由于二重积分1I 表示的立体关于坐标面0=x 及0=y 对称,且1I 位于第一卦限部分与2I 一致,因此214I I =.

2、利用二重积分的几何意义说明:

(1)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,即),(),(y x f y x f -=-时,有

0),(=⎰⎰D

d y x f σ;

(2)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的偶函数,即),(),(y x f y x f =-时,有

⎰⎰⎰⎰=1

),(2),(D D

d y x f d y x f σσ,其中1

D 为D 在0≥x 的部分.

并由此计算下列积分的值,其中}|),{(2

2

2

R y x y x D ≤+=.

(I)⎰⎰D d xy σ4

; (II)⎰⎰--D d y x R y σ2

2

2

; (III)⎰⎰++D

d y x x

y σ2

231cos .

解：令⎰⎰=

D

d y x f I σ),(,⎰⎰=1

),(1

D d y x f I σ,其中1

D 为D 在0≥x 的部分,

(1)由于D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,那么I 表示的立体关于坐标面0=x 对称,且在0≥x 的部分的体积为1I ,在0

(2)由于D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的偶函数,那么I 表示的立体关于坐标面0=x 对称,且在0≥x 的部分的体积为1I ,在0

(I)由于}|),{(2

2

2

R y x y x D ≤+=关于y 轴对称,且4

),(xy y x f =为x 的奇

函数, 于是

04=⎰⎰D

d xy σ; (II)由于

}|),{(222R y x y x D ≤+=关于

x

轴对称,且

222),(y x R y y x f --=为y 的奇函数,于是0222=--⎰⎰D

d y x R y σ;

(III)由于}|),{(2

2

2

R y x y x D ≤+=关于x 轴对称,且2

231cos ),(y x x y y x f ++=

为y 的奇函数,于是01cos 2

23=++⎰⎰D

d y x x

y σ.

3、根据二重积分的性质,比较下列积分的大小: (1)⎰⎰+=

D

d y x I σ2

1)

(与⎰⎰+=D

d y x I σ32)(,其中D 是由x 轴、y 轴与直线

1=+y x 所围成;

解：由于在D ,10<+

3

)()(0y x y x +<+<,所以

1232)()(I d y x d y x I D

D

=+<+=⎰⎰⎰⎰σσ.

(2)⎰⎰+=

D

d y x I σ)ln(1与⎰⎰+=D

d y x I σ2

2)][ln(, 其中}10,53|),{(≤≤≤≤=y x y x D .

解：由于在D ,63<+<+y x ,2

)][ln()ln(y x y x +<+,所

以

221)][ln()ln(I d y x d y x I D

D

=+<+=⎰⎰⎰⎰σσ.

4、利用二重积分的性质估计下列二重积分的值： (1)⎰⎰++=

D

d y x xy I σ)1(,

其中}20,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D ；

解：由于D 的面积为2,且在D ,8)1(0<++

1628)1(200=⨯<++<⨯=⎰⎰D

d y x xy σ.

(2)⎰⎰++=

D

d y x I σ)94(2

2, 其中}4|),{(2

2

≤+=y x y x D ； 解：由于D 的面积为π4,且在D ,

25313949222≤+≤++≤y y x ,那么

ππσππ100425)94(493622=⨯<++<⨯=⎰⎰D

d y x .

(3)⎰⎰++=

D

y x d I 22cos cos 100σ

, 其中}10|||| |),{(≤+=y x y x D ； 解：由于D 的面积为200,且在D ,

100

1cos cos 1001102122≤++≤y x ,那么 2100

200

cos cos 100102200511002

2=<++<⎰⎰D y x d σ＝. 习题9-2

1、计算下列二重积分： (1)

⎰⎰+D

d y x σ)(22,其中D 是矩形区域: 1||,1||≤≤y x ； 解：

38)31(2)()(1

121

11

12

2

2

2

=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰---dx x dy y x dx d y x D

σ. (2)

⎰⎰+D y x d xye

σ2

2,其中},|),{(d y c b x a y x D ≤≤≤≤=；

解：

⎰⎰⎰

⎰⎰-==++b a x c d b

a

d

c

y x

D

dx xe e e dy xye dx d y x 222

2

2

)(2

1)()(22σ.

))((4

12222

c d a b e e e e --=. (3)

⎰⎰+D

d y x σ)23(,其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域；

解：3

20

)224()23()23(2

22

20

=

-+=+=

+⎰⎰

⎰⎰⎰-dx x x dy y x dx d y x x D

σ. (4)

⎰⎰+D

d y x x σ)cos(,其中D 是顶点分别为)0,(),0,0(π和),(ππ的三角形闭