第二章随机过程(函数)

间的相关性较强,若只用均值函数和方差函数是不能反映出这 些特征的,相关函数能反映两个不同时刻状态之间相关程度的 数字特征。
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（随机介质波P86）
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自相关函数R(t1，t2) 可正可负，其绝对值越大，表示相关性越 强。一般说来t1，t2相隔越大相关性越弱，R(t1，t2)的绝对值也越
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只受衰减作用后的 其它方向的粒子散
信号
射到接收点的信号
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均值代表接收点处的平均信号（功率），只考虑发射信号 受到媒质的衰减作用。
方差代表接收点处的起伏信号（功率），随机分布的粒子 从各个方向散射向接收点处的信号。
代表某一时刻的总功率。
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随机过程的定义：设Sk(k=1, 2, …)是随机试验。 每一次试 验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作xi(t)，所 有可能出现的结果的总体{x1(t), x2(t)， …, xn(t)， …}就构成 一随机过程，记作ξ(t)。简言之， 无穷多个样本函数的总体叫
做随机过程，如图所示。
S1
S2 Sn
样本 空间
x1(t) x2(t)
受随机变量控
t
制的过程；随
机变量控制是
t (t) 工 程 研 究 的 物
理基础!
xn(t) t
tk
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另外，随机过程（函数）根据其是否为实函数可以分为实随 机过程（函数）和复随机过程（函数）。复随机过程（函数） Z（t） 是由两个实随机过程X（t）和Y（t）线性组合而成。
有确定的形式, 是一种可预测的随机过程。它的两个样本函数为
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二维分布情况：
由于本例的随机相位信号是一个可预测的随机过程，当n1时 刻随机过程的取值为1时，也就意味着在本次随机试验中取的是
样本函数x1(n)，那么由图可以看出，即在n2 时刻随机过程的
间 t 的一个确定函数，具有确定的变化规律，那么这样的过程
就是确定过程。反之，如果每次试验(观测)所得到的观测过程
都不相同，是时间 t 的不同函数，试验(观测)前又不能预知这
次试验(观测)会出现什么结果，没有确定的变化规律，这样的 过程称为随机过程。对连续时间的随机过程进行抽样得到的序 列称为离散时间随机过程，或简称为随机序列，连续时间的随 机过程和随机序列我们都称为随机过程，连续时间的随机过程 用X(t)表示，随机序列用X(n)表示。
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x(n)
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1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 n
伪随机序列 16
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x(n) x(n)
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
有一期望为零 不相关 <－－－－－－－－> 正交
学会自己解决有疑问的地方！
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不相关:2阶联合中心矩 E[(X-E(X) )(Y-E(Y) )] = 0 正交:2阶联合原点矩 E(XY) = 0 独立：f(X,Y,x,y)=f(X,x)f(Y,y)
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Z(t)＝X（t）+jY（t） 复随机过程的物理意义如何理解呢？随机介质波P99
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2 随机过程举例
用无数次投掷硬币的随机试验可以定义一个随机过程X(t)，
X(t)称为半二元传输信号。
N=200; ind=find(rand(N,1)>0.5); z(1:N)=1; z(ind)=-1; stairs(1:25,z(1:25)); axis([0 25 -1.5 1.5]); xlabel('时间-秒 （假定T=1 秒）'); ylabel('X(t)','FontSize',[12]);
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正交、不相关、独立的关系？
当两个随机过程保持统计独立时，它们必然是不相关的， 但反过来则不一定成立，即不相关的两个随机过程不一定能保 持统计独立，唯有在高斯随机过程中才是例外。从统计角度看， 保持统计独立的条件要比不相关还要严格。
内积为零可作为两个信号之间正交的定义，对于随机过程 来说，除了互协方差函数外，还要求至少其中有一个随机过程 的均值等于零，这时两个随机过程才互相正交。因此正交的条 件满足了，不相关的条件就自然满足，但是反过来就未必然。 可见正交条件要比不相关条件严格些。如果统计独立的条件能 满足，则正交条件也自然满足，但反过来也不一定成立。因此 统计独立的条件最严格。
测过程。
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离散随机介质中在某点处接收到的散射场信号可以构 成一个复随机过程。
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3 随机过程的统计描述－概率分布 3.1 一维分布
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3.3 n维分布
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受随机 变量控 制的过 程；随 机变量 控制是 工程研 究的物 理基础!
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一 个 样 本 函 数
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是 否 携 带 有 充 分 的 过 程 特 征 呢
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设t0 为(0,T)上均匀分布的随机变量，且与半二元传输信号 统计独立，定义新的随机过程Y(t)=X(t-t0)我们称Y(t)为二元 传输信号，二元传输信号是将半二元传输信号平移一随机量t0 构成的。
同样对于离散随机过程有：
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（5）相关系数
B代表协方差、R是相关函数。
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3 随机过程的统计描述－数字特征
随机变量的数字特征有均值、方差、相关系数等，相应地随 机过程的数字特征常用的也是均值、方差、相关函数等，然而随 机过程的数字特征一般不是常数，而是时间t（或n）的函数，因 此随机过程的数字特征也常称为示性函数。
（1）均值
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（3）相关函数
均值和方差只描述了随机过程在某个特定时刻的统计特性, 所用的只是一维概率密度, 能反映随机过程在两个不同时刻
状态之间的联系, 如图所示的两个随机过程X (t) 和Y(t) 大致
具有相同的均值和方差, 但这两个信号还是有明显的区别
的,Y(t) 随时间t 的变化较为剧烈, 各个不同时刻状态之间的 相关性较弱, X (t) 随时间的变化较为缓慢, 不同时刻状态之
应用
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无线电物理中的随机场简单应用，纵横分析、资料分 析、学习方法升华，作业及课堂情况考核。
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第2章 随机过程（函数）
2.1随机过程的基本概念
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1 定义及分类
自然界变化的过程通常可以分为两大类，确定过程和随机过 程，如果每次试验(观测)所得到的观测过程都相同，且都是时
弱，当t1=t2时其相关性应最强。（随机介质波传播P96）
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（4）协方差函数
相关性的描述除了用相关函数外，有时也用协方差函数
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正交、不相关、独立的关系？ 当两个随机过程保持统计独立时，它们必然是不相关的，
但反过来则不一定成立，即不相关的两个随机过程不一定能保 持统计独立，唯有在高斯随机过程中才是例外。从统计角度看， 保持统计独立的条件要比不相关还要严格。
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随机过程的结果是随时间的演变而变化的
接收机噪声电压信号不能用有限的参数来加以描述，即对于
任意一条样本函数，知道它的过去值，并不能确定它的未来值，
称之为不可预测过程；随机相位信号，它是由一族正弦信号构
成的，它的样本函数是由随机变量Φ 的样本值完全确定，如果
X(t, ei)对于n≤n 0 已知，则n>n 0 X(t, ei)完全确定，称为可预
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章序
题目
学 时
主要内容
第一章
绪论 4 课程介绍、方法分享、相互熟悉、概率论回顾。
第二章 随机过程(函数)16 随机过程(函数)理解、概念、研究方法。
第三章 随机微积分 6 随机微积分及其求解方法介绍。
第四章 随机场 18 随机过程(函数)理解、概念、研究方法。
第五章
无线电物理中 随机场及简单
仅仅是时间的函数而已。
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一般而言，对于任意的时刻t ，随机变量X (t) 是随机变
量Y 的函数，所以，如果
，则
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作业1：将该例题的详细 严密解体过程重复一下!
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例： 解: 本题的随机过程只有两个样本函数, 且两个样本函数都具
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（A）独立则必定不相关，而不相关却不一定互相独立，只 有是高斯时独立和不相关才等价。 （B）正交和不相关没有必然关系，只有当一个随机变量的 统计平均等于零时，正交和不相关等价。
独立 －－－－－－－－－－－－－> 不相关 <－－－－－－－－－－－－－ 均值为零的高斯随机对象
随机过程X (t) 的均值是时间t 的函数，也称为均值函数，统 计均值是对随机过程X (t) 中所有样本函数在时间t 的所有取值 进行概率加权平均，所以又称为集合平均，它反映了样本函 数统计意义下的平均变化规律。
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（2）方差
方差也是随机过程重要的数字特征之一，定义
对于随机序列X(n)，方差定义为
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随机信号序列
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按分布特性分类，依照过程在不同时刻状态的统计依赖关 分类。例如：独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程,鞅， 点过程等。
随机过程基本特征体现在两个方面： 其一，它是一个时间函数；其二，在固定的某一观察时刻t1， 全体样本在t1时刻的取值ξ(t1)是一个不含t变化的随机变量。 因此，我们又可以把随机过程看成依赖时间参数的一族随机 变量。可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
所谓：经目之事有恐未真；过耳之言焉能全信！
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伪随机序列似乎已经失去了“随机”特点，但是它确 代替或者模拟了某类随机过程！
所谓：经目之事有恐未真；过耳之言焉能全信！ 工程种研究随机过程实际是通过理论分析其大量样本 函数，建立符合其实际过程或者称为能体现其过程特点的 伪随机序列模型，对伪随机序列进行研究，即可得到其过 程特点。 最后才能真正建立其数学模型随机过程！（随机过程 课程是拿已经建立好的随机过程模型加以学习随机过程的 基本概念）
在实际中还有一类过程，它 是按照确定的数学公式产生的 时间序列，很显然它是一个确 定性的时间序列，但它的变化 过程表现出随机序列的特征， 我们把它称为伪随机序列，伪 随机序列可以用来模拟自然界 实际的随机过程。
是否携带有充分的过程特征呢
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lamda=11; M=32768; x(1)=19; for n=1:500 x(n+1)=(mod(lamda*x(n)+11117,M)); end plot(x/M); xlabel('n'); ylabel('x(n)'); axis([0 500 0 1])
取值必定为-1，取其它值的概率为零。
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另外，随机过程（函数）根据其是否为实函数可以分为实随 机过程（函数）和复随机过程（函数）。复随机过程（函数） Z（t） 是由两个实随机过程X（t）和Y（t）线性组合而成。
Z(t)＝X（t）+jY（t） 复随机过程的概率分布是实随机过程X和Y的联合概率分布！
0 0
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 n
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 n
伪随机序列似乎已经失去了“随机”特点，但是它确 代替或者模拟了某类随机过程！