幂级数及其收敛性

n a x n 称为 x 的幂级数. n 0
2
幂 级 数
2.收敛半径和收敛域 级数 x 1 x x
n 2 n 0
n 1 x 前 n 项部分和Sn 1 x x 2 x n1 1 x 1 当|x| 1 时, 原 级 数 收 敛 于 ; 1 x 当|x| 1 时, 原级数发散 .
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幂 级 数
定义 正数 R 称为幂级数的 收敛半径. ( R, R) 称为幂级数的 收敛区间. 收敛区间连同收敛端点称为幂级数的收敛域.
规定 (1) 幂级数只在 x = 0 处收敛, R 0, 收敛区间 x 0;
(2) 幂级数对一切 x 都收敛, R , 收敛区间 ( , ). 问:如何求幂级数的收敛半径?

( n! )2 n ( 3) x n1 ( 2n )!

当 x 4 时,对应的数项级数也发散.
故收敛域为 ( 4,4).
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幂 级 数
n n 1 2 1 2 (4) ( 1)n ( x )n 令t x , ( 1)n tn n 2 2 n 1 n 1 n n1 1 an 解 R lim| | lim n 2 n n a 2 n1 1 1 即 |t| |x | , 亦即 x (0,1) 时原级数收敛. 2 2 1 当 x 0 时, 级 数 为 , 发散; n n 1 ( 1)n 当 x 1 时, 级 数 为 , 收敛. n n 1 故收敛域为 (0,1]. 还有别的方法吗
1 ( 3n 1) 它的收敛半径 R y lim 3. n 1 n 1 ( 3 1) n 3 n 1 ( 1 ) , 发散. 当 y = 3时, 级数为 n 3 1 n 0
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幂 级 数
故 y(≥0) 的幂级数收敛域为 0 y 3.
因此, 原幂级数收敛域为 0 x 2 3, 即
n 由阿贝尔第二定理知 a x , n 在 [ r , r ] 上 一 致 收 敛 n 0
因而其和函数 s( x) 在 x [r , r ] 处连续 . s( x ) 在 ( R, R) 内连续 . 由 x ( R, R) 的任意性即知
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幂 级 数
( 2) 设 幂 级 数 an x n 的 收 敛 半 径 为 R 0, 则其和函数
幂级数及其收敛性
power series
1
幂 级 数
1.定义 定义 如下形式的函数项级数
n n a ( x x ) a a ( x x ) a ( x x ) n 0 0 1 0 n 0 n 0
. 称为 ( x x0 ) 的幂级数, 其中an 为常数
3 x 3.
收敛半径 R 3 .
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幂 级 数
幂级数的性质
1. 代数运算性质
设 an x n和 bn x n 的收敛半径各为R1和R2 ,
R minR1 , R2
n 0 n 0


(1) 加减法
n n n a x b x ( a b ) x n n n n , x ( R, R ) n 0 n 0 n 0

n
|x| |x 0|
|an x n| 收 敛, 即级数 a n x n(|x| |x 0|) 绝对收敛;
n 0

n 0
(2) 假设当x x0 时发散 , 但有一点 x1 适合 |x1| |x0|
使级数收敛, 由 (1) 结论, 则级数当 x x0 时应收敛, 这与所设矛盾.
从而级数 an x n 绝对收敛. 收敛半径 R ; n 0 |an1 x n1| , (3) 如果 , 则 x 0, lim n n |a x | n
级 数 an x n 发散. 收敛半径 R 0.
n 0
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幂 级 数
例 求下列幂级数的收敛半径与收敛域:
n 0
不等式 |x| |x 0| 的一切 x 处 发散.
a n x0 0 证 (1) an x0 收 敛 lim n
n
n

n 0
从而数列 {an x0 }有界, 即有常数 M > 0, 使得 |an x0 | M (n 0, 1, 2, )
4
n
n
幂 级 数
|an x0 | M (n 0, 1, 2, ) n x n x x n n n n |an x | |an x0 n | |an x0 | | | M | | x0 x0 x0 x x n 当 | | 1 时, 等比级数 M | | 收敛, x0 x0 n 0
所以, 去掉第一项, 级数处处收敛. 因为第一项 lnx 的 定义域为 x 0, 所以, 原级数的收敛域是 (0, ).
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幂 级 数
2n x n1 ( 1 ) 讨论幂级数 的收敛域. n 3 1 n 0

解 此级数是缺项的幂级数, 不满足定理 2 的条件. n y 2 作变换, 令 y x , 级数变为 ( 1)n1 n 3 1 n 0

级数的收敛域 ( 1,1).
3
阿贝尔 (Abel)(挪威) 1802–1829 （阿贝尔第一定理） 定理1
n a x 如果级数 n 在 x x0 ( x0 0)收敛,
则它在满足不等式 |x| |x 0| 的一切 x 处 绝对收敛;
n a x 如果级数 n 在 x x0 处 发散, 则它在满足 n 0
收敛半径 R 0, 收敛域 {0}
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幂 级 数
( n! ) n ( 3) x n1 ( 2n )!
n

2
R
1

(n 1) !2 an1 2( n 1)! | lim 解 lim| lim
an
n
1 4 收敛半径R 4.
( n! )2 ( 2n)!

证 对 级 数 |an x n|, 由正项级数的比值判别法,
n 0

|an1| |an1 x n1| lim |x| lim n n |a | n |a x | n n
8
|an1 x n1| |an1| lim lim |x| n n |a x | n |a | n n an1 (1) 如果 lim| | ( 0) 存在, 则 n a 比 n 1 值 当 |x| 时, 级 数 a x n 绝对收敛; n 判 n 0 别 1 法 当 |x| 时, 级 数 |an x n| 发散, 从而
n 0


cn x n (相除后的收敛区间可能比原 n n 0 来两级数的收敛区间小得多) b x n
n 0
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幂 级 数
2.和函数的分析运算性质 定理3（阿贝尔第二定理）
设幂 级数 an x n 的收 敛半径 为 R 0, 则 r (0, R),
n 0
该幂级数在闭区间 [r , r ] 上一致收敛 . 内闭一致收敛
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幂 级 数
(1) 设 幂 级 数 an x n 的 收 敛 半 径 为 R 0, 则其和函数
s( x ) 在区间( R, R) 内连续 . 如果幂级数在收敛区间
n 0

的端点处收敛, 则其和函数在该端点单侧连续. 证 x ( R, R), 取 r (|x|, R), 则 x [ r , r ] ( R, R).
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幂 级 数
定理2 设幂级数 an x 的所有系数 an 0
n n 0

an1 (或 limn |an| ） 且 lim n n a n 1 (1) 当 0 时, R ; (2) 当 0 时, R ;
(3) 当 时, R 0.
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幂 级 数
2 n 1 x n 例 求函数项级数 ln x (1) 的收敛域. (2n 1)! n 0 解 去掉第一项, 是缺偶次幂的幂级数.
2 n 3 | x | (2n 1)! u ( x ) 比 lim n 1 lim n ( 2n 3)! | x |2 n1 n u ( x ) 值 n 判 2 | x | 别 0 lim n ( 2n 2)(2n 3) 法
幂 级 数

n a x n 发散. n 0

n 0
收敛半径 R
1

.
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幂 级 数
(2) 如果 0, 则
|an1 x n1| n lim 0 , 级 数 |a x | 收敛, n n |a x n| n 0 n
|an1 x n1| |an1| lim lim |x| n n |a x | n |a | n n
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幂 级 数
(2) 乘法
n c x ( an x ) ( bn x ) n

n

n

x ( R, R )
n 0
n 0
n 0
(其中 cn a0 bn a1 bn1 an b0 )
(3) 除法
n a x n n 0
(收敛域内 bn x n 0)
|x| |x 0|
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幂 级 数
几何说明
发散区域 R

收敛区域
O
n

R 发散区域 x
推论 如果幂级数 an x 不是仅在 x = 0 一点收敛,
n 1
也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确 定的正数 R 存在, 它具有下列性质: 当|x| R 时, 幂级数 绝对收敛;
当|x| R 时, 幂级数 发散. 当 x R 与 x R 时, 幂级数可能收敛也可能发散.
s( x ) 在区间( R, R) 内可导 , 且 x ( R, R),
s( x ) ( an x n ) (a n x n ) nan x n1
n 0 n 0 n 1

Leabharlann Baidu
n 0
逐项求导所得幂级数收 敛半径仍为 R.
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幂 级 数
( 1)n 当 x 2 时, 级 数 为 , 收敛. n n 1 1 当 x 2时, 级 数 为 , 调和级数, 发散. n 1 n 收敛域为 [2,2).

xn (1) n n 1 2 n

( 2) ( nx ) n
n 1

n , imn |an| lim 解 l n n
n 即 |a |r , n 收 敛. 证 r (0, R), 级 数 an r 绝 对 收 敛 n n 0 n 0
由于x [r , r ], |an x n| |an|rn ,
n a x . 从而由M - 判别法可知 , n 在 [ r , r ] 上 一 致 收 敛 n 0
( n 1)2 n ( 2n 1)(2n 2)
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幂 级 数
( n! )2 n 4 当 x = 4 时, 级数为正项级数 n 1 ( 2n)! un1 2n 2 1, 所以 lim un 0. 因为 n un 2n 1 (n! )2 n 故级数 4 发散. n1 ( 2n)!
xn (1) n n 1 2 n
( n! ) n ( 3) x n1 ( 2n )!
2
R
1


( 2) ( nx )n
n 1
n 2 1 n n (4) ( 1) (x ) n 2 n 1

1 n1 an1 n 1 2 ( n 1 ) 解 (1) lim| | lim lim n a n 2( n 1) n 1 2 n 2n n 收敛半径R 2.