幂级数及其收敛性
幂级数收敛域的结构
幂级数收敛域的结构一、幂级数及其收敛性1.定义：形如(1))( )()()(002020100 +-++-+-+=-∑∞=nn n nn x x a x x a x x a a x x a 的函数项级数成为幂级数.则幂级数变为：令 , 0x x u -=∙.2210 +++++=∑∞=nn n nn u a u a u a a ua)2( 02210∑∞=+++++=n nn nn x a x a x a a xa :0 0幂级数时的只需研究当=x。
幂级数发散的则对任一满足发散在点若幂级数幂级数绝对收敛的则对任一满足收敛在点若幂级数 , , 0 )ii (;, , 0 )i (000000x x x x x a x x x x x a n nn n nn >≠<≠∑∑∞=∞=定理1、(阿贝尔定理)二、幂级数收敛的阿贝尔定理),2,1,0(0 =≤n Mx a nn 使得,M ∃n nnn nn x x x a x a 00⋅=nnn x x x a 00⋅=nx x M0≤,10时当<x x ,0收敛等比级数nn x xM ∑∞=, 0收敛∑∞=∴n nn x a .绝对收敛即级数∑∞=n nn x a 证明：,0lim 0=∴∞→nn n x a ,)1(00收敛∑∞=n nnx a板书,)2(00发散假设nn n x a ∑∞=,, 011使得级数收敛且若存在点x x x >, , )1( 0收敛则级数在点的结论由x 与假设矛盾.., 101级数发散的点故对任一满足x x x >板书三、幂级数的收敛域的结构∙R-∙R∙∙∙∙∙∙∙∙收敛区域发散区域发散区域阿贝尔定理的几何意义：即：幂级数(*) 的收敛域K 是以原点为中心的区间，若以R 2表示区间的长度，则称R 为幂级数(*)的收敛半径。
x ⋅1x ⋅xo∙；收敛仅在幂级数时 0 , 0 )1(0==∑∞=x x a R n nn 收敛区间：),(R R -收敛域：],[),,[],,(),,(R R R R R R R R ----；上收敛在幂级数时 ),( , )2(0+∞-∞+∞=∑∞=n nn x a R 上发散。
幂级数的知识点总结
幂级数的知识点总结一、幂级数的定义与基本概念1. 幂级数定义幂级数是指形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的级数，其中 $a_n$ 是常数，$x$ 是变量。
我们将 $a_nx^n$ 称为幂级数的通项。
当 $x=0$ 时，幂级数收敛，此时幂级数的值为 $a_0$。
当 $x\neq0$ 时，幂级数可能发散，也可能收敛。
2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是指所有幂级数都收敛的 $x$ 范围。
收敛半径 $R$ 的计算公式为\[R = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}\]当 $R=0$ 时，幂级数只在 $x=0$ 处收敛；当 $R=\infty$ 时，幂级数在整个实数范围都收敛；当 $0<R<\infty$ 时，幂级数在 $(-R,R)$ 范围内收敛。
3. 幂级数的收敛域幂级数的收敛域是指其收敛的 $x$ 区间范围。
我们可以通过比较 $|x|<R$ 和 $|x|=R$ 以及$|x|>R$ 的情况来判断幂级数的收敛域。
二、幂级数的性质1. 幂级数的加法性与乘法性若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$ 是两个幂级数，由于级数的加法与乘法遵循线性性质，因此这两个幂级数的和与乘积仍然是幂级数，它们的收敛性与原幂级数相同。
2. 幂级数的导数与积分幂级数在其收敛域内可以进行导数与积分运算，这是因为这些运算不会改变收敛性质。
具体来说，对于 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$，它的导数等于 $\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$，它的不定积分等于 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+C$。
三、幂级数的收敛性与收敛域判断1. 幂级数的收敛性判定判断幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的收敛性时，我们可以使用比值判别法、根式定理、韦达定理等方法。
幂级数与收敛半径
幂级数与收敛半径在数学中，幂级数是一种特殊的级数形式，它在微积分、复数分析等领域中起着重要的作用。
本文将探讨幂级数的定义、收敛性质以及如何计算其收敛半径。
一、幂级数的定义幂级数是指形如∑(an * x^n)的级数，其中an是一系列常数，x是自变量。
幂级数可视为函数在某点x=0附近的展开形式。
每一项an * x^n 表示了函数在x=0处的n阶导数。
二、幂级数的收敛性质幂级数的收敛性质由其收敛半径决定。
收敛半径是指幂级数在哪个范围内收敛的特性。
1. 收敛半径的定义设幂级数∑(an * x^n)收敛，则存在一个正数R，使得当|x|<R时，级数收敛；当|x|>R时，级数发散。
R称为幂级数的收敛半径，可以通过根值测试或比值测试来确定。
2. 幂级数的根值测试幂级数的根值测试是判断幂级数收敛性的一种方法。
设an * x^n为幂级数的一项，令L = lim(abs(a_n)^(1/n))。
若L存在且非零，则幂级数的收敛半径R = 1/L。
3. 幂级数的比值测试幂级数的比值测试也是一种判断幂级数收敛性的方法。
设an * x^n为幂级数的一项，令L = lim(abs(a_n+1/a_n))。
若L存在，则幂级数的收敛半径R = 1/L。
三、幂级数收敛半径的计算计算幂级数的收敛半径是一个重要的问题。
有几种常见的方法可供选择。
1. 根值法使用根值测试计算收敛半径时，需要首先计算L =lim(abs(a_n)^(1/n))。
若L存在且非零，则收敛半径R = 1/L。
2. 比值法使用比值测试计算收敛半径时，首先计算L = lim(abs(a_n+1/a_n))。
若L存在，则收敛半径R = 1/L。
3. 函数表达法有些特殊的幂级数可以通过函数表达法来确定其收敛半径。
例如，对于幂级数∑(an * x^n)，若存在一个函数f(x)，使得lim(abs(an *x^n/f(x)))存在，则收敛半径R即为该函数f(x)的收敛区间。
幂级数收敛域和函数-PPT
(3) 在(－R,R )内收敛,端点另外讨论
收敛区间
R—收敛半径
2.收敛半径的求法
定理2
R lim an a n
n1
例 求收敛半径和收敛域
(证明略)
(1). (1)n1 xn
n1
n
收敛域是(－1，1] 1
R lim an lim n 1
a n n1
n 1
n 1
x
=1
时
n1
(1)n1
) x
x (1 x)2
( |x| <1 )
xn
(2). n0 n 1
设和函数为S(x)
则 xS(x) xn1 n0 n 1
( x xndx)
x
(
xn )dx
0 n0
0 n0
x 1 dx ln(1 x)
0 1 x
S ( x)
1 x
ln(1
x),
0 | x | 1
1,
n0
n0
n0
f (x) g(x)
利用乘法可以定义除法
an xn ( bn xn ) ( cn xn )
则
an xn
n0
cn xn
n0
n0
n0
bn xn n0
n0
注意,商级数的收敛半径可能比原来要小得多
2. 分析运算性质ຫໍສະໝຸດ 设an xn S(x)
n0
收敛半径为R, 则
(1) S(x) 在收敛域内连续;
大家有疑问的，可以询问和交
8
(4). (1)n1 (x 2)n
n1
n
设 x－2＝ t ,由(1)知
收敛域是(1,3]
(1)n1 t n
幂级数的定义及其收敛性分析
幂级数的定义及其收敛性分析幂级数是数学中重要的一类级数，它在各个数学分支中有着广泛的应用。
本文将介绍幂级数的定义，并对其收敛性进行分析。
一、幂级数的定义幂级数是指形如∑(an*x^n)的级数，其中an为系数，x为变量，n为指数。
其中，an可以是实数也可以是复数，x可以是实数或复数。
幂级数的一般形式为：∑(an*x^n) = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ... + an*x^n + ...二、幂级数的收敛性分析对于幂级数的收敛性，我们需要分析其收敛域。
收敛域是指幂级数在哪些点上收敛，以及在哪些点上发散。
1. 收敛半径收敛域的核心是收敛半径，记作R。
幂级数在收敛半径范围内收敛，在其外发散。
收敛半径的计算可以使用伯努利、根值或比值法等。
2. 收敛域类型根据收敛半径的值，幂级数的收敛域可以分为三种类型：a) 当R=0时，幂级数在x=0处收敛；b) 当0<R<∞时，幂级数在(x-R, x+R)范围内收敛；c) 当R=∞时，幂级数在整个定义域内收敛。
3. 边界收敛如果幂级数在某个或某些边界点上收敛，但在该边界范围内不一定绝对收敛，只是条件收敛。
这种情况称为边界收敛。
三、幂级数的应用幂级数在数学中有着广泛的应用，下面简要介绍几个常见的应用领域：1. 函数展开幂级数可以用来展开各种函数，使其在某个特定区间上变为幂级数形式。
利用这种展开，我们可以方便地对函数进行近似计算，提高计算的精度和效率。
2. 微分方程幂级数可以用来解微分方程。
通过将微分方程变换成幂级数形式，再求解该幂级数，可以得到微分方程的解析解。
3. 物理应用幂级数在物理学中有着广泛的应用。
例如，波函数展开、场变量展开等都可以利用幂级数进行表示和计算。
四、结论幂级数作为一种重要的数学工具，在数学和物理学中有着广泛的应用。
本文介绍了幂级数的定义，讨论了幂级数的收敛性及其应用领域。
通过对幂级数的研究，可以深入理解其在数学和自然科学中的重要作用。
幂级数的收敛性与求和
幂级数的收敛性与求和幂级数是数学中重要的数列形式，它常用于描述函数的无限项展开。
在研究幂级数时，我们常关注它的收敛性以及如何求和。
本文将重点讨论幂级数的收敛性及求和方法，并且提供几个实例进行说明。
一、幂级数的概念与收敛性在数学中，幂级数是指以$x$为变量的形如$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的级数。
其中，$a_n$是系数序列，$x$是变量，$n$为指数。
判断幂级数的收敛性，我们可以使用根植、比值等各种方法。
其中，根植法适用于幂级数的绝对收敛性判断，比值法适用于幂级数的条件收敛性判断。
根植法的步骤如下：1. 计算收敛域的半径$R=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}$；2. 若$x<R$时级数绝对收敛，$x>R$时级数发散，$x=\pm R$时需另行讨论。
比值法的步骤如下：1. 计算收敛域的半径$R=\lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}$；2. 若$x<R$时级数绝对收敛，$x>R$时级数发散，$x=\pm R$时需另行讨论。
二、求和方法：直接求和与逐项积分幂级数的求和方法通常有两种：直接求和与逐项积分法。
1. 直接求和法：对于一些特殊的幂级数，可以通过变形和求导等方法直接求得幂级数的和函数。
例如，$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$，柯西积分公式等。
2. 逐项积分法：逐项积分是幂级数求和的常见方法之一。
其基本思想是逐个对幂级数的每一项进行积分。
例如，对于形如$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的幂级数，我们可以对每一项进行积分得到$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+C$，其中$C$为常数。
三、实例分析接下来，我们将通过几个实例来说明幂级数的收敛性与求和方法。
幂级数及其收敛性
因为幂级数逐项积分后收敛半径不变，
所以，上式右端级数的收敛半径仍为 R = 1;
故收敛域为 1 < x ≤ 1 .
例 2 试求幂级数
的收敛区间 .
解 所给的幂级数为不缺项的，
它是发散的.
此为调和级数，
解 所给幂级数缺少 x 的奇次幂项，
对此正项级数利用比值审敛法
否则称为缺项的幂级数.
例如幂级数
缺 x 的奇次幂，
叫缺项的幂级数，
又如
是不缺项的幂级数.
定理
如果
该幂级数收敛;
该幂级数发散.
. 即
因为它不一定是正项级数，
当 x = 1 时，该级数收敛 .
而当 x = 1 时该级
数发散，
根据幂级数和的运算法则，其收敛半径应取较小的一个，
故 R = 1，
因此所得幂级数的收敛区间为 1 < x < 1 .
解 令 x 1 = y ， 则 x = y + 1，
它就是函数 f(x) 的幂级数表达式 .
幂级数 :
称为泰勒级数 .
利用麦克劳林公式将函数 f(x) 展开成幂级数的方法，称为直接展开法 .
例 1 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
可以
得到
二、 直接展开法
因此我们可以得到幂级数
显然，这个幂级数的收敛区间为 (,+ ) .
收敛区间为 (0 , 2) .
所以
因
解
则原题就转化成
将函数
于是有
最后，我们将几个常用函数的幂级数展开式列在下面，
以便于读者查用 .
其端点的收敛性与 m 有关.
最后一个式子称为二项展开式，
幂级数及其收敛性(精)
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求下列幂级数的收敛区间: n x ( 2) ( nx )n ; (1) ( 1)n ; n n 1 n 1
xn ( 3) ; n 1 n!
n 2 1 n n (4) ( 1) (x ) . n 2 n1
应用达朗贝尔判别法
n 1 un1 ( x ) 1 2 2 lim lim x , 2 n 1 n u ( x ) n x 2 n n 2 1 2 即 x 2时, 级数收敛, 当 x 1, 2
x
2 n 1
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证明 对级数 an x n 应用达朗贝尔判别法
n 0
a n1 设 lim n a n
(或 lim n an )
n
lim
n
a n 1 x n 1 an x n
a n 1 lim x x, n a n
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R , 收敛区间( , ) .
问题 如何求幂级数的收敛半径?
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定理 2 如果幂级数
n a x n 的所有系数an 0 , n 0
1 (1) 则当 0 时, R ; (2) 当 0 时,R ; (3) 当 时,R 0 .
从而级数 an x 绝对收敛. 收敛半径 R ;
n n 0
( 3) 如果 ,
幂级数收敛域
幂级数收敛域幂级数的定义和收敛性幂级数是指形如$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$的无穷级数，其中$a_n$为常数，$x_0$为实数。
在这里，我们将讨论幂级数的收敛性以及它的收敛域。
首先，我们需要了解几个基本概念。
如果一个幂级数的前$n$项和为$s_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}a_k(x-x_0)^k$，那么当$n\rightarrow \infty$时，如果$s_n(x)$有极限$L$，那么我们称该幂级数在$x$处收敛于$L$。
如果对于所有$x\in \mathbb{R}$都有该极限存在，则称该幂级数在$\mathbb{R}$上一致收敛。
否则，我们称该幂级数发散。
接下来我们将介绍几个重要的判别法来判断一个幂级数是否收敛。
常比判别法常比判别法是最常用的判别法之一。
它基于以下事实：如果$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L<1$，那么该幂级数在$x_0-\dfrac{1}{L}$到$x_0+\dfrac{1}{L}$之间一致收敛；如果$L>1$，则该幂级数在$x_0$处发散；如果$L=1$，则该判别法无法确定幂级数的收敛性。
比值判别法比值判别法基于以下事实：如果$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L$，那么当$x-x_0<\dfrac{1}{L}$时，该幂级数绝对一致收敛；当$x-x_0>\dfrac{1}{L}$时，该幂级数发散。
当$L=0$时，该幂级数在整个实轴上绝对一致收敛；当$L=\infty$时，则需要借助其他方法来判断幂级数的收敛性。
根值判别法根值判别法基于以下事实：如果$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=L$，那么当$x-x_0<\dfrac{1}{L}$时，该幂级数绝对一致收敛；当$x-x_0>\dfrac{1}{L}$时，该幂级数发散。
幂级数的收敛性归纳
幂级数的收敛性归纳幂级数是数学中一类重要的级数，其收敛性归纳讨论了幂级数收敛的条件以及推导收敛域的方法。
1. 幂级数的定义幂级数是指形如 $\sum a_n x^n$ 的级数，其中 $a_n$ 是系数，$x$ 是变量。
2. 幂级数的收敛性幂级数的收敛性取决于其收敛域，即幂级数在哪些点处收敛。
2.1 收敛域的定义收敛域是指幂级数收敛的一组点构成的范围。
幂级数在收敛域内收敛，在收敛域外发散。
2.2 收敛域的边界收敛域的边界由收敛性定理决定，常见的收敛性定理有比值判别法、根值判别法、Raabe判别法等。
3. 幂级数的收敛性归纳幂级数的收敛性归纳是一种推导其收敛域的常用方法。
其基本思路是分析收敛域的边界点是否属于收敛域。
3.1 归纳收敛域的步骤- 步骤1：使用比值判别法或根值判别法等判断幂级数的绝对值收敛域；- 步骤2：根据比值判别法或根值判别法的结果，分析边界点是否收敛；- 步骤3：如果边界点收敛，则将边界点添加到绝对值收敛域得到完整的收敛域。
3.2 示例以幂级数 $\sum a_n x^n$ 为例，假设使用比值判别法得出其收敛域为 $|x|<1$。
接下来我们分析边界点 $x=1$ 和 $x=-1$ 的收敛性。
对于 $x=1$，幂级数变为 $\sum a_n$，如果 $\sum a_n$ 收敛，则 $x=1$ 是收敛点。
对于 $x=-1$，幂级数变为 $\sum (-1)^n a_n$，如果 $\sum (-1)^n a_n$ 收敛，则 $x=-1$ 是收敛点。
假设 $\sum a_n$ 收敛，而 $\sum (-1)^n a_n$ 发散，那么收敛域为 $|x|\leqslant 1$。
如果同时 $\sum a_n$ 和 $\sum (-1)^n a_n$ 收敛，则收敛域为 $|x|<1$。
4. 总结幂级数的收敛性归纳是一种确定幂级数收敛域的有用方法。
通过分析边界点的收敛性，结合比值判别法、根值判别法等，可以得到幂级数的完整收敛域。
幂级数的概念和收敛性
幂级数的概念和收敛性幂级数是数学中一种重要的数列和函数的表示方式，它在各个学科领域都有广泛的应用。
本文将介绍幂级数的概念和收敛性，以及相关的性质和定理。
一、幂级数的定义幂级数是指形如∑an(x-a)n的无穷级数，其中an为常数系数，x为变量，a为常数，n为正整数。
幂级数可以看作是一种函数的展开方式，它的求和项依次乘以变量的幂次，然后求和。
例如：f(x) = ∑an(x-a)n （n从0到正无穷）其中an为常数系数，可以是实数或复数。
二、幂级数的收敛性对于给定的幂级数∑an(x-a)n，我们关心的问题是该级数在哪些点上收敛。
根据收敛性质，幂级数可以分为三种情况：1.绝对收敛：若幂级数的每一项的绝对值都收敛，则称幂级数绝对收敛。
对于绝对收敛的幂级数，我们可以任意调整项的次序而不会改变其和。
例如幂级数∑(1/2)n(x-1)n就是一个绝对收敛的级数。
2.条件收敛：若幂级数是收敛的，但不是绝对收敛的，则称幂级数条件收敛。
条件收敛级数的和依赖于项的次序。
例如幂级数∑(-1)n(x-1)n就是一个条件收敛的级数。
3.发散：若幂级数在任何点上都不收敛，则称其为发散。
例如幂级数∑n(x-1)n就是一个发散的级数。
三、幂级数的收敛半径对于给定的幂级数∑an(x-a)n，我们希望找到一个区间使得该幂级数在该区间内收敛。
这个区间被称为收敛区间。
而收敛区间的两个端点分别称为幂级数的收敛半径的两个极限。
幂级数的收敛半径R可以通过以下公式计算得到：R = 1/lim sup |an|^(1/n)其中lim sup |an|^(1/n)表示an^(1/n)的上确界。
收敛半径的求解对于判断幂级数在哪些点上收敛至关重要。
当x在幂级数的收敛半径内时，幂级数绝对收敛；当x在收敛半径的两个端点上时，需要分别讨论；当x超出收敛半径时，幂级数发散。
四、幂级数的性质和定理1. 幂级数具有线性性质：若幂级数∑an(x-a)n和∑bn(x-a)n绝对收敛，则幂级数∑(an+bn)(x-a)n也绝对收敛，并且有∑(an+bn)(x-a)n = ∑an(x-a)n + ∑bn(x-a)n。
幂级数及其收敛性
1)(2 n (n 1)2
2)
x2
4 x2
当4x2 1 当4x2 1
时级数收敛 故收敛半径为 R 1 .
时级数发散
2
例4.
的收敛域.
解: 令
级数变为
R lim n
an an1
lim n
1 2n n 1
2n1(n 1)
lim
n
2n1(n 1) 2n n
2
当 t = 2 时, 级数为 此级数发散;
证: 设
收敛, 则必有
于是存在
常数 M > 0, 使发散来自收敛 发散收O 敛
发散x
an xn
an x0n
xn x0n
an x0n
x x0
n
当 x x0 时,
收敛,
也收敛,
故原幂级数绝对收敛 .
反之, 若当 x x0 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之.
假设有一点 x1 满足 x1 x0 且使级数收敛 , 则由前 面的证明可知, 级数在点 x0 也应收敛, 与所设矛盾,
当 t = – 2 时, 级数为
此级数条件收敛;
因此级数的收敛域为 2 t 2 , 故原级数的收敛域为 即 1 x 3.
形如
的函数项级数称为幂级数, 其中数列
称
为幂级数的系数 .
下面着重讨论
的情形, 即
例如, 幂级数
xn
n0
1, 1 x
x 1 即是此种情形.
定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数 an xn
n0
则对满足不等式
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当
时该幂级数发散 , 则对满足不等式
的一切 x , 该幂级数也发散 .
幂级数
n0
系数cn按乘法的定义求.
(相除后的收敛区间比原来两级数的 收敛区间小得多)
2.和函数的分析运算性质
(1)幂级数 an xn 的和函数 s( x) 在收敛域上
n0
连续.
(2)幂级数 an xn的和函数 s( x) 在收敛域上
n0
可积, 并可逐项积分.
x
s( x)dx
0
x
(
0
an xn )dx
n1
(1)n1
n1
[(1)n1
n
xn
n xn
]
显然 s(0) 0,
(1)n1 xn1
1
,
n11Biblioteka x(1 x 1)两边积n分1得
x s(nt )dt x 1 dt
0
0 1 t
即 s( x) s(0) ln(1 x) s(x) ln(1 x),
0
(1)n1 xn ln(1 x)，(1 x 1).
1
即|
x |
1 时,
n0
级数 | an xn
n0
| 发散,
从而级数 anxn发散，
n0
于是收敛半径 R 1 .
limliamn1anx1 x0 a a nn
nn
（2）若 0, 根据比值审敛法，对任意的x，
级数an xn绝对收敛. 因此收敛半径 R .
n0
（3）若 , 对于除x 0外的一切x,
问题 如何求幂级数的收敛半径?
定理2
如果幂级数 an xn的所有系数 an 0，
n0
设
lim an1 a n
n
,
则 (1)
当
0 时, R
1；
幂级数的收敛性
由比值审敛法,
当|
x
|
1 时,
级数 | an xn
n0
| 收敛,
从而级数 an xn绝对收敛.
n0
当 | x | 1 时,
级数 | an xn | 发散,
n0
并且从某个 n开始 | an1 xn1 || an xn |, | an xn | 0
n0
n0
(2) 假设当x x0时发散,
而有一点x1 适合 x1 x0 使级数收敛, 由(1)结论 则级数当 x x0 时应收敛,
这与所设矛盾.
几何说明
收敛区域
o
发散区域 R
R 发散区域 x
推论
如果幂级数 an x n 不是仅在x 0 一点收敛,也
证明 (1)
an x0n收敛,
lim
n
an
x0n
0,
n0
M , 使得 an x0n M (n 来自,1,2,)an xn
an x0n
xn x0n
an x0n
x x0
n
M
x x0
n
当 x
1时,
等比级数 M
n
x 收敛,
x0
n0 x0
an xn 收敛, 即级数 an xn收敛;
(2) 当 1 1, 1 x 1, 1 x
即 2 x 0时, 原级数发散.
(3) 当| 1 x | 1, x 0或x 2,
当 x 0时, 当 x 2时,
幂级数及其收敛性
其中
f ( n +1) (ξ ) rn ( x ) = ( x x 0 ) n +1 (n + 1)!
( ξ 在 x0 与 x 之间 ) .
称为泰勒公式 称为拉格朗日型余项 . ① 式称为泰勒公式 .
如果令 x 0 = 0 ,
就得到
f ′′(0) 2 f ( n ) ( 0) n f ( x ) = f (0) + f ′(0) x + x ++ x n! 2! + rn ( x ) . ②
还要考察函数 f ( x ) = e x 的麦克劳林公式中的余 项 , 因为
⑥ ⑥ ⑥ ⑥
e (θ x ) n + 1 rn ( x ) = x ( n + 1)!
(0 < θ < 1) ,
且θ x≤
θ x < x , 所以 e θ x < e x , 因而有
θ x
x
e e n +1 n +1 rn ( x ) = x x . < ( n + 1)! ( n + 1)!
f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = = f ( n ) (0) = 1 .
因此我们可以得到幂级数
1 2 1 n 1 + x + x + + x + . 2! n!
⑥
显然， ∞,+ 显然，这个幂级数的收敛区间为 (∞ ∞) . 至于级 ∞
数
是否以 f ( x ) = e x 为和函数 , 收敛于 f ( x ) = e x ,
∞
n=0
∑1
∞
, 它是发散的 ;
当x = 4时，幂级数 化为∑ ( 1) n , 也是发散的 .
8.5 幂级数及其收敛性
例3 设有级数
n 2 a x a a x a x n 0 1 2 n0
n 0
(1)
(2)
an x n
的情形.因为只要把(2)中的 x 换成 x x0 , 就得到(1). 首先讨论幂级数(2)的收敛性问题. 显然形如(2)的任
意一个幂级数在 x 0 处总是收敛的. 除此之外, 它 还在哪些点收敛? 我们有下面重要的定理.
8.5 幂级数及其收敛性
1 幂级数收敛半径与区间 2 收敛半径的求法
3 幂级数的性质
一、幂级数的收敛半径与区间
幂级数的一般形式为 n 2 a ( x x ) a a ( x x ) a ( x x ) n 0 0 1 0 2 0
an ( x x0 )n , 为方便起见, 下面将重点讨论 x0 0 , 即
n n
幂级数(2)的收敛半径. 究竟用比式法还是根式法,
可以参考第十二章的相关说明.
xn 例1考虑级数 2 的收敛域. n
an1 n2 解由于 1( n ), 2 an ( n 1)
所以其收敛半径 R 1 , 即收敛区间为 ( 1, 1) ; 而当
Hale Waihona Puke ( 1)n 1 1 x 1 时, 有 2 , 由于级数 2 收敛, 所 2 n n n n n x x 以级数 2 在 x 1 时也收敛. 于是级数 2 n n 的收敛域为[ 1, 1].
定理3(柯西-阿达玛(Cauchy-Hadamard)定理)
对于幂级数(2), 设
lim | an |,
n
n
(5)
则当
(i) 0 时, 收敛半径 R
(ii) 0 时, R ; (iii) 时, R 0.
幂级数收敛区间
幂级数收敛区间1. 引言幂级数是数学分析中的一个重要概念，经常被应用在微积分、数值分析、物理学、工程学等学科中。
幂级数的收敛区间是指幂级数在哪些范围内的数值可以被计算出来，而在哪些范围外的数值则无法计算。
本文将详细阐述幂级数的收敛性以及如何求解幂级数的收敛区间。
2. 幂级数的定义幂级数是一个形如 $ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n $ 的级数，其中 $ a_0, a_1, a_2, ... $ 是一系列常数，$ x $ 是变量。
幂级数通常是一种无限级数，也就是说，级数中的项数可以无限增加。
如果变量 $ x $ 取某个值 $ x_0 $ 时，级数$ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n $ 收敛，那么这个值 $ x_0 $ 称为幂级数的收敛点。
幂级数的收敛点可以是一个实数、一个复数或者 $ x\to \infty $ 的情况。
幂级数的收敛性是指级数在什么条件下可以收敛。
幂级数的收敛区间是指幂级数在哪些范围内的数值可以被计算出来。
如果幂级数在所有数值上都收敛，那么这个幂级数的收敛区间为全体实数或复数。
3. 幂级数的收敛性幂级数的收敛性可以用收敛定理来判断。
下面介绍几个常用的收敛定理。
3.1 比值判别法比值判别法是幂级数收敛性最基本的定理之一。
比值判别法的表述如下：$$ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L $$如果 $ L < 1 $，则幂级数收敛；如果 $ L > 1 $，则幂级数发散；如果 $ L = 1 $，则不能判断幂级数收敛性。
3.2 根值判别法根值判别法是比值判别法的一种变形，表述如下：$$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L $$如果 $ L < 1 $，则幂级数收敛；如果 $ L > 1 $，则幂级数发散；如果 $ L = 1 $，则不能判断幂级数收敛性。
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证 对 级 数 |an x n|, 由正项级数的比值判别法,
n 0
|an1| |an1 x n1| lim |x| lim n n |a | n |a x | n n
8
|an1 x n1| |an1| lim lim |x| n n |a x | n |a | n n an1 (1) 如果 lim| | ( 0) 存在, 则 n a 比 n 1 值 当 |x| 时, 级 数 a x n 绝对收敛; n 判 n 0 别 1 法 当 |x| 时, 级 数 |an x n| 发散, 从而
n 0
不等式 |x| |x 0| 的一切 x 处 发散.
a n x0 0 证 (1) an x0 收 敛 lim n
n
n
n 0
从而数列 {an x0 }有界, 即有常数 M > 0, 使得 |an x0 | M (n 0, 1, 2, )
4
n
n
幂 级 数
|an x0 | M (n 0, 1, 2, ) n x n x x n n n n |an x | |an x0 n | |an x0 | | | M | | x0 x0 x0 x x n 当 | | 1 时, 等比级数 M | | 收敛, x0 x0 n 0
n
|x| |x 0|
|an x n| 收 敛, 即级数 a n x n(|x| |x 0|) 绝对收敛;
n 0
n 0
(2) 假设当x x0 时发散 , 但有一点 x1 适合 |x1| |x0|
使级数收敛, 由 (1) 结论, 则级数当 x x0 时应收敛, 这与所设矛盾.
所以, 去掉第一项, 级数处处收敛. 因为第一项 lnx 的 定义域为 x 0, 所以, 原级数的收敛域是 (0, ).
16
幂 级 数
2n x n1 ( 1 ) 讨论幂级数 的收敛域. n 3 1 n 0
解 此级数是缺项的幂级数, 不满足定理 2 的条件. n y 2 作变换, 令 y x , 级数变为 ( 1)n1 n 3 1 n 0
n a x n 称为 x 的幂级数. n 0
2
幂 级 数
2.收敛半径和收敛域 级数 x 1 x x
n 2 n 0
n 1 x 前 n 项部分和Sn 1 x x 2 x n1 1 x 1 当|x| 1 时, 原 级 数 收 敛 于 ; 1 x 当|x| 1 时, 原级数发散 .
s( x ) 在区间( R, R) 内可导 , 且 x ( R, R),
s( x ) ( an x n ) (a n x n ) nan x n1
n 0 n 0 n 1
n 0
逐项求导所得幂级数收 敛半径仍为 R.
幂 级 数
n a x n 发散. n 0
n 0
收敛半径 R
1
.
9
幂 级 数
(2) 如果 0, 则
|an1 x n1| n lim 0 , 级 数 |a x | 收敛, n n |a x n| n 0 n
|an1 x n1| |an1| lim lim |x| n n |a x | n |a | n n
3 x 3.
收敛半径 R 3 .
19
幂 级 数
幂级数的性质
1. 代数运算性质
设 an x n和 bn x n 的收敛半径各为R1和R2 ,
R minR1 , R2
n 0 n 0
(1) 加减法
n n n a x b x ( a b ) x n n n n , x ( R, R ) n 0 n 0 n 0
n 由阿贝尔第二定理知 a x , n 在 [ r , r ] 上 一 致 收 敛 n 0
因而其和函数 s( x) 在 x [r , r ] 处连续 . s( x ) 在 ( R, R) 内连续 . 由 x ( R, R) 的任意性即知
26
幂 级 数
( 2) 设 幂 级 数 an x n 的 收 敛 半 径 为 R 0, 则其和函数
25
幂 级 数
(1) 设 幂 级 数 an x n 的 收 敛 半 径 为 R 0, 则其和函数
s( x ) 在区间( R, R) 内连续 . 如果幂级数在收敛区间
n 0
的端点处收敛, 则其和函数在该端点单侧连续. 证 x ( R, R), 取 r (|x|, R), 则 x [ r , r ] ( R, R).
15
幂 级 数
2 n 1 x n 例 求函数项级数 ln x (1) 的收敛域. (2n 1)! n 0 解 去掉第一项, 是缺偶次幂的幂级数.
2 n 3 | x | (2n 1)! u ( x ) 比 lim n 1 lim n ( 2n 3)! | x |2 n1 n u ( x ) 值 n 判 2 | x | 别 0 lim n ( 2n 2)(2n 3) 法
6
幂 级 数
定义 正数 R 称为幂级数的 收敛半径. ( R, R) 称为幂级数的 收敛区间. 收敛区间连同收敛端点称为幂级数的收敛域.
规定 (1) 幂级数只在 x = 0 处收敛, R 0, 收敛区间 x 0;
(2) 幂级数对一切 x 都收敛, R , 收敛区间 ( , ). 问:如何求幂级数的收敛半径?
( n! )2 n ( 3) x n1 ( 2n )!
当 x 4 时,对应的数项级数也发散.
故收敛域为 ( 4,4).
14
幂 级 数
n n 1 2 1 2 (4) ( 1)n ( x )n 令t x , ( 1)n tn n 2 2 n 1 n 1 n n1 1 an 解 R lim| | lim n 2 n n a 2 n1 1 1 即 |t| |x | , 亦即 x (0,1) 时原级数收敛. 2 2 1 当 x 0 时, 级 数 为 , 发散; n n 1 ( 1)n 当 x 1 时, 级 数 为 , 收敛. n n 1 故收敛域为 (0,1]. 还有别的方法吗
23
幂 级 数
(2) 乘法
n c x ( an x ) ( bn x ) n
n
n
x ( R, R )
n 0
n 0
n 0
(其中 cn a0 bn a1 bn1 an b0 )
(3) 除法
n a x n n 0
(收敛域内 bn x n 0)
级数的收敛域 ( 1,1).
3
阿贝尔 (Abel)(挪威) 1802–1829 （阿贝尔第一定理） 定理1
n a x 如果级数 n 在 x x0 ( x0 0)收敛,
则它在满足不等式 |x| |x 0| 的一切 x 处 绝对收敛;
n a x 如果级数 n 在 x x0 处 发散, 则它在满足 n 0
|x| |x 0|
5
幂 级 数
几何说明
发散区域 R
收敛区域
O
n
R 发散区域 x
推论 如果幂级数 an x 不是仅在 x = 0 一点收敛,
n 1
也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确 定的正数 R 存在, 它具有下列性质: 当|x| R 时, 幂级数 绝对收敛;
当|x| R 时, 幂级数 发散. 当 x R 与 x R 时, 幂级数可能收敛也可能发散.
n 0
cn x n (相除后的收敛区间可能比原 n n 0 来两级数的收敛区间小得多) b x n
n 0
24
幂 级 数
2.和函数的分析运算性质 定理3（阿贝尔第二定理）
设幂 级数 an x n 的收 敛半径 为 R 0, 则 r (0, R),
n 0
该幂级数在闭区间 [r , r ] 上一致收敛 . 内闭一致收敛
11
幂 级 数
( 1)n 当 x 2 时, 级 数 为 , 收敛. n n 1 1 当 x 2时, 级 数 为 , 调和级数, 发散. n 1 n 收敛域为 [2 n
( 2) ( nx ) n
n 1
n , imn |an| lim 解 l n n
1 ( 3n 1) 它的收敛半径 R y lim 3. n 1 n 1 ( 3 1) n 3 n 1 ( 1 ) , 发散. 当 y = 3时, 级数为 n 3 1 n 0
18
幂 级 数
故 y(≥0) 的幂级数收敛域为 0 y 3.
因此, 原幂级数收敛域为 0 x 2 3, 即
n 即 |a |r , n 收 敛. 证 r (0, R), 级 数 an r 绝 对 收 敛 n n 0 n 0
由于x [r , r ], |an x n| |an|rn ,
n a x . 从而由M - 判别法可知 , n 在 [ r , r ] 上 一 致 收 敛 n 0
7
幂 级 数
定理2 设幂级数 an x 的所有系数 an 0
n n 0
an1 (或 limn |an| ） 且 lim n n a n 1 (1) 当 0 时, R ; (2) 当 0 时, R ;
(3) 当 时, R 0.
收敛半径 R 0, 收敛域 {0}