误差与测量结果的表示

误差与测量结果的表示

物理实验中使用的误差有三类：仪器误差、系统误差和偶然误差；所谓粗差可视为测量错误，需要剔除或重新测量。系统误差反映了每一次测量都偏离真值的程度，即测量结果的准确度。偶然误差反映了各次误差之间的分散（或密集）程度，即测量的精密度或可重复性。系统误差与偶然误差的算术和，反映测量的可信程度或精确度。

系统误差主要来源有四个方面：仪器（如图3．3．2）；实验者的不妥观察（如总从左侧视读）；测试环境不符合仪器的正常工作要求（如温度、湿度）以及实验原理本身的局限。用自由落体法测重力加速度，原理本身就忽略了空气阻力的影响，由空气阻力引起的误差就属于系统误差。虽然，确定系统误差是很困难的事，但从理论上说它总是可以被发现和消除的。

3．5．1直接测量的偶然误差

无论如何，应该承认被测的量有一个客观存在的值，即通常叫做真值的值。公认的一些理论值和高精确度测定的物理常数可被认为是真值。在实际实验中，经常采用有限次测量数据的算术平均值作真值替代值。这是因为当测量次数趋于无穷的情况下，误差正负出现的机会是相等的。基于同样的理由，减小偶然误差的方法是增加测量次数。

（1）直接测量的绝对误差

用仪器直接量度被测对象叫直接测量。任一次测量x i与真值x0的差的绝对值叫绝对误差au（absolute uncertainty）：au=｜x i-x0｜。计算n次测量的绝对误差的简单方法，是对各次测量的绝对误差取算术平均值，即算术平

均误差的这种作用，这里只需保留一位有效数字，如（42.7±0.2）毫米。

（2）直接测量的相对误差

绝对误差与真值的比叫相对误差fu（fractionaluncertainty）。相对误差可以用小数表示。更常见的是将小数写成百分数。用百分数表示的相对误差简称百分误差pu（percentage uncertainty）。表示相对误差的另一种方式是将小数写成分子是1的分数，叫做精密度等级。例如由测量一个棒长的10次数据

=0.2／42.7=0.0047≈0.005。也可以说这次测量的百分误差pu（l）=0.005×100％≈0.5％；也可以说这次测量的精密度等级为1／200（0.005=5／1000=1／200）。

相对误差是一个没有单位的数。它可以比较对不同实验对象（无论单位相同的还是不同的）进行测量的质量。下面的例子可以说明即使被测对象的单位没有改变，只有绝对误差也是不够的。当测量一个更长的棒（例如427.0毫米的棒）时，测量的算术平均绝对误差完全可能与上例一样，也恰为0.2毫米。但这次测量的相对误差就要减小到0.05％，即在数据密集程度上，测量质量比上一次要高出很多。

根据相对误差的定义和有效数字运算规则，相对误差也应只保留一位有效数字（精密度等级的表示法除外）。但当绝对误差或相对误差（不含精密度等级）中的有效数字是很小的数时，可再保留一位有效数字，以反映误差

0.15米·秒-1或pu=2.4％。

3．5．2直接测量结果的表示

测量结果表示为测量对象的真值替代值加上各类测量误差的算术和。之所以不用代数和，是考虑发生误差的最大可能。各类测量误差的算术和又可叫做直接测量的总误差。当仪器误差、系统误差、偶然误差之中的某一项较其它项小两个数量级或更多时，常将它省略。因此，在仪器误差或系统误差

的形式，而不能单独用pu与fu表示，因为它们是没有单位的比值，不能与仪器误差直接相加。只有在仪器误差与系统误差均被忽略的情况下，测量结

时必须在括号外面写上单位，注上单位后这种写法与它表面的数学意义完全不同。棒长的测量：

x=（42.7±0.5％）毫米

此式的意义不再是x=42.7毫米±0.005毫米

而是x=（42.7±42.7×5％）毫米

= （42.7±0.2）毫米

在用科学计数法时，10n也要写在括号外而不在括号内，如

x=（5.9±0.4）×10-7米

3．5．3间接测量的误差

将直接测量结果按照实验原理给出的物理规律计算，再用算出的值去量度被测对象叫间接测量。间接测量的误差是各直接测量物理量的误差的传递与合成。各类误差在传递与合成中性质不变，如仪器误差传递与合成后仍为仪器误差。因此，用各直接测量的总误差（参见3．5．2）就可直接求出间接测量的总误差。一个具体的间接测量的误差究竟如何由各直接测量的误差传递与合成，完全取决于所使用的物理公式。由该公式找到它们之间的具体关系要借助全微分公式和偏微分的计算。表3．5．3给出了物理公式中常见的几种函数关系的误差传递结果。需要注意，表中的公式不适用于统计绝对误差及由其决定的相对误差。

表3．5．3物理实验中常见函数关系的误差传递公式

间接测量结果也用间接测量得出的物理量的值与间接测量的总误差表示，其具体方法和直接测量结果的表示相类似。在求间接测量物理量的真值替代值时，要代入各直接测量的物理量的平均值进行计算。