《大学物理教程习题答案》上海交通大学出版社

习题1
1-1．已知质点位矢随时间变化的函数形式为(cos sin )r =R ωt i ωt j + 其中ω为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。

解：(1) 由(cos sin )r =R ωt i ωt j +，知：cos x R t ω= ，sin y R t ω=
消去t 可得轨道方程：2
2
2
x y R +=
∴质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为R 的圆；
（2）由d r
v dt
=
，有速度：sin Rcos v R t i t j ωωωω=-+ 而v v =，有速率：1222
[(sin )(cos )]v R t R t R ωωωωω=-+=。

1-2．已知质点位矢随时间变化的函数形式为2
4(32)r t i t j =++，式中r 的单位为m ，t 的单位为s 。

求：（1）质点的轨道；（2）从0=t 到1=t 秒的位移；（3）0=t 和1=t 秒两时刻的速度。

解：（1）由2
4(32)r t i t j =++，可知2
4x t = ，32y t =+ 消去t 得轨道方程为：x =2
(3)y -，∴质点的轨道为抛物线。

（2）由d r
v dt
=
，有速度：82v t i j =+ 从0=t 到1=t 秒的位移为：11
(82)42r v d t t i j d t i j ∆=
=+=+⎰⎰
（3）0=t 和1=t 秒两时刻的速度为：(0)2v j =，(1)82v i j =+ 。

1-3．已知质点位矢随时间变化的函数形式为2
2r t i t j =+，式中r 的单位为m ，t 的单位为s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。

解：(1)由d r v dt =
，有：22v t i j =+，d v
a dt
=，有：2a i =； （2）而v v =，有速率：12222
[(2)2]
21v t t =+=+
∴
t dv
a dt
=
=222
t n a a a =+有： n a =
=
1-4．一升降机以加速度a 上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d ，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。

解法一：以地面为参照系，坐标如图，设同一时间内螺钉下落的距离为1y ，升降机上升的高度为2y ，运动方程分别为
2
1012y v t gt =-
（1） 2
2012
y v t at =+ （2）
12y y d += （3）
（注意到1y 为负值，有11y y =-）
联立求解，有：t =
解法二：以升降机为非惯性参照系，则重力加速度修正为'g g a =+，
利用21'2
d g t =，有：t =
=
1-5．一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求：
（1）小球的运动方程；
（2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的
d r d t ，d v d t ，d v
d t。

解：（1）如图，可建立平抛运动学方程：
0x v t = ，212y h g t =- ，∴201()2
r v t i h g t j =+-；
（2）联立上面两式，消去t 得小球轨迹方程：2
20
2gx y h v =-+（为抛物线方程）；
（3）∵2
01()2
r v t i h g t j =+-，∴0d r v i g t j d t =-， 即：0v v i g t j =-，d v
g j d t
=- 在落地瞬时，有：2h
t g
=，∴02d r v i gh j d t =
- 又∵
v =
=，∴212220
[()]g g t dv
dt v gt ==
+ 。

1-6．路灯距地面的高度为1h ，一身高为2h 的人在路灯下以匀速1v 沿直线行走。

试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度2v .
证明：设人向路灯行走，t
由相似三角形关系可得：122
11
x x h x h -=， ∴1
1212
h x x h h =
-
两边对时间求导有：
11212d x h d x d t h h d t =- ，考虑到：2
1d x v d t
=， 知人影中头的速度：21
112
d x h v v d t h h ==-影（常数）。

1-7．一质点沿直线运动，其运动方程为2
242t t x -+=(m)，在 t 从0秒到3秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？
解：由于是求质点通过的路程，所以可考虑在0~3s 的时间间隔内，质点速度为0的位置：
t dt
dx
v 44-==
若0=v 解得 s t 1=， m x x x 22)242(011=--+=-=∆
m x x x 8)242()32342(2133-=-+-⨯-⨯+=-=∆
m x x x 1021=∆+∆=∆。

cm 20=h ，斜面对水
1-8．一弹性球直落在一斜面上，下落高度平的倾角
30=θ，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多
远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时
人射角等于反射角)。

1
2
解：小球落地时速度为gh v 20=
，建立沿斜面的直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图示，
00060cos v v x =→ 200060cos 21
60cos t g t v x += （1）
00060sin v v y =→ 200060sin 2
1
60sin t g t v y -= （2）
第二次落地时：0=y ，代入（2）式得：g v t 0
2=，
所以：2002
002122cos 60cos 604802v gh x v t g t h cm g g ⋅=+=
===。

1-9．地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为2
s /cm 4.3，设赤道上重力加速度为2
m/s 80.9。

解：由向心力公式：2
F m R
ω=向， 赤道上的物体仍能保持在地球必须满足：F mg =向，而现在赤道上物体的向心力为：'F ma =向
∴
016.9817ωω====≈
1-10．已知子弹的轨迹为抛物线，初速为0v ，并且0v 与水平面的夹角为θ。

试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。

解：（1）抛物线顶点处子弹的速度0cos x v v θ=，顶点处切向加速度为0，法向加速度为g 。

因此有：2
2
01
1
(cos )v v g θρρ=
=
，
2201cos v g
θ
ρ=
；
（2）在落地点时子弹的0v
θ角，则：cos n a g θ=，
有：2
2
cos v g θρ= 则：
2
2cos v g ρθ=。

1-11．一飞行火箭的运动学方程为1
()ln(1)=+--x ut u t bt b
，其中b 是与燃料燃烧速率有关的量，u 为燃气相对火箭的喷射速度。

求：
（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度。

解：一维运动，直接利用公式：dx v dt =
，dv a dt
=有： （1）)1ln(bt u dt dx v --== ， （2）bt
ub
dt dv a -=
=1
1-12．飞机以s /m 1000=v 的速度沿水平直线飞行，在离地面高m 98=h 时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远? 解：设此时飞机距目标水平距离为x 有： 0
y
t v x 0=┄①，2
2
1gt h =
┄② 联立方程解得：m x 447≈，∴05.77arctan
≈=h
x
θ。

1-13．一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为s /m 0.490=v ，而气球以速度
s /m 6.19=v 匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？ 解：物体在任意时刻的速度表达式为：gt v v y -=0
故气球中的观察者测得物体的速度v v v y -=∆
代入时间t 可以得到第二秒末物体速度：29.8m v s
∆=，（向上）
第三秒末物体速度：30v ∆=
第四秒末物体速度：49.8m v s
∆=-（向下）。

思考题1
1-1．质点作曲线运动，其瞬时速度为v ，瞬时速率为v ，平均速度为v ，平均速率为v ，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的?
（A ）v v ==v v ,；（B ）v v =≠v v ,；（C ）v v ≠=v v ,；（D ）v v ≠≠v v ,
答：（C ）
1-2．沿直线运动的物体，其速度大小与时间成反比，则其加速度的大小与速度大小的关系是：（A ）与速度大小成正比；（B ）与速度大小平方成正比；（C ）与速度大小成反比；（D ）与速度大小平方成反比。

答：B
1-3．如图所示为A ，B 两个质点在同一直线上运动的-v t 图像，由图可知 （A ）两个质点一定从同一位置出发 （B ）两个质点都始终作匀加速运动 （C ）在2s t 末两个质点相遇 （D ）在20
s t 时间内质点B 可能领先质点A
答：D
1-4．质点的t x ~关系如图，图中a ，b ，c 三条线表示三个速度不同的运动．问
它们属于什么类型的运动?哪一个速度大？哪一个速度小？ 答：匀速直线运动；a b c v v v >>。

1-5．如图所示，两船A 和B 相距R ，分别以速度
A v 和
B v 匀速直线行驶，它们中α和β为已知。

会不会相碰?若不相碰，求两船相靠最近的距离．图答：方法一：如图，以A 船为参考系，在该参考系中船A 是静止的，而船B 的速度A v v v B -='。

v '是船B 相对于船A 的速度,从船B 作一
条平行于v '方向的直线
BC,它不与船A 相交,这表明两船不会相碰.
由A 作BC 垂线AC,其长度min r 就是两船
相靠最近的距离
θsin min R r =
作FD//AB,构成直角三角形DEF ，故有：v v v A B '
-=α
βθsin sin sin ，
在三角形BEF 中,由余弦定理可得：)cos(222βα+++=
'B A B A v v v v v
R v v v v v v r B A B
A
A B )
cos(2sin sin 22
min βααβ+++-=。

方法二：
两船在任一时刻t 的位置矢量分别为： j i r A )tsin )cos (ααB A v t v (+=
j i r B )tsin )cos (ββB B v t v R (+-=
j i r r r A ])sin sin [(])cos cos ([-B t v v t v v R A B A B αβαβ-++-==
任一时刻两船的距离为：
22])sin sin [(])cos cos ([t v v t v v R r A B A B αβαβ-++-=
令：0)(=dt
t dr
R v v v v v v t A B A B A B 2
2)
sin sin ()cos cos (cos cos αβαβα
β-+++= R v v v v v v r B A B A A B )
cos(2sin sin 2
2min βαα
β+++-=。

1-6．若质点限于在平面上运动，试指出符合下列条件的各应是什么样的运动？ （A ）
0d r d t =，0d r d t ≠；（B ）0d v d t =，0d v d t ≠；（C ）0d a d t =，0d a
d t
= 答：(1) 质点作圆周运动； (2) 质点作匀速率曲线运动； (3) 质点作抛体运动。

1-7．如图所示，质点在t =0时刻由原点出发作斜抛运动，其速度=+x y v v i v j ，回到x 轴的时刻为t ，则 （A ）0
0d d =⎰
⎰t
t
x v t v t （B ）
0d d =⎰
⎰t
t
y v t v t
（C ）
d d =⎰
⎰t
t x v t v t （D ）0
d d =⎰⎰t
t y v t v t
答：A （注意：题目中各处的v 应为矢量！须加上箭头。

）
1-8．一质点作斜抛运动，用1t 代表落地时，
（1）说明下面三个积分的意义：1
1
1
d ,
d ,
d t t t x y
v t v t v t ⎰⎰⎰；
（2）用A 和B 代表抛出点和落地点位置，说明下面三个积分的意义：
⎰⎰⎰B
A
B
A
B
A
r d ,
d ,
d r r 。

答：t v t x d 1
⎰
表示物体落地时x 方向的距离，
t v
t y
d 1
⎰ 表示物体落地时y 方向的距离，
1
d t v t ⎰ 表示物体在1
t 时间内走过的几何路程，
⎰B
A r d 抛出点到落地点的位移，
d B
A ⎰r 抛出点到落地点位移的大小，
⎰B
A
dr 抛出点到落地点位移的大小。

习题2
2-1 质量为16kg 的质点在xOy 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为6N x f =，7N y f =，当0t =时，0x y ==，2m /s x v =-，0y v =。

当2s t =时，求： (1) 质点的位矢； (2) 质点的速度。

解：由 x x f a m =
，有：x a 263
m /168
s ==，27m /16y y f a s m -=
= （1）2
0035
22m /84
x x x
v v a dt s =+=-+⨯=-⎰， 20077
2m /168
y y y v v a dt s -=+=⨯=-⎰。

于是质点在2s 时的速度：57
m /s 48
v i j =--
（2）22011()22x y r v t a t i a t j =++1317
(224)()428216
i j -=-⨯+⨯⨯+⨯
137
m 48
i j =--
2-2 质量为2kg 的质点在xy 平面上运动，受到外力2
424=-F i t j 的作用，t =0时，它的初速度为
034=+v i j ，求t =1s 时质点的速度及受到的法向力n F 。

解：解：由于是在平面运动，所以考虑矢量。

由：d v F m
d t
=，有：2
4242d v i t j dt -=⋅，两边积分有：
02
01(424)2v t v d v i t j dt =-⎰⎰，∴3024v v t i t j =+-， 考虑到034v i j =+，s t 1=，有15v i =
由于在自然坐标系中，t v v e =，而15v i =（s t 1=时），表明在s t 1=时，切向速度方向就是i 方向，所
以，此时法向的力是j 方向的，则利用2
424F i t j =-，将s t 1=代入有424424t n F i j e e =-=-，
∴24n F N =-。

2-3．如图，物体A 、B 质量相同，B 在光滑水平桌面上．滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其轴之间的摩擦也不计．系统无初速地释放，则物体A 下落的加速度是多少？ 解：分别对A ，B 进行受力分析，可知：
A A A m g T m a -=
2B B T m a =
12
B A a a =
则可计算得到：4
5
A a g =。

2-4．如图，用质量为1m 的板车运载一质量为2m 的木箱，车板与箱底间的算拉车的力F 为多少摩擦系数为μ，车与路面间的滚动摩擦可不计，计才能保证木箱不致滑动？
解法一：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使板车与木箱具有相同
的加速度，且上限车板与箱底间为最大摩擦。

即：max 212222
f m
g f F
a m m m m m μ=
=<=
+
可得：12()F m m g μ<+
解法二：设木箱不致于滑动的最大拉力为max F ，列式有：
max 2122F m g m a
m g
m a
μμ-==
联立得：max 12()
F m
m g μ=+，
有：12()F m m g μ<+。

2-5．如图所示一倾角为θ的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦系数为)(θμtg <。

为使木块相对斜面静止，求斜面加速度a 的范围。

解法一：在斜面具有不同的加速度的时候，
木块将分别具有向上和向下滑动的趋势，这就是加速度的两个范围，由题意，可得： （1）当木块具有向下滑动的趋势时（见图a ），列式为：
sin cos N N mg μθθ+=
1s i n c o s N N m a θμθ-=
可计算得到：此时的θ
μμ
θtan 1tan 1+-=
a g
（2）当木快具有向上滑动的趋势时（见图b ），
列式为：
sin cos N mg N μθθ+=
2sin cos N N ma θμθ+=
可计算得到：此时的θ
μμ
θtan 1tan 2-+=a g ，所
以：
t a n
t
a n 1t a
n
1
t
g a g
θμθμμθμθ-+≤≤+-。

解法二：考虑物体m 放在与斜面固连的非惯性系中， 将物体m 受力沿'x 和'y 方向分解，如图示，同时
考虑非惯性力，隔离物块和斜面体，列出木块平衡式：
'x 方向：sin cos 0mg ma f θθ-±= 'y 方向：cos sin 0N mg ma θθ--=
考虑到f N μ=，有：sin cos (cos sin )0mg ma mg ma θθμθθ-±+=，
解得：sin cos tan cos sin 1tan a g g θμθθμ
θμθμθ
±±=
=。

∴a 的取值范围：
tan tan 1tan 1tan g a g θμθμ
μθμθ
-+≤≤+-。

2-6．质量为m 的子弹以速度0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。

解：（1）由题意，子弹射入沙土中的阻力表达式为：f kv =- 又由牛顿第二定律可得：dv f m dt =，则dv kv m dt
-= 分离变量，可得：dv k dt v m =-，两边同时积分，有：000t v dv k
dt v m
=-⎰⎰，
所以：t m
k
e v v -=0
（2）子弹进入沙土的最大深度也就是0v =的时候子弹的位移，则：
考虑到
dv dv dx dt dx dt =
，dx v dt =，可推出：m
dx dv k =-，而这个式子两边积分就可以得到位移：00max
0v m m x dv v k k
=-=⎰ 。

2-7．质量为2m 的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦滑动， 劈形物质量为1m ，放置在光滑的水平面上，斜面倾角为θ， 求释放后两物体的加速度及它们的相互作用力。

解：利用隔离体方法，设方形物2m 相对于劈形物1m 沿斜面下滑的加速度为
2'a ，劈形物1m 水平向左的加 速度为1a ，分析受力有：
方形物
2m 受力：2m g ，1N ，21m a （惯性力）； 劈形物1m 受力：1m g ，1N ，2N ，如图； 对于2m ，有沿斜面平行和垂直的方程为：
21222cos sin 'm a m g m a θθ+= ① 1212sin cos N m a m g θθ+= ②
对于1m ，有：
111s i n N m a θ= ③
将③代入有②：
1
1212sin cos sin m a m a m g θθθ
+=， ∴21212sin cos sin m a g m m θθθ=+，代入①，有：122
212()sin 'sin m m a g m m θ
θ+=+ 再将2'a 在水平和竖直两方向上分解，有： 2m 1
m θ
1
1222
12()sin
cos 'sin x m m a g m m θθ
θ
+=
+ 212222
12()sin 'sin y y m m a g a m m θθ
+==+ ∴1
22212sin cos 'sin x x m a a a g m m θθ
θ
=-=-+ 而相互作用力：111sin m a
N θ==
g m m m m θ
θ22121sin cos +
2-8．在光滑的水平面上设置一竖直的圆筒，半径为R ，一小球紧靠圆筒内壁运动，摩擦系数为μ，在0=t 时，球的速率为0v ，求任一时刻球的速
率和运动路程。

解：利用自然坐标系，法向：2
v N m R =，而：f N μ=
切向：dt
dv
m f =-，则：2dv v dt R μ=- 0201v t v dv dt v R μ-=⎰⎰，得：t
μv R R
v v 00+=
00000
ln(1)t t v t dt R
S vdt v R R v t R μμμ===++⎰⎰
2-9．如图，一质点在几个力作用下沿半径为20R m =的圆周运动，其中有一恒力0.6F i =N ，求质点从A 开始沿逆时针方向经3/4圆周到达B 的过程中，力F 解：本题为恒力做功，考虑到B 的坐标为（R -，R ）， ∴2020B A r r r i j ∆=-=-+，再利用：A F r =⋅∆， 有：0.6(2020)12A i i j =⋅-+=-（焦耳）
2-10．质量为m =0.5kg 的质点，在x O y 坐标平面内运动，其运动方程为x =5t 2,y =0.5(SI),从t =2s 到t =4s 这段时间内，外力对质点的功为多少？
解：由功的定义：A F r =⋅∆，题意：2
50.5r t i j =+
24
(4)(2)60r r r i →∆=-=，220.5105d r
F m i i d t
==⋅=
∴560300A i i J =⋅=。

2-11．一质量为m 的物体，在力2
()F at i bt j =+的作用下，由静止开始运动，求在任一时刻t 此力所做功的功率为多少。

解：由P F v =⋅，要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意：
m
A
B
2231111
()()23
F v dt ati bt j dt at i bt j m m m ==+=+⎰
⎰ 所以功率为：
P F v =⋅2232325111111
()()()2323
ati bt j at i bt j a t b t m m =+⋅
+=+。

2-12．一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为2
(52.838.4)F x x i =--，其中F 和x 单位分别为N 和m 。

（1）计算当将弹簧由m 522.01=x 拉伸至m 34.12=x 过程中，外力所做之功； （2）此弹力是否为保守力? 解：（1）由做功的定义可知：
2
1
1.34
20.522
(52.838.4)x x A F d x x x dx =⋅=--⎰⎰
2233212126.4()12.6()69.2x x x x J =----=
（2）∵()()F x F x i =，按保守力的定义：
()()()B A
A
B
F x dl F x i d r F x i d r ⋅=⋅+⋅⎰⎰⎰
()()()()0B B
A
A
F x i d xi d y j d zk F x i d xi d y j d zk =⋅++-++=⎰⎰
∴该弹力为保守力。

2-13．如图，一质量为m 的质点，在半径为R 的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A 点滑下，到达最低点B 时，它对容器的正压
力数值为N ，求质点
自A 滑到B 的过程中，摩擦力对其做的功。

分析：f A
解：求在B 点的速度：2
v N G m R
-=，
可得：
R G N mv )(2
1
212-= 由动能定理： 2
102
f mgR A mv +=-
∴11
()(3)22
f A N G R mgR N m
g R =--=-
2-14．在密度为1ρ的液面上方，悬挂一根长为l ，密度为2ρ的均匀棒AB ，棒的B 端刚和液面接触如图121
2
ρρρ<<的条件
所示，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重力作用下运动，在下，求细棒下落过程中的最大速度max v ，以及细棒能进入液体的最大深度H 。

解：（1）分析可知，棒下落的最大速度是受合力为零的时候， 所以：G F =浮，即hsg lsg 12ρρ= ，则：l h 1
2
ρρ=。

利用功能原理：
21
2
mgh mv A =+浮，有：
2
2max 21012
h slv sglh gsydy ρρρ=-⎰
可解得：max v =
（2）当均匀棒完全进入液体中时，浮力不变，到最大深度H 时，速度为零，设： 'H l h =+，由能量守恒有：2110
'l
lsgH ysgdy lsgh ρρρ=+⎰
，
即：2110
()l
lsgH ysgdy lsg H l ρρρ=
+-⎰
∴1122()
l
H ρρρ=
-。

2-15．一链条放置在光滑桌面上，用手揿住一端，另一端有四分之一长度由桌边下垂，设链条长为L ，质量为m ，试问将链条全部拉上桌面要做多少功？
解：直接考虑垂下的链条的质心位置变化，来求做功，则：
111
4832
P A E mg l mgl =∆=⨯=
2-16．在光滑水平面上，平放一轻弹簧，弹簧一端固定，另一端连一物体A 、A 边上再放一物体B ，它们质量分别为A m 和B m ，弹簧劲度系数为k ，原长为l ．用力推B ，使弹簧压缩0x ，然后释放。

求： （1）当A 与B 开始分离时，它们的位置和速度； （2）分离之后，A 还能往前移动多远? 解：（1）当A 与B 开始分离时，两者具有相同的速度，但A 的加速度为零，此时弹簧和B 都不对A 产生作用力，即为弹簧原长位置时刻，根据能量守恒，可得到：2
201
1
()2
2
A B m m v k x +=
，
有：0x m m k
v B
A +=，
x l =；
（2）分离之后，A 的动能又将逐渐的转化为弹性势能，所以：
221122
A A m v kx = ，则：
0A x = 。

2-17．已知地球对一个质量为m 的质点的引力为3
e Gm m
F r r
=-
（e e ,R m 为地球的质量和半径)。

（1）若选取无穷远处势能为零，计算地面处的势能；（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能．比较两种情况下的势能差． 解：（1）取无穷远处势能为零，地面处的势能为：
e e 211
e e P R R e
E F dr Gm m dr Gm m r R ∞
∞=⋅=-⋅=-⎰⎰
； （2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能为：
e e 211e
e
R R e
E F dr Gm m dr Gm m r R ∞∞
∞
=⋅=-⋅=⎰⎰
∴两种情况下势能差是完全一样的。

2-18．如图所示的圆锥摆，绳长为l ，绳子一端固定，另一端系一质量为m 的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。

在质点旋转一周的过程中，试求： （1）质点所受合外力的冲量I ； （2）质点所受张力T 的冲量T I 。

解：（1）设周期为τ，因质点转动一周的过程中， 速度没有变化，12v v =，由I mv =∆， ∴旋转一周的冲量0I =；
（2）如图该质点受的外力有重力和拉力，
且cos T mg θ=，∴张力T 旋转一周的冲量：
2cos T I T j mg j π
θτω=⋅=⋅
所以拉力产生的冲量为2mg
πω
，方向竖直向上。

2-19．质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，运动学方程为
cos sin r a t i b t j ωω=+，求：
（1）质点在任一时刻的动量；
（2）从0=t 到ωπ/2=t 的时间内质点受到的冲量。

解：（1）根据动量的定义：P mv =，而d r
v dt
=
=sin cos a t i b t j ωωωω-+， ∴()(sin cos )P t m a t i b t j ωωω=-- ； （2）由2(
)(0)0I mv P P m b j m b j π
ωωω
=∆=-=-= ，
所以冲量为零。

2-20．质量为M =2.0kg 的物体（不考虑体积），用一根长为l =1.0m 的细绳悬挂在天花板上。

今有一质量为m =20g 的子弹以0v =600m/s 的水平速度射穿物体。

刚射出物体时子弹的速度大小v =30m/s ，设穿透时间极短。

求：
（1）子弹刚穿出时绳中张力的大小； （2）子弹在穿透过程中所受的冲量。

解：（1）解：由碰撞过程动量守恒可得：01mv mv M v =+
∴01 5.7mv mv
v M
-=
=/m s 根据圆周运动的规律：21v T Mg M l -=，有：2
184.6v T Mg M N l
=+=；
（2）根据冲量定理可得：00.0257011.4I mv mv N s =-=-⨯=-⋅。

2-21．一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子，巳知电子的动量为m /s kg 102.122
⋅⨯-，中微子的动量为236.410kg m/s -⨯⋅，两动量方向彼此垂直。

（1）求核反冲动量的大小和方向；（2）已知衰变后原子核的质量为kg 108.526
-⨯，求其反冲动能。

解：由碰撞时，动量守恒，分析示意图，有： （1
）22
10P -=
=核 22
1.3610/kgm s -=⨯
又∵0.64tan 1.2P P α=
=
中微子
电子
，∴028.1α= ， 所以221.410/P kgm s -=⨯核 ，
9.151=-=απθ ； （2）反冲的动能为：2180.17102k P E J m -=
=⨯核
核。

2-22．有质量为m 2的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为c x 。

如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。

其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。

问第二块碎片落在何处。

解：利用质心运动定理，在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物线，它的
落地点为c x 。

1122
12c m x m x x m m +=
+，而12m m m ==， 12c x x =，
∴2223,42c c c mx mx x x x m +== 。

2-23．如图，光滑斜面与水平面的夹角为
30=α，轻质弹簧上端固定．今在弹簧的另一端轻轻地挂上质量为 1.0M kg =的木块，木块沿斜面从静止开始向下滑动．当木块向下滑30x cm =时，恰好有一质量
0.01m kg =的子弹，沿水平方向以速度200/v m s =射中木块并陷在其中。

设弹簧的劲度系数为25/k N m =。

求子弹打入木块后它们的共同速度。

解：由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度，碰撞过程中子弹和木快沿斜面方向动量守恒，可得：
22111
sin 22
Mv kx Mgx α+=
10.83/v m s
⇒=
(碰撞前木快的速度)
再由沿斜面方向动量守恒定律，可得：
1cos Mv mv m M v α'
-=+（）
0.89/v m s '⇒=-。

2-24．以初速度0将质量为m 的质点以倾角θ从坐标原点处抛出。

设质点在Oxy 平面内运动，不计空气阻力，以坐标原点为参考点，计算任一时刻： （1）作用在质点上的力矩M ； （2）质点的角动量L 。

解：（1）0cos M r F mg v t k θ=⨯=-
（2）200cos 2
t
mg v L r mv M dt t k θ=⨯==-⎰
2-25．人造地球卫星近地点离地心r 1=2R ，（R 为地球半径），远地点离地心r 2=4R 。

求：
（1）卫星在近地点及远地点处的速率1v 和2v （用地球半径R 以及地球表面附近的重力加速度g 来表示）； （2）卫星运行轨道在近地点处的轨迹的曲率半径ρ。

解：（1）利用角动量守恒：1122r mv r mv =，得 122v v =，
同时利用卫星的机械能守恒，这里，万有引力势能表达式为：0
P Mm
E G r
=-， 所以：
R
Mm
G mv R Mm G mv 4212210
22021-=-， 考虑到：mg R
Mm
G =20，有： 321Rg v =，6
2Rg
v =
； （2）利用万有引力提供向心力，有：
ρ
ρ
2
2
v m
Mm
G =，
可得到：R 3
8
=ρ。

2-26．火箭以第二宇宙速度2v =停止工作，不计空气阻力，求火箭在距地心4R 的A 处的速度。

解：第二宇宙速度时0E =，由机械能守恒：
21024A Mm
m v G
R
=- c
c z
A v ==再由动量守恒：24sin A mv R mv R θ=⋅，
2v =030θ⇒=。

2-27．如图，一轻绳跨过两个质量为m 、半径为r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m 2和m 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为2/2
mr ，将由两个定滑轮以及质量为m 2和m 的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。

解：受力分析如图，可建立方程：
ma T mg 222=-┄①
ma mg T =-1┄② 2()T T r J β-=┄③ βJ r T T =-)(1┄④
βr a = ，2/2J mr =┄⑤
联立，解得：g a 41=，mg T 8
11
= 。

2-28．如图所示，一均匀细杆长为l ，质量为m ，平放在摩擦系数为μ的水平桌面上，设开始时杆以角速度0ω绕过中心O 且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。

解：（1）设杆的线密度为：l
m
=λ，在杆上取一小质元dm d x λ=，
有微元摩擦力：
d f dmg gd x μμλ==，
微元摩擦力矩：d M g xd x μλ=，
考虑对称性，有摩擦力矩：
20
1
24
l M g xd x mgl μλμ==⎰；
（2）根据转动定律d M J J dt
ωβ==，有：000t Mdt Jd ωω-=⎰⎰， 2011
412
mglt m l μω-=-，∴03l t g ωμ=。

或利用：0M t J J ωω-=-，考虑到0ω=，21
12
J ml =， 有：03l
t g
ωμ=。

2-29．如图所示，滑轮转动惯量为2
m kg 01.0⋅，半径为cm 7；物体的质量为kg 5，用一细绳与劲度系数N/m 200=k 的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。

求：（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离；（2）物体的速
度达最大值时的位置
及最大速率。

解：（1）设弹簧的形变量为x ，下落最大距离为max x 。

由机械能守恒：
2
max max 12
k x mg x =，有：
T
max 20.49mg
x m k
=
=； （2）当物体下落时，由机械能守恒：
222111
222
k x mv J mg x ω++=， 考虑到v R ω=，有：2222
111222
k x m R J mg x ωω++=，
欲求速度最大值，将上式两边对x 求导，且令0d d x
ω
=，有： 21()22d k x m R J mg d x ωω++⋅=，将0d d x ω=代入，有：)(245.0m k mg x ==，
∴当0.245x =m 时物体速度达最大值，有：
2
2
max 2121()2mgx kx v J m r
-=
+，代入数值可算出：max 1.31/v m s = 。

2-30．如图所示，长为l 的轻杆，两端各固定质量分别为m 和m 2的小球，杆可绕水平光滑固定轴O 在竖
直面内转动，转轴O 距两端分别为l 3
1和l 3
2
．轻杆原来静止在竖直位置。

今有一质量为m 的小球，以水平速度0v 与杆下端小球m 作对心碰撞，碰后以02
1
v 的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。

解：根据角动量守恒，有：
22002122()2()32333l l
mv l m v l m m ωω⋅=-⋅⋅++⋅
有：22004221()9933
l l v l v l ω+=+
∴032v l
ω=
思考题
2-1．质量为m 的小球，放在光滑的木板和光滑的墙壁之间，并保持平衡，如图所示．设木
板和墙壁之间的夹角为α，当α逐渐增大时，小球对木板的压力将怎样变化？
解：以小球为研究对象，设墙壁对小球的压力为N 1， 方向水平向右，木板对小球的压力为N 2
木板，小球受重力为mg ，建立平衡方程：
mg N =αsin 2 ，12cos N N α= 所以当α增大，小球对木板的压力N 2将减小；
小球对墙壁的压力1N 也减小。

2-2．质量分别为m 1和m 2的两滑块A 和B 通过一轻弹簧水平连结后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为μ，系统在水平拉力F 作用下匀速运动，如图所示．如突然撤消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的加速度a A 和a B 分别为多少 ？
解：由于系统在拉力F 作用下做匀速运动， 对A 进行受力分析，知：1F kx m g μ=+， 对B 进行受力分析，知：2kx m g μ=
突然撤消拉力时，对A 有：11A m a kx m g μ=+，所以12
1
A m m a g m μ+=， 对
B 有：22B m a kx m g μ=-，所以0B a =。

2-3．如图所示，用一斜向上的力F (与水平成30°角)，将一重为G 的木块压靠在竖直壁面上，如果不论用怎样大的力F ，都不能使木块向上滑动，则说明木块与壁面间的
静摩擦系数μ的大小为多少？
解：假设墙壁对木块的压力为N ，由受力分析图可知：
sin 30F G N μ=+
0cos30N F =
整理上式，并且根据题意，如果不论用怎样大的力F ，都不能使木块向上滑动，则说明：
F G F 2321μ+≤ 即：12F F μ<（此式中F 无论为多大，总成立），则可得：μ>。

2-4．如图所示，假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑，轨道是光滑的，在从A 至C 的下滑过程中，下面哪个说法是正确的？
(A) 它的加速度大小不变，方向永远指向圆心。

(B) 它的速率均匀增加。

(C) 它的合外力大小变化，方向永远指向圆心。

(D) 它的合外力大小不变。

(E) 轨道支持力的大小不断增加。

解：在下滑过程中，物体做圆周运动。

并且v 在增大，所以它既有法向加速度，又有切向加速度，A 的说法不对；
速率的增加由重力沿切线方向的分力提供，由于切线方向始终在改变，所以速率增加不均匀，B 的说法不对；
外力有重力和支持力，后者的大小和方向都在变化，所以合力的大小方向也在变化。

C ，D 的说法都不对。

下滑过程中的θ和v 都在增大，所以N 也在增大，R
v m mg N 2
sin +=θ
则E 的说法正确。

2-5．A 和B 两物体放在水平面上，它们受到的水平恒力F 一样，位移s 也一样，但一个接触面光滑，另一个粗糙．F 力做的功是否一样?两物体动能增量是否一样?
答：根据功的定义：A F r =⋅∆
所以当它们受到的水平恒力F 一样，位移s 也一样时，两个功是相等的；
但由于光滑的接触面摩擦力不做功，粗糙的接触面摩擦力做功，所以两个物体的总功不同，动能的增量就不相同。

2-6．按质点动能定理，下列式子：
22122
1
2
121d x x x x x mv mv x F -=
⎰ 2212212121d y y y y y mv mv y F -=⎰ 2212212121d z z z z z mv mv z F -=⎰
是否成立?这三式是否是质点动能定理的三个分量式?试作分析。

答：不成立，因为功是标量，不分方向，没有必要这么写。

2-7．在劲度系数为k 的弹簧下，如将质量为m 的物体挂上慢慢放下，弹簧伸长多少?如瞬间挂上让其自由下落弹簧又伸长多少?
答：如将质量为m 的物体挂上慢慢放下，弹簧伸长为mg k x =，所以k
mg
x =； 如瞬间挂上让其自由下落，弹簧伸长应满足能量守恒：2
12
mg x k x =
，所以 k
mg
x 2=。

2-8．一α粒子初时沿x 轴负向以速度v 运动，后被位于坐标原点的金核所散射，使其沿与x 轴成
120的方向运动(速度大小不变)．试用矢量在图上表出α粒子所受到的冲量I 的大小和方向。

解：由：
21I m v m v =-，
考虑到21v v =，
见右图示。

2-9．试用所学的力学原理解释逆风行舟的现象。

解：可用动量定理来解释。

设风沿与航向成α角的方向
从右前方吹来，以风中一小块沿帆面吹过来的空气为研
究对象，m Δ表示这块空气的质量，1v 和2v 分别表示它
吹向帆面和离开帆面时的速度，由于帆面比较光滑，风
速大小基本不变，但是由于m Δ的速度方向改变了，所 以一定是受到帆的作用力，根据牛顿第三定律，m Δ必然
对帆有一个反作用力f '，此力的方向偏向船前进的方向，将f '分解为两个分量，垂直船体的分量与水对船的阻力相平衡，与船的航向平行的分量就是推动帆及整个船体前进的作用力。

2-10．当质量为m 的人造卫星在轨道上运动时，常常列出下列三个方程：
1
e 212e 2
22121r m Gm mv r m Gm mv -=-， 1122sin sin θθmv mv =，
2
e 2r m
Gm r mv =， 试分析上述三个方程各在什么条件下成立。

解：（1）机械能守恒； （2）角动量守恒；
（3）万有引力提供向心力。

2-11．在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力）哪些量守恒？ 答：对于这个系统，（1）动量守恒；（2）能量守恒，因为没有外力做功。

2-12．体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端，当他们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速度是乙的两倍，则到达顶点情况是： （A ）甲先到达；（B ）乙先到达；（C ）同时到达；（D ）谁先到达不能确定。

答：本题测试的是刚体系统的角动量定理和角动量守恒的概念.
当两小孩质量相等时，M =0。

则系统角动量守恒，两人的实际的速度相同，将同时到达滑轮处，与谁
1
mv 2
mv I
风'f //'f 'f ⊥。